Coardele $$[MN]$$ și $$[PQ]$$ ale aceluiași cerc de centru $$O$$ sunt egal depărtate de centru. Ce putem afirma cu siguranță?

$$MN$$ este întotdeauna mai mare decât $$PQ$$

$$[MN]$$ și $$[PQ]$$ sunt neapărat paralele

Nu putem spune nimic despre lungimile lor

Când sunt două coarde congruente?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Coarde și arce congruente

În același cerc, două coarde au aceeași lungime tocmai când arcele pe care le taie au aceeași măsură, iar acest lucru merge și pe drumul invers. Tot atunci ele se află la aceeași depărtare de centru. Motivul stă în triunghiurile formate de raze cu fiecare coardă, care se suprapun. De aici iese și comparația: coarda apropiată de centru este mai lungă, iar diametrul, care trece prin centru, este cea mai lungă.

Într-un cerc, arcele și coardele sunt strâns legate. Regula de aur: la arce congruente corespund coarde congruente și reciproc — dacă $m (A B ⌢) = m (C D ⌢)$ , atunci $A B = C D$ , și invers. Motivul: măsura unui arc este chiar măsura unghiului la centru, iar triunghiurile formate de raze cu coarda sunt congruente (L.U.L. sau L.L.L.).

A doua regulă leagă coarda de distanța de la centru $d$ : cu cât o coardă e mai aproape de centru, cu atât e mai lungă; coarde egal depărtate de centru sunt congruente. Legătura numerică vine din Pitagora: $r^{2} = d^{2} + (\frac{A B}{2})^{2}$ .

Exemplu: dacă $r = 13$ cm și $d = 5$ cm, jumătatea coardei este $1 3^{2} - 5^{2} = 144 = 12$ , deci coarda are $24$ cm.

De reținut

în același cerc: arce congruente ↔ coarde congruente
coarde egal depărtate de centru ↔ coarde congruente
$r^{2} = d^{2} + (\frac{coard a ˘}{2})^{2}$
coarda apropiată de centru este mai lungă

Greșeala tipică

Proprietatea se aplică între două cercuri de raze diferite. Arce de aceeași măsură dau coarde egale numai în același cerc sau în cercuri cu raze la fel.

Exerciții din această mini-lecție

Într-un cerc de centru $O$ , $m (A B ⌢) = 8 4^{\circ}$ și $m (E F ⌢) = 8 4^{\circ}$ . Se știe că $A B = 9$ cm. Cât este $E F$ ?
- a) $E F = 4, 5$ cm
- b) $E F = 9$ cm
- c) $E F = 84$ cm
- d) Nu se poate afla fără rază
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $E F = 9$ cm

Arcele $A B ⌢$ și $E F ⌢$ au aceeași măsură ( $8 4^{\circ}$ ), deci sunt congruente. Conform teoremei „la arce congruente corespund coarde congruente", rezultă $E F = A B = 9$ cm.
Coardele $[M N]$ și $[P Q]$ ale aceluiași cerc de centru $O$ sunt egal depărtate de centru. Ce putem afirma cu siguranță?
- a) $M N = P Q$
- b) $M N$ este întotdeauna mai mare decât $P Q$
- c) $[M N]$ și $[P Q]$ sunt neapărat paralele
- d) Nu putem spune nimic despre lungimile lor
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $M N = P Q$

Teorema spune că, într-un cerc, două coarde egal depărtate de centru sunt congruente, adică au aceeași lungime: $M N = P Q$ . Egalitatea distanțelor nu spune nimic despre orientarea (paralelismul) coardelor.
Într-un cerc de centru $O$ , $m (G H ⌢) = 6 3^{\circ}$ și $m (I J ⌢) = 6 3^{\circ}$ . Se știe că $G H = 11$ cm. Cât este $I J$ ?
- a) $I J = 31$ cm
- b) $I J = 11$ cm
- c) $I J = 21$ cm
- d) Nu se poate afla fără rază
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $I J = 11$ cm

Arcele $G H ⌢$ și $I J ⌢$ au aceeași măsură ( $6 3^{\circ}$ ), deci sunt congruente. Conform teoremei „la arce congruente corespund coarde congruente", rezultă $I J = G H = 11$ cm.

Întrebări conexe

Ce coardă corespunde unui arc de 60 de grade?

Una egală cu raza. Unghiul la centru are tot 60 de grade, iar triunghiul format cu cele două raze are două laturi egale și un unghi de 60, deci este echilateral. Așa se construiește hexagonul regulat înscris.

Ce triunghiuri congruente apar când unesc centrul cu capetele a două coarde egale?

Două triunghiuri cu toate laturile la fel: câte două raze și coarda. Din congruența lor ies unghiuri la centru egale, deci și arce egale. Acesta este chiar raționamentul care leagă coardele de arce.

Pot exista două coarde egale care să nu fie egal depărtate de centru?

Nu, în același cerc. Depărtarea se calculează din rază și din jumătatea coardei, deci la coarde egale iese același număr. Dacă depărtările ies diferite, atunci sigur și coardele sunt de lungimi diferite.

Ce se întâmplă cu arcul mare când arcele mici sunt congruente?

Sunt și ele congruente, fiindcă fiecare se obține scăzând arcul mic din 360 de grade. Așadar egalitatea se transmite de la o pereche la cealaltă, iar în probleme poți lucra cu oricare dintre ele.

Cum verific cu compasul că două coarde sunt congruente?

Deschizi compasul cât una dintre ele și încerci deschiderea pe cealaltă. Dacă vârfurile cad exact peste capete, coardele sunt egale. Aceeași metodă merge și la arce, măsurând coarda fiecăruia, nu curba.

Ce legătură este între coarde congruente și unghiurile la centru?

Coardele egale se sprijină pe unghiuri la centru egale, fiindcă arcul are aceeași măsură cu unghiul care îl cuprinde. Așadar cele trei lucruri merg împreună: unghiuri egale, arce egale și coarde egale.

Oamenii mai întreabă și: coarde congruente · arce congruente · coarde egal depărtate de centru · legătura dintre arce și coarde · care coardă e mai lungă