Segmente proporționale

Când te uiți la o hartă, la planul unui apartament sau la o fotografie mărită pe telefon, în spatele imaginii se ascunde o idee matematică simplă și puternică: rapoartele dintre lungimi se păstrează. Un perete de 5 metri și unul de 3 metri, desenați pe plan la 5 cm și 3 cm, păstrează același raport. Această lecție despre segmente proporționale este prima cărămidă din capitolul asemănării triunghiurilor și îți deschide drumul spre teorema lui Thales și spre triunghiuri asemenea. Hai să înțelegem temeinic ce înseamnă ca două perechi de segmente să „fie la fel de lungi una față de alta".

Ce vei învăța

Vei ști să calculezi raportul a două segmente exprimate în aceeași unitate de măsură.
Vei ști să scrii și să citești o proporție de forma $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ și să aplici proprietatea fundamentală a proporțiilor.
Vei ști să stabilești, prin calcul, dacă patru segmente date sunt proporționale.
Vei ști să folosești proporțiile pentru a afla lungimea unui segment necunoscut.
Vei ști să lucrezi cu un șir de rapoarte egale format din perechi de segmente și să înțelegi legătura cu unitatea de măsură comună.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este raportul a două segmente

Pornim de la ceva cunoscut din anii trecuți: raportul a două numere. Raportul numerelor $6$ și $2$ este $\frac{6}{2} = 3$ , adică ne spune „de câte ori intră $2$ în $6$ ".

La geometrie, un segment are o lungime, iar lungimea este un număr. Deci putem compara două segmente exact ca pe două numere.

Definiție. Fie două segmente $[A B]$ și $[C D]$ , ale căror lungimi $A B$ și $C D$ sunt exprimate în aceeași unitate de măsură. Se numește raportul segmentelor $[A B]$ și $[C D]$ numărul $\frac{A B}{C D} .$

Atenție la o convenție de scriere folosită la gimnaziu: $[A B]$ (cu paranteze pătrate) înseamnă segmentul, iar $A B$ (fără paranteze) înseamnă lungimea acelui segment, adică un număr. Când scriem un raport, împărțim numere, deci folosim $A B$ și $C D$ .

Exemplu simplu. Dacă $A B = 8$ cm și $C D = 4$ cm, atunci raportul lor este $\frac{A B}{C D} = \frac{8}{4} = 2.$ Interpretare: segmentul $[A B]$ este de $2$ ori mai lung decât $[C D]$ .

2. De ce e obligatorie „aceeași unitate de măsură"

Aceasta este cea mai importantă regulă practică din toată lecția, așa că insistăm.

Un raport de segmente este un număr fără unitate de măsură (fără cm, fără m). El arată de câte ori un segment este mai mare decât celălalt. Ca să obții numărul corect, cele două lungimi trebuie scrise în aceeași unitate.

Să vedem ce se întâmplă dacă nu respecți regula. Fie $A B = 2$ m și $C D = 50$ cm. Dacă, din grabă, ai scrie $\frac{A B}{C D} = \frac{2}{50} = \frac{1}{25} (GRE Ș IT!),$ ai obține un rezultat fals, pentru că ai amestecat metri cu centimetri.

Corect este să aduci ambele lungimi la aceeași unitate. Transformăm metrii în centimetri: $2$ m $= 200$ cm. Atunci $\frac{A B}{C D} = \frac{200}{50} = 4.$ Adică $[A B]$ este de $4$ ori mai lung decât $[C D]$ — ceea ce are sens, pentru că $2$ m înseamnă chiar $4$ bucăți de câte $50$ cm.

Reține analogia: e ca și cum ai compara prețuri. Nu poți spune „ce e mai scump, $5$ sau $8$ ?" fără să știi dacă vorbești despre lei sau euro. La fel, nu poți compara $2$ cu $50$ dacă unul e în metri și celălalt în centimetri.

Un lucru frumos: valoarea raportului nu depinde de unitatea aleasă, atâta timp cât e aceeași pentru amândouă. Dacă exprimi ambele segmente în milimetri, obții $\frac{2000}{500} = 4$ ; în metri, $\frac{2}{0 , 5} = 4$ . Mereu $4$ . Raportul „nu are unitate" tocmai pentru că unitățile se simplifică.

3. Legătura cu unitatea de măsură comună

Ideea de mai sus se poate rafina. Uneori două segmente au o unitate de măsură comună: un al treilea segment (o „unitate") care intră de un număr întreg de ori în fiecare.

De exemplu, dacă $A B = 15$ cm și $C D = 9$ cm, observăm că un segment-unitate de $3$ cm intră exact de $5$ ori în $[A B]$ (căci $15 = 5 \cdot 3$ ) și exact de $3$ ori în $[C D]$ (căci $9 = 3 \cdot 3$ ). Atunci $\frac{A B}{C D} = \frac{5 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{5}{3} .$ Numerele $5$ și $3$ ne spun câte „unități" are fiecare segment. Raportul $\frac{5}{3}$ este deja fracție ireductibilă, deci am ales cea mai potrivită unitate comună (cea mai mare — aici $3$ cm, care este chiar cel mai mare divizor comun al lungimilor).

Această idee — „câte unități are fiecare segment" — este exact ceea ce transformă geometria în aritmetică și este motorul întregii teme despre proporționalitate. Când raportul a două segmente este un număr rațional (o fracție de numere întregi), segmentele au o unitate comună; ele se numesc comensurabile. Nu toate segmentele au această proprietate (de exemplu diagonala și latura unui pătrat au raport $2$ , un număr irațional — vezi lecția despre numere iraționale), dar în problemele obișnuite lucrăm cu segmente comensurabile.

Simplificarea raportului. Ca la orice fracție, un raport de segmente se simplifică. $\frac{15}{9} = \frac{5}{3}$ . Forma simplificată e cea mai ușor de citit: „ $[A B]$ e la fel de mare față de $[C D]$ cum e $5$ față de $3$ ".

Cum citim un raport. Un raport se poate scrie sub mai multe forme, toate corecte: ca fracție $\frac{5}{3}$ , ca împărțire $5 : 3$ (se citește „cinci la trei") sau ca număr zecimal $\approx 1, 67$ . Toate spun același lucru. Când raportul este supraunitar (mai mare decât $1$ , ca $\frac{5}{3}$ ), primul segment este mai lung; când este subunitar (mai mic decât $1$ , ca $\frac{3}{5}$ ), primul segment este mai scurt; când raportul este exact $1$ , segmentele sunt congruente (au aceeași lungime). Această observație simplă te ajută să-ți verifici rapid rezultatul: dacă știi din desen că un segment e mai lung, raportul lui față de celălalt trebuie să fie supraunitar.

4. Ce înseamnă „segmente proporționale"

Acum ajungem la inima lecției. Ai două perechi de segmente:

prima pereche: $[A B]$ și $[C D]$ ;
a doua pereche: $[M N]$ și $[P Q]$ .

Definiție. Segmentele $[A B]$ , $[C D]$ , $[M N]$ , $[P Q]$ (în această ordine) se numesc proporționale dacă raportul primei perechi este egal cu raportul celei de-a doua perechi: $\frac{A B}{C D} = \frac{M N}{P Q} .$

Cu alte cuvinte, patru segmente sunt proporționale dacă primele două sunt „la fel de lungi unul față de altul" ca ultimele două.

Exemplu concret. Fie $A B = 6$ cm, $C D = 4$ cm, $M N = 9$ cm, $P Q = 6$ cm. Verificăm: $\frac{A B}{C D} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}, \frac{M N}{P Q} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} .$ Cele două rapoarte sunt egale, deci segmentele sunt proporționale. Deși $[A B]$ nu are aceeași lungime cu $[M N]$ , „raportul intern" al fiecărei perechi este identic ( $3 : 2$ ).

5. Proporția și proprietatea ei fundamentală

O egalitate de două rapoarte, cum e $\frac{A B}{C D} = \frac{M N}{P Q}$ , se numește proporție. Ai întâlnit proporțiile încă din clasa a VI-a, la numere; aici le folosim pe lungimi de segmente, dar regulile sunt exact aceleași.

Într-o proporție $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ (cu $b \neq = 0$ , $d \neq = 0$ ):

$a$ și $d$ se numesc extremi (termenii de la „margini");
$b$ și $c$ se numesc mezi (termenii „din mijloc").

Proprietatea fundamentală a proporțiilor. Într-o proporție, produsul extremilor este egal cu produsul mezilor: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} ⟺ a \cdot d = b \cdot c .$

Aceasta este unealta noastră principală. Ea transformă o egalitate de fracții (mai greu de mânuit) într-o egalitate de produse (foarte ușor de verificat sau de rezolvat). Semnul $⟺$ arată că funcționează în ambele sensuri: din proporție obții egalitatea de produse, iar din egalitatea de produse (cu numere nenule) reconstruiești proporția.

De ce e adevărată? E simplu: dacă înmulțești ambele fracții cu $b \cdot d$ , obții $\frac{a}{b} \cdot b d = \frac{c}{d} \cdot b d$ , adică $a \cdot d = c \cdot b$ . Am „scăpat" de numitori.

Cum ne ajută la segmente. Ca să verificăm dacă patru segmente $[A B]$ , $[C D]$ , $[M N]$ , $[P Q]$ sunt proporționale, adică dacă $\frac{A B}{C D} = \frac{M N}{P Q}$ , nu suntem obligați să simplificăm ambele fracții. E de multe ori mai rapid să verificăm produsul extremilor = produsul mezilor: $A B \cdot P Q = ? C D \cdot M N .$ Dacă cele două produse sunt egale, segmentele sunt proporționale; dacă nu, nu sunt.

Reia exemplul de la punctul 4: $A B = 6$ , $C D = 4$ , $M N = 9$ , $P Q = 6$ . Produsul extremilor: $A B \cdot P Q = 6 \cdot 6 = 36$ . Produsul mezilor: $C D \cdot M N = 4 \cdot 9 = 36$ . Egale $\Rightarrow$ proporționale. Am ajuns la același răspuns, dar fără fracții.

6. Aflarea unui segment necunoscut dintr-o proporție

Puterea proporțiilor se vede cel mai bine când una dintre lungimi lipsește. Fie proporția $\frac{A B}{C D} = \frac{M N}{P Q},$ în care cunoaștem trei dintre lungimi și vrem a patra. Folosim proprietatea fundamentală și scoatem necunoscuta.

Exemplu. Se dau $A B = 8$ cm, $C D = 12$ cm, $M N = 10$ cm, iar $P Q$ este necunoscut. Segmentele sunt proporționale. Cât este $P Q$ ?

Scriem proporția și aplicăm proprietatea fundamentală: $\frac{8}{12} = \frac{10}{P Q} \Rightarrow 8 \cdot P Q = 12 \cdot 10 \Rightarrow 8 \cdot P Q = 120 \Rightarrow P Q = \frac{120}{8} = 15 cm .$

Verificare rapidă: $\frac{8}{12} = \frac{2}{3}$ și $\frac{10}{15} = \frac{2}{3}$ . Corect.

Vei folosi exact acest mecanism în lecțiile următoare, la teorema lui Thales și la împărțirea unui segment în părți proporționale.

Un truc de calcul: „înmulțirea în cruce". Mulți elevi rețin proprietatea fundamentală sub numele de „înmulțire în cruce": într-o proporție $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ , înmulțești pe diagonală — $a$ cu $d$ și $b$ cu $c$ — și pui semnul egal între produse. Vizual, trasezi două săgeți care se încrucișează (de aici numele). Este exact aceeași regulă, doar reformulată ca să o ții mai ușor minte. Când ai o necunoscută, „înmulțirea în cruce" îți dă imediat o ecuație de gradul I, pe care o rezolvi ca în lecția despre ecuația de forma ax + b = 0.

7. Un șir de rapoarte egale format din perechi de segmente

Uneori nu avem doar două perechi, ci mai multe perechi de segmente care au toate același raport. Atunci scriem un șir de rapoarte egale: $\frac{a _{1}}{b _{1}} = \frac{a _{2}}{b _{2}} = \frac{a _{3}}{b _{3}} = \dots = k .$ Numărul $k$ (comun tuturor) se numește uneori raport de proporționalitate sau coeficient de proporționalitate.

Exemplu. Perechile de segmente au lungimile: $(2, 3)$ , $(4, 6)$ , $(10, 15)$ (în cm). Atunci $\frac{2}{3} = \frac{4}{6} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3} .$ Toate rapoartele sunt egale cu $\frac{2}{3}$ , deci avem un șir de rapoarte egale.

Pentru șirurile de rapoarte egale există o proprietate foarte utilă, pe care ai învățat-o la numere și care se aplică identic la segmente.

Proprietatea șirului de rapoarte egale (proprietatea derivată). Dacă $\frac{a _{1}}{b _{1}} = \frac{a _{2}}{b _{2}} = \dots = \frac{a _{n}}{b _{n}},$ atunci acest raport comun este egal și cu raportul dintre suma numărătorilor și suma numitorilor: $\frac{a _{1}}{b _{1}} = \frac{a _{2}}{b _{2}} = \dots = \frac{a _{n}}{b _{n}} = \frac{a _{1} + a _{2} + \dots + a _{n}}{b _{1} + b _{2} + \dots + b _{n}} .$

La exemplul de mai sus: $\frac{2 + 4 + 10}{3 + 6 + 15} = \frac{16}{24} = \frac{2}{3}$ . Se confirmă.

Această proprietate te scapă de multe calcule când ai de împărțit o lungime totală în bucăți proporționale cu niște numere date. Vei relua acest instrument în detaliu la lecția împărțirea unui segment în părți proporționale.

8. Rezumatul metodei de lucru

Când primești o problemă cu segmente proporționale, mergi pe pași:

Aduci toate lungimile la aceeași unitate de măsură. (Cel mai des greșit pas dacă îl sari!)
Scrii raportul cerut ca fracție și, dacă vrei, îl simplifici.
Pentru a verifica dacă patru segmente sunt proporționale, compari cele două rapoarte sau folosești produsul extremilor = produsul mezilor.
Pentru a afla un segment necunoscut, scrii proporția, aplici proprietatea fundamentală și rezolvi ecuația.
La mai multe perechi cu același raport, folosești șirul de rapoarte egale.

Ai acum toate uneltele. Trecem la exemple lucrate complet.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Raportul, cu unități diferite

Se dau segmentele $[A B]$ cu $A B = 1, 2$ m și $[C D]$ cu $C D = 30$ cm. Calculează raportul $\frac{A B}{C D}$ .

Rezolvare. Aducem la aceeași unitate. Transformăm metrii în centimetri: $A B = 1, 2 m = 120 cm .$ Acum ambele sunt în centimetri: $\frac{A B}{C D} = \frac{120}{30} = 4.$ Răspuns: $\frac{A B}{C D} = 4$ . Segmentul $[A B]$ este de $4$ ori mai lung decât $[C D]$ .

Exemplul 2 — Sunt segmentele proporționale?

Verifică dacă segmentele de lungimi $A B = 14$ cm, $C D = 21$ cm, $M N = 10$ cm, $P Q = 15$ cm sunt proporționale (în această ordine).

Rezolvare. Trebuie să vedem dacă $\frac{A B}{C D} = \frac{M N}{P Q}$ , adică $\frac{14}{21} = ? \frac{10}{15}$ .

Metoda 1 (simplificare): $\frac{14}{21} = \frac{2}{3}, \frac{10}{15} = \frac{2}{3} .$ Rapoartele sunt egale.

Metoda 2 (produsul extremilor = produsul mezilor): $A B \cdot P Q = 14 \cdot 15 = 210, C D \cdot M N = 21 \cdot 10 = 210.$ Produsele sunt egale.

Răspuns: Da, segmentele sunt proporționale, cu raportul comun $\frac{2}{3}$ .

Exemplul 3 — Aflarea unui segment necunoscut

Segmentele $[A B]$ , $[C D]$ , $[E F]$ , $[G H]$ sunt proporționale (în această ordine). Se știe că $A B = 9$ cm, $C D = 6$ cm și $E F = 12$ cm. Află $G H$ .

Rezolvare. Din definiție: $\frac{A B}{C D} = \frac{E F}{G H} \Rightarrow \frac{9}{6} = \frac{12}{G H} .$ Aplicăm proprietatea fundamentală (produsul extremilor = produsul mezilor): $9 \cdot G H = 6 \cdot 12 \Rightarrow 9 \cdot G H = 72 \Rightarrow G H = \frac{72}{9} = 8 cm .$ Verificare: $\frac{9}{6} = \frac{3}{2}$ și $\frac{12}{8} = \frac{3}{2}$ . Corect.

Răspuns: $G H = 8$ cm.

Exemplul 4 — Ordinea contează

Se dau patru segmente cu lungimile $3$ cm, $5$ cm, $9$ cm, $15$ cm. Poți să le așezi într-o ordine în care să fie proporționale? Sunt proporționale în ordinea dată?

Rezolvare. În ordinea dată ( $3, 5, 9, 15$ ) verificăm $\frac{3}{5} = ? \frac{9}{15}$ : $\frac{3}{5} = \frac{3}{5}, \frac{9}{15} = \frac{3}{5} .$ Sunt egale, deci da, în ordinea dată segmentele sunt proporționale ( $3 : 5 = 9 : 15$ ).

Observație despre ordine: dacă am fi luat ordinea $3, 9, 5, 15$ , am fi verificat $\frac{3}{9} = ? \frac{5}{15}$ , adică $\frac{1}{3} = \frac{1}{3}$ — tot proporționale, dar cu alt raport. În schimb, ordinea $3, 5, 15, 9$ dă $\frac{3}{5} = ? \frac{15}{9} = \frac{5}{3}$ , iar $\frac{3}{5} \neq = \frac{5}{3}$ , deci nu sunt proporționale în acea ordine.

Răspuns: În ordinea $3, 5, 9, 15$ segmentele sunt proporționale (raport $3 : 5$ ); ordinea în care le scrii este esențială.

Exemplul 5 — Șir de rapoarte egale

Trei perechi de segmente au lungimile (în cm): $(x, 8)$ , $(15, 24)$ și $(35, 56)$ . Se știe că cele trei perechi formează un șir de rapoarte egale. Află $x$ și verifică proprietatea sumei.

Rezolvare. Avem $\frac{x}{8} = \frac{15}{24} = \frac{35}{56} .$ Simplificăm rapoartele cunoscute: $\frac{15}{24} = \frac{5}{8}$ și $\frac{35}{56} = \frac{5}{8}$ . Deci raportul comun este $\frac{5}{8}$ .

Atunci $\frac{x}{8} = \frac{5}{8}$ , de unde $x = 5$ cm.

Verificăm proprietatea șirului de rapoarte egale cu suma: $\frac{x + 15 + 35}{8 + 24 + 56} = \frac{5 + 15 + 35}{8 + 24 + 56} = \frac{55}{88} = \frac{5}{8} .$ Se confirmă raportul comun $\frac{5}{8}$ .

Răspuns: $x = 5$ cm.

Exemplul 6 — Problemă aplicată (plan la scară)

Pe planul unei case, doi pereți au pe hârtie lungimile $4$ cm și $10$ cm. În realitate, primul perete are $3$ m. Folosind proporționalitatea, află lungimea reală a celui de-al doilea perete.

Rezolvare. Pe un plan la scară, raportul lungimilor de pe hârtie este egal cu raportul lungimilor reale (proporționalitate). Notăm cu $L$ lungimea reală a celui de-al doilea perete. Atunci $\frac{4}{10} = \frac{3}{L} .$ Grijă la unități: lungimile reale sunt amândouă în metri, deci raportul lor e corect. Aplicăm proprietatea fundamentală: $4 \cdot L = 10 \cdot 3 \Rightarrow 4 L = 30 \Rightarrow L = \frac{30}{4} = 7, 5 m .$ Verificare: $\frac{4}{10} = \frac{2}{5} = 0, 4$ și $\frac{3}{7 , 5} = 0, 4$ . Corect.

Răspuns: Al doilea perete are în realitate $7, 5$ m.

Să exersăm

Rezolvă exercițiile în ordine; primele sunt de încălzire, ultimele cer mai multă gândire. Notează lucrul cu grijă, mai ales aducerea la aceeași unitate de măsură.

1. Calculează raportul $\frac{A B}{C D}$ dacă $A B = 12$ cm și $C D = 8$ cm. Simplifică rezultatul.

2. Calculează raportul $\frac{M N}{P Q}$ dacă $M N = 6$ cm și $P Q = 15$ cm.

3. Se dau $A B = 2$ m și $C D = 40$ cm. Calculează $\frac{A B}{C D}$ .

4. Se dau $E F = 750$ mm și $G H = 1, 5$ m. Calculează $\frac{E F}{G H}$ .

5. Adevărat sau fals (cu justificare): raportul a două segmente se poate schimba dacă exprimăm ambele segmente în milimetri în loc de centimetri.

6. Verifică prin calcul dacă segmentele $A B = 10$ cm, $C D = 15$ cm, $M N = 8$ cm, $P Q = 12$ cm sunt proporționale (în această ordine).

7. Verifică dacă segmentele de lungimi $7$ cm, $9$ cm, $21$ cm, $28$ cm sunt proporționale în ordinea dată.

8. Segmentele $[A B]$ , $[C D]$ , $[M N]$ , $[P Q]$ sunt proporționale. Se dau $A B = 15$ , $C D = 9$ , $M N = 20$ (în cm). Află $P Q$ .

9. Segmentele $[A B]$ , $[C D]$ , $[E F]$ , $[G H]$ sunt proporționale. Se dau $C D = 14$ cm, $E F = 6$ cm, $G H = 21$ cm. Află $A B$ .

10. Într-o proporție $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ , produsul extremilor este $84$ . Cât este produsul mezilor? Justifică.

11. Segmentele de lungimi $x$ , $10$ , $12$ , $15$ (în cm) sunt proporționale în această ordine. Află $x$ .

12. Se dau perechile de segmente $(6, 10)$ , $(9, 15)$ , $(21, y)$ care formează un șir de rapoarte egale. Află $y$ .

13. Adevărat sau fals (cu justificare): dacă $\frac{A B}{C D} = \frac{M N}{P Q}$ , atunci și $\frac{A B}{M N} = \frac{C D}{P Q}$ .

14. Segmentele $[A B]$ și $[C D]$ au $A B = 45$ cm și $C D = 27$ cm. Găsește cea mai mare unitate de măsură comună (segmentul-unitate) care intră de un număr întreg de ori în fiecare și scrie raportul $\frac{A B}{C D}$ ca fracție ireductibilă, arătând câte unități are fiecare segment.

15. Un șir de rapoarte egale este $\frac{a}{4} = \frac{b}{6} = \frac{c}{10}$ , unde $a$ , $b$ , $c$ sunt lungimi (în cm) și $a + b + c = 40$ cm. Folosind proprietatea sumei, află $a$ , $b$ și $c$ .

16. Pe o hartă la scară, distanța dintre două orașe este reprezentată prin $8$ cm, iar distanța reală este $200$ km. O altă distanță reală, de $350$ km, prin câți cm este reprezentată pe aceeași hartă? (Folosește proporționalitatea.)

17. Segmentul $[A B]$ este împărțit de un punct $M$ în două părți: $A M = 8$ cm și $M B = 12$ cm. Calculează rapoartele $\frac{A M}{M B}$ și $\frac{A M}{A B}$ .

18. Punctele $M$ și $N$ sunt pe segmentul $[A B]$ , cu $A M = 4$ cm, $M N = 6$ cm, $N B = 9$ cm. Perechile $(A M, M N)$ și $(M N, N B)$ au același raport? Verifică prin calcul.

19. Raportul a două segmente $[A B]$ și $[C D]$ este $\frac{A B}{C D} = \frac{7}{4}$ , iar $C D = 12$ cm. Află lungimea segmentului $[A B]$ .

20. Două segmente au lungimile în raportul $3 : 8$ , iar diferența lungimilor lor este $20$ cm. Află lungimea fiecărui segment. (Indicație: scrie lungimile ca $3 k$ și $8 k$ .)

Răspunsuri și explicații

1. $\frac{A B}{C D} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$ . (Simplificăm cu $4$ .)

2. $\frac{M N}{P Q} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$ . (Simplificăm cu $3$ .)

3. Aducem la cm: $2$ m $= 200$ cm. $\frac{A B}{C D} = \frac{200}{40} = 5$ .

4. Aducem la mm: $1, 5$ m $= 1500$ mm. $\frac{E F}{G H} = \frac{750}{1500} = \frac{1}{2}$ .

5. Fals. Raportul nu depinde de unitatea aleasă, atâta timp cât e aceeași pentru ambele segmente. Dacă înmulțești ambele lungimi cu $10$ (trecând de la cm la mm), factorul $10$ se simplifică: $\frac{10 \cdot A B}{10 \cdot C D} = \frac{A B}{C D}$ . Raportul rămâne același.

6. $\frac{10}{15} = \frac{2}{3}$ , iar $\frac{8}{12} = \frac{2}{3}$ . Rapoartele sunt egale, deci sunt proporționale. (Verificare cu produse: $10 \cdot 12 = 120$ și $15 \cdot 8 = 120$ .)

7. Verificăm $\frac{7}{9} = ? \frac{21}{28}$ . Produsul extremilor: $7 \cdot 28 = 196$ ; produsul mezilor: $9 \cdot 21 = 189$ . $196 \neq = 189$ , deci nu sunt proporționale.

8. $\frac{15}{9} = \frac{20}{P Q} \Rightarrow 15 \cdot P Q = 9 \cdot 20 = 180 \Rightarrow P Q = \frac{180}{15} = 12$ cm.

9. $\frac{A B}{14} = \frac{6}{21}$ . Cum $\frac{6}{21} = \frac{2}{7}$ , avem $\frac{A B}{14} = \frac{2}{7} \Rightarrow 7 \cdot A B = 2 \cdot 14 = 28 \Rightarrow A B = 4$ cm. (Sau direct: $A B \cdot 21 = 14 \cdot 6 = 84 \Rightarrow A B = 4$ .)

10. Produsul mezilor este tot $84$ . Conform proprietății fundamentale a proporțiilor, produsul extremilor este egal cu produsul mezilor.

11. $\frac{x}{10} = \frac{12}{15}$ . Cum $\frac{12}{15} = \frac{4}{5}$ , avem $\frac{x}{10} = \frac{4}{5} \Rightarrow 5 x = 40 \Rightarrow x = 8$ cm. (Verificare cu produse: $x \cdot 15 = 10 \cdot 12 = 120 \Rightarrow x = 8$ .)

12. Raportul comun: $\frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ (și $\frac{9}{15} = \frac{3}{5}$ , se confirmă). Atunci $\frac{21}{y} = \frac{3}{5} \Rightarrow 3 y = 21 \cdot 5 = 105 \Rightarrow y = 35$ cm.

13. Adevărat. Din $\frac{A B}{C D} = \frac{M N}{P Q}$ , proprietatea fundamentală dă $A B \cdot P Q = C D \cdot M N$ . Aceeași egalitate de produse se poate rescrie ca proporția $\frac{A B}{M N} = \frac{C D}{P Q}$ (extremii sunt $A B$ și $P Q$ , mezii $M N$ și $C D$ — același produs). Această rescriere se numește permutarea mezilor. Exemplu: $\frac{6}{4} = \frac{9}{6}$ dă și $\frac{6}{9} = \frac{4}{6}$ (ambele $= \frac{2}{3}$ ).

14. Cel mai mare divizor comun al lui $45$ și $27$ este $9$ . Segmentul-unitate de $9$ cm intră de $5$ ori în $[A B]$ ( $45 = 5 \cdot 9$ ) și de $3$ ori în $[C D]$ ( $27 = 3 \cdot 9$ ). Deci $\frac{A B}{C D} = \frac{5 \cdot 9}{3 \cdot 9} = \frac{5}{3}$ (ireductibilă).

15. Din proprietatea șirului de rapoarte egale: $\frac{a}{4} = \frac{b}{6} = \frac{c}{10} = \frac{a + b + c}{4 + 6 + 10} = \frac{40}{20} = 2.$ Deci $a = 4 \cdot 2 = 8$ cm, $b = 6 \cdot 2 = 12$ cm, $c = 10 \cdot 2 = 20$ cm. (Verificare: $8 + 12 + 20 = 40$ .)

16. $\frac{8}{200} = \frac{d}{350}$ , unde $d$ e distanța pe hartă (în cm) căutată. Atunci $200 \cdot d = 8 \cdot 350 = 2800 \Rightarrow d = \frac{2800}{200} = 14$ cm.

17. $A B = A M + M B = 8 + 12 = 20$ cm. Deci $\frac{A M}{M B} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$ și $\frac{A M}{A B} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$ .

18. $\frac{A M}{M N} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ , iar $\frac{M N}{N B} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ . Rapoartele sunt egale ( $= \frac{2}{3}$ ), deci da, perechile au același raport (segmentele $A M$ , $M N$ , $M N$ , $N B$ sunt proporționale în această ordine).

19. Din $\frac{A B}{12} = \frac{7}{4}$ obținem $4 \cdot A B = 7 \cdot 12 = 84$ , deci $A B = \frac{84}{4} = 21$ cm. (Verificare: $\frac{21}{12} = \frac{7}{4}$ .)

20. Scriem lungimile ca $3 k$ și $8 k$ (cu $k > 0$ ). Diferența: $8 k - 3 k = 5 k = 20$ , deci $k = 4$ cm. Atunci segmentele au $3 k = 12$ cm și $8 k = 32$ cm. (Verificare: raportul $\frac{12}{32} = \frac{3}{8}$ și diferența $32 - 12 = 20$ cm.)

De reținut

Raportul a două segmente $[A B]$ și $[C D]$ este numărul $\frac{A B}{C D}$ , calculat cu ambele lungimi în aceeași unitate de măsură; raportul nu are unitate.
Patru segmente $[A B]$ , $[C D]$ , $[M N]$ , $[P Q]$ sunt proporționale dacă $\frac{A B}{C D} = \frac{M N}{P Q}$ .
Proprietatea fundamentală a proporțiilor: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow a \cdot d = b \cdot c$ (produsul extremilor = produsul mezilor). Cu ea afli orice segment necunoscut.
Într-un șir de rapoarte egale, raportul comun este egal și cu raportul dintre suma numărătorilor și suma numitorilor.
Dacă raportul a două segmente este o fracție de numere întregi, segmentele au o unitate de măsură comună (cel mai bine cea dată de c.m.m.d.c. al lungimilor).

Greșeli frecvente

Uiți să aduci la aceeași unitate. $\frac{2 m}{50 cm}$ nu este $\frac{2}{50}$ ! Transformă întâi: $2$ m $= 200$ cm, deci raportul este $\frac{200}{50} = 4$ . Verifică mereu unitățile înainte de a împărți.
Confuzi extremii cu mezii. În $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ , extremii sunt $a$ și $d$ (de la margini), mezii sunt $b$ și $c$ (din mijloc). Produsul extremilor egalează produsul mezilor: $a \cdot d = b \cdot c$ , nu $a \cdot c = b \cdot d$ .
Schimbi ordinea segmentelor. Proporționalitatea depinde de ordine. $\frac{A B}{C D} = \frac{M N}{P Q}$ nu este același lucru cu $\frac{A B}{C D} = \frac{P Q}{M N}$ . Respectă exact ordinea din enunț.
Pui unitate la raport. Rezultatul unui raport de segmente este un număr pur (de exemplu $4$ sau $\frac{3}{2}$ ), fără cm sau m. Dacă îți apare o unitate în raport, e semn că ai greșit undeva calculul.

Aplică acasă

Planul camerei tale. Măsoară cu ruleta doi pereți ai camerei (în cm sau m) și calculează raportul lungimilor lor, simplificat la fracție ireductibilă. Apoi desenează camera pe o foaie „la scară" (de exemplu $1$ cm pe hârtie pentru fiecare $20$ cm reali) și verifică dacă raportul lungimilor de pe desen coincide cu raportul real. Ar trebui să fie egale — asta e proporționalitatea la lucru.
Umbrele la aceeași oră. Într-o zi însorită, măsoară înălțimea unui obiect scurt (o sticlă, o cutie) și lungimea umbrei lui; apoi măsoară doar umbra unui obiect mai înalt (un pom, un stâlp). Scrie proporția $\frac{ı ˆ n a ˘ l ț ime obiect mic}{umbr a ˘ obiect mic} = \frac{ı ˆ n a ˘ l ț ime obiect mare}{umbr a ˘ obiect mare}$ și află înălțimea necunoscută. Este exact ideea din lecția viitoare despre aplicații practice ale asemănării.
Rețetă mărită. Ia o rețetă și mărește cantitățile păstrând proporțiile (de exemplu de la $2$ la $5$ porții). Scrie pentru fiecare ingredient proporția și calculează noua cantitate. Vei folosi exact proprietatea fundamentală a proporțiilor.

Pentru părinți și profesori

Această lecție pune bazele întregului capitol de asemănare, așa că merită temeinicie. Cel mai important reflex de format la elev este aducerea la aceeași unitate de măsură înainte de orice calcul de raport — verificați acest pas la fiecare exercițiu.

Întrebări bune de verificare a înțelegerii:

„De ce raportul a două segmente nu are unitate de măsură?" (Răspuns așteptat: pentru că unitățile se simplifică; raportul spune de câte ori un segment e mai mare decât altul.)
„Cum verifici, fără să simplifici fracțiile, dacă patru segmente sunt proporționale?" (Produsul extremilor = produsul mezilor.)
„Dacă schimb ordinea a două segmente în proporție, mai e adevărată?" (Nu neapărat; ordinea contează.)

Semne că elevul a înțeles: transformă corect unitățile, scrie proporția și izolează necunoscuta prin proprietatea fundamentală fără ezitare, și își verifică singur răspunsul înlocuind valoarea găsită. Dacă se blochează, reveniți la un exemplu numeric foarte simplu (de exemplu $\frac{6}{4} = \frac{9}{6}$ ) și cereți-i să identifice extremii și mezii înainte de a trece la segmente cu litere.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă că două segmente sunt proporționale cu alte două? Înseamnă că raportul primei perechi este egal cu raportul celei de-a doua perechi: $\frac{A B}{C D} = \frac{M N}{P Q}$ . Nu contează că segmentele au lungimi diferite; contează ca „proporția internă" a fiecărei perechi să fie aceeași.

Cum calculez raportul a două segmente la clasa a 7-a? Aduci ambele lungimi la aceeași unitate de măsură, apoi împarți lungimea primului segment la lungimea celui de-al doilea și simplifici fracția. De exemplu, $A B = 8$ cm și $C D = 12$ cm dau $\frac{8}{12} = \frac{2}{3}$ .

De ce trebuie aceeași unitate de măsură? Pentru că altfel amesteci mărimi diferite și obții un număr fals. $2$ m și $50$ cm par „ $2$ și $50$ ", dar raportul corect este $\frac{200}{50} = 4$ , nu $\frac{2}{50}$ . Aceeași unitate garantează că numerele comparate sunt „de același fel".

Ce este proprietatea fundamentală a proporțiilor? Într-o proporție $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ , produsul extremilor este egal cu produsul mezilor: $a \cdot d = b \cdot c$ . E cel mai folosit instrument pentru a verifica proporționalitatea sau pentru a afla un termen necunoscut.

Cum aflu un segment necunoscut dintr-o proporție? Scrii proporția cu necunoscuta, aplici proprietatea fundamentală (produsul extremilor = produsul mezilor) și rezolvi ecuația simplă rezultată. De exemplu, din $\frac{9}{6} = \frac{12}{x}$ obții $9 x = 72$ , deci $x = 8$ .

Contează ordinea segmentelor într-o proporție? Da, foarte mult. $\frac{A B}{C D} = \frac{M N}{P Q}$ este o afirmație diferită de $\frac{A B}{C D} = \frac{P Q}{M N}$ . Când verifici proporționalitatea, respectă exact ordinea în care sunt date segmentele.

Ce legătură au segmentele proporționale cu teorema lui Thales? Segmentele proporționale sunt limbajul de bază al teoremei lui Thales și al asemănării triunghiurilor. O dreaptă paralelă cu o latură a unui triunghi taie celelalte două laturi în segmente proporționale — vei studia asta în lecția despre teorema lui Thales.

Poate raportul a două segmente să fie un număr irațional? Da. De exemplu, raportul dintre diagonala și latura unui pătrat este $2$ , un număr irațional. În acest caz segmentele nu au o unitate de măsură comună (se numesc incomensurabile), dar în problemele obișnuite de clasa a VII-a lucrăm cu segmente al căror raport este o fracție de numere întregi.