Într-un triunghi, medianele $$[AM]$$, $$[BN]$$ și $$[CP]$$ se intersectează în punctul $$G$$. Cum se numește $$G$$ și ce proprietate are?

Centrul de greutate; împarte fiecare mediană în raport $$2:1$$ de la vârf

Centrul de greutate; este mijlocul fiecărei mediane

Ortocentrul; se află pe fiecare înălțime a triunghiului

Centrul cercului circumscris; este egal depărtat de vârfuri

Ce este centrul de greutate al triunghiului?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Medianele și centrul de greutate

Este punctul în care se întâlnesc cele trei mediane, adică segmentele duse de la fiecare vârf la mijlocul laturii din față. Se notează cu $G$ și se află întotdeauna înăuntrul figurii. Locul lui pe fiecare mediană este exact la două treimi de vârf: bucata dinspre vârf este de două ori cât cea dinspre latură. La o mediană de 18 cm ies 12 cm și 6 cm. Acolo se echilibrează o placă triunghiulară.

O mediană a unui triunghi unește un vârf cu mijlocul laturii opuse. Orice triunghi are 3 mediane, iar ele sunt mereu concurente: se întâlnesc într-un singur punct, numit centrul de greutate $G$ (sau baricentru). Acesta se află mereu în interiorul triunghiului.

Cel mai important lucru de reținut este raportul 2:1: $G$ împarte fiecare mediană astfel încât bucata dinspre vârf este de două ori mai mare decât bucata dinspre latură.

$A G = 2 \cdot GM, A G = \frac{2}{3} A M, GM = \frac{1}{3} A M .$

Exemplu: dacă $A M = 18$ cm, atunci $A G = \frac{2}{3} \cdot 18 = 12$ cm și $GM = \frac{1}{3} \cdot 18 = 6$ cm. Verificare: $12 = 2 \cdot 6$ ✓.

Gândește-te la mediană ca la un drum împărțit în 3 părți egale: $G$ este exact la „stația a doua din trei", numărând de la vârf.

De reținut

mediana unește un vârf cu mijlocul laturii opuse
cele trei mediane sunt concurente în $G$
$A G = 2 \cdot GM$ , adică $A G = \frac{2}{3} A M$
$G$ se află mereu în interiorul triunghiului

Greșeala tipică

Se pune punctul de întâlnire la mijlocul medianei. El stă la două treimi de vârf și la o treime de latură, deci împarte mediana în bucăți inegale.

Exerciții din această mini-lecție

Care este raportul în care centrul de greutate $G$ împarte o mediană, măsurat dinspre vârf spre mijlocul laturii opuse?
- a) $1 : 1$ (la mijloc)
- b) $2 : 1$
- c) $3 : 1$
- d) $1 : 2$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $2 : 1$

$G$ nu este la mijlocul medianei. Bucata dinspre vârf este de două ori mai mare decât bucata dinspre latură, deci raportul este $2 : 1$ , adică $A G = 2 \cdot GM$ .
Într-un triunghi, medianele $[A M]$ , $[B N]$ și $[C P]$ se intersectează în punctul $G$ . Cum se numește $G$ și ce proprietate are?
- a) Centrul de greutate; este mijlocul fiecărei mediane
- b) Centrul de greutate; împarte fiecare mediană în raport $2 : 1$ de la vârf
- c) Ortocentrul; se află pe fiecare înălțime a triunghiului
- d) Centrul cercului circumscris; este egal depărtat de vârfuri
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Centrul de greutate; împarte fiecare mediană în raport $2 : 1$ de la vârf

Punctul de intersecție al medianelor se numește centru de greutate ( $G$ ) și împarte fiecare mediană astfel încât bucata dinspre vârf este de două ori mai mare decât bucata dinspre latură, adică raportul $2 : 1$ .
Mediana $[C P]$ a unui triunghi are lungimea $C P = 27$ cm, iar $G$ este centrul de greutate. Calculează $GP$ (distanța de la $G$ la punctul $P$ , mijlocul laturii opuse).
- a) $18$ cm
- b) $9$ cm
- c) $19$ cm
- d) $29$ cm
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $9$ cm

Mediana are 3 părți egale, iar $GP$ este exact 1 parte: $GP = \frac{1}{3} \cdot C P = \frac{1}{3} \cdot 27 = 9$ cm. Varianta a este de fapt $C G$ (2 părți, $18$ cm), confundată cu $GP$ ; c și d sunt valori apropiate greșit calculate.

Întrebări conexe

Cât este AG dacă mediana AM are 18 cm?

Este 12 cm, adică două treimi din mediană, iar bucata rămasă are 6 cm. Verificarea este imediată: partea dinspre vârf trebuie să iasă dublul celei dinspre latură, deci $12 = 2 \cdot 6$ .

Cum găsesc centrul de greutate cu rigla, fără calcule?

Marchezi mijloacele a două laturi și le unești cu vârfurile opuse. Punctul în care se taie cele două segmente este chiar cel căutat. A treia mediană trece și ea prin el, deci poate sluji drept verificare a desenului.

Ce arie au cele șase triunghiuri formate de mediane?

Toate șase au aceeași arie, adică a șasea parte din întreg. Fiecare mediană taie triunghiul în două părți egale ca suprafață, iar tăierile succesive împart figura în bucăți la fel de mari, deși arată deosebit.

Ce coordonate are centrul de greutate dacă știu vârfurile?

Faci media coordonatelor celor trei vârfuri, separat pe fiecare direcție. Din vârfuri cu abscisele 1, 4 și 7 iese abscisa 4, iar ordonata se calculează la fel. Formula scurtează mult problemele din reperul cartezian.

În ce triunghi coincide mediana cu înălțimea?

În cel isoscel, dar numai pentru mediana dusă din vârful dintre laturile egale, și în cel echilateral, unde coincid toate trei. La celelalte triunghiuri mediana atinge mijlocul laturii fără să fie perpendiculară pe ea.

Câte mediane are un triunghi și de unde pleacă fiecare?

Are trei, câte una din fiecare vârf, îndreptată spre mijlocul laturii din față. Ele se întâlnesc toate în același punct, ceea ce nu este de la sine înțeles și se demonstrează cu ajutorul liniilor mijlocii.

Oamenii mai întreabă și: centrul de greutate al triunghiului · medianele unui triunghi · raportul 2 la 1 pe mediană · baricentrul · coordonatele centrului de greutate