Coordonatele mijlocului unui segment (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Pe o probă plană sunt marcate două capete ale unei linii de măsurare. Pentru a așeza un reper exact la jumătate, nu este suficient să alegem un punct care pare central în imagine. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), coordonatele mijlocului transformă această cerință într-un calcul precis. Tema este necesară atât pentru Bacalaureatul M2 2027–2029, cât și pentru „Geometrie. Trigonometrie” din programa MAT_P2 pentru 2030.

Vei folosi coordonatele punctelor și, pentru unele verificări, distanța dintre două puncte. Formula de astăzi produce o pereche de numere, adică o poziție. Ea nu produce direct lungimea segmentului. După identificarea mijlocului, lungimile se pot verifica separat, fără a confunda obiectele calculate. Calculul lungimilor va fi aplicat apoi la figuri și perimetre în reper.

Ce vei învăța

Vei preciza condițiile care definesc mijlocul unui segment cu capete distincte.
Vei calcula cele două coordonate prin mediile componentelor corespondente.
Vei respinge un candidat care este egal depărtat de capete, dar nu se află pe segment.
Vei reconstrui un capăt atunci când celălalt capăt și mijlocul sunt cunoscute.
Vei rezolva o condiție de mijloc comun prin două egalități de coordonate.
Vei interpreta mijloacele succesive și condițiile pentru coordonate întregi, fără formule avansate de împărțire în raport.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă exact „la mijloc”?

Pentru două puncte distincte $A$ și $B$ , mijlocul segmentului $A B$ este punctul $M$ de pe segment pentru care $A M = M B$ . Definiția conține două informații: punctul aparține segmentului și cele două lungimi sunt egale. Dacă păstrăm numai a doua condiție, obținem în general și alte puncte ale planului.

Poți vedea diferența ridicând un punct deasupra centrului unui segment orizontal. El poate rămâne la distanțe egale de capete, dar nu mai împarte segmentul în două. Cuvântul „mijloc” privește punctul de pe segment, nu orice poziție simetrică față de capetele lui.

Pentru capete distincte, mijlocul este unic. Deplasându-ne de la un capăt la celălalt de-a lungul segmentului, jumătatea lungimii indică o singură poziție. Ordinea în care numim capetele nu schimbă acel punct; mijlocul lui $A B$ este și mijlocul lui $B A$ .

Dacă cele două etichete coincid, segmentul are lungime zero. Formula coordonatelor va întoarce aceeași poziție, ceea ce este o convenție naturală pentru cazul degenerat. Când o problemă presupune un segment cu două capete distincte, verificăm această ipoteză și nu ascundem coincidența sub un desen obișnuit.

2. De ce folosim media fiecărei coordonate?

Pe o axă numerică, numărul aflat la jumătatea dintre două valori este media lor aritmetică. În plan aplicăm această idee separat celor două componente. Proiecțiile mijlocului împart la jumătate și separările orizontală, respectiv verticală dintre capete.

Pentru $A (x_{A}, y_{A})$ și $B (x_{B}, y_{B})$ , obținem:

$M (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}, \frac{y _{A} + y _{B}}{2}) .$

În figura de descoperire, punctele sunt $A (- 4, 1)$ și $B (2, 5)$ . Media absciselor este minus unu, iar media ordonatelor este trei, deci $M (- 1, 3)$ . Desenul evidențiază poziția pe segment și permite urmărirea celor două componente ale aceleiași înjumătățiri.

Formula rămâne valabilă când o coordonată este aceeași la ambele capete. Media acelei valori cu ea însăși este tot valoarea inițială, iar mijlocul rămâne pe aceeași orizontală sau verticală. Nu avem nevoie de o excepție separată pentru fiecare orientare a segmentului.

Dacă vrei să controlezi algebra, scade coordonatele lui $A$ din cele ale lui $M$ . Obții jumătate din diferențele dintre $B$ și $A$ . De la $M$ la $B$ obții aceleași două diferențe. Mijlocul se află la jumătatea deplasării pe fiecare direcție, ceea ce explică legătura dintre formulă și configurația geometrică.

3. Ce controale rapide putem face asupra rezultatului?

Media a două numere reale este cuprinsă între ele. Prin urmare, abscisa mijlocului nu poate ieși din intervalul absciselor capetelor, iar ordonata nu poate ieși din intervalul ordonatelor. Acesta este un control necesar și simplu după calcul.

Totuși, a fi în dreptunghiul determinat de aceste două intervale nu este suficient pentru a fi mijloc. Există multe puncte ale acelui dreptunghi care nu aparțin segmentului dintre capete. Controlul poate respinge o greșeală evidentă, dar nu înlocuiește cele două medii exacte.

De asemenea, faptul că o singură coordonată este media corectă nu dovedește poziția de mijloc. Cele două componente trebuie să aparțină aceluiași punct și să fie corecte simultan. Dacă un candidat are abscisa potrivită și ordonata greșită, nu îl putem numi „aproape mijloc” într-o problemă cu date exacte.

Un control mai complet folosește formula distanței și apartenența la segment, dar nu este necesar să îl repeți în fiecare problemă simplă. Formula coordonatelor a fost dedusă tocmai pentru a identifica direct punctul potrivit. Verificarea prin distanțe devine utilă când analizăm o afirmație a altcuiva sau o condiție geometrică suplimentară.

4. Cum reconstruim capătul necunoscut?

Dacă știm $A$ și mijlocul $M$ , scriem egalitățile $2 x_{M} = x_{A} + x_{B}$ și $2 y_{M} = y_{A} + y_{B}$ . Separând coordonatele necunoscute, obținem $x_{B} = 2 x_{M} - x_{A}$ și $y_{B} = 2 y_{M} - y_{A}$ . Sunt două ecuații de gradul întâi, nu o regulă nouă fără legătură cu media.

Geometric, continuăm de la $M$ în aceeași direcție în care am venit din $A$ și cu aceeași deplasare. Punctul reconstruit se află de partea opusă față de $A$ , în raport cu mijlocul, dacă segmentul este nedegenerat. De aceea $B$ se mai numește simetricul lui $A$ față de $M$ : același calcul, alt nume. Un desen orientativ poate detecta un rezultat plasat greșit între $A$ și $M$ .

În verificare, recalculează mijlocul dintre capătul dat și cel obținut. Trebuie să recuperezi exact perechea lui $M$ . Această verificare controlează ambele coordonate și ordinea rolurilor. Este important să nu schimbi, pe parcurs, punctul considerat capăt cu punctul considerat mijloc.

Datele $A$ și $M$ determină un singur $B$ . Dacă $A = M$ , formula produce $B = A$ , deci cazul degenerat. Dacă problema cere capete distincte, această situație trebuie menționată ca incompatibilă cu acea cerință, chiar dacă operațiile algebrice au fost efectuate corect.

5. Ce înseamnă un mijloc comun?

Două segmente pot avea același mijloc fără să aibă aceeași lungime sau aceeași direcție. Calculăm perechea mijlocului fiecărui segment și cerem egalitatea componentelor corespondente. Echivalent, sumele absciselor capetelor sunt egale și sumele ordonatelor capetelor sunt egale.

Factorul doi din ambele medii se poate simplifica, dar este bine să scrii întâi ce mijloace compari. Altfel, patru nume de puncte pot fi asociate greșit. Identificarea perechilor care formează segmentele este o parte a rezolvării, nu doar o etapă de redactare.

Dacă unul dintre capete este originea, coordonatele sale sunt nule. Acest lucru simplifică sumele, fără a modifica regula. O necunoscută dintr-o coordonată se determină printr-o ecuație, iar necunoscuta din cealaltă coordonată prin cealaltă. Verificăm apoi poziția completă în condiția geometrică inițială.

Nu deducem automat proprietăți suplimentare care nu au fost cerute. De exemplu, un mijloc comun nu implică egalitatea tuturor distanțelor dintre cele patru capete. El oferă o anumită simetrie a perechilor, iar fiecare concluzie nouă trebuie justificată. La nivelul acestei lecții folosim exact condiția de mijloc comun și calculele ei directe.

6. Ce se întâmplă cu punctele de coordonate întregi?

Două coordonate întregi au media întreagă dacă suma lor este pară. Așadar, pentru două capete cu coordonate întregi, mijlocul are ambele coordonate întregi exact când suma absciselor și suma ordonatelor sunt ambele pare. Putem verifica acest lucru înainte de a desena.

Aceeași condiție se poate exprima spunând că abscisele au aceeași paritate și ordonatele au aceeași paritate. Nu este necesar ca toate cele patru coordonate să aibă aceeași paritate între ele. Verificarea se face pe componente corespondente, la fel ca media.

Dacă una dintre sume este impară, mijlocul are pe acea direcție o jumătate de unitate, nu un întreg. Acest rezultat nu face punctul invalid și nu cere mutarea lui la nodul cel mai apropiat. Grila cu noduri întregi este doar o parte dintre punctele planului.

Într-o aplicație unde marcajele sunt permise numai la coordonate întregi, întrebarea devine dacă mijlocul exact este un marcaj admis. Atunci o fracție poate respinge condiția practică, fără a respinge existența geometrică a mijlocului. Distincția dintre existență și restricția asupra locurilor permise trebuie păstrată în răspuns.

7. Ce obținem prin înjumătățiri succesive?

După ce ai găsit mijlocul $M$ al lui $A B$ , poți găsi mijlocul $N$ al lui $A M$ . Aplici aceeași formulă, de această dată capetelor $A$ și $M$ . Nu recalculezi media lui $A$ și $B$ sub alt nume, deoarece segmentul s-a schimbat.

Pe segmentul inițial, $A M$ are jumătate din lungimea lui $A B$ , iar $A N$ are jumătate din lungimea lui $A M$ . Prin urmare, $A N$ este un sfert din $A B$ . Această concluzie folosește două înjumătățiri simple. Nu este necesară o formulă generală de împărțire a unui segment într-un raport arbitrar.

Punctul $N$ nu coincide în general cu mijlocul lui $M B$ . Cele două jumătăți ale segmentului inițial au mijloace diferite. Când un enunț conține mai multe astfel de puncte, notează după fiecare nume segmentul căruia îi este mijloc. Această evidență scurtă previne folosirea unor capete nepotrivite.

Pentru calcule exacte, păstrează fracțiile între etape. Dacă rotunjești un prim mijloc, al doilea va fi calculat din date deja modificate. Într-o problemă de construcție pe grilă, poți alege o scară mai fină pentru a reprezenta sferturile; nu trebuie să schimbi coordonatele pentru a le face să încapă pe caroiaj.

8. Ce reprezintă mijlocul într-o aplicație practică?

Două marcaje de pe o probă plană definesc un segment geometric, indiferent de forma întregii probe. Media coordonatelor indică mijlocul acelui segment. Ea nu indică automat centrul suprafeței probei, centrul imaginii sau locul în care este concentrată masa obiectului. Pentru asemenea întrebări sunt necesare alte date și alte modele.

Dacă marcajele sunt capetele unui suport drept și uniform desenat, punctul găsit este la jumătatea lungimii lui. Dacă ele sunt capetele unui fir curbat, mijlocul segmentului care le unește nu este în general punctul aflat la jumătatea drumului de-a lungul firului. Acesta poate fi chiar în afara firului. Formula nu greșește; trebuie aplicată obiectului pe care îl descrie, adică segmentului dintre capete.

Înainte de calcul, formulează astfel cerința: caut o poziție din plan care împarte segmentul dintre aceste două puncte în părți egale. După calcul, verifică dacă aplicația mai impune restricții. Punctul poate trebui să fie în zona accesibilă unui aparat sau pe o grilă de marcaje. O restricție practică nu modifică mijlocul geometric, ci decide dacă el poate fi utilizat în situația dată.

Unitatea coordonatelor se păstrează. Media a două abscise exprimate în milimetri este tot o abscisă exprimată în milimetri. Dacă una dintre înregistrări folosește centimetri, convertim înainte de a face media. De asemenea, confirmăm că ambele capete sunt raportate la aceeași origine și la aceleași direcții. O medie între două adrese scrise în repere diferite nu identifică în mod automat un punct fizic util.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Egal depărtat, dar nu mijloc

Se dau $A (- 2, 0)$ , $B (4, 0)$ și $C (1, 4)$ . Un elev afirmă că $C$ este mijlocul lui $A B$ , deoarece $C A = C B = 5$ . Verifică afirmația și determină mijlocul corect.

Rezolvare. Egalitățile de distanță sunt corecte: fiecare pătrat este $3^{2} + 4^{2} = 25$ . Dar segmentul $A B$ este pe axa orizontală, iar $C$ are ordonata patru, deci nu aparține segmentului. Afirmația elevului este falsă.

Formula mediilor dă mijlocul $M (1, 0)$ . El aparține segmentului și are distanța trei față de fiecare capăt. Observăm exact condiția omisă în argumentul inițial: egalitatea a două distanțe nu înlocuiește apartenența la segment. Nu era greșit calculul elevului, ci concluzia trasă numai din acel calcul.

Exemplul 2 — Reconstruirea capătului

Punctul $M (2, - 1)$ este mijlocul segmentului $A B$ , iar $A (- 5, 7)$ . Determină $B$ .

Rezolvare. Din $2 x_{M} = x_{A} + x_{B}$ obținem $x_{B} = 4 - (- 5) = 9$ . Din a doua componentă, $y_{B} = - 2 - 7 = - 9$ . Așadar, $B (9, - 9)$ .

Verificăm mediile: $(- 5 + 9) /2 = 2$ și $(7 - 9) /2 = - 1$ , exact coordonatele lui $M$ . Diferențele de la $A$ la $M$ sunt șapte și minus opt, iar de la $M$ la $B$ sunt aceleași. Punctul obținut continuă segmentul dincolo de mijloc; nu este o poziție aleasă aproximativ din desen.

Exemplul 3 — Este mijlocul un nod cu coordonate întregi?

Pentru $A (- 7, 4)$ și $B (5, 10)$ , decide dacă mijlocul are coordonate întregi. Ce se schimbă dacă înlocuim $B$ cu $B^{'} (6, 10)$ ?

Rezolvare. Prima pereche are sumele coordonatelor minus doi și paisprezece, ambele pare. Mijlocul este $M (- 1, 7)$ , cu coordonate întregi. Pentru a doua pereche, suma absciselor este minus unu, iar cea a ordonatelor rămâne paisprezece. Noul mijloc este $M^{'} (- 1/2, 7)$ .

Ambele mijloace există în plan. Numai primul aparține rețelei punctelor cu coordonate întregi. O mică schimbare a unui capăt poate modifica această proprietate de paritate, fără să afecteze formula geometrică sau unicitatea mijlocului.

Exemplul 4 — Două înjumătățiri, două segmente

Se dau $A (0, - 3)$ și $B (12, 5)$ . Punctul $M$ este mijlocul lui $A B$ , iar $N$ este mijlocul lui $A M$ . Află cele două poziții și raportul lungimilor $A N$ și $A B$ .

Rezolvare. Prima medie dă $M (6, 1)$ . Pentru al doilea pas folosim $A$ și acest mijloc, obținând $N (3, - 1)$ . Relațiile geometrice sunt $A M = A B /2$ și $A N = A M /2$ , deci $A N = A B /4$ .

Nu trebuie să extragem radicali pentru a afla raportul cerut. Două înjumătățiri explică direct un sfert. Calculul coordonatelor arată și de ce folosirea din nou a capetelor $A, B$ la al doilea pas ar reproduce $M$ , nu ar produce punctul nou cerut.

Exemplul 5 — Originea ca mijloc

Pentru $A (4, - 9)$ , determină punctul $B$ astfel încât originea să fie mijlocul segmentului $A B$ .

Rezolvare. Sumele coordonatelor capetelor trebuie să fie nule. Rezultă $B (- 4, 9)$ . Media absciselor este zero, iar media ordonatelor este zero, deci mijlocul este într-adevăr originea.

Cele două capete au coordonate opuse componentă cu componentă. Nu inversăm locurile numerelor în pereche și nu schimbăm un singur semn. Condiția privește ambele medii simultan. Punctele sunt distincte deoarece $A$ nu este originea, astfel că avem un segment nedegenerat, cu două jumătăți de aceeași lungime.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Într-un reper ortonormat, se dau $A (6, - 4)$ , $B (- 2, 7)$ și $C (a, b)$ . Segmentele $O A$ și $B C$ au același mijloc. Determină $a, b$ .

Rezolvare. Mijlocul lui $O A$ este $M (3, - 2)$ . Prin urmare, $(- 2 + a) /2 = 3$ și $(7 + b) /2 = - 2$ . Obținem $a = 8$ și $b = - 11$ , deci $C (8, - 11)$ .

Controlul direct compară sumele coordonatelor: pentru $O A$ sunt șase și minus patru; pentru $B C$ sunt tot șase și minus patru. Cerința folosește tipul de relație geometrică întâlnit în modelul oficial M_șt-nat 2026, Subiectul I, cerința 5, dar datele și calculele de aici sunt proprii lecției.

Să exersăm

Identifică întâi capetele segmentului al cărui mijloc se cere. Într-o problemă inversă, scrie ecuațiile mediilor înainte de a izola coordonata necunoscută. Pentru afirmații despre un candidat, verifică exact ce condiție a definiției este demonstrată și ce condiție lipsește.

1. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determină mijlocul segmentului cu capetele $A (- 6, 3)$ și $B (2, 9)$ .

2. Calculează mijlocul pentru $C (1/2, - 5/2)$ și $D (7/2, 1/2)$ .

3. Pentru $A (- 4, - 2)$ și $B (4, 6)$ , un candidat este $K (0, 1)$ . Coordonatele lui sunt între cele ale capetelor. Este suficient pentru a fi mijloc?

4. Mijlocul lui $E F$ este $M (- 3, 5)$ , iar $E (4, - 1)$ . Află $F$ .

5. Pentru $G (- 8, - 2)$ și $H (6, - 2)$ , află mijlocul și explică ordonata obținută.

6. Punctele $P (5, - 7)$ și $Q (5, 11)$ sunt capetele unui segment. Calculează mijlocul și precizează verticala pe care rămâne.

7. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Pentru $A (t, 2)$ și $B (8, 10)$ , mijlocul are abscisa trei. Determină $t$ și ordonata mijlocului.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) Segmentele cu capetele $A (- 5, 2)$ , $B (3, 7)$ , respectiv $C (0, - 1)$ , $D (- 2, 10)$ au același mijloc.

9. Determină punctul $B$ pentru care $A (- 7, 2)$ și $B$ au mijlocul în origine.

10. Se dau $A (2, 1)$ și $B (12, - 5)$ . Calculează mijlocul $M$ al lui $A B$ , apoi mijlocul $N$ al lui $M B$ .

11. Punctul $M$ este mijlocul lui $A B$ și $A M = 7$ cm. Află $M B$ și $A B$ , explicând ce folosești din definiție.

12. (Problemă aplicată.) Capetele unei linii de control pe o probă sunt $P (- 3, 5)$ și $Q (5, 1)$ , în milimetri. Află coordonatele marcajului de la jumătate și păstrează unitatea.

13. Pentru $A (- 5, 6)$ și $B (4, - 1)$ , mijlocul poate fi un nod al grilei cu coordonate întregi? Verifică paritatea înainte de calcul.

14. Dintre segmentele cu capete $(0, 0), (3, 5)$ ; $(1, 4), (7, 8)$ ; $(- 2, - 3), (6, 5)$ , câte au mijlocul cu ambele coordonate întregi?

15. Capetele unui fir întins sunt notate $P (12, - 8)$ , în milimetri, și $Q (3, 4; 1, 6)$ , în centimetri, față de aceeași origine și pe aceleași direcții. Află mijlocul segmentului $P Q$ , în milimetri.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Punctul $M (1, 3)$ este mijlocul segmentului cu capetele $A (2 a - 1, 4)$ și $B (5, b + 2)$ . Determină $a, b$ și verifică ambele medii.

17. (Problemă aplicată.) Marcajele permise au coordonate întregi în centimetri. Capetele unui suport sunt $A (0, 2)$ și $B (5, 8)$ . Există mijlocul geometric? Este și un marcaj permis?

18. (Provocare.) Se știe că $M (0, 2)$ este mijlocul lui $A B$ și $N (4, 1)$ este mijlocul lui $B C$ , unde $A (- 3, 5)$ . Reconstruiește $B, C$ și verifică separat cele două condiții.

Răspunsuri și explicații

1. Mijlocul este $(- 2, 6)$ , prin mediile celor două perechi de coordonate.

2. Obținem $(2, - 1)$ . Fracțiile se adună înainte de înjumătățire, păstrând valorile exacte.

3. Nu. Mijlocul exact este $(0, 2)$ ; candidatul are ordonata greșită. Apartenența la dreptunghiul coordonatelor nu este suficientă.

4. $F (- 10, 11)$ . Mediile cu $E (4, - 1)$ sunt minus trei și cinci. Cele două valori recuperate sunt coordonatele mijlocului dat, deci verificarea nu se limitează la o singură componentă.

5. Mijlocul este $(- 1, - 2)$ . Media a două ordonate egale este aceeași valoare.

6. Mijlocul este $(5, 2)$ și rămâne pe verticala cu abscisa cinci.

7. $(t + 8) /2 = 3$ dă $t = - 2$ . Ordonata mijlocului este șase.

8. Adevărat. Ambele mijloace sunt $(- 1, 9/2)$ : sumele absciselor sunt $- 2$ , iar ale ordonatelor $9$ . Lungimile diferă, $A B = 89$ și $C D = 125 = 55$ , deci mijlocul comun nu cere segmente egale.

9. $B (7, - 2)$ . Fiecare sumă a coordonatelor corespondente este zero.

10. $M (7, - 2)$ , apoi $N (19/2, - 7/2)$ . A doua medie folosește $M, B$ , nu $A, B$ .

11. $M B = 7$ cm și $A B = 14$ cm. Egalitatea jumătăților și apartenența lui $M$ la segment permit adunarea.

12. Coordonatele sunt $(1, 3)$ , cu unitatea de un milimetru. Rezultatul este o poziție, nu o lungime totală.

13. Nu: sumele minus unu și cinci sunt impare. Mijlocul este $(- 1/2, 5/2)$ , perfect valid în plan.

14. Două segmente. Mijloacele sunt $(3/2, 5/2)$ , $(4, 6)$ și $(2, 1)$ .

15. În milimetri, $Q (34, 16)$ , iar mijlocul este $(23, 4)$ . Media făcută înainte de conversie ar amesteca două unități.

16. $a = - 1$ , $b = 0$ , deci $A (- 3, 4)$ , $B (5, 2)$ . Mediile sunt unu și trei.

17. Mijlocul geometric este $(5/2, 5)$ , în centimetri, dar nu este un marcaj permis, deoarece abscisa nu este întreagă.

18. $B (3, - 1)$ și $C (5, 3)$ . Mediile lui $A, B$ dau $(0, 2)$ , iar ale lui $B, C$ dau $(4, 1)$ , exact datele inițiale.

De reținut

Mijlocul unui segment nedegenerat aparține segmentului și este egal depărtat de capete; cele două condiții merg împreună.
Coordonatele mijlocului sunt mediile componentelor corespondente, nu o medie între abscisă și ordonată.
Cunoscând un capăt și mijlocul, reconstruiești unic celălalt capăt din ecuațiile mediilor.
Un mijloc comun impune două egalități de coordonate, fără să impună egalitatea lungimilor segmentelor.
Restricțiile la grilă sau la marcaje admise se verifică după găsirea mijlocului geometric exact.

Greșeli frecvente

Egalitatea distanțelor folosită singură ca definiție. Verifică și apartenența la segment. Un punct exterior poate fi egal depărtat de capete fără a fi mijloc.
Coordonatele dintre cele ale capetelor considerate suficiente. Acest control arată numai o regiune posibilă. Calculează mediile exacte pentru a identifica punctul cerut.
Lungimi egale deduse dintr-un mijloc comun. Două segmente pot avea același centru și lungimi diferite. Nu adăuga o concluzie care nu rezultă din condiție.
Aceleași capete folosite la două înjumătățiri succesive. Notează segmentul corespunzător fiecărui mijloc nou; al doilea pas poate utiliza un mijloc deja calculat.
Mijlocul segmentului confundat cu jumătatea unui fir curbat. Media coordonatelor capetelor indică un punct al segmentului direct. Pentru jumătatea lungimii firului trebuie cunoscut traseul lui, iar punctul căutat poate fi diferit.

Aplică acasă

Candidat convingător, concluzie greșită. Alege două capete pe aceeași orizontală și un punct exterior segmentului, pe verticala mijlocului. Verifică egalitatea distanțelor și explică de ce punctul exterior nu este mijloc. Marchează apoi mijlocul corect, fără a schimba capetele.
Grilă și paritate. Alege șase segmente cu capete întregi, trei cu mijloace pe noduri întregi și trei fără. Prezice categoria din parități înainte de a calcula mediile. Un coleg controlează rezultatele și caută un exemplu în care numai una dintre coordonatele mijlocului este fracționară.
Lanț de înjumătățiri. Desenează un segment și găsește succesiv mijlocul lui, apoi mijlocul jumătății dinspre primul capăt. Începe din nou dinspre celălalt capăt și compară cele două puncte noi. Scrie lângă fiecare punct segmentul pe care îl înjumătățește și verifică ordinea lor pe desen.

Pentru părinți și profesori

Insistați asupra diferenței dintre un control necesar și o demonstrație suficientă. Un punct poate fi egal depărtat de capete fără să fie pe segment; poate avea coordonatele între cele ale capetelor fără să fie mijloc. Cereți elevului să numească precis condiția omisă. Problemele inverse trebuie verificate prin refacerea mediilor, nu doar prin aspectul schiței.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă pentru științe ale naturii, OMEC 6930/2025, anexa 28, aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030. La Bacalaureatul 2030, MAT_P2, coordonatele mijlocului aparțin domeniului „Geometrie. Trigonometrie”. Pentru generațiile pe programa veche, Bacalaureatul M2, M_șt-nat, 2027–2029 folosește geometria analitică plană. Modelul oficial 2026, Subiectul I, cerința 5, cere determinarea coordonatelor unui punct folosind mijlocul comun al segmentelor $O A$ și $B C$ . Acesta este reperul verificat pentru exemplul de pregătire, fără a garanta repetarea cerinței.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: coordonatele mijlocului unui segment. În varianta M2 verificăm cu atenție condițiile definiției, restricțiile de grilă și reconstrucția datelor. Testul M2 despre reper, distanțe și dreaptă poate fi folosit pe secțiunile deja studiate; pentru problemele următoare este utilă și recapitularea mediei aritmetice.

Întrebări frecvente

Poate un punct să fie egal depărtat de capete și totuși să nu fie mijloc?

Da. Egalitatea distanțelor nu impune singură apartenența la segment. Pentru două capete pe aceeași orizontală, un punct situat deasupra mijlocului, pe verticala lui, poate avea distanțe egale față de capete. Definiția mijlocului cere și poziția pe segment; formula mediilor identifică exact acel punct, fără ambiguitatea celorlalte poziții.

De ce verificarea intervalelor coordonatelor nu este suficientă?

Ea exclude punctele evident prea departe pe una dintre direcții, dar lasă în general o întreagă regiune între valorile capetelor. Numai o mică parte a acestei regiuni este segmentul, iar mijlocul este un singur punct al lui. Verifică fiecare medie exactă; un control de plauzibilitate nu ține locul determinării poziției.

Două segmente cu același mijloc pot avea lungimi diferite?

Da. Gândește-te la două segmente centrate în origine, unul mai scurt și altul mai lung. În fiecare pereche, capetele au coordonate opuse, deci media este zero pe ambele direcții. Lungimea depinde însă de depărtarea capetelor față de centru. Mijlocul comun precizează poziția centrului, nu dimensiunea fiecărui segment.

Cum decid dacă mijlocul este un marcaj permis pe o grilă întreagă?

Pentru capete cu coordonate întregi, verifică separat paritatea sumei absciselor și a sumei ordonatelor. Ambele medii sunt întregi numai când ambele sume sunt pare. Dacă nu, mijlocul geometric există în continuare, dar nu aparține grilei impuse. Nu îl muta la un nod vecin, deoarece ai schimba egalitatea jumătăților.

Ce relație din modelul oficial exersez pentru bacalaureatul M2?

Modelul M_șt-nat 2026, Subiectul I, cerința 5, utilizează mijlocul comun al segmentelor $O A$ și $B C$ pentru a determina un punct. Exemplul marcat reproduce tipul condiției cu date proprii și verifică ambele coordonate. El susține o pregătire concretă, fără să anunțe că aceeași configurație va apărea într-o sesiune viitoare.

Ce accent are această variantă M2 față de mate-info (M1)?

Formula de bază este comună, dar organizarea de aici urmărește validarea candidatului, înjumătățirile succesive și restricțiile de marcaj pe grilă. Nu dezvoltă metode avansate de împărțire în raport. Problemele de mijloc comun sunt legate de modelul oficial citit, iar fiecare rezultat este interpretat ca poziție înainte de a deduce lungimi.