Într-un cerc de centru $$O$$, coarda $$[MN]$$ se află la $$3$$ cm de centru, iar coarda $$[PQ]$$ la $$8$$ cm de centru. Care coardă este mai lungă?

$$[MN]$$, pentru că e mai aproape de centru

$$[PQ]$$, pentru că e mai departe de centru

Sunt egale, distanța nu contează

Ce arce se formează între două coarde paralele?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Coarde paralele, coarde egale

Arcele cuprinse între ele, câte unul de fiecare parte, au aceeași măsură. Motivul este simetria față de dreapta dusă din centru perpendicular pe amândouă: ea le taie pe fiecare la mijloc și oglindește figura. De aceea, cât timp cele două coarde au lungimi diferite, patrulaterul cu vârfurile în capetele lor este un trapez cu laturile neparalele egale; la coarde de aceeași lungime iese un dreptunghi. Coardele egal depărtate de centru au, la rândul lor, aceeași lungime.

Totul pornește de la un singur gest: perpendiculara din centrul $O$ pe o coardă trece prin mijlocul ei. Din asta ies două idei surori.

Dacă două coarde $[A B]$ și $[C D]$ sunt paralele, arcele dintre ele sunt congruente: $A C \equiv B D$ , iar patrulaterul $A B D C$ este un trapez isoscel.
Cu cât o coardă e mai aproape de centru, cu atât e mai lungă (diametrul, la distanța $0$ , e cea mai lungă). Două coarde egal depărtate de centru au aceeași lungime, și invers.

Instrumentul de calcul e mereu același triunghi dreptunghic: $(\frac{coard a ˘}{2})^{2} + d^{2} = r^{2}$ .

Exemplu: într-un cerc de rază $r = 10$ cm, o coardă la distanța $d = 6$ cm de centru are jumătatea $1 0^{2} - 6^{2} = 64 = 8$ cm, deci lungimea $16$ cm.

De reținut

coarde paralele → arcele dintre ele sunt congruente
coarde de lungimi diferite → trapez cu laturile neparalele egale; coarde egale → dreptunghi
depărtări egale de centru ↔ coarde egale
$(\frac{coard a ˘}{2})^{2} + d^{2} = r^{2}$

Greșeala tipică

Se crede că o coardă lungă stă departe de centru. Este pe dos: cu cât se apropie de centru, cu atât coarda crește, iar diametrul, care trece prin el, este cea mai lungă.

Exerciții din această mini-lecție

Într-un cerc, coardele $[A B]$ și $[C D]$ sunt paralele. Se știe că arcul mic $A C = 3 5^{\circ}$ . Cât măsoară arcul $B D$ ?
- a) $17, 5^{\circ}$
- b) $3 5^{\circ}$
- c) $7 0^{\circ}$
- d) $9 0^{\circ}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $3 5^{\circ}$

Arcele cuprinse între două coarde paralele sunt congruente, deci $B D \equiv A C = 3 5^{\circ}$ .
Într-un cerc de centru $O$ , coarda $[M N]$ se află la $3$ cm de centru, iar coarda $[P Q]$ la $8$ cm de centru. Care coardă este mai lungă?
- a) $[M N]$ , pentru că e mai aproape de centru
- b) $[P Q]$ , pentru că e mai departe de centru
- c) Sunt egale, distanța nu contează
- d) Nu se poate ști fără rază
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $[M N]$ , pentru că e mai aproape de centru

În același cerc, coarda mai apropiată de centru este mai lungă. Cum $3 cm < 8 cm$ , coarda $[M N]$ este mai lungă.
Într-un cerc, coardele $[M N]$ și $[P Q]$ sunt paralele. Se știe că arcul mic $M P = 4 8^{\circ}$ . Cât măsoară arcul $N Q$ ?
- a) $1 8^{\circ}$
- b) $4 8^{\circ}$
- c) $8 8^{\circ}$
- d) $9 6^{\circ}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $4 8^{\circ}$

Arcele cuprinse între două coarde paralele sunt congruente, deci $N Q \equiv M P = 4 8^{\circ}$ . Variantele a și c sunt valori apropiate obținute din calcule greșite, iar d este dublul arcului dat.

Întrebări conexe

Ce laturi egale are trapezul înscris în cerc?

Cele neparalele, adică laturile care unesc capetele celor două coarde. Ele închid arce de aceeași măsură, deci ies egale. Diagonalele acestui trapez sunt și ele egale, ceea ce se folosește des în probleme.

Poate una dintre coardele paralele să fie chiar diametrul?

Poate, iar atunci depărtarea lui până la centru este zero. Cealaltă coardă rămâne mai scurtă, oricât de aproape ar veni, fiindcă diametrul este coarda cea mai lungă. Arcele dintre ele rămân egale, ca la orice pereche de paralele.

Cum desenez o coardă paralelă cu una dată?

Duci din centru perpendiculara pe coarda dată, apoi măsori pe ea distanța dorită și trasezi acolo o dreaptă perpendiculară pe acea perpendiculară. Unde taie cercul se află capetele coardei noi, paralelă cu prima.

Ce coarde paralele apar într-un dreptunghi înscris în cerc?

Cele două perechi de laturi opuse sunt coarde paralele, iar diagonalele trec prin centru, fiind diametre. De aceea orice dreptunghi înscris are centrul cercului chiar la întâlnirea diagonalelor lui.

Ce proprietate are perpendiculara dusă din centru pe o coardă?

Ea cade tocmai în mijlocul coardei, deci o taie în două părți egale. Motivul este că razele duse la capete formează un triunghi isoscel, iar în el înălțimea din vârf este și mediană. Proprietatea se folosește ori de câte ori trebuie legată depărtarea de centru cu lungimea coardei.

Cum folosesc coardele paralele ca să aflu un arc necunoscut?

Egalezi arcele dintre paralele, apoi scazi din 360 de grade arcele știute și împarți restul în părți egale. Dacă un arc dinafară măsoară 100 de grade și cele două dintre paralele sunt egale, fiecare primește jumătate din ce rămâne.

Oamenii mai întreabă și: coarde paralele · arce între coarde paralele · trapez înscris în cerc · coarde egal depărtate de centru · coarde paralele arce congruente