Cum se calculează aria discului?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Aria discului și a sectorului

Ridici raza la pătrat și înmulțești cu $π$ , adică $A = π R^{2}$ . Un disc de rază 5 cm are $25 π$ , aproximativ $78, 5$ centimetri pătrați. Dacă enunțul dă diametrul, îl împarți întâi la doi. O felie mărginită de două raze ia din arie atâta cât reprezintă unghiul ei din 360 de grade. Cercul este doar linia din jur și se măsoară în lungime, pe când discul este suprafața dinăuntru.

Cercul este doar linia (marginea), iar discul este toată suprafața dinăuntru — de aceea discul se măsoară în arie, nu în lungime. Formula ariei discului este $A = π R^{2}$ , unde $R$ este raza; dacă ai diametrul, calculezi mai întâi $R = \frac{d}{2}$ .

Un sector de cerc este o „felie" din disc, mărginită de două raze și un arc; el reprezintă fracțiunea $\frac{n}{360}$ din aria întregului disc, unde $n^{\circ}$ este unghiul la centru: $A_{sec t or} = \frac{π R ^{2} \cdot n}{360}$ .

O coroană circulară este „inelul" dintre două cercuri cu același centru, de raze $R$ și $r$ : aria ei este diferența ariilor celor două discuri, $A = π (R^{2} - r^{2})$ — atenție, se scad pătratele razelor, nu razele!

Exemplu: un disc cu $R = 5 cm$ are aria $A = π \cdot 5^{2} = 25 π \approx 78, 5 cm^{2}$ .

De reținut

$A = π R^{2}$ la disc
sector de $n$ grade: $A = \frac{π R ^{2} \cdot n}{360}$
coroană circulară: $A = π (R^{2} - r^{2})$
raza dublată înseamnă arie de patru ori mai mare

Greșeala tipică

Se pune diametrul în locul razei și rezultatul iese de patru ori mai mare. Diametrul se împarte întâi la doi, apoi se ridică la pătrat.

Exerciții din această mini-lecție

Un disc are raza $R = 11 cm$ . Care este aria discului, în formă exactă (cu $π$ )?
- a) $121 π cm^{2}$
- b) $22 π cm^{2}$
- c) $11 π cm^{2}$
- d) $242 π cm^{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $121 π cm^{2}$

Aplicăm $A = π R^{2} = π \cdot 1 1^{2} = 121 π cm^{2}$ . Varianta b confundă raza cu diametrul ( $2 R$ ), iar celelalte nu ridică raza la pătrat corect.
O coroană circulară are cercul exterior de rază $R = 12 cm$ și cercul interior de rază $r = 9 cm$ . Care este aria coroanei, în formă exactă (cu $π$ )?
- a) $63 π cm^{2}$
- b) $9 π cm^{2}$
- c) $3 π cm^{2}$
- d) $21 π cm^{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $63 π cm^{2}$

Aria coroanei este $A = π (R^{2} - r^{2}) = π (144 - 81) = 63 π cm^{2}$ . Varianta b apare dacă scazi greșit razele și ridici la pătrat ( $(R - r)^{2} = 3^{2} = 9$ ), în loc să scazi pătratele razelor.
Un disc are raza $R = 13 cm$ . Care este aria discului, în formă exactă (cu $π$ )?
- a) $169 π cm^{2}$
- b) $99 π cm^{2}$
- c) $13 π cm^{2}$
- d) $9 π cm^{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $169 π cm^{2}$

Aplicăm $A = π R^{2} = π \cdot 1 3^{2} = 169 π cm^{2}$ . Varianta c uită să ridice raza la pătrat, iar d apare dacă citești greșit raza ca fiind $3$ în loc de $13$ .

Întrebări conexe

Ce arie are un disc cu raza de 5 cm?

Are $25 π$ centimetri pătrați, adică aproximativ $78, 5$ . Forma cu $π$ este valoarea exactă și se lasă așa dacă enunțul nu cere altfel; aproximarea cu $3, 14$ se folosește doar la sfârșit, când se cere un număr zecimal.

Ce arie are un sfert de disc cu raza de 6 cm?

Are $9 π$ centimetri pătrați. Discul întreg are $36 π$ , iar un sfert înseamnă un unghi la centru de 90 de grade, adică a patra parte din 360. Împărțind $36 π$ la patru rămâne $9 π$ , aproximativ $28, 3$ .

Cum aflu raza unui disc dacă îi știu aria?

Împarți aria la $π$ și extragi rădăcina pătrată din rezultat. Dintr-o arie de $49 π$ centimetri pătrați rezultă o rază de 7 cm. Când aria este dată ca număr zecimal, împărțirea la $3, 14$ dă o valoare apropiată, nu exactă.

Ce arie are o pizza de 32 de centimetri?

Numărul de pe cutie este diametrul, deci raza este 16 cm, iar aria iese $256 π$ , aproape 804 centimetri pătrați. O pizza de 40 cm nu are cu un sfert mai multă pastă, ci cu peste jumătate, fiindcă aria crește după pătratul razei.

Ce arie are inelul dintre două cercuri cu razele de 5 și 3 cm?

Are $16 π$ centimetri pătrați, din $π (25 - 9)$ . Se scad pătratele razelor, nu razele: $π \cdot 2^{2}$ ar da un rezultat mult prea mic. Figura aceasta se numește coroană circulară.

De ce apare numărul pi în aria discului?

Fiindcă $π$ arată de câte ori încape diametrul în lungimea cercului, iar aceeași legătură se transmite și la suprafață. Tăind discul în multe felii subțiri și așezându-le alternativ, se obține aproape un dreptunghi cu laturile $π R$ și $R$ .

Oamenii mai întreabă și: aria discului · aria cercului formula · pi înmulțit cu raza la pătrat · aria sectorului de cerc · aria coroanei circulare