Coarde paralele și coarde egal depărtate de centru

Ai văzut vreodată treptele curbate ale unui amfiteatru, dungile paralele de pe o minge de baschet sau liniile pe care le lasă farurile unei mașini pe un pod în arc de cerc? În toate aceste imagini apar segmente paralele „prinse" într-o formă rotundă. În geometrie, aceste segmente se numesc coarde, iar când sunt paralele între ele ascund o proprietate surprinzător de curată: arcele cuprinse între două coarde paralele sunt congruente. În plus, vom descoperi o legătură foarte intuitivă între cât de lungă este o coardă și cât de aproape trece ea de centrul cercului. Această lecție de geometrie pentru clasa a VII-a, din unitatea despre cerc, îți arată pas cu pas de ce funcționează aceste proprietăți și cum le folosești în probleme.

Ce vei învăța

Vei ști să demonstrezi că arcele cuprinse între două coarde paralele sunt congruente.
Vei înțelege ce este distanța de la centru la o coardă și de ce ea este perpendiculara din centru pe coardă.
Vei ști să folosești proprietatea și reciproca ei pentru coarde egal depărtate de centru.
Vei ști să compari lungimile a două coarde știind distanțele lor față de centru: cu cât coarda e mai lungă, cu atât e mai aproape de centru.
Vei ști să interpretezi pe figură și să rezolvi probleme cu coarde paralele în cerc.

Hai să descoperim împreună

1. Recapitulăm cuvintele-cheie: coardă, arc, distanță

Ca să mergem sigur mai departe, ne asigurăm că stăpânim câțiva termeni. Fie un cerc de centru $O$ și rază $r$ .

O coardă este un segment care unește două puncte de pe cerc. Dacă punctele sunt $A$ și $B$ , coarda este $[A B]$ .
Un arc este o „bucată" din cerc, cuprinsă între două puncte. Două puncte $A$ și $B$ împart cercul în două arce: unul mai mic și unul mai mare (dacă $[A B]$ nu e diametru). Notăm arcul cu $A B$ .
Distanța de la centru la o coardă este lungimea segmentului perpendicular dus din centrul $O$ pe coardă. Este cea mai scurtă cale de la $O$ până la dreapta coardei.

Un rezultat pe care l-ai întâlnit deja la lecția despre coarde și arce congruente în cerc și pe care îl vom folosi mult azi:

Perpendiculara dusă din centru pe o coardă trece prin mijlocul coardei.

Cu alte cuvinte, dacă $O M ⊥ A B$ și $M \in A B$ , atunci $M$ este mijlocul lui $[A B]$ , deci $A M = M B$ . Motivul este simplu: triunghiurile $O M A$ și $O M B$ sunt dreptunghice în $M$ , au cateta $O M$ comună și ipotenuzele egale $O A = O B = r$ (ambele sunt raze). Ele sunt congruente, deci $M A = M B$ . Reține bine această idee: din centru, perpendiculara pe coardă = mediatoarea coardei.

2. Prima proprietate: arcele dintre coarde paralele sunt congruente

Acum ajungem la vedeta lecției. Desenează un cerc și trasează în el două coarde care sunt paralele între ele, de exemplu $[A B]$ și $[C D]$ , cu $A B ∥ C D$ . Ele „decupează" din cerc două arce care se află între cele două coarde: unul în stânga (arcul $A C$ ) și unul în dreapta (arcul $B D$ ).

Teoremă. Arcele cuprinse între două coarde paralele ale unui cerc sunt congruente.

Adică, dacă $A B ∥ C D$ (cu punctele așezate ca în figură), atunci:

$A C \equiv B D .$

De ce este adevărat? Demonstrația pas cu pas.

Ideea centrală este simetria față de un diametru. Facem un raționament clar și complet.

Pasul 1. Ducem din centrul $O$ perpendiculara pe una dintre coarde, să zicem pe $[A B]$ ; fie $M$ piciorul ei, $O M ⊥ A B$ . Deoarece $C D ∥ A B$ , aceeași dreaptă $O M$ este perpendiculară și pe $[C D]$ ; fie $N$ piciorul ei pe $C D$ , deci $O N ⊥ C D$ . Prin urmare $M$ , $N$ și $O$ sunt pe aceeași dreaptă $d$ , care este perpendiculară pe ambele coarde.

Pasul 2. Dreapta $d$ trece prin centru și este perpendiculară pe fiecare coardă, deci este mediatoarea fiecăreia. Ea este, în același timp, o axă de simetrie a întregului cerc (orice diametru este axă de simetrie). Simetria față de dreapta $d$ „întoarce" cercul pe el însuși.

Pasul 3. Cum $d$ este mediatoarea lui $[A B]$ , punctul $A$ se transformă în $B$ prin simetria față de $d$ (și invers). La fel, $d$ fiind mediatoarea lui $[C D]$ , punctul $C$ se transformă în $D$ . Așadar simetria față de $d$ duce $A \to B$ și $C \to D$ .

Pasul 4. O simetrie (o oglindire) păstrează cercul și duce arce în arce de aceeași lungime. Arcul $A C$ se oglindește exact în arcul $B D$ , pentru că $A \to B$ și $C \to D$ . Prin urmare cele două arce au aceeași măsură:

$A C \equiv B D . ■$

Poți reține imaginea simplă: o axă verticală care trece prin centru „îndoaie" figura în două jumătăți identice; ce e într-o parte se suprapune perfect peste ce e în cealaltă parte.

Consecință utilă. Deoarece la arce congruente corespund coarde congruente (din lecția anterioară), rezultă imediat că $A C = B D$ . Cu alte cuvinte, cele două „laturi înclinate" dintre coardele paralele sunt egale. Patrulaterul $A B D C$ format de cele două coarde paralele și de segmentele $[A C]$ și $[B D]$ este un trapez isoscel (are laturile neparalele egale). Iată o legătură frumoasă cu ce ai învățat la trapezul isoscel: orice trapez înscris într-un cerc este isoscel.

3. A doua idee: rolul distanței de la centru la coardă

Trecem la a doua mare temă a lecției. Fixăm un cerc de rază $r$ și ne întrebăm: ce determină lungimea unei coarde? Răspunsul este: cât de aproape trece coarda de centru.

Uită-te la desen. Fie coarda $[A B]$ și $M$ mijlocul ei, cu $O M ⊥ A B$ , $O M = d$ . Triunghiul $O M A$ este dreptunghic în $M$ , cu ipotenuza $O A = r$ (raza) și catetele $O M = d$ și $M A$ . Jumătatea coardei este $M A = \frac{A B}{2}$ .

Aici intervine o relație pe care o vei studia complet mai târziu, la teorema lui Pitagora, dar pe care o putem privi deja intuitiv: în triunghiul dreptunghic $O M A$ , ipotenuza $r$ este cea mai lungă latură, iar cateta $M A$ crește atunci când cateta $O M = d$ scade. Nu avem nevoie de formule complicate ca să înțelegem tendința:

Cu cât distanța $d$ de la centru la coardă este mai mică, cu atât jumătatea de coardă $M A$ este mai mare, deci coarda $A B$ este mai lungă.

Ca să vezi concret cum funcționează, imaginează-ți o coardă care alunecă. Când coarda trece chiar prin centru ( $d = 0$ ), ea devine diametru și are lungimea maximă $2 r$ — este cea mai lungă coardă posibilă. Pe măsură ce depărtăm coarda de centru (crește $d$ ), coarda se scurtează. Când $d$ ajunge egal cu raza $r$ , coarda se micșorează până devine un singur punct: dreapta atinge cercul într-un punct și devine tangentă, iar „coarda" are lungimea $0$ .

Formulăm concluzia ca pe o proprietate de comparare, foarte utilă în probleme:

Proprietate (comparare). Dintre două coarde ale aceluiași cerc (sau ale unor cercuri congruente):

coarda mai lungă este mai aproape de centru (are distanța mai mică);

coarda mai apropiată de centru este mai lungă.

Aceasta răspunde direct la întrebarea de tip „lungimea coardei și centrul": coardă lungă $\Leftrightarrow$ aproape de centru; coardă scurtă $\Leftrightarrow$ departe de centru. Diametrul, care trece prin centru, este campionul absolut al lungimii.

4. Coarde egal depărtate de centru: proprietate și reciprocă

Din legătura de mai sus obținem un caz special foarte curat. Dacă două coarde sunt egal depărtate de centru (au aceeași distanță $d$ până la $O$ ), atunci ele trebuie să aibă și aceeași lungime. Și invers.

Teoremă (proprietatea coardelor egal depărtate). Într-un cerc, două coarde egal depărtate de centru sunt congruente (au aceeași lungime).

Reciproca. Într-un cerc, două coarde congruente sunt egal depărtate de centru (au aceeași distanță până la centru).

Le putem scrie scurt astfel. Fie coardele $[A B]$ și $[C D]$ ale aceluiași cerc de centru $O$ , cu distanțele $O P = d_{1}$ (de la $O$ la $A B$ ) și $O Q = d_{2}$ (de la $O$ la $C D$ ). Atunci:

$d_{1} = d_{2} ⟺ A B = C D .$

Justificare (schiță de demonstrație). Ne folosim de triunghiurile dreptunghice construite mai sus. Fie $P$ mijlocul lui $[A B]$ și $Q$ mijlocul lui $[C D]$ (picioarele perpendicularelor din $O$ ). În triunghiurile dreptunghice $O P A$ și $O QC$ avem:

ipotenuzele egale: $O A = O C = r$ (raze);
catetele dinspre centru egale prin ipoteză: $O P = O Q = d$ .

Cele două triunghiuri dreptunghice au ipotenuza și o catetă respectiv egale, deci sunt congruente (cazul IC — ipotenuză-catetă). Din congruență rezultă $P A = QC$ . Dar $P A = \frac{A B}{2}$ și $QC = \frac{C D}{2}$ , deci $A B = C D$ . Astfel coardele egal depărtate de centru sunt congruente.

Pentru reciprocă citim același raționament „la întors": dacă $A B = C D$ , atunci jumătățile lor sunt egale, $P A = QC$ ; triunghiurile dreptunghice $O P A$ și $O QC$ au ipotenuzele de aceeași lungime $r$ și catetele $P A = QC$ , deci sunt congruente (cazul IC), de unde $O P = O Q$ . Coardele congruente sunt, așadar, egal depărtate de centru. $■$

Rezumatul de aur al lecției, pe care merită să-l ții minte ca pe o singură idee:

Într-un cerc, coarde egale $\Leftrightarrow$ egal depărtate de centru, iar în general coarda mai lungă este mai aproape de centru.

5. Cum se leagă cele două proprietăți

Poate te întrebi ce legătură au între ele „arcele dintre coarde paralele" și „coardele egal depărtate". Ambele pornesc din același instrument: perpendiculara din centru pe coardă și simetria pe care o creează. La prima proprietate, perpendiculara comună pe două coarde paralele devine axă de simetrie și egalează arcele. La a doua, aceeași perpendiculară măsoară distanța și, prin triunghiuri dreptunghice congruente, leagă distanța de lungime. Dacă reții că din centru desenăm mereu perpendiculara pe coardă, ai cheia pentru aproape toate problemele cu coarde. Vei folosi exact această idee și în lecția următoare, diametrul perpendicular pe o coardă.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Arce egale între coarde paralele

Într-un cerc, coardele $[A B]$ și $[C D]$ sunt paralele, cu $A, C$ de aceeași parte. Se știe că arcul mic $A C = 4 7^{\circ}$ . Cât măsoară arcul $B D$ ?

Rezolvare. Coardele fiind paralele, arcele cuprinse între ele sunt congruente: $A C \equiv B D \Rightarrow B D = 4 7^{\circ} .$ Răspunsul este direct: $B D = 4 7^{\circ}$ . Observă cât de repede se rezolvă odată ce recunoști configurația de coarde paralele.

Exemplul 2 — Trapez isoscel înscris

Coardele paralele $[A B]$ și $[C D]$ din exemplul anterior formează patrulaterul $A B D C$ . Arată că $A C = B D$ și spune ce fel de patrulater este $A B D C$ .

Rezolvare. La arce congruente corespund coarde congruente. Din $A C \equiv B D$ obținem coardele corespunzătoare egale: $A C = B D .$ Patrulaterul $A B D C$ are $A B ∥ C D$ (o pereche de laturi paralele) și laturile neparalele egale $A C = B D$ . Deci $A B D C$ este un trapez isoscel. Concluzie de reținut: orice trapez înscris într-un cerc este isoscel.

Exemplul 3 — Compararea a două coarde după distanță

Într-un cerc de centru $O$ , coarda $[M N]$ se află la distanța $3$ cm de centru, iar coarda $[P Q]$ la distanța $5$ cm de centru. Care coardă este mai lungă?

Rezolvare. Comparăm distanțele: $3 cm < 5 cm$ , deci coarda $[M N]$ este mai aproape de centru. Cu cât o coardă e mai aproape de centru, cu atât e mai lungă, prin urmare: $M N > P Q .$ Coarda $[M N]$ este mai lungă. (Nu am avut nevoie de raza cercului: doar comparăm distanțele.)

Exemplul 4 — Coarde egal depărtate

În cercul de centru $O$ , coardele $[A B]$ și $[C D]$ sunt egal depărtate de centru, ambele la $4$ cm. Se știe că $A B = 12$ cm. Cât este $C D$ ? Ce fel de triunghi este $O C D$ dacă, în plus, raza cercului este $52$ cm?

Rezolvare. Partea 1. Coardele egal depărtate de centru sunt congruente, deci $C D = A B = 12 cm .$ Partea 2. Fie $Q$ mijlocul lui $[C D]$ , $O Q ⊥ C D$ , $O Q = 4$ cm. Atunci $QC = \frac{C D}{2} = 6$ cm și $O C = r = 52$ cm. Verificăm cu triunghiul dreptunghic $O QC$ : $O Q^{2} + Q C^{2} = 4^{2} + 6^{2} = 16 + 36 = 52 = (52)^{2} = O C^{2} .$ Relația se verifică (este exact ce vei formaliza la teorema lui Pitagora). Triunghiul $O C D$ este isoscel, cu $O C = O D = 52$ cm (ambele sunt raze), iar înălțimea din $O$ cade în mijlocul bazei $[C D]$ .

Exemplul 5 — Aflarea lungimii unei coarde folosind distanța

Într-un cerc de rază $r = 13$ cm, o coardă $[A B]$ se află la distanța $d = 5$ cm de centru. Cât este lungimea coardei $A B$ ?

Rezolvare. Fie $M$ mijlocul coardei, $O M ⊥ A B$ , $O M = 5$ cm, $O A = r = 13$ cm. În triunghiul dreptunghic $O M A$ : $M A^{2} = O A^{2} - O M^{2} = 1 3^{2} - 5^{2} = 169 - 25 = 144 \Rightarrow M A = 12 cm .$ Coarda are dublul jumătății: $A B = 2 \cdot M A = 2 \cdot 12 = 24 cm .$ Deci $A B = 24$ cm. (Recunoști tripletul $5, 12, 13$ .)

Exemplul 6 — Distanța dintre două coarde paralele

Într-un cerc de rază $10$ cm, două coarde paralele au lungimile $16$ cm și $12$ cm și se află de aceeași parte a centrului. Care este distanța dintre cele două coarde?

Rezolvare. Aflăm distanța fiecărei coarde față de centru, folosind câte un triunghi dreptunghic (jumătate de coardă, distanță, rază).

Pentru coarda de $16$ cm: jumătatea este $8$ cm, deci $d_{1}^{2} = 1 0^{2} - 8^{2} = 100 - 64 = 36 \Rightarrow d_{1} = 6 cm .$ Pentru coarda de $12$ cm: jumătatea este $6$ cm, deci $d_{2}^{2} = 1 0^{2} - 6^{2} = 100 - 36 = 64 \Rightarrow d_{2} = 8 cm .$ Coardele fiind de aceeași parte a centrului, distanța dintre ele este diferența distanțelor: $d = d_{2} - d_{1} = 8 - 6 = 2 cm .$ Verificare de logică: coarda mai lungă ( $16$ cm) are distanța mai mică ( $6$ cm), exact cum spune proprietatea. Distanța dintre coarde este $2$ cm. (Dacă ar fi fost de o parte și de alta a centrului, distanța ar fi fost suma $d_{1} + d_{2} = 14$ cm.)

Să exersăm

Definește cu cuvintele tale ce înseamnă „distanța de la centru la o coardă" și cum se construiește pe figură.
Adevărat sau fals (cu motivare): „Perpendiculara dusă din centrul cercului pe o coardă trece prin mijlocul coardei."
Într-un cerc, coardele $[A B]$ și $[C D]$ sunt paralele, iar arcul $A C = 6 2^{\circ}$ . Cât este arcul $B D$ ?
Completează: „Cea mai lungă coardă dintr-un cerc este ______, iar distanța ei față de centru este ______."
Într-un cerc de centru $O$ , coarda $[E F]$ este la $2$ cm de centru, iar coarda $[G H]$ este la $7$ cm de centru. Care coardă este mai lungă și de ce?
Adevărat sau fals (cu motivare): „Dacă două coarde ale aceluiași cerc sunt congruente, atunci sunt egal depărtate de centru."
Într-un cerc, coardele paralele $[A B]$ și $[C D]$ formează patrulaterul $A B D C$ . Ce fel de patrulater este și de ce?
Într-un cerc de rază $17$ cm, o coardă se află la $8$ cm de centru. Cât este lungimea coardei?
O coardă de $24$ cm se află într-un cerc de rază $13$ cm. La ce distanță de centru se află coarda?
Două coarde ale aceluiași cerc sunt egal depărtate de centru, la câte $6$ cm. Prima are $16$ cm. Cât are a doua? Justifică.
Într-un cerc de rază $5$ cm, două coarde paralele de aceeași parte a centrului au lungimile $8$ cm și $6$ cm. Care este distanța dintre ele?
Adevărat sau fals (cu motivare): „O coardă de $10$ cm este întotdeauna mai aproape de centru decât o coardă de $8$ cm."
Un diametru al unui cerc are $26$ cm. O coardă a aceluiași cerc are $10$ cm. La ce distanță de centru se află coarda?
Coardele paralele $[A B]$ și $[C D]$ dintr-un cerc sunt situate de o parte și de alta a centrului. $A B = 30$ cm este la $8$ cm de centru, iar $C D = 18$ cm. Aflați raza cercului și distanța dintre cele două coarde.
Desenează un cerc și două coarde paralele. Trasează perpendiculara din centru pe fiecare și explică pe desen de ce cele două perpendiculare sunt de fapt aceeași dreaptă.
Problemă aplicată: pe un far în formă de arc de cerc (rază $2, 5$ m) sunt fixate două bare orizontale paralele, ambele la $1, 5$ m față de centrul cercului, dar de o parte și de alta. Arată că barele au aceeași lungime și calculează-o.
Într-un cerc de centru $O$ , coarda $[A B]$ are $16$ cm, iar raza este $10$ cm. Se cere: (a) distanța de la $O$ la $A B$ ; (b) o a doua coardă $[C D]$ , paralelă cu $[A B]$ și congruentă cu ea, unde se poate afla față de centru?
Provocare de raționament: două coarde $[A B]$ și $[C D]$ ale aceluiași cerc se intersectează astfel încât $O P = O Q$ (distanțele de la centru la ele sunt egale). Ce poți spune despre lungimile lor? Argumentează cu proprietatea potrivită.

Răspunsuri și explicații

Este lungimea segmentului perpendicular dus din centrul $O$ pe coardă. Se construiește ducând din $O$ perpendiculara pe coardă; piciorul perpendicularei este mijlocul coardei, iar lungimea segmentului $O$ –picior este distanța căutată. Este cea mai scurtă distanță de la centru la dreapta coardei.
Adevărat. Triunghiurile $O M A$ și $O M B$ (unde $O M ⊥ A B$ ) sunt dreptunghice în $M$ , au cateta $O M$ comună și ipotenuzele egale $O A = O B = r$ . Deci sunt congruente și $M A = M B$ : $M$ este mijlocul coardei.
$B D = 6 2^{\circ}$ . Arcele cuprinse între coarde paralele sunt congruente: $A C \equiv B D$ .
Cea mai lungă coardă este diametrul, iar distanța ei față de centru este $0$ (trece prin centru).
Coarda $[E F]$ este mai lungă, pentru că este mai aproape de centru ( $2 cm < 7 cm$ ). Cu cât o coardă e mai aproape de centru, cu atât e mai lungă.
Adevărat. Este reciproca proprietății coardelor egal depărtate: coarde congruente $\Rightarrow$ jumătăți egale $\Rightarrow$ triunghiuri dreptunghice congruente (cazul IC) $\Rightarrow$ distanțe egale față de centru.
Este un trapez isoscel. Are $A B ∥ C D$ și, din arcele congruente dintre coarde paralele, laturile neparalele egale $A C = B D$ . Un trapez cu laturile neparalele egale este isoscel.
Jumătatea coardei: $1 7^{2} - 8^{2} = 289 - 64 = 225 = 15$ cm. Coarda: $2 \cdot 15 = 30$ cm.
Jumătatea coardei este $12$ cm. Distanța: $1 3^{2} - 1 2^{2} = 169 - 144 = 25 = 5$ cm.
A doua coardă are tot $16$ cm. Coardele egal depărtate de centru sunt congruente.
Distanța fiecărei coarde față de centru: pentru $8$ cm, jumătate $4$ , $d_{1} = 25 - 16 = 3$ cm; pentru $6$ cm, jumătate $3$ , $d_{2} = 25 - 9 = 4$ cm. De aceeași parte a centrului, distanța dintre ele este $4 - 3 = 1$ cm.
Fals (dacă e vorba de cercuri diferite) — proprietatea „coarda mai lungă e mai aproape de centru" este valabilă doar în același cerc (sau cercuri congruente). În cercuri diferite, o coardă de $10$ cm poate fi mai departe de centru decât una de $8$ cm dintr-un cerc mult mai mare. Formularea absolută „întotdeauna" o face falsă. (În același cerc, afirmația ar fi adevărată.)
Raza este $26 : 2 = 13$ cm. Jumătatea coardei de $10$ cm este $5$ cm. Distanța: $1 3^{2} - 5^{2} = 169 - 25 = 144 = 12$ cm.
Pentru $A B = 30$ cm: jumătate $15$ , la $8$ cm de centru, deci $r = 1 5^{2} + 8^{2} = 225 + 64 = 289 = 17$ cm. Pentru $C D = 18$ cm: jumătate $9$ , distanța $1 7^{2} - 9^{2} = 289 - 81 = 208 = 413$ cm $\approx 14, 42$ cm. Fiind de o parte și de alta a centrului, distanța dintre coarde este suma: $8 + 413 \approx 8 + 14, 42 = 22, 42$ cm (adică $8 + 413$ cm). Raza $= 17$ cm.
Perpendiculara din centru pe fiecare coardă este perpendiculară pe direcția comună a coardelor paralele. Printr-un punct (centrul $O$ ) se poate duce o singură perpendiculară pe o direcție dată, deci cele două perpendiculare coincid: sunt aceeași dreaptă care trece prin $O$ și taie ambele coarde la $9 0^{\circ}$ . Desenul trebuie să arate o singură dreaptă prin $O$ , perpendiculară pe ambele coarde.
Barele sunt coarde ale cercului, ambele la $1, 5$ m de centru, deci egal depărtate de centru $\Rightarrow$ congruente. Lungimea: jumătate $= 2, 5^{2} - 1, 5^{2} = 6, 25 - 2, 25 = 4 = 2$ m; bara $= 2 \cdot 2 = 4$ m. Ambele au $4$ m.
(a) Jumătatea coardei $= 8$ cm; distanța $= 1 0^{2} - 8^{2} = 100 - 64 = 36 = 6$ cm. (b) $[C D]$ fiind congruentă cu $[A B]$ , este egal depărtată de centru, deci tot la $6$ cm de $O$ . Cum e paralelă și distinctă, se află simetric față de centru (de partea opusă lui $[A B]$ ), la $6$ cm de centru.
Sunt congruente: $A B = C D$ . Coardele egal depărtate de centru ( $O P = O Q$ ) sunt egale, conform proprietății coardelor egal depărtate de centru.

De reținut

Arce între coarde paralele: dacă $A B ∥ C D$ într-un cerc, atunci arcele cuprinse între ele sunt congruente: $A C \equiv B D$ ; în consecință $A C = B D$ (trapez isoscel înscris).
Distanța de la centru la coardă = perpendiculara din $O$ pe coardă; piciorul ei este mijlocul coardei.
Coarde egal depărtate de centru $\Leftrightarrow$ coarde congruente: $d_{1} = d_{2} ⟺ A B = C D$ (proprietate și reciprocă).
Comparare: în același cerc, coarda mai lungă este mai aproape de centru; diametrul (la distanță $0$ ) este cea mai lungă coardă, cu lungimea $2 r$ .
Instrument universal: triunghiul dreptunghic „jumătate de coardă – distanță – rază": $(\frac{coard a ˘}{2})^{2} + d^{2} = r^{2}$ .

Greșeli frecvente

Confuzia „coardă lungă = departe de centru". Este invers: coarda mai lungă este mai aproape de centru. Verifică mereu cu diametrul, care e cel mai lung și trece prin centru.
Aplicarea proprietății de comparare între cercuri diferite. „Coarda mai lungă e mai aproape de centru" este valabilă doar în același cerc sau în cercuri congruente. În cercuri de raze diferite regula nu se aplică direct.
Uitarea că distanța se măsoară pe perpendiculară. Distanța de la centru la coardă nu este orice segment de la $O$ la coardă, ci doar cel perpendicular (cel mai scurt). Fără perpendiculară, mijlocul coardei nu apare.
Confundarea „de aceeași parte" cu „de o parte și de alta". Pentru distanța dintre două coarde paralele: de aceeași parte a centrului se scad distanțele, de o parte și de alta se adună. Fă mereu un desen rapid.

Aplică acasă

Măsoară un capac rotund. Ia un capac de borcan sau o farfurie. Trasează pe o hârtie conturul, apoi desenează câteva coarde paralele. Măsoară cu rigla distanța fiecărei coarde până la centru și lungimea ei. Verifică: cea mai apropiată de centru este cea mai lungă?
Construiește un trapez isoscel din cerc. Cu compasul desenează un cerc, apoi trage două coarde paralele. Unește capetele și măsoară laturile înclinate — ar trebui să fie egale. Ai obținut un trapez isoscel înscris.
Provocare de estimare. Într-un cerc de rază $10$ cm (desenat cu compasul), încearcă să tragi o coardă care să fie exact la $6$ cm de centru. Măsoară-i lungimea și compară cu valoarea teoretică $16$ cm. Cât de aproape ai nimerit?

Pentru părinți și profesori

Această lecție întărește ideea că geometria cercului se construiește dintr-un singur gest esențial: perpendiculara din centru pe coardă. Ajutați copilul să deseneze mult — un compas și o riglă valorează cât zece explicații. Puneți întrebări de verificare precum: „Care e cea mai lungă coardă dintr-un cerc și de ce?”, „Dacă îndepărtez o coardă de centru, ce se întâmplă cu lungimea ei?”, „De ce arcele dintre coarde paralele sunt egale?”. Un semn clar că elevul a înțeles este când poate justifica, nu doar enunța: să spună de ce coardele egal depărtate sunt egale (triunghiuri dreptunghice congruente, cazul ipotenuză-catetă) și să recunoască pe figură trapezul isoscel format de coarde paralele. Dacă apar dificultăți la calcule, reamintiți relația vizuală din triunghiul dreptunghic (jumătate de coardă, distanță, rază); formalizarea completă vine la teorema lui Pitagora.

Întrebări frecvente

De ce arcele cuprinse între două coarde paralele sunt congruente? Pentru că perpendiculara comună dusă din centru pe cele două coarde paralele este o axă de simetrie a cercului. Ea „oglindește” un capăt al unei coarde în celălalt și duce un arc dintre coarde exact peste celălalt arc, deci cele două arce au aceeași măsură.

Ce înseamnă „coarde egal depărtate de centru”? Înseamnă că cele două coarde au aceeași distanță (aceeași perpendiculară dusă din centru) până la centrul cercului. Într-un cerc, coardele egal depărtate de centru sunt întotdeauna congruente, iar reciproc, coardele congruente sunt egal depărtate de centru.

Care coardă este mai aproape de centru: cea lungă sau cea scurtă? Coarda mai lungă este mai aproape de centru. Cu cât o coardă se apropie de centru, cu atât devine mai lungă; cea mai lungă coardă posibilă este diametrul, care trece chiar prin centru (distanță $0$ ).

Cum calculez lungimea unei coarde dacă știu raza și distanța până la centru? Formezi triunghiul dreptunghic cu catetele „distanța $d$ ” și „jumătatea coardei”, și ipotenuza „raza $r$ ”. Jumătatea coardei este $r^{2} - d^{2}$ , deci lungimea coardei este $2 r^{2} - d^{2}$ .

De ce trapezul format de două coarde paralele într-un cerc este isoscel? Fiindcă arcele dintre coardele paralele sunt congruente, iar la arce congruente corespund coarde congruente. Astfel laturile neparalele ale trapezului sunt egale, ceea ce înseamnă exact că trapezul este isoscel.

Distanța de la centru la o coardă se măsoară oricum? Nu. Se măsoară doar pe perpendiculara dusă din centru pe coardă, adică pe cel mai scurt segment de la centru la coardă. Piciorul acestei perpendiculare este chiar mijlocul coardei.

Cum aflu distanța dintre două coarde paralele? Calculezi mai întâi distanța fiecărei coarde până la centru. Dacă cele două coarde sunt de aceeași parte a centrului, scazi distanțele; dacă sunt de o parte și de alta a centrului, le aduni.

Proprietatea „coarda mai lungă e mai aproape de centru” funcționează între cercuri diferite? Nu direct. Regula este valabilă doar în același cerc sau în cercuri congruente (de aceeași rază). În cercuri de raze diferite, compararea lungimilor nu mai spune nimic sigur despre distanța până la centru.