Cum aflu cmmdc prin descompunere în factori?

Lecția pe scurt · clasa a VI-a · C.m.m.d.c. prin factori primi

Descompui fiecare număr în factori primi, păstrezi doar factorii care apar la toate numerele și îi iei pe fiecare la puterea cea mai mică, apoi înmulțești. Pentru 54 și 90 ies $54 = 2 \cdot 3^{3}$ și $90 = 2 \cdot 3^{2} \cdot 5$ , deci factorii comuni sunt 2 și 3, luați ca $2$ și $3^{2}$ , ceea ce dă 18. Factorul 5, care apare doar la un număr, rămâne pe dinafară.

Pentru a afla c.m.m.d.c. (cel mai mare divizor comun) a două sau mai multe numere naturale, cea mai eficientă metodă este descompunerea în factori primi.

Algoritm:

Descompui fiecare număr în factori primi (cu puteri).
Alegi doar factorii primi comuni (care apar la toate numerele).
Iei fiecare factor comun la puterea cea mai mică și îi înmulțești.

Exemplu: $c . m . m . d . c . (54, 90)$

$54 = 2 \times 3^{3}$ , $90 = 2 \times 3^{2} \times 5$

Comuni: $2$ (minim $2^{1}$ ) și $3$ (minim $3^{2}$ ).

$c . m . m . d . c . (54, 90) = 2 \times 3^{2} = 2 \times 9 = 18$

Dacă două numere nu au niciun factor prim comun, $c . m . m . d . c . = 1$ și numerele sunt prime între ele. Metoda se folosește la simplificarea fracțiilor și la împărțirea în grupe egale, cât mai mari.

De reținut

se iau doar factorii primi comuni
fiecare factor comun se ia la puterea cea mai mică
fără factori comuni, rezultatul este 1, iar numerele sunt prime între ele
rezultatul împarte exact fiecare dintre numerele date

Greșeala tipică

Se strecoară în calcul și factorii care apar la un singur număr, iar rezultatul iese prea mare. Intră numai factorii aflați în toate descompunerile, altfel împărțirea exactă nu mai are loc.

Exerciții din această mini-lecție

Determină, prin descompunere în factori primi, $c . m . m . d . c . (54, 90)$ .
- a) $6$
- b) $9$
- c) $18$
- d) $27$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $18$

$54 = 2 \times 3^{3}$ și $90 = 2 \times 3^{2} \times 5$ . Factorii comuni sunt $2$ (puterea cea mai mică $2^{1}$ ) și $3$ (puterea cea mai mică $3^{2}$ ). Deci $c . m . m . d . c . (54, 90) = 2 \times 3^{2} = 2 \times 9 = 18$ . Factorul $5$ apare doar la $90$ , deci nu intră în calcul.
Care este $c . m . m . d . c . (64, 81)$ ?
- a) $1$
- b) $0$
- c) $4$
- d) $16$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $1$

$64 = 2^{6}$ și $81 = 3^{4}$ . Nu există niciun factor prim comun între cele două descompuneri, deci singurul lor divizor comun este $1$ . Rezultă $c . m . m . d . c . (64, 81) = 1$ , iar $64$ și $81$ sunt numere prime între ele. Atenție: c.m.m.d.c. nu este niciodată $0$ pentru numere nenule.
Determină, prin descompunere în factori primi, $c . m . m . d . c . (80, 120)$ .
- a) $80$
- b) $120$
- c) $40$
- d) $240$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $40$

$80 = 2^{4} \times 5$ și $120 = 2^{3} \times 3 \times 5$ . Factorii comuni sunt $2$ (puterea cea mai mică $2^{3}$ ) și $5$ (puterea cea mai mică $5^{1}$ ). Deci $c . m . m . d . c . (80, 120) = 2^{3} \times 5 = 8 \times 5 = 40$ . Varianta a) $80$ ar rezulta din luarea factorilor comuni la puterea cea mai mare ( $2^{4} \times 5$ ), dar $80$ nu divide pe $120$ , deci nu e divizor comun; b) $120$ nu divide pe $80$ , iar un divizor comun nu poate depăși cel mai mic dintre numere; d) $240 = 2^{4} \times 3 \times 5$ este de fapt $c . m . m . m . c . (80, 120)$ — toți factorii, la puterea maximă.

Întrebări conexe

Cât este cel mai mare divizor comun al numerelor 80 și 120?

Descompunerile dau $80 = 2^{4} \cdot 5$ și $120 = 2^{3} \cdot 3 \cdot 5$ . Factorii comuni sunt 2 și 5, luați la puterile cele mai mici, adică $2^{3}$ și $5$ , deci rezultatul este $8 \cdot 5 = 40$ . Verificarea împarte ambele numere la 40, fără rest.

De ce cel mai mare divizor comun nu poate fi niciodată 0?

Fiindcă 1 împarte exact orice număr, deci există întotdeauna măcar un divizor comun. Când numerele nu au niciun factor prim în comun, cum se întâmplă la 64 și 81, rezultatul este chiar 1, nu 0. Astfel de numere se numesc prime între ele.

Cum aflu cmmmc din aceeași descompunere în factori?

Iei toți factorii primi care apar, nu doar pe cei comuni, și pe fiecare la puterea cea mai mare întâlnită. Din $12 = 2^{2} \cdot 3$ și $18 = 2 \cdot 3^{2}$ iese $2^{2} \cdot 3^{2} = 36$ . Aceeași descompunere servește astfel la amândouă rezultatele, cu reguli oglindite.

Cum descompun numărul 360 în factori primi?

Împarți pe rând la cele mai mici numere prime care merg exact: la 2 de trei ori, la 3 de două ori și la 5 o dată. Iese $360 = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5$ . Scrierea cu exponenți este obligatorie, fiindcă altfel se pierd factorii repetați.

De ce rezultatul este divizor al fiecărui număr dat?

Pentru că el este format numai din factori care se găsesc în amândouă descompunerile, la puteri care încap în fiecare. Astfel împărțirea se face exact de fiecare dată. Această proprietate ține loc de verificare rapidă la final.

Oamenii mai întreabă și: cmmdc prin descompunere · cel mai mare divizor comun cu factori primi · cum calculez cmmdc · cmmdc 54 și 90