Unghiul înscris în cerc

Ai observat vreodată cum arată o roată de bicicletă, cadranul unui ceas sau o antenă parabolică? Toate ascund cercuri, iar în interiorul lor se formează unghiuri care respectă niște reguli surprinzător de simple și de elegante. În această lecție descoperim unghiul înscris în cerc — un unghi cu vârful chiar pe cerc — și legătura lui cu arcul pe care îl „vede". Vei afla o teoremă pe care o folosesc arhitecții, inginerii și chiar dulgherii: măsura unghiului înscris este exact jumătate din măsura arcului cuprins între laturile sale. Cu ea vei calcula rapid măsuri de unghiuri și de arce, fără să folosești transportorul.

Ce vei învăța

Vei ști să recunoști un unghi înscris în cerc și să identifici arcul pe care îl cuprinde între laturi.
Vei ști să aplici teorema unghiului înscris pentru a calcula măsuri de unghiuri și de arce.
Vei ști să folosești legătura dintre unghiul înscris și unghiul la centru care subîntind același arc.
Vei ști că unghiurile înscrise care subîntind același arc sunt congruente.
Vei ști să folosești faptul că unghiul înscris în semicerc este drept (are $90°$ ).

Hai să descoperim împreună

Recapitulare-punte: unghiul la centru și măsura arcului

Înainte de a introduce noțiunea nouă, ne reamintim un lucru esențial pe care l-ai întâlnit deja când am vorbit despre cerc. Într-un cerc cu centrul $O$ , un unghi la centru este un unghi care are vârful chiar în centrul cercului, iar laturile lui sunt două raze.

Un asemenea unghi „taie" din cerc un arc — arcul mic $A B$ cuprins între cele două raze. Regula pe care o știm este:

$m \overset{a}{˘} sura unghiului la centru = m \overset{a}{˘} sura arcului cuprins .$

Cu alte cuvinte, dacă unghiul la centru $A O B$ are $70°$ , atunci și arcul mic $A B$ are $70°$ . Prin măsura unui arc înțelegem măsura unghiului la centru care se sprijină pe el. Reține că întregul cerc are $360°$ , un semicerc are $180°$ , iar un sfert de cerc are $90°$ .

De ce reluăm asta? Pentru că unghiul înscris, tema de azi, se calculează prin intermediul arcului, iar arcul se leagă la rândul lui de unghiul la centru. Este ca o punte: unghi înscris → arc → unghi la centru.

Ce este un unghi înscris în cerc

Trecem acum la noțiunea nouă. Imaginează-ți că muți vârful unghiului din centru până pe cerc. Obții cu totul altceva.

Definiție. Un unghi înscris în cerc este un unghi care are vârful pe cerc, iar laturile lui sunt două coarde (sau două semidrepte care taie cercul).

Într-un unghi înscris $A B C$ :

vârful $B$ este pe cerc;
laturile sunt coardele $B A$ și $B C$ ;
arcul cuprins între laturi este arcul $A C$ care nu conține vârful $B$ (arcul „din față", pe care unghiul îl „privește").

Este foarte important să identifici corect arcul cuprins. Punctele $A$ și $C$ împart cercul în două arce $A C$ : unul care conține vârful $B$ și unul care nu îl conține. Arcul cuprins între laturile unghiului înscris este întotdeauna cel care nu conține vârful. Îl mai numim și arcul subîntins de unghi.

O analogie utilă: gândește-te la ochiul tău ca fiind vârful $B$ , iar la laturile unghiului ca la marginile câmpului tău vizual. Arcul cuprins este exact bucata de cerc pe care „o vezi" între cele două direcții.

Teorema unghiului înscris

Acum vine rezultatul-vedetă al lecției, cel pe care îl vei folosi în aproape toate problemele cu cercul.

Teorema unghiului înscris. Măsura unui unghi înscris într-un cerc este jumătate din măsura arcului cuprins între laturile sale.

$m (A B C) = \frac{m ( A C )}{2}$

unde $A C$ este arcul care nu conține vârful $B$ .

Altfel spus: unghiul înscris este jumătate din arc, iar arcul este dublul unghiului înscris. Aceste două formulări sunt echivalente și le vei folosi pe rând, după cum îți este mai comod:

$m (A C) = 2 \cdot m (A B C) .$

De ce este adevărată teorema (justificare)

Nu îți cerem să reții demonstrația pe de rost, dar merită să vezi de ce funcționează, ca să o ții minte mai ușor. Analizăm cazul cel mai simplu, în care o latură a unghiului înscris trece prin centru.

Fie unghiul înscris $A B C$ , în care coarda $B C$ trece prin centrul $O$ (adică $B C$ este diametru). Unim $O$ cu $A$ .

Pas cu pas:

$O A$ și $O B$ sunt raze, deci $O A = O B$ . Prin urmare triunghiul $O A B$ este isoscel, iar unghiurile de la bază sunt egale: $m (O A B) = m (O B A) = m (A B C)$ . Notăm această măsură cu $x$ .
Unghiul $A O C$ este unghi exterior al triunghiului $O A B$ (în vârful $O$ ), deci este egal cu suma celor două unghiuri neadiacente lui: $m (A O C) = x + x = 2 x$ .
Dar $A O C$ este unghi la centru și se sprijină pe arcul $A C$ , deci $m (A C) = m (A O C) = 2 x$ .
Așadar $m (A B C) = x = \frac{2 x}{2} = \frac{m ( A C )}{2}$ . Exact ce voiam.

Pentru celelalte poziții ale unghiului (când centrul este în interiorul unghiului sau în exteriorul lui) demonstrația se reduce la acest caz prin adunare sau scădere de unghiuri; ideea este aceeași. Reține concluzia: unghiul înscris = jumătate din arcul cuprins.

Legătura dintre unghiul înscris și unghiul la centru

Din teoremă rezultă imediat o relație foarte comodă. Să presupunem că unghiul înscris $A B C$ și unghiul la centru $A O C$ se sprijină pe același arc $A C$ . Atunci:

unghiul la centru: $m (A O C) = m (A C)$ ;
unghiul înscris: $m (A B C) = \frac{m ( A C )}{2}$ .

Comparând, obținem regula:

$m (A O C) = 2 \cdot m (A B C)$

adică unghiul la centru este dublul unghiului înscris care se sprijină pe același arc. Sau invers: unghiul înscris este jumătate din unghiul la centru corespunzător aceluiași arc. E o formulă pe care o vei folosi des în probleme.

Consecința 1: unghiuri înscrise care subîntind același arc

Ce se întâmplă dacă avem mai multe unghiuri înscrise care „privesc" același arc, dar au vârfurile în locuri diferite pe cerc?

Fiecare dintre aceste unghiuri este jumătate din același arc $A C$ . Deci toate au aceeași măsură!

Consecință. Două (sau mai multe) unghiuri înscrise în același cerc care subîntind același arc (sau arce congruente) sunt congruente (au aceeași măsură).

$m (A B_{1} C) = m (A B_{2} C) = m (A B_{3} C) = \frac{m ( A C )}{2} .$

Este un rezultat foarte util: dacă știi un singur unghi înscris care se sprijină pe un arc, le știi pe toate celelalte care se sprijină pe același arc.

Consecința 2: unghiul înscris în semicerc este drept

Acum să luăm un caz special, poate cel mai celebru. Ce se întâmplă dacă coarda pe care se sprijină unghiul înscris este chiar un diametru?

Fie $[A C]$ un diametru al cercului și $B$ un punct oarecare de pe cerc (diferit de $A$ și $C$ ). Unghiul $A B C$ este un unghi înscris în semicerc.

Arcul cuprins între laturi este semicercul $A C$ , care are $180°$ . Aplicăm teorema:

$m (A B C) = \frac{m ( A C )}{2} = \frac{180°}{2} = 90°.$

Consecință (foarte importantă). Un unghi înscris care se sprijină pe un diametru este unghi drept: $m (A B C) = 90°$ . Se mai spune că unghiul înscris în semicerc este drept.

Și reciproc: dacă un unghi înscris este drept, atunci coarda pe care se sprijină (latura opusă vârfului) este un diametru al cercului. Această proprietate este folosită pentru a construi unghiuri drepte cu compasul și rigla și o vei reîntâlni când studiezi triunghiul dreptunghic și relațiile metrice.

Recapitulare a ideilor-cheie

Ca să nu se amestece formulele, ține minte tabelul mental:

Tip de unghi	Vârful	Formula
Unghi la centru	în centrul $O$	$=$ arcul cuprins
Unghi înscris	pe cerc	$= \frac{1}{2} \cdot$ arcul cuprins

Și cele două consecințe pe care le folosești cel mai des:

unghiuri înscrise pe același arc ⇒ egale;
unghi înscris pe diametru ⇒ $90°$ .

Cu aceste patru idei rezolvi marea majoritate a problemelor de la clasa a VII-a despre unghiul înscris în cerc.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — de la arc la unghi înscris

Într-un cerc, arcul cuprins între laturile unui unghi înscris $A B C$ are măsura $A C = 130°$ . Cât măsoară unghiul înscris $A B C$ ?

Rezolvare. Aplicăm direct teorema unghiului înscris: $m (A B C) = \frac{m ( A C )}{2} = \frac{130°}{2} = 65°.$

Răspuns: $m (A B C) = 65°$ .

Exemplul 2 — de la unghi înscris la arc

Un unghi înscris $M N P$ are măsura $38°$ . Cât măsoară arcul $M P$ pe care se sprijină?

Rezolvare. Arcul este dublul unghiului înscris: $m (M P) = 2 \cdot m (M N P) = 2 \cdot 38° = 76°.$

Răspuns: $m (M P) = 76°$ .

Exemplul 3 — unghi înscris și unghi la centru pe același arc

În cercul cu centrul $O$ , unghiul la centru $A O B$ are măsura $110°$ . Punctul $C$ este pe cerc, pe arcul mare $A B$ (deci de partea opusă arcului mic pe care se sprijină unghiul la centru). Cât măsoară unghiul înscris $A C B$ ?

Rezolvare. Unghiul la centru $A O B$ și unghiul înscris $A C B$ se sprijină pe același arc $A B$ (arcul mic, cel care nu conține pe $C$ ).

Măsura arcului: $m (A B) = m (A O B) = 110°$ .
Unghiul înscris: $m (A C B) = \frac{m ( A B )}{2} = \frac{110°}{2} = 55°.$

Observă că am folosit direct și relația scurtă: unghiul înscris este jumătate din unghiul la centru corespunzător: $\frac{110°}{2} = 55°$ .

Răspuns: $m (A C B) = 55°$ .

Exemplul 4 — triunghi înscris cu un diametru

Fie $[A B]$ un diametru al cercului cu centrul $O$ și $C$ un punct pe cerc, astfel încât $m (C A B) = 34°$ . Aflați măsurile celorlalte două unghiuri ale triunghiului $A B C$ .

Rezolvare.

Pasul 1. Deoarece $[A B]$ este diametru, unghiul înscris $A C B$ (care se sprijină pe diametru) este drept: $m (A C B) = 90°.$

Pasul 2. În triunghiul $A B C$ , suma măsurilor unghiurilor este $180°$ : $m (A B C) = 180° - m (A C B) - m (C A B) = 180° - 90° - 34° = 56°.$

Verificare: $34° + 90° + 56° = 180°$ . Corect.

Răspuns: $m (A C B) = 90°$ și $m (A B C) = 56°$ .

Exemplul 5 — două unghiuri înscrise pe același arc

Punctele $A$ , $B$ , $C$ , $D$ sunt pe un cerc, în această ordine. Se știe că $m (A D B) = 27°$ . Cât măsoară unghiul $A C B$ ?

Rezolvare. Unghiurile $A D B$ și $A C B$ sunt unghiuri înscrise care subîntind același arc $A B$ (arcul care nu conține nici pe $C$ , nici pe $D$ , deoarece $C$ și $D$ sunt de aceeași parte). Deci sunt congruente: $m (A C B) = m (A D B) = 27°.$

Răspuns: $m (A C B) = 27°$ .

Exemplul 6 — problemă combinată

În cercul cu centrul $O$ , coarda $[B C]$ subîntinde un arc $B C = 84°$ (arcul mic). Punctul $A$ este pe arcul mare $B C$ . a) Aflați $m (B A C)$ . b) Aflați $m (B O C)$ . c) Dacă triunghiul $O B C$ este isoscel cu $O B = O C$ (raze), aflați $m (O B C)$ .

Rezolvare.

a) $B A C$ este unghi înscris pe arcul $B C$ : $m (B A C) = \frac{m ( B C )}{2} = \frac{84°}{2} = 42°.$

b) $B O C$ este unghi la centru pe același arc: $m (B O C) = m (B C) = 84°.$

c) În triunghiul isoscel $O B C$ cu $O B = O C$ , unghiurile de la bază sunt egale. Suma unghiurilor este $180°$ : $m (O B C) = m (O C B) = \frac{180° - m ( B O C )}{2} = \frac{180° - 84°}{2} = \frac{96°}{2} = 48°.$

Verificare: $84° + 48° + 48° = 180°$ . Corect.

Răspuns: a) $42°$ ; b) $84°$ ; c) $48°$ .

Să exersăm

Rezolvă exercițiile pe caiet, făcând de fiecare dată un desen. La geometrie, desenul corect este jumătate din rezolvare.

Un unghi înscris se sprijină pe un arc de $96°$ . Cât măsoară unghiul înscris?
Un unghi înscris are $53°$ . Cât măsoară arcul cuprins între laturile lui?
Un unghi la centru are $140°$ . Cât măsoară unghiul înscris care se sprijină pe același arc?
Un unghi înscris are $61°$ . Cât măsoară unghiul la centru care se sprijină pe același arc?
Într-un cerc, $[A B]$ este diametru și $C$ este pe cerc. Cât măsoară $A C B$ ? Justifică.
Adevărat sau fals (motivează): „Orice unghi înscris are măsura egală cu arcul pe care se sprijină."
Adevărat sau fals (motivează): „Două unghiuri înscrise care se sprijină pe același arc au aceeași măsură."
În triunghiul $A B C$ înscris într-un cerc, $[A B]$ este diametru și $m (A B C) = 27°$ . Aflați $m (B A C)$ .
Punctele $A$ , $B$ , $C$ , $D$ sunt pe un cerc (în această ordine). Știind că $m (B A C) = 35°$ , aflați $m (B D C)$ .
Un unghi înscris se sprijină pe un arc care reprezintă $\frac{1}{4}$ din cerc. Cât măsoară unghiul înscris?
Într-un cerc cu centrul $O$ , $m (A O B) = 128°$ (unghi la centru pe arcul mic). Punctul $M$ este pe arcul mare $A B$ . Aflați $m (A M B)$ .
Un unghi înscris $A B C$ are $72°$ . Aflați măsura arcului mare $A C$ (arcul care conține vârful $B$ ). (Indiciu: cele două arce se completează până la $360°$ .)
Desenează un cerc, un diametru $[M N]$ și un punct $P$ pe cerc. Măsoară cu transportorul unghiul $M P N$ . Ce valoare ar trebui să obții și de ce?
În cercul cu centrul $O$ , triunghiul $A B C$ este înscris astfel încât $[B C]$ este diametru. Se știe că $m (B O A) = 100°$ (unghi la centru pe arcul $A B$ care nu conține pe $C$ ). Aflați $m (A C B)$ . (Indiciu: $A C B$ este unghi înscris pe arcul $A B$ .)
Un patrulater $A B C D$ este înscris într-un cerc. Diagonalele $A C$ și $B D$ se intersectează în $E$ . Se știe că $m (B A C) = 40°$ (unghi înscris pe arcul $B C$ ). Aflați $m (B D C)$ .
Într-un cerc, un unghi înscris $A B C$ și unghiul la centru $A O C$ se sprijină pe același arc. Suma lor este $174°$ . Aflați măsura fiecăruia. (Indiciu: unghiul la centru este dublul celui înscris.)
Triunghiul $A B C$ este înscris într-un cerc, iar arcele determinate de vârfuri sunt $A B = 100°$ , $B C = 140°$ , $C A = 120°$ . Aflați măsurile unghiurilor triunghiului $A B C$ . (Fiecare unghi al triunghiului este unghi înscris pe arcul opus.)
Problemă aplicată. Un jucător de fotbal se află într-un punct $P$ de pe marginea unui teren circular de antrenament, iar cele două bare ale unei porți sunt în punctele $A$ și $B$ de pe același cerc. „Unghiul de vizare" al porții este unghiul înscris $A P B$ . Dacă arcul $A B$ dinspre poartă are $54°$ , sub ce unghi vede jucătorul poarta? Dacă s-ar muta în alt punct $Q$ de pe același arc, s-ar schimba unghiul? Justifică.

Răspunsuri și explicații

$\frac{96°}{2} = 48°$ . Unghiul înscris este jumătate din arc.
$2 \cdot 53° = 106°$ . Arcul este dublul unghiului înscris.
$\frac{140°}{2} = 70°$ . Unghiul înscris este jumătate din unghiul la centru pe același arc.
$2 \cdot 61° = 122°$ . Unghiul la centru este dublul celui înscris.
$90°$ . Unghiul înscris care se sprijină pe diametru se sprijină pe un semicerc ( $180°$ ), deci are $\frac{180°}{2} = 90°$ .
Fals. Unghiul înscris este jumătate din arc, nu egal cu el. Egal cu arcul este unghiul la centru. (Ar fi adevărat doar dacă arcul ar avea $0°$ , ceea ce nu e un unghi.)
Adevărat. Fiecare este jumătate din același arc, deci au aceeași măsură (unghiuri înscrise care subîntind același arc sunt congruente).
$[A B]$ diametru ⇒ $A C B = 90°$ . În triunghi: $m (B A C) = 180° - 90° - 27° = 63°$ . Verificare: $90° + 27° + 63° = 180°$ .
$B A C$ și $B D C$ sunt unghiuri înscrise pe același arc $B C$ (A și D de aceeași parte), deci egale: $m (B D C) = 35°$ .
$\frac{1}{4}$ din $360°$ este $90°$ , deci arcul are $90°$ . Unghiul înscris: $\frac{90°}{2} = 45°$ .
Unghiul la centru pe arcul mic = $128°$ , deci arcul mic $A B = 128°$ . $M$ pe arcul mare vede arcul mic: $m (A M B) = \frac{128°}{2} = 64°$ .
Arcul mic (cuprins între laturi) are $2 \cdot 72° = 144°$ . Arcul mare $A C$ (care conține $B$ ): $360° - 144° = 216°$ .
$M P N = 90°$ , pentru că se sprijină pe diametrul $[M N]$ (unghi înscris în semicerc). Transportorul ar trebui să arate aproximativ $90°$ .
Arcul $A B = m (B O A) = 100°$ . $A C B$ este unghi înscris pe arcul $A B$ : $m (A C B) = \frac{100°}{2} = 50°$ .
$B A C$ și $B D C$ subîntind același arc $B C$ , deci sunt congruente: $m (B D C) = 40°$ .
Notăm unghiul înscris cu $x$ ; unghiul la centru este $2 x$ . Atunci $x + 2 x = 174°$ , adică $3 x = 174°$ , deci $x = 58°$ . Unghiul înscris = $58°$ , unghiul la centru = $116°$ . Verificare: $58° + 116° = 174°$ și $116° = 2 \cdot 58°$ .
Fiecare unghi al triunghiului este unghi înscris pe arcul opus vârfului:
- $m (A) = \frac{B C}{2} = \frac{140°}{2} = 70°$ ;
- $m (B) = \frac{C A}{2} = \frac{120°}{2} = 60°$ ;
- $m (C) = \frac{A B}{2} = \frac{100°}{2} = 50°$ .
Verificare arce: $100° + 140° + 120° = 360°$ . Verificare unghiuri: $70° + 60° + 50° = 180°$ . Corect.
$m (A P B) = \frac{A B}{2} = \frac{54°}{2} = 27°$ . Dacă jucătorul se mută în alt punct $Q$ de pe același arc, unghiul rămâne $27°$ , pentru că este tot un unghi înscris care subîntinde același arc $A B$ (unghiuri înscrise pe același arc sunt congruente). Din orice punct al acelui arc, poarta „se vede" sub același unghi.

De reținut

Unghi înscris = unghi cu vârful pe cerc și laturile coarde. Arcul cuprins este cel care nu conține vârful.
Teorema unghiului înscris: $m (\overset{ı}{ˆ} nscris) = \frac{1}{2} \cdot m (arc cuprins)$ , deci și $m (arc) = 2 \cdot m (\overset{ı}{ˆ} nscris)$ .
Unghi la centru vs. unghi înscris pe același arc: $m (la centru) = 2 \cdot m (\overset{ı}{ˆ} nscris)$ .
Unghiuri înscrise pe același arc (sau pe arce congruente) sunt congruente.
Unghiul înscris în semicerc este drept: dacă se sprijină pe un diametru, atunci are $90°$ .

Greșeli frecvente

Confuzia unghi înscris ↔ unghi la centru. Unghiul la centru este egal cu arcul; unghiul înscris este jumătate din arc. Uită-te mereu unde este vârful: în centru sau pe cerc?
Alegerea greșită a arcului cuprins. Arcul cuprins între laturile unghiului înscris este cel care nu conține vârful. Dacă iei arcul care conține vârful, greșești (obții arcul mare în loc de cel mic).
Înmulțești când trebuie să împarți (sau invers). De la arc la unghi înscris împarți la 2; de la unghi înscris la arc înmulțești cu 2. Scrie mai întâi formula, apoi înlocuiește.
Uiți că unghiul înscris pe diametru este $90°$ . Când vezi un diametru și un al treilea punct pe cerc, gândește-te imediat la unghiul drept — de multe ori acesta este cheia problemei.

Aplică acasă

Ceasul-cerc. Desenează un cerc mare pe o coală, marchează două ore de pe cadran (de exemplu poziția lui $12$ și a lui $4$ ) ca punctele $A$ și $B$ . Alege un al treilea punct $C$ pe cerc și construiește unghiul înscris $A C B$ . Măsoară-l cu transportorul, apoi calculează arcul $A B$ (fiecare oră înseamnă $30°$ ) și verifică dacă unghiul măsurat este într-adevăr jumătate din arc.
Unghi drept fără echer. Ia un capac rotund sau un pahar și trasează un cerc. Trage un diametru cu rigla (o dreaptă care trece prin centru). Alege un punct pe cerc și unește-l cu capetele diametrului: ai obținut, sigur, un unghi drept. Așa poți construi un colț perfect de $90°$ folosind doar un cerc și o riglă.
Vizarea unei ținte. Pe un teren, înfige două bețe în punctele $A$ și $B$ . Plimbă-te pe un arc de cerc care trece prin ele și observă că, teoretic, „lărgimea" sub care vezi cele două bețe rămâne aceeași din orice punct al aceluiași arc. Explică-le celor din familie de ce se întâmplă asta (unghiuri înscrise pe același arc).

Pentru părinți și profesori

Această lecție introduce una dintre cele mai frumoase teoreme din geometria cercului, iar dificultatea pentru elev nu stă în calcule (sunt simple: împărțiri și înmulțiri cu $2$ ), ci în identificarea corectă a arcului și în a nu confunda unghiul înscris cu unghiul la centru. Încurajați copilul să facă întotdeauna un desen înainte de a scrie formula.

Întrebări de verificare a înțelegerii:

„Unde este vârful unui unghi înscris?" (Pe cerc.) „Dar al unui unghi la centru?" (În centru.)
„Care este arcul cuprins între laturile unghiului înscris?" (Cel care nu conține vârful.)
„Dacă arcul are $80°$ , cât are unghiul înscris? Dar unghiul la centru?" (Înscris $40°$ , la centru $80°$ .)
„De ce un unghi înscris pe un diametru are $90°$ ?" (Pentru că se sprijină pe un semicerc de $180°$ , iar jumătatea este $90°$ .)

Semne că elevul a înțeles: aplică formula în ambele sensuri (arc → unghi și unghi → arc), recunoaște singur când un unghi este $90°$ pentru că vede un diametru și explică de ce două unghiuri înscrise pe același arc sunt egale, nu doar afirmă. Această lecție se leagă direct de următoarele: coarde și arce congruente și poligoane regulate înscrise în cerc.

Întrebări frecvente

Ce este un unghi înscris în cerc? Este un unghi care are vârful chiar pe cerc, iar laturile sunt două coarde ale cercului. Se deosebește de unghiul la centru, care are vârful în centrul cercului.

Care este teorema unghiului înscris la clasa a 7-a? Teorema spune că măsura unui unghi înscris este egală cu jumătate din măsura arcului cuprins între laturile sale. Pe scurt: unghi înscris $= \frac{1}{2} \times$ arc.

Care este legătura dintre unghiul înscris și unghiul la centru? Dacă amândouă se sprijină pe același arc, unghiul la centru este dublul unghiului înscris. Adică unghiul înscris este jumătate din unghiul la centru corespunzător aceluiași arc.

De ce unghiul înscris în semicerc este drept? Pentru că se sprijină pe un diametru, iar arcul corespunzător (semicercul) are $180°$ . Jumătatea lui este $\frac{180°}{2} = 90°$ , deci unghiul este drept.

Cum aflu arcul dacă știu unghiul înscris? Înmulțești măsura unghiului înscris cu $2$ . De exemplu, un unghi înscris de $40°$ se sprijină pe un arc de $80°$ .

Sunt egale unghiurile înscrise care privesc aceeași coardă? Da, dacă au vârfurile de aceeași parte a coardei (pe același arc), sunt congruente, pentru că fiecare este jumătate din același arc. Din orice punct al acelui arc, coarda „se vede" sub același unghi.

Care este diferența dintre arcul cuprins și arcul care conține vârful? Un cerc este împărțit de capetele coardei în două arce. Arcul cuprins între laturile unghiului înscris este cel care nu conține vârful; celălalt arc conține vârful și, de obicei, nu se folosește direct în teoremă. Cele două arce se completează până la $360°$ .

Unde folosesc în practică unghiul înscris în cerc? Este folosit pentru a construi unghiuri drepte fără echer (cu un cerc și un diametru), în design și arhitectură, la calibrarea „unghiului de vizare" în sport și în multe demonstrații de geometrie pe care le vei întâlni la asemănare și la relații metrice în triunghiul dreptunghic.