Un triunghi dreptunghic are catetele de $$7\ \text{cm}$$ și $$8\ \text{cm}$$, iar ipotenuza este de aproximativ $$10{,}6\ \text{cm}$$. Care este aria triunghiului?

Catetele sunt perpendiculare, deci $$A = \dfrac{7 \cdot 8}{2} = 28\ \text{cm}^2$$

Se folosește o catetă și ipotenuza: $$A = \dfrac{7 \cdot 10{,}6}{2}$$

$$A = 7 \cdot 8 = 56\ \text{cm}^2$$

Nu se poate afla fără înălțimea din vârful unghiului drept

Cum se calculează aria unui triunghi?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Aria triunghiului: b·h/2

Înmulțești o latură aleasă drept bază cu înălțimea coborâtă pe ea din vârful din față, apoi împarți la doi: $A = \frac{b \cdot h}{2}$ . La 10 cm bază și 4 cm înălțime ies 20 de centimetri pătrați. Împărțirea vine din faptul că două triunghiuri la fel, lipite, umplu un paralelogram. La triunghiul dreptunghic catetele sunt chiar bază și înălțime, deci aria este jumătate din produsul lor.

Ia orice triunghi $A B C$ și lipește de el o copie identică, rotită cu 180°, pe latura comună. Cele două triunghiuri congruente formează împreună un paralelogram. Cum aria paralelogramului este $b \cdot h$ , iar cele două triunghiuri au arii egale, triunghiul de la care ai plecat este exact jumătate din paralelogram:

$A = \frac{b \cdot h}{2}$

Aici $b$ este o latură aleasă (bază), iar $h$ este perpendiculara din vârful opus pe acea bază. Un triunghi are trei perechi bază–înălțime, dar oricare o alegi, obții aceeași arie. La un triunghi obtuzunghic, unele înălțimi cad în exterior (pe prelungirea bazei), dar formula rămâne identică. La un triunghi dreptunghic, catetele sunt chiar perechea bază–înălțime gata făcută: $A = \frac{c _{1} \cdot c _{2}}{2}$ .

Exemplu: bază $10 cm$ , înălțime $4 cm$ → $A = \frac{10 \cdot 4}{2} = 20 cm^{2}$ .

De reținut

$A = \frac{b \cdot h}{2}$ , cu $h$ dusă din vârful opus bazei
triunghi dreptunghic: $A = \frac{c _{1} \cdot c _{2}}{2}$
cele trei perechi bază și înălțime dau aceeași arie
$h = \frac{2 A}{b}$

Greșeala tipică

Se folosește ipotenuza la triunghiul dreptunghic. Perechea gata făcută sunt catetele, fiindcă ele se sprijină una pe alta sub unghi drept.

Exerciții din această mini-lecție

Un triunghi are baza $14 cm$ și înălțimea corespunzătoare $6 cm$ . Care este aria triunghiului?
- a) $42 cm^{2}$
- b) $84 cm^{2}$
- c) $20 cm^{2}$
- d) $56 cm^{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $42 cm^{2}$

$A = \frac{b \cdot h}{2} = \frac{14 \cdot 6}{2} = \frac{84}{2} = 42 cm^{2}$ .
Un triunghi dreptunghic are catetele de $7 cm$ și $8 cm$ , iar ipotenuza este de aproximativ $10, 6 cm$ . Care este aria triunghiului?
- a) Se folosește o catetă și ipotenuza: $A = \frac{7 \cdot 10 , 6}{2}$
- b) Catetele sunt perpendiculare, deci $A = \frac{7 \cdot 8}{2} = 28 cm^{2}$
- c) $A = 7 \cdot 8 = 56 cm^{2}$
- d) Nu se poate afla fără înălțimea din vârful unghiului drept
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Catetele sunt perpendiculare, deci $A = \frac{7 \cdot 8}{2} = 28 cm^{2}$

Într-un triunghi dreptunghic, catetele sunt perpendiculare, deci una e bază și cealaltă e chiar înălțimea corespunzătoare: $A = \frac{c _{1} \cdot c _{2}}{2} = \frac{7 \cdot 8}{2} = 28 cm^{2}$ . Ipotenuza nu intră în formulă.
Un triunghi are baza $18 cm$ și înălțimea corespunzătoare $8 cm$ . Care este aria triunghiului?
- a) $144 cm^{2}$
- b) $62 cm^{2}$
- c) $72 cm^{2}$
- d) $52 cm^{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $72 cm^{2}$

$A = \frac{b \cdot h}{2} = \frac{18 \cdot 8}{2} = \frac{144}{2} = 72 cm^{2}$ . Varianta a uită împărțirea la 2, iar b și d apar dacă greșești produsul $18 \cdot 8$ (de exemplu $124$ sau $104$ ) înainte de a împărți la 2.

Întrebări conexe

Cât este aria unui triunghi cu baza de 10 cm și înălțimea de 4 cm?

Are 20 de centimetri pătrați, fiindcă $10 \cdot 4 = 40$ , iar jumătatea este 20. Același triunghi calculat cu altă bază și înălțimea potrivită ei dă tot 20, fiindcă suprafața nu depinde de latura aleasă.

Ce arie are un triunghi echilateral cu latura de 6 cm?

Are $93$ centimetri pătrați, adică aproximativ $15, 6$ . Înălțimea unui echilateral cu latura $ℓ$ este $\frac{ℓ 3}{2}$ , deci aici $33$ cm, iar aria iese din formula obișnuită cu baza și înălțimea.

Cum aflu aria unui triunghi când știu doar cele trei laturi?

Afli mai întâi o înălțime, folosind teorema lui Pitagora în cele două triunghiuri dreptunghice în care înălțimea taie figura. La laturi cunoscute există și o formulă directă, a lui Heron, studiată mai târziu, care pleacă de la semiperimetru.

De ce două triunghiuri cu aceeași bază și vârful pe o paralelă au arii egale?

Fiindcă distanța de la paralelă la bază este aceeași oriunde, deci toate au aceeași înălțime. Baza fiind și ea comună, produsul care dă aria nu se schimbă, oricât de mult ai muta vârful de-a lungul paralelei.

Cum împart un triunghi în două părți cu aceeași arie?

Duci o mediană, adică segmentul de la un vârf la mijlocul laturii opuse. Cele două triunghiuri obținute au baze egale și aceeași înălțime, coborâtă din vârful comun, deci au suprafețe egale, chiar dacă arată diferit.

La ce folosește aria triunghiului la ariile poligoanelor?

Orice poligon se taie în triunghiuri cu ajutorul diagonalelor, iar aria lui este suma ariilor acestora. Metoda merge la orice figură cu laturi drepte, oricât de neregulată ar fi, și stă la baza calculelor de suprafață pentru terenuri.

Oamenii mai întreabă și: aria triunghiului · formula ariei triunghiului · baza ori înălțimea supra 2 · aria unui triunghi dreptunghic · cum aflu suprafața unui triunghi