Poligoane regulate înscrise într-un cerc

Ai observat vreodată forma unei piulițe de la o bicicletă, un semn de circulație „Cedează trecerea", fagurele de miere sau modelul unui fulg de zăpadă? În toate se ascunde aceeași idee matematică: un poligon regulat, adică o figură cu toate laturile la fel și toate unghiurile la fel, potrivită perfect într-un cerc. În această lecție descoperim cum se înscriu poligoanele regulate într-un cerc, cum construim cu rigla și compasul triunghiul echilateral, pătratul și hexagonul regulat și cum calculăm unghiurile lor. Sunt lucruri pe care le folosesc inginerii, arhitecții și designerii în fiecare zi.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști un poligon regulat și să explici de ce centrul lui coincide cu centrul cercului circumscris.
• Vei ști să construiești triunghiul echilateral, pătratul și hexagonul regulat înscrise într-un cerc, folosind compasul și rigla.
• Vei ști să calculezi măsura unghiului la centru și să împarți cercul în arce congruente.
• Vei ști să calculezi măsura unghiului interior al unui poligon regulat cu $n$ laturi.
• Vei ști să afli latura poligoanelor regulate uzuale ($l_3$, $l_4$, $l_6$) în funcție de raza cercului.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este un poligon regulat

Până acum ai lucrat cu multe poligoane: triunghiuri, patrulatere, poate și pentagoane sau hexagoane. Un poligon oarecare poate avea laturile de lungimi diferite și unghiurile de măsuri diferite. Dintre toate aceste figuri, unele sunt „perfecte" din punct de vedere al simetriei.

Definiție. Un poligon regulat este un poligon convex care are toate laturile congruente (de aceeași lungime) și toate unghiurile congruente (de aceeași măsură).

Atenție la un detaliu important: e nevoie de ambele condiții deodată.

• Un romb are toate laturile congruente, dar unghiurile nu sunt neapărat egale. Deci rombul (care nu e pătrat) nu e poligon regulat.
• Un dreptunghi are toate unghiurile congruente (câte $90°$), dar laturile nu sunt toate egale. Deci dreptunghiul (care nu e pătrat) nu e poligon regulat.
• Pătratul are și laturile congruente, și unghiurile congruente. Pătratul este poligonul regulat cu 4 laturi.

Poligoanele regulate se numesc după numărul de laturi:

• 3 laturi → triunghi echilateral (poligonul regulat cu 3 laturi);
• 4 laturi → pătrat;
• 5 laturi → pentagon regulat;
• 6 laturi → hexagon regulat;
• 8 laturi → octogon regulat (forma semnului „STOP") și așa mai departe.

2. De ce orice poligon regulat „încape" perfect într-un cerc

Iată proprietatea centrală a lecției, cea care leagă poligoanele regulate de cerc:

Proprietate. Pentru orice poligon regulat există un punct unic $O$, egal depărtat de toate vârfurile poligonului. Acest punct se numește centrul poligonului regulat, iar cercul cu centrul în $O$ care trece prin toate vârfurile se numește cercul circumscris poligonului. Spunem că poligonul este înscris în acest cerc.

Cum înțelegem intuitiv de ce există acest centru? Gândește-te la un hexagon regulat. Datorită simetriei sale perfecte, există un punct „din mijloc" care „vede" fiecare vârf la aceeași distanță. Acea distanță comună este chiar raza $R$ a cercului circumscris.

Deci reținem legătura fundamentală:

$$\text{distanța de la centru la fiecare vaˆrf}=R\text{ (raza cercului circumscris)}.$$

Această idee ne dă o strategie foarte comodă: în loc să desenăm un poligon regulat „din nimic", pornim de la un cerc și împărțim cercul în arce egale. Unind punctele obținute pe cerc, obținem exact vârfurile unui poligon regulat. Vom folosi această idee la construcții.

Am întâlnit deja cercul și unghiurile lui în lecțiile despre unghiul înscris în cerc și coarde și arce congruente în cerc. Vom folosi acum aceste cunoștințe.

3. Unghiul la centru și împărțirea cercului în arce congruente

Când unim centrul $O$ cu două vârfuri vecine ale poligonului, obținem un unghi. Acest unghi se numește unghi la centru.

Definiție. Unghiul la centru al unui poligon regulat este unghiul format de razele duse către două vârfuri consecutive. Toate unghiurile la centru ale unui poligon regulat sunt congruente.

Cum aflăm măsura lui? Foarte simplu. În jurul centrului $O$ avem un unghi complet, adică $360°$. Dacă poligonul are $n$ laturi, atunci are și $n$ vârfuri, deci $n$ unghiuri la centru egale care umplu împreună cei $360°$. Împărțind egal:

$$\boxed{\text{unghi la centru}=\frac{360°}{n}}$$

Fiecărui unghi la centru îi corespunde un arc de cerc cuprins între cele două vârfuri vecine. Deoarece unghiurile la centru sunt congruente, și arcele sunt congruente. Așadar:

Un poligon regulat cu $n$ laturi împarte cercul circumscris în $n$ arce congruente, fiecare arc având măsura $\frac{360°}{n}$.

Să facem un tabel cu poligoanele uzuale:

Verifică singur: $6\cdot 60°=360°$ pentru hexagon, $4\cdot 90°=360°$ pentru pătrat. Se potrivește de fiecare dată.

4. Unghiul interior al unui poligon regulat cu $n$ laturi

Unghiul interior este unghiul dintre două laturi vecine ale poligonului (unghiul „din colț", dinăuntrul figurii). El este diferit de unghiul la centru — nu le confunda!

Pentru a-l afla, pornim de la o proprietate pe care o știi de la patrulatere și triunghiuri: suma măsurilor unghiurilor interioare ale unui poligon cu $n$ laturi este

$$S=(n-2)\cdot 180°.$$

De unde vine? Orice poligon convex cu $n$ laturi se poate împărți, ducând diagonale dintr-un singur vârf, în exact $(n-2)$ triunghiuri. Fiecare triunghi contribuie cu $180°$, deci suma tuturor unghiurilor este $(n-2)\cdot 180°$. (Ai folosit deja cazul $n=4$: $(4-2)\cdot 180°=360°$, la patrulaterul convex.)

La un poligon regulat toate cele $n$ unghiuri interioare sunt egale, deci împărțim suma la $n$:

$$\boxed{\text{unghi interior}=\frac{(n-2)\cdot 180°}{n}}$$

Să completăm tabelul:

Observă un lucru frumos: la triunghiul echilateral unghiul la centru este $120°$, iar unghiul interior este $60°$; la hexagon este exact invers ($60°$ la centru, $120°$ interior). Nu e o coincidență — cu cât poligonul are mai multe laturi, cu atât unghiul la centru scade și unghiul interior crește (poligonul se apropie tot mai mult de forma cercului).

O relație utilă: unghiul la centru și unghiul interior sunt suplementare, adică se adună la $180°$:

$$\frac{360°}{n}+\frac{(n-2)\cdot 180°}{n}=\frac{360°+180°n-360°}{n}=\frac{180°n}{n}=180°.$$

Deci, dacă știi unul dintre ele, îl afli imediat pe celălalt scăzând din $180°$.

5. Construcția triunghiului echilateral, a pătratului și a hexagonului înscrise

Acum trecem la partea practică: desenăm efectiv aceste poligoane cu rigla și compasul, pornind de la un cerc dat, cu centrul $O$ și raza $R$.

a) Hexagonul regulat — cel mai simplu de construit

Hexagonul are o proprietate specială și extrem de comodă: latura hexagonului regulat este egală cu raza cercului circumscris. O vom demonstra imediat, dar mai întâi iată construcția:

1. Desenează un cerc cu centrul $O$ și raza $R$.
2. Alege un punct oarecare $A_1$ pe cerc.
3. Cu compasul deschis exact la raza $R$ (aceeași deschidere cu care ai desenat cercul), pune vârful în $A_1$ și taie cercul într-un punct $A_2$.
4. Mută vârful compasului în $A_2$ și taie din nou cercul în $A_3$. Continuă: $A_3\to A_4\to A_5\to A_6$.
5. Vei reveni exact în $A_1$ după 6 pași. Unește pe rând $A_1{A}_2{A}_3{A}_4{A}_5{A}_6$ și ai hexagonul regulat.

De ce funcționează? Ia un vârf $A_1$ și vecinul $A_2$. Triunghiul $O{A}_1{A}_2$ are $O{A}_1=O{A}_2=R$ (sunt raze), deci este isoscel. Unghiul la centru este $\angle A_{1}O{A}_2=\frac{360°}{6}=60°$. Într-un triunghi isoscel cu unghiul dintre laturile egale de $60°$, celelalte două unghiuri sunt tot $60°$ fiecare (pentru că sunt egale între ele și suma este $180°$: $\frac{180°-60°}{2}=60°$). Deci triunghiul $O{A}_1{A}_2$ este echilateral, ceea ce înseamnă că latura $A_1{A}_2=R$. Am demonstrat:

$$\boxed{l_6=R}$$

Latura hexagonului regulat este egală cu raza cercului circumscris.

b) Triunghiul echilateral — din hexagon

Odată ce ai cele 6 puncte ale hexagonului, triunghiul echilateral se obține instant: unește vârfurile din două în două. Adică unește $A_1,A_3,A_5$. Obții un triunghi echilateral înscris în același cerc.

De ce e echilateral? Fiecare latură a lui, de exemplu $A_1{A}_3$, subîntinde un arc format din două arce mici ale hexagonului, deci un unghi la centru de $2\cdot 60°=120°=\frac{360°}{3}$. Toate cele trei laturi subîntind arce egale de $120°$, deci coardele sunt egale (coarde egale ↔ arce egale, de la coarde și arce congruente). Prin urmare triunghiul $A_1{A}_3{A}_5$ este echilateral.

c) Pătratul — din două diametre perpendiculare

Pentru pătrat folosim o altă idee: două diametre perpendiculare taie cercul în patru puncte care sunt vârfurile pătratului.

1. Desenează cercul cu centrul $O$.
2. Trasează un diametru $A_1{A}_3$ (o dreaptă prin $O$ care taie cercul în două puncte diametral opuse).
3. Construiește perpendiculara pe $A_1{A}_3$ care trece prin $O$ (mediatoarea segmentului). Ea taie cercul în $A_2$ și $A_4$.
4. Unește $A_1{A}_2{A}_3{A}_4$. Ai pătratul.

De ce e pătrat? Cele patru unghiuri la centru sunt egale (câte $90°$, pentru că diametrele sunt perpendiculare), deci arcele sunt egale și cele patru coarde $A_1{A}_2$, $A_2{A}_3$, $A_3{A}_4$, $A_4{A}_1$ sunt egale. Un patrulater înscris cu toate laturile egale și cu diagonalele diametre (deci egale) este pătrat.

6. Latura pătratului și a triunghiului echilateral în funcție de rază

Pentru hexagon am găsit deja simplu $l_6=R$. Pentru pătrat și triunghiul echilateral avem nevoie de o mică socoteală cu radicali (pe care îi știi din capitolul despre numere reale) și de teorema lui Pitagora, pe care o vei aprofunda mai târziu, dar rezultatul îl reținem de pe acum.

Latura pătratului $l_4$. Diagonala pătratului înscris este un diametru, deci are lungimea $2R$. Într-un pătrat, diagonala și latura sunt legate prin relația $d=l\sqrt{2}$. Deci $2R=l_4\sqrt{2}$, de unde

$$l_4=\frac{2R}{\sqrt{2}}=\frac{2R}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{2R\sqrt{2}}{2}=R\sqrt{2}.$$

(Am raționalizat numitorul, exact ca la raționalizarea numitorului.) Reținem:

$$\boxed{l_4=R\sqrt{2}}$$

Latura triunghiului echilateral $l_3$. Aici rezultatul, pe care îl vei redemonstra complet la lecția de relații metrice, este:

$$\boxed{l_3=R\sqrt{3}}$$

Să strângem totul într-un tabel de referință (pentru un cerc de rază $R$):

Observă că, pe măsură ce numărul de laturi crește (de la triunghi la pătrat la hexagon), latura scade — logic, fiindcă un poligon cu mai multe laturi are laturi mai scurte pentru a se închide în același cerc.

7. Poligoanele regulate și simetria — de ce le folosim în practică

Poligoanele regulate nu sunt doar frumoase; ele sunt și foarte stabile și eficiente, iar de aceea apar peste tot în tehnologie și natură.

Un poligon regulat cu $n$ laturi are $n$ axe de simetrie care trec toate prin centrul $O$. La un pătrat sunt 4 axe de simetrie (două prin mijloacele laturilor opuse, două prin diagonale); la un hexagon regulat sunt 6; la un triunghi echilateral sunt 3. Această simetrie perfectă înseamnă că, dacă rotești figura în jurul centrului cu unghiul la centru $\frac{360°}{n}$, ea se suprapune exact peste ea însăși. Încearcă mental: rotește un hexagon cu $60°$ — arată la fel!

Iată de ce fabricanții aleg piulițe hexagonale: cheia le poate prinde din 6 poziții diferite, ceea ce e comod, iar forma rezistă bine la strângere. Fagurele albinelor este hexagonal fiindcă hexagoanele regulate umplu planul fără să lase spații goale și folosesc cel mai puțin material pentru cel mai mult volum — o soluție inteligentă a naturii. Semnul „STOP" este un octogon regulat pentru a fi ușor de recunoscut de departe și din orice unghi.

Reține și legătura cu lecțiile despre coarde: fiecare latură a poligonului regulat este o coardă a cercului circumscris, iar laturile fiind egale înseamnă că sunt coarde egale, deci egal depărtate de centru — exact proprietatea studiată la coarde egal depărtate de centru. Distanța comună de la centru la fiecare latură se numește apotemă și o vei folosi mult la calculul ariilor în anii următori.

8. Recapitulare rapidă a formulelor

Pentru orice poligon regulat cu $n$ laturi, înscris într-un cerc de rază $R$:

• unghi la centru: $\frac{360°}{n}$;
• unghi interior: $\frac{(n-2)\cdot 180°}{n}$;
• unghi la centru $+$ unghi interior $=180°$;
• cercul se împarte în $n$ arce congruente, fiecare de $\frac{360°}{n}$;
• $l_3=R\sqrt{3}$, $l_4=R\sqrt{2}$, $l_6=R$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Unghiul la centru și unghiul interior ale unui octogon

Enunț. Un octogon regulat (poligon cu 8 laturi) este înscris într-un cerc. Află măsura unghiului la centru și a unghiului interior.

Rezolvare.

Unghiul la centru: $$\frac{360°}{n}=\frac{360°}{8}=45°.$$

Unghiul interior: $$\frac{(n-2)\cdot 180°}{n}=\frac{(8-2)\cdot 180°}{8}=\frac{6\cdot 180°}{8}=\frac{1080°}{8}=135°.$$

Verificare. $45°+135°=180°$, exact cât trebuie (sunt suplementare). ✓

Exemplul 2 — Aflarea numărului de laturi dintr-un unghi la centru

Enunț. Un poligon regulat este înscris într-un cerc, iar unghiul lui la centru are $24°$. Câte laturi are poligonul?

Rezolvare.

Știm că unghiul la centru este $\frac{360°}{n}$. Deci: $$\frac{360°}{n}=24°⟹n=\frac{360°}{24°}=15.$$

Poligonul are 15 laturi.

Verificare. $\frac{360°}{15}=24°$. ✓

Exemplul 3 — Aflarea numărului de laturi dintr-un unghi interior

Enunț. Câte laturi are un poligon regulat al cărui unghi interior măsoară $150°$?

Rezolvare.

Metoda 1 (prin unghiul la centru — cea mai rapidă). Unghiul la centru este suplementul unghiului interior: $$\text{unghi la centru}=180°-150°=30°.$$ Atunci $\frac{360°}{n}=30°⟹n=\frac{360°}{30°}=12.$

Metoda 2 (direct din formula unghiului interior). $$\frac{(n-2)\cdot 180°}{n}=150°.$$ Înmulțim cu $n$: $(n-2)\cdot 180°=150°\cdot n$, deci $180°n-360°=150°n$, adică $30°n=360°$, de unde $n=12$.

Poligonul are 12 laturi (dodecagon regulat). Ambele metode dau același rezultat. ✓

Exemplul 4 — Latura hexagonului și perimetrul lui

Enunț. Un hexagon regulat este înscris într-un cerc de rază $R=8$ cm. Află latura hexagonului și perimetrul lui.

Rezolvare.

La hexagon, latura este egală cu raza: $$l_6=R=8\text{ cm}.$$

Perimetrul are 6 laturi: $$P=6\cdot l_6=6\cdot 8=48\text{ cm}.$$

Perimetrul hexagonului este 48 cm.

Exemplul 5 — Latura pătratului și a triunghiului echilateral

Enunț. Un cerc are raza $R=5$ cm. Află latura pătratului și latura triunghiului echilateral înscrise în acest cerc. Lasă rezultatele cu radical.

Rezolvare.

Pătratul: $$l_4=R\sqrt{2}=5\sqrt{2}\text{ cm}\approx 5\cdot 1,41=7,05\text{ cm}.$$

Triunghiul echilateral: $$l_3=R\sqrt{3}=5\sqrt{3}\text{ cm}\approx 5\cdot 1,73=8,65\text{ cm}.$$

Observăm că latura triunghiului este mai mare decât a pătratului, deși ambele sunt în același cerc — normal, fiindcă triunghiul are mai puține laturi. ✓

Exemplul 6 — Măsura unui arc și problemă combinată

Enunț. Un pentagon regulat $ABCDE$ este înscris într-un cerc cu centrul $O$. a) Cât măsoară arcul mic $\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}$? b) Cât măsoară unghiul $\angle AOB$? c) Cât măsoară un unghi interior al pentagonului, de exemplu $\angle ABC$?

Rezolvare.

a) Pentagonul împarte cercul în 5 arce congruente, deci fiecare arc mic măsoară: $$\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}=\frac{360°}{5}=72°.$$

b) Unghiul la centru $\angle AOB$ are aceeași măsură ca arcul pe care îl subîntinde: $$\angle AOB=72°.$$

c) Unghiul interior: $$\angle ABC=\frac{(5-2)\cdot 180°}{5}=\frac{3\cdot 180°}{5}=\frac{540°}{5}=108°.$$

Verificare. $72°+108°=180°$ ✓, iar suma tuturor unghiurilor interioare este $5\cdot 108°=540°=(5-2)\cdot 180°$. ✓

Exemplul 7 — Diagonala și raza la pătrat

Enunț. Un pătrat cu latura de $10$ cm este înscris într-un cerc. Cât este raza cercului?

Rezolvare.

Diagonala pătratului este un diametru al cercului. Pentru pătrat, $l_4=R\sqrt{2}$, deci $R=\frac{l_4}{\sqrt{2}}$: $$R=\frac{10}{\sqrt{2}}=\frac{10}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{10\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{2}\text{ cm}\approx 7,07\text{ cm}.$$

Raza este $5\sqrt{2}$ cm. Verificare: $R\sqrt{2}=5\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=5\cdot 2=10$ cm $=l_4$. ✓

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Verifică apoi la secțiunea de răspunsuri.

1. Completează definiția: un poligon este regulat dacă are toate laturile ______ și toate unghiurile ______.

2. Adevărat sau fals (cu motivare): „Orice romb este poligon regulat."

3. Adevărat sau fals (cu motivare): „Latura unui hexagon regulat este egală cu raza cercului circumscris."

4. Calculează măsura unghiului la centru pentru un poligon regulat cu: a) 3 laturi; b) 5 laturi; c) 9 laturi; d) 10 laturi.

5. Calculează măsura unghiului interior pentru un poligon regulat cu: a) 6 laturi; b) 8 laturi; c) 12 laturi.

6. Un poligon regulat are unghiul la centru de $40°$. Câte laturi are?

7. Un poligon regulat are unghiul la centru de $18°$. Câte laturi are? Câte arce congruente formează pe cerc și cât măsoară fiecare?

8. Un poligon regulat are unghiul interior de $140°$. Câte laturi are? (Indicație: folosește suplementul.)

9. Un hexagon regulat este înscris într-un cerc de rază $R=12$ cm. Află: a) latura hexagonului; b) perimetrul hexagonului.

10. Un pătrat este înscris într-un cerc de rază $R=6$ cm. Află latura pătratului (cu radical) și apoi perimetrul lui.

11. Un triunghi echilateral este înscris într-un cerc de rază $R=4$ cm. Cât este latura lui (cu radical)?

12. Perimetrul unui hexagon regulat înscris este de $54$ cm. Cât este raza cercului circumscris?

13. Justificare. Explică, folosind unghiul la centru, de ce triunghiul $O{A}_1{A}_2$ format de centru și două vârfuri vecine ale unui hexagon regulat este echilateral.

14. Un pentagon regulat și un octogon regulat sunt înscrise, fiecare, în câte un cerc. Care dintre ele are unghiul interior mai mare? Cu cât?

15. Desenează/construiește. Folosind compasul și rigla, desenează un cerc de rază $3$ cm și construiește în el un hexagon regulat. Apoi unește vârfurile din două în două și evidențiază triunghiul echilateral obținut.

16. Latura unui pătrat înscris într-un cerc este $l_4=7\sqrt{2}$ cm. Cât este raza cercului?

17. Problemă aplicată. O piuliță metalică are forma unui hexagon regulat. Fabricantul spune că „diametrul cercului în care se înscrie" (distanța dintre două vârfuri opuse) este $20$ mm. Cât este latura hexagonului?

18. Suma tuturor unghiurilor interioare ale unui poligon regulat este $1440°$. Câte laturi are poligonul și cât măsoară un unghi interior?

19. Câte axe de simetrie are un pătrat? Dar un hexagon regulat? Dar un triunghi echilateral?

20. Problemă aplicată. Un designer vrea o dală în formă de octogon regulat înscris într-un cerc de rază $R=10$ cm. a) Cât este unghiul la centru? b) În câte arce egale împarte octogonul cercul și cât are fiecare? c) Cât este unghiul interior al octogonului?

Răspunsuri și explicații

1. congruente (la fel de lungi) și congruente (de aceeași măsură). Trebuie ambele condiții simultan.

2. Fals. Rombul are laturile congruente, dar unghiurile nu sunt neapărat egale (doar dacă e pătrat). Îi lipsește condiția asupra unghiurilor, deci nu e regulat.

3. Adevărat. Am demonstrat că triunghiul $O{A}_1{A}_2$ (centru + două vârfuri vecine) este echilateral, deci latura $A_1{A}_2$ este egală cu raza: $l_6=R$.

4. Formula $\frac{360°}{n}$: a) $\frac{360°}{3}=120°$; b) $\frac{360°}{5}=72°$; c) $\frac{360°}{9}=40°$; d) $\frac{360°}{10}=36°$.

5. Formula $\frac{(n-2)\cdot 180°}{n}$: a) $\frac{4\cdot 180°}{6}=120°$; b) $\frac{6\cdot 180°}{8}=135°$; c) $\frac{10\cdot 180°}{12}=150°$.

6. $\frac{360°}{n}=40°⟹n=\frac{360°}{40°}=9$ laturi.

7. $\frac{360°}{n}=18°⟹n=\frac{360°}{18°}=20$ laturi. Formează 20 de arce congruente, fiecare de $18°$ (arcul are aceeași măsură ca unghiul la centru).

8. Unghiul la centru $=180°-140°=40°$, deci $n=\frac{360°}{40°}=9$ laturi.

9. a) $l_6=R=12$ cm; b) $P=6\cdot 12=72$ cm.

10. $l_4=R\sqrt{2}=6\sqrt{2}$ cm; $P=4\cdot 6\sqrt{2}=24\sqrt{2}$ cm $\approx 33,9$ cm.

11. $l_3=R\sqrt{3}=4\sqrt{3}$ cm $\approx 6,93$ cm.

12. Hexagonul are 6 laturi, deci $l_6=\frac{54}{6}=9$ cm. Cum $l_6=R$, avem $R=9$ cm.

13. În triunghiul $O{A}_1{A}_2$: laturile $O{A}_1$ și $O{A}_2$ sunt raze, deci egale ($=R$), iar unghiul dintre ele (unghiul la centru) este $\frac{360°}{6}=60°$. Triunghiul fiind isoscel cu unghiul de la vârf de $60°$, celelalte două unghiuri sunt egale și însumează $180°-60°=120°$, deci fiecare are $60°$. Toate unghiurile fiind de $60°$, triunghiul este echilateral, deci și $A_1{A}_2=R$.

14. Unghi interior pentagon $=108°$; unghi interior octogon $=135°$. Octogonul are unghiul interior mai mare, cu $135°-108°=27°$. (Cu cât are mai multe laturi, cu atât unghiul interior e mai mare.)

15. Construcție practică: cerc de rază $3$ cm; cu compasul deschis la $3$ cm, „pași" pe cerc șase puncte; unești vecinii → hexagon; unești din două în două ($A_1{A}_3{A}_5$) → triunghi echilateral. (Verifică: latura hexagonului trebuie să iasă $3$ cm, egală cu raza.)

16. $l_4=R\sqrt{2}⟹7\sqrt{2}=R\sqrt{2}⟹R=7$ cm.

17. „Distanța dintre două vârfuri opuse" ale hexagonului este un diametru, deci $2R=20$ mm, adică $R=10$ mm. Latura hexagonului: $l_6=R=10$ mm.

18. $(n-2)\cdot 180°=1440°⟹n-2=\frac{1440°}{180°}=8⟹n=10$ laturi. Un unghi interior: $\frac{1440°}{10}=144°$.

19. Pătratul are 4 axe de simetrie; hexagonul regulat are 6; triunghiul echilateral are 3. (În general, un poligon regulat cu $n$ laturi are $n$ axe de simetrie.)

20. a) Unghi la centru $=\frac{360°}{8}=45°$; b) împarte cercul în 8 arce congruente, fiecare de $45°$; c) unghi interior $=\frac{(8-2)\cdot 180°}{8}=135°$. (Raza $R=10$ cm nu era necesară pentru unghiuri — a fost o informație în plus.)

De reținut

• Un poligon regulat are toate laturile congruente ȘI toate unghiurile congruente (ambele condiții).
• Centrul poligonului regulat coincide cu centrul cercului circumscris; distanța de la centru la fiecare vârf este raza $R$.
• Unghi la centru $=\frac{360°}{n}$; poligonul împarte cercul în $n$ arce congruente de $\frac{360°}{n}$ fiecare.
• Unghi interior $=\frac{(n-2)\cdot 180°}{n}$; unghiul la centru și cel interior sunt suplementare (se adună la $180°$).
• Laturile poligoanelor uzuale: $l_6=R,l_4=R\sqrt{2},l_3=R\sqrt{3}.$

Greșeli frecvente

• Confunzi unghiul la centru cu unghiul interior. Unghiul la centru pornește din centrul $O$ (între două raze); unghiul interior este în vârful poligonului (între două laturi). La hexagon: $60°$ la centru, $120°$ interior — sunt diferite! Reține că se adună la $180°$.
• Crezi că orice romb sau dreptunghi e poligon regulat. Rombului îi lipsesc unghiurile egale, dreptunghiului îi lipsesc laturile egale. Doar pătratul îndeplinește ambele condiții.
• Confunzi $l_4$ cu $l_3$. Latura pătratului este $R\sqrt{2}$, iar a triunghiului echilateral este $R\sqrt{3}$. Ține minte: triunghiul (mai puține laturi) are latura mai lungă, deci ia radicalul mai mare ($\sqrt{3}>\sqrt{2}$).
• Uiți că la hexagon latura este chiar raza. Nu e nevoie de radical: $l_6=R$. Iar „distanța dintre vârfuri opuse" este diametrul $2R$, nu latura.

Aplică acasă

1. Vânătoare de poligoane regulate. Caută prin casă și pe stradă obiecte cu formă de poligon regulat: piulițe hexagonale, semnul „STOP" (octogon), plăci de gresie, table de joc, semne de circulație. Fotografiază 5 și scrie pentru fiecare câte laturi are, cât e unghiul la centru și cât e unghiul interior.

2. Construiește un hexagon perfect. Cu un compas și o riglă, desenează un cerc de rază la alegere și construiește un hexagon regulat pas cu pas („pași" cu compasul deschis la rază). Măsoară latura cu rigla și verifică dacă iese egală cu raza. Apoi transformă hexagonul în triunghi echilateral unind vârfurile din două în două.

3. Steaua din pătrat și triunghi. Într-un cerc de rază $5$ cm construiește un pătrat înscris și, în același cerc, un triunghi echilateral. Compară pe desen laturile: care e mai lungă? Verifică prin calcul ($5\sqrt{2}$ față de $5\sqrt{3}$) că măsurătoarea ta se potrivește cu formula.

Pentru părinți și profesori

Această lecție conectează două idei mari: simetria poligoanelor regulate și cercul. Pentru a sprijini elevul, cel mai valoros ajutor este un compas și cinci minute de construcție efectivă — matematica devine vie când vede că, deschizând compasul exact la rază, cercul se împarte perfect în șase.

Întrebări de verificare a înțelegerii:

• „Ce înseamnă că un poligon este regulat? Dă-mi un exemplu de figură cu laturi egale care NU e regulată." (Răspuns așteptat: rombul.)
• „Care e diferența dintre unghiul la centru și unghiul interior? Arată-mi pe desen unde e fiecare."
• „De ce latura hexagonului regulat este egală cu raza?" (Să poată invoca triunghiul echilateral $O{A}_1{A}_2$.)
• „Fără să calculezi cu formula, care are unghiul interior mai mare: hexagonul sau octogonul? De ce?" (Cel cu mai multe laturi.)

Semne că elevul a înțeles: aplică corect ambele formule ($\frac{360°}{n}$ și $\frac{(n-2)180°}{n}$), nu confundă cele două tipuri de unghiuri, verifică singur că se adună la $180°$ și distinge $l_3$, $l_4$, $l_6$. Dacă greșește, întoarceți-vă la desen: aproape toate confuziile dispar când elevul marchează pe figură ce unghi calculează.

Întrebări frecvente

Ce este un poligon regulat înscris într-un cerc la clasa a 7-a? Este un poligon cu toate laturile congruente și toate unghiurile congruente, ale cărui vârfuri se află toate pe un cerc (cercul circumscris). Centrul cercului este egal depărtat de fiecare vârf, distanța fiind raza $R$.

Cum calculez măsura unghiului la centru al unui poligon regulat? Se folosește formula $\frac{360°}{n}$, unde $n$ este numărul de laturi. De exemplu, la un hexagon regulat unghiul la centru este $\frac{360°}{6}=60°$, iar la un pătrat este $\frac{360°}{4}=90°$.

Cum calculez unghiul interior al unui poligon regulat cu n laturi? Cu formula $\frac{(n-2)\cdot 180°}{n}$. De exemplu, pentru un pentagon regulat ($n=5$): $\frac{3\cdot 180°}{5}=108°$. O metodă rapidă e să scazi unghiul la centru din $180°$, pentru că cele două sunt suplementare.

De ce latura hexagonului regulat este egală cu raza cercului? Pentru că triunghiul format de centru și două vârfuri vecine are două laturi egale cu raza și unghiul dintre ele de $60°$, deci este echilateral. Rezultă că a treia latură, care este chiar latura hexagonului, este tot egală cu raza: $l_6=R$.

Care este latura triunghiului echilateral și a pătratului înscrise într-un cerc de rază R? Latura triunghiului echilateral este $l_3=R\sqrt{3}$, iar latura pătratului este $l_4=R\sqrt{2}$. Pentru hexagon, mai simplu, $l_6=R$.

Cum construiesc un hexagon regulat cu compasul și rigla? Desenezi un cerc, apoi, păstrând compasul deschis exact la raza cercului, marchezi din pas în pas șase puncte pe cerc, pornind dintr-un punct oarecare. Unind cele șase puncte obții hexagonul regulat, iar unind din două în două obții triunghiul echilateral.

Care e diferența dintre unghiul la centru și unghiul interior? Unghiul la centru se formează în centrul cercului, între două raze duse către vârfuri vecine, și are măsura $\frac{360°}{n}$. Unghiul interior se formează într-un vârf al poligonului, între două laturi, și are măsura $\frac{(n-2)180°}{n}$. Ele sunt suplementare (se adună la $180°$).

Rombul și dreptunghiul sunt poligoane regulate? Nu. Rombul are laturile congruente, dar nu neapărat unghiurile; dreptunghiul are unghiurile congruente, dar nu neapărat laturile. Singurul patrulater regulat este pătratul, care are și laturile, și unghiurile congruente.