Reperul cartezian: axe, origine, cadrane (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Pe o imagine mărită a unei lame de laborator, două persoane trebuie să indice aceeași zonă. „Mai spre dreapta” nu este suficient dacă fiecare privește altă versiune a imaginii. Un reper comun face descrierea precisă. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), învățăm să citim acest reper înainte de orice calcul geometric. Tema este o bază a geometriei analitice din pregătirea pentru Bacalaureatul M2, atât pentru generațiile 2027–2029, cât și în programa MAT_P2 din 2030.

Vom porni de la axa numerelor raționale studiată în gimnaziu. În plan avem nevoie de două direcții și de o convenție comună pentru măsurare. Lecția de aici verifică acest cadru: originea, axele, sensurile, gradațiile și regiunile. Citirea și construirea precisă a unui punct sunt dezvoltate apoi în coordonatele unui punct la M2.

Ce vei învăța

Vei recunoaște elementele care fac un reper complet și utilizabil.
Vei deosebi originea matematică de marginea unei imagini sau de primul număr tipărit.
Vei citi unitatea din gradații, fără să presupui că fiecare pătrățel înseamnă unu.
Vei localiza un punct într-un cadran sau pe o axă, după semnele coordonatelor.
Vei explica de ce o regiune a planului nu identifică singură un punct.
Vei verifica dacă desenul folosește aceeași scară pe ambele axe înainte de a judeca lungimi sau unghiuri.

Hai să descoperim împreună

1. Ce informații trebuie să împartă doi observatori?

Imaginează o foaie transparentă așezată peste fotografia unei probe. Trasăm două drepte perpendiculare care se întâlnesc într-un punct ales. Deocamdată avem direcții, dar nu știm care parte a fiecărei drepte va primi numere pozitive. Nici distanța reprezentată de un interval nu a fost stabilită. Foaia nu oferă încă o adresă numerică sigură.

Alegem un sens pozitiv pe fiecare dreaptă, apoi un segment care reprezintă unitatea de lungime. Numerele de pe axe cresc în sensul săgeților. Punctul comun primește valoarea zero pe ambele axe. Abia după aceste alegeri putem transmite informații pe care celălalt observator le reproduce fără să ghicească.

Un reper cartezian ortogonal în plan este format din două axe numerice perpendiculare, cu aceeași origine. Dacă unitățile de lungime ale celor două axe sunt egale, reperul este ortonormat. În această unitate vom lucra cu repere ortonormate, precizate și în problemele de calcul. Cuvântul „ortonormat” adaugă o condiție despre unități, pe lângă perpendicularitate.

Originea, orientarea și unitatea sunt alegeri ale descrierii. Ele nu sunt proprietăți ale obiectului fotografiat. Putem alege alt reper, dar trebuie să anunțăm schimbarea: o adresă numerică are sens numai împreună cu reperul în care a fost scrisă.

2. Cum citim axele și originea?

Notăm originea cu $O$ , axa orizontală cu $O x$ , iar axa verticală cu $O y$ . În reprezentarea obișnuită, sensul pozitiv al primei este spre dreapta, iar al celei de-a doua este în sus. Săgețile indică aceste sensuri. Ele nu arată că axele s-ar termina în vârful săgeții: fiecare axă este o dreaptă nemărginită în ambele direcții.

Litera $O$ denumește un punct, în timp ce cifra zero este un număr. Originea are coordonatele $(0, 0)$ , deoarece reprezintă simultan zero pe cele două axe. Într-un desen mic, putem scrie numai litera $O$ lângă intersecție pentru a evita suprapunerea a două etichete numerice.

Faptul că originea nu apare în centrul paginii nu o face greșită. Cadrul vizibil se alege pentru punctele studiate, astfel că uneori avem mai mult spațiu în dreapta sau deasupra. Totuși, locul în care se întâlnesc axele și valoarea zero rămân aceleași. Nu mutăm originea la primul marcaj vizibil al unei fotografii decupate.

Când un desen arată doar o porțiune a planului, putem recunoaște semnele valorilor dacă etichetele și sensurile sunt clare. Pentru a reconstrui poziții numerice exacte avem nevoie și de gradații suficiente. A vedea două linii intersectate nu înseamnă automat că avem toate datele unui reper măsurabil.

3. Ce ne spun gradațiile?

Gradațiile egale în lungime trebuie să corespundă unor diferențe numerice egale pe aceeași axă. Dacă două marcaje consecutive sunt etichetate $0$ și $3$ , un interval desenat reprezintă trei unități, nu una. Următoarea gradație egal depărtată, în sens pozitiv, va avea valoarea șase.

Pe o altă foaie, între zero și unu pot exista patru intervale egale. Atunci un interval reprezintă un sfert de unitate. Hârtia cu pătrățele nu stabilește singură unitatea matematică. Ea oferă doar o rețea fizică pe care autorul desenului trebuie să o calibreze.

Un control util este să compari două salturi succesive de aceeași lungime pe axă. Dacă etichetele lor numerice nu cresc cu aceeași diferență, gradația este inconsistentă sau ai interpretat greșit marcajele. O axă liniar gradată nu poate schimba pe ascuns valoarea unui pătrățel la jumătatea desenului.

Deosebește și mărirea imaginii de schimbarea unității. Când mărești uniform o figură pe ecran, segmentele devin mai lungi în pixeli, dar etichetele numerice rămân aceleași. Punctele nu primesc alte coordonate numai fiindcă ai apropiat imaginea. Scara tipărită pe desen păstrează legătura dintre măsură și reprezentare.

4. Cum sunt organizate cele patru cadrane?

Axele împart planul din afara lor în patru regiuni, numite cadrane. Numerotarea pornește din regiunea din dreapta sus și continuă în sens opus acelor de ceasornic. Fiecare cadran corespunde unei perechi de semne, nu unei liste finite de puncte.

Regiune	Condiția pentru abscisă	Condiția pentru ordonată
Cadranul I	$x > 0$	$y > 0$
Cadranul II	$x < 0$	$y > 0$
Cadranul III	$x < 0$	$y < 0$
Cadranul IV	$x > 0$	$y < 0$

Cadranele sunt regiunile dintre axe.

Inegalitățile sunt stricte. Frontierele regiunilor sunt axele și nu sunt incluse în cadrane. Un punct situat pe o axă trebuie numit prin această poziție, nu repartizat aproximativ în regiunea care pare mai aproape.

Pentru o verificare rapidă, poți începe cu stânga sau dreapta, apoi cu deasupra ori dedesubt. Cele două alegeri restrâng regiunea împreună. O singură informație, de exemplu că punctul se află deasupra axei orizontale, lasă două cadrane posibile și o parte din axa verticală.

Nu folosim mărimea coordonatelor pentru a decide cadranul. Două valori pozitive foarte mici și două valori pozitive foarte mari conduc la aceeași regiune. Distanța față de origine este altă întrebare, pentru care semnele singure nu ajung.

5. Ce se întâmplă pe frontiere?

Un punct al axei $O x$ are ordonata zero, deoarece nu este nici deasupra, nici dedesubtul acestei axe. Abscisa poate fi pozitivă, negativă sau zero. În mod corespunzător, un punct al axei $O y$ are abscisa zero și poate avea orice ordonată reală.

Originea este singurul punct comun celor două axe. Prin urmare, când ni se spune că un punct aparține ambelor axe, nu alegem două poziții diferite: cele două condiții trebuie îndeplinite simultan. Când ni se spune că aparține cel puțin uneia dintre axe, originea este de asemenea permisă.

Aceste precizări sunt importante dacă o coordonată depinde de un parametru. Înainte de a spune că punctul se află la stânga ori la dreapta, verificăm când coordonata respectivă se anulează. Valoarea de frontieră are o semnificație geometrică proprie. Nu o pierdem între două intervale și nu o introducem într-un cadran cu semne stricte.

Un punct nu trebuie să fie desenat pe un nod al grilei pentru a exista în plan. Coordonatele pot fi fracții sau numere iraționale. O linie de caroiaj suplimentară nu este o condiție matematică; doar ajută la citire. Planul conține toate pozițiile dintre marcajele pe care le-am ales.

6. De ce o regiune nu este încă o adresă?

Afirmația „punctul este în cadranul al doilea” oferă două semne, dar nu două valori. Există infinit de multe puncte care o respectă. Dacă ai nevoie să indici un loc precis pe o probă, trebuie să adaugi informațiile numerice care selectează un singur punct.

În schimb, perechea ordonată $(x, y)$ indică o poziție unică într-un reper fixat. Prima componentă se citește pe axa orizontală, iar a doua pe cea verticală. Lecția următoare arată construcția prin proiecții; aici ne interesează ce putem afirma deja despre regiune înainte de a efectua acea construcție.

Păstrează această diferență când verifici un răspuns. A numi corect cadranul unui punct nu dovedește că l-ai desenat la distanțele cerute față de axe. Invers, o pereche numerică exactă îți permite să afli imediat regiunea, dacă înțelegi semnele. Informația precisă conține localizarea largă, dar localizarea largă nu conține întreaga informație precisă.

În situații practice, o zonă poate fi suficientă pentru o primă selecție, de exemplu partea de probă care trebuie examinată. Pentru reproducerea observației sau pentru măsurarea unui segment, această selecție trebuie rafinată. Nivelul de precizie necesar vine din cerință.

7. Ce putem compara corect într-un desen?

Într-un reper ortonormat, o unitate pe orizontală și o unitate pe verticală reprezintă aceeași lungime. Dacă desenul păstrează și aceeași scară grafică pe ambele axe, putem folosi imaginea ca sprijin pentru comparații geometrice. Calculele exacte vor porni tot din coordonate și din ipotezele problemei.

Un plan de lucru în care abscisele sunt notate în metri, iar ordonatele în centimetri, poate fi corect ca tabel, dar nu este încă un reper ortonormat. O deplasare de doi pe orizontală și una de doi pe verticală ar însemna lungimi reale foarte diferite. Înainte de orice comparație de lungimi, aducem ambele coordonate la aceeași unitate.

Chiar și o configurație geometrică poate fi afișată deformat, de exemplu dacă o imagine este lățită fără a fi mărită proporțional pe verticală. Coordonatele scrise pot rămâne datele corecte, în timp ce aspectul unghiurilor devine înșelător. Nu respingem o valoare calculată doar fiindcă desenul deformat arată altfel.

Înainte de măsurare, verifică deci ce reprezintă axele și cum sunt gradate. Pentru lecțiile de distanță și perimetru vom preciza reperul ortonormat. Alegerea unor modele de orientare și a unei scări fizice va fi dezvoltată separat, fără a confunda aceste întrebări cu simpla citire a cadranelor.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Regiuni citite dintr-un singur reper

În reperul desenat sunt punctele $A (- 4, 1)$ , $B (2, - 3)$ , $C (0, 4)$ și $D (- 3, 0)$ . Numește regiunea sau axa fiecăruia și spune dacă vreunul este originea.

Rezolvare. Pentru $A$ , abscisa negativă arată stânga, iar ordonata pozitivă arată deasupra: punctul este în cadranul II. Pentru $B$ , semnele sunt pozitiv și negativ, deci cadranul IV. Punctul $C$ are abscisa zero și ordonata pozitivă: se află pe semiaxa pozitivă $O y$ . Punctul $D$ este pe semiaxa negativă $O x$ .

Niciunul nu are ambele coordonate nule, deci niciunul nu este originea. Am folosit aceeași procedură pentru toate punctele, dar nu am forțat punctele de pe axe să intre într-un cadran. Desenul poate confirma verdictul; valorile exacte sunt suficiente și dacă desenul lipsește.

Exemplul 2 — Repararea unei gradații inconsistente

Pe o axă, patru marcaje consecutive, egal distanțate, sunt etichetate $0, 2, 5, 6$ . Primele două etichete sunt corecte. Ce trebuie schimbat pentru a obține o gradație liniară corectă?

Rezolvare. Primul interval corespunde diferenței $2 - 0 = 2$ . Toate celelalte intervale egale trebuie să reprezinte tot două unități. Al treilea marcaj trebuie să fie patru, iar al patrulea șase. Înlocuim eticheta cinci cu patru.

Nu mutăm marcajul și nu alegem altă unitate pentru acel singur interval. Enunțul a garantat că spațiile sunt egale și că primele două valori sunt corecte. Aceste date determină toate etichetele următoare. Dacă nu am ști care etichete sunt corecte, am putea constata inconsistența, dar nu am putea identifica unic reparația.

Exemplul 3 — O imagine mărită uniform

O figură corect gradată este mărită uniform de trei ori. Punctul $P$ avea coordonatele $(- 5, 2)$ , iar originea și etichetele sunt mărite împreună cu figura. Ce coordonate are punctul în noua imagine?

Rezolvare. Coordonatele rămân $P (- 5, 2)$ . Atât distanța desenată de la origine la proiecție, cât și segmentul desenat pentru unitate au fost mărite de trei ori. Numărul de unități citit este același.

Nu obținem coordonatele $(- 15, 6)$ : acestea ar descrie alt punct în reperul inițial, cu aceeași unitate grafică păstrată. În problema noastră s-a schimbat mărimea întregii reprezentări, nu adresa matematică. Distincția este utilă când citești lecția pe ecrane diferite sau tipărești o figură la altă dimensiune.

Exemplul 4 — O descriere care nu determină un punct

O etichetă spune că punctul $Q$ are abscisă negativă și ordonată pozitivă. Un elev propune $Q (- 1, 7)$ , iar altul propune $Q (- 6, 2)$ . Se poate decide numai din etichetă cine a identificat punctul?

Rezolvare. Ambele perechi respectă semnele și desemnează puncte din cadranul II. Punctele sunt distincte, deoarece perechile lor numerice diferă. Informația inițială nu permite alegerea unuia dintre ele.

Prin două exemple compatibile am arătat insuficiența datelor pentru o adresă unică. Nu am arătat că descrierea este falsă; ea localizează corect o regiune. Pentru a selecta un punct ar trebui adăugate coordonate exacte sau alte condiții care îl determină. A cere mai mult decât oferă datele este o problemă de interpretare, nu una de calcul dificil.

Exemplul 5 — Verificarea celor două unități

Pe o foaie, o unitate de pe $O x$ este desenată prin două pătrățele, iar o unitate de pe $O y$ prin patru pătrățele de aceeași mărime. Axele sunt perpendiculare. Reprezentarea păstrează aceeași scară grafică în ambele direcții?

Rezolvare. Nu. Un segment de o unitate apare de două ori mai lung pe verticală decât pe orizontală. Putem citi valori dacă respectăm gradațiile fiecărei axe, dar nu putem judeca unghiurile sau egalitatea lungimilor după aspectul desenului.

Dacă dorim o reprezentare la aceeași scară a unui reper ortonormat, alegem același număr de pătrățele pentru o unitate pe ambele axe. Perpendicularitatea axelor nu corectează singură diferența de scară. Cele două condiții trebuie verificate separat, înainte de a utiliza imaginea pentru intuiția geometrică.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Într-un reper ortonormat se consideră $P (t - 5, 2 t + 6)$ , unde $t$ este real. Determină valorile lui $t$ pentru care $P$ este pe una dintre axele de coordonate și precizează poziția obținută în fiecare caz.

Rezolvare. Pe $O y$ trebuie să avem $t - 5 = 0$ , deci $t = 5$ și $P (0, 16)$ . Pe $O x$ trebuie să avem $2 t + 6 = 0$ , deci $t = - 3$ și $P (- 8, 0)$ . Prima poziție este pe semiaxa pozitivă verticală, iar a doua pe semiaxa negativă orizontală.

Punctul nu poate fi originea: ar trebui ca același parametru să fie simultan cinci și minus trei. Am analizat ambele posibilități din formularea „pe una dintre axe”, apoi am verificat coordonata care nu se anulează. Cerința exersează citirea condițiilor geometrice, fără să presupună o poziție fixă într-un viitor subiect de examen.

Să exersăm

În fiecare cerință, precizează ce informație folosești: semnul, valoarea zero, unitatea ori scara. O justificare scurtă trebuie să explice verdictul, nu doar să repete numele unei regiuni. Toate reperele geometrice sunt ortonormate dacă nu se discută explicit un desen defectuos.

1. Clasifică $A (6, 2)$ și $B (- 5, - 4)$ după cadran.

2. Pentru $C (0, - 7)$ și $D (9, 0)$ , numește axa și semiaxa. Este vreunul în cadran?

3. Un punct aparține ambelor axe. Scrie coordonatele lui și explică unicitatea.

4. Pe o axă, două gradații consecutive sunt $0$ și $5$ . Ce etichetă are al patrulea marcaj după zero, în sens pozitiv?

5. Între zero și doi sunt opt intervale egale. Cât reprezintă fiecare? Ce valoare are al treilea marcaj după zero?

6. Produsul coordonatelor unui punct este negativ, iar ordonata lui este $- 3$ . În ce cadran se află punctul? Scrie două poziții posibile.

7. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Pentru ce valori reale ale lui $m$ punctul $E (2 m + 8, m^{2} - 16)$ aparține ambelor axe? Ce poziție are $E$ pentru celelalte valori care anulează o coordonată?

8. Alege două puncte distincte din cadranul IV. Este suficient numele cadranului pentru a le deosebi?

9. Pe o foaie, o unitate de pe $O x$ are $1, 5$ cm, iar una de pe $O y$ are $2$ cm. La ce distanțe de axe, pe foaie, se desenează punctul $F (4, - 3)$ ? Ce concluzie greșită poate sugera desenul?

10. Pe $O x$ , o unitate ocupă trei pătrățele, iar pe $O y$ ocupă tot trei pătrățele identice. Ce condiție despre scară este îndeplinită? Ce condiție despre axe mai trebuie verificată pentru desenul ortonormat?

11. (Adevărat/Fals cu motivare.) Punctul $K (5 - 2, 1 - 3)$ se află în cadranul IV.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Stabilește cadranul punctului $G (- 2/3, 5/4)$ și explică dacă natura fracționară a coordonatelor schimbă regula.

13. Trei marcaje consecutive egal distanțate au etichetele $- 6, - 2, 3$ . Primele două sunt corecte. Repară a treia etichetă.

14. (Problemă aplicată.) Pe o imagine de laborator, axele sunt desenate, dar niciun interval nu are valoare. Poți determina un cadran? Poți determina o adresă numerică exactă? Presupune sensurile și originea vizibile.

15. Unde se află fiecare dintre punctele $(0; - 0, 001)$ , $(- 0, 001; 0)$ și $(0, 001; - 0, 001)$ : pe o axă sau într-un cadran?

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Pentru $H (3 s - 6, 2 s + 4)$ , află toate valorile reale ale lui $s$ care pun punctul pe cel puțin una dintre axe. Poate fi originea?

17. (Problemă aplicată.) Pe fotografia decupată a unei axe gradate liniar se văd numai marcajele $7$ și $10$ , la $6$ cm unul de altul. În ce parte și la ce distanță de marcajul $7$ se află originea, dacă fotografia ar fi completă?

18. (Provocare.) Două puncte au fiecare abscisa pozitivă. Pot aparține unor cadrane diferite? Pot aparține amândouă axei $O x$ ? Oferă exemple care justifică separat cele două posibilități.

Răspunsuri și explicații

1. $A$ este în cadranul I, iar $B$ în III, după perechile de semne.

2. $C$ este pe semiaxa negativă $O y$ , iar $D$ pe semiaxa pozitivă $O x$ . Niciunul nu este în cadran.

3. $(0, 0)$ : apartenența la $O y$ impune abscisa zero, iar apartenența la $O x$ impune ordonata zero.

4. Valoarea este $20$ . Sunt patru intervale, fiecare de cinci unități, de la zero la marcajul cerut.

5. Fiecare interval reprezintă $2/8 = 1/4$ ; al treilea marcaj are valoarea $3/4$ .

6. Cadranul IV. Produsul negativ cere semne opuse, iar ordonata e negativă, deci abscisa e pozitivă; de exemplu $(4, - 3)$ și $(1/2, - 3)$ .

7. Numai $m = - 4$ : ambele coordonate sunt zero, deci $E = O$ . Valoarea $m = 4$ anulează doar ordonata și dă $E (16, 0)$ , pe semiaxa pozitivă $O x$ .

8. De exemplu $(1, - 2)$ și $(4, - 6)$ . Numele cadranului nu stabilește valorile coordonatelor.

9. La $4 \cdot 1, 5 = 6$ cm la dreapta axei $O y$ și la $3 \cdot 2 = 6$ cm sub axa $O x$ . Desenul sugerează distanțe egale față de axe, deși $∣ x_{F} ∣ = 4 \neq = 3 = ∣ y_{F} ∣$ .

10. Unitățile au aceeași lungime grafică. Trebuie verificată și perpendicularitatea axelor.

11. Adevărat. Din $4 < 5$ rezultă $5 > 2$ , deci abscisa e pozitivă; din $3 > 1$ rezultă $3 > 1$ , deci ordonata e negativă.

12. Cadranul II: abscisă negativă, ordonată pozitivă. Regula se aplică tuturor coordonatelor reale.

13. Diferența este patru, deci eticheta corectă este $2$ . Valoarea trei ar schimba pasul gradației.

14. Cadranul poate fi stabilit pentru un punct din afara axelor, dar adresa exactă nu poate fi citită fără calibrarea unității.

15. Primul este pe semiaxa negativă $O y$ , al doilea pe semiaxa negativă $O x$ , al treilea în cadranul IV. Contează dacă o coordonată este zero, nu cât de mică este.

16. $s = 2$ dă $H (0, 8)$ , iar $s = - 2$ dă $H (- 12, 0)$ . Nu există un parametru comun care să anuleze ambele coordonate.

17. Trei unități ocupă $6$ cm, deci o unitate are $2$ cm. Originea este la șapte unități spre sensul negativ, adică la $14$ cm de marcajul $7$ , în afara fotografiei.

18. Da: $(2, 3)$ și $(5, - 1)$ sunt în cadranele I și IV. Da: $(2, 0)$ și $(5, 0)$ sunt amândouă pe $O x$ . În fiecare exemplu abscisele rămân pozitive.

De reținut

Un reper utilizabil precizează originea, sensurile și unitățile; două linii singure nu transmit toate aceste informații.
Gradațiile egale ale unei axe liniare corespund unor diferențe numerice egale, chiar dacă un pătrățel nu valorează unu.
Cadranele sunt regiunile cu două coordonate nenule; semnele lor decid localizarea.
Apartenența la o regiune oferă mai puțină informație decât perechea exactă de coordonate.
Pentru interpretarea geometrică a lungimilor trebuie controlate atât reperul ortonormat, cât și scara reprezentării.

Greșeli frecvente

Pătrățelul considerat automat unitate. Citește diferența dintre etichete și numărul intervalelor care le separă; rețeaua foii nu impune valoarea numerică.
Primul marcaj vizibil numit origine. O fotografie poate fi decupată. Originea este punctul cu valoarea zero pe ambele axe, chiar dacă nu apare în cadru.
Coordonatele înmulțite când mărești imaginea. O mărire uniformă include unitatea desenată. Raportul dintre poziție și unitate, deci coordonatele, rămâne neschimbat.
Cadranul tratat ca adresă unică. El fixează doar semnele. Pentru a identifica un punct sunt necesare valori exacte sau alte condiții suficiente.
Egalitatea unităților dedusă numai din perpendicularitate. Verifică separat lungimea desenată pentru o unitate pe fiecare axă. Un unghi drept nu garantează aceeași scară.

Aplică acasă

Gradație de control. Desenează o axă cu șapte marcaje egal distanțate. Alege două valori consecutive care diferă cu o fracție și completează restul. Ascunde o etichetă și cere unei alte persoane să o reconstruiască. Verificați pasul folosind două intervale diferite, fără a măsura numerele de pe foaie cu rigla.
Aceeași figură, două mărimi. Desenează un reper cu un punct și marchează clar unitatea. Reproduce desenul la scară grafică dublă, mărind și unitatea. Scrie sub fiecare copie aceeași adresă a punctului și explică de ce nu ai dublat coordonatele. Nu schimba originea sau orientarea în timpul comparației.
Informație suficientă sau insuficientă. Pregătește patru etichete despre poziții: două să determine doar regiuni, iar două să indice un singur punct. Un coleg trebuie să arate pentru fiecare dacă sunt posibile două poziții distincte. Corectați etichetele ambigue dacă scopul lor era să identifice exact un punct.

Pentru părinți și profesori

Începeți prin a cere elevului să explice desenul, înainte de a numi cadranul. Ce reprezintă un interval? Unde este zero? Ce informație este exactă și ce informație descrie numai o regiune? Aceste întrebări fac vizibile presupunerile pe care un calcul rapid le poate ascunde. Un răspuns bun poate fi și constatarea motivată că datele nu ajung.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii, OMEC 6930/2025, anexa 28, aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030. La Bacalaureatul 2030, proba MAT_P2, reperul cartezian aparține domeniului „Geometrie. Trigonometrie”. Elevii aflați pe programa veche pregătesc Bacalaureatul M2, M_șt-nat, 2027–2029. În modelul oficial 2026, Subiectul I, cerința 5 folosește puncte într-un reper și mijloace de segmente; citirea reperului este o premisă a acelei probleme, nu o promisiune despre viitoare subiecte.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: reperul cartezian: axe, origine, cadrane. Aici accentul cade pe controlul gradațiilor și pe interpretarea informației disponibile. După lecțiile următoare, testul M2 despre reper, distanțe și dreaptă permite verificarea întregii unități; partea despre drepte se rezolvă după studierea ei.

Întrebări frecvente

De ce pot citi corect semnele, dar greșit valorile?

Semnele depind de partea axelor în care se află punctul, în timp ce valorile depind și de gradație. Un desen cu originea și sensurile clare poate permite identificarea cadranului chiar dacă unitatea nu este marcată. Pentru coordonate exacte, numărul de pătrățele trebuie raportat la unitatea declarată, nu interpretat automat drept valoare numerică.

Dispare un punct dacă figura nu are caroiaj?

Nu. Caroiajul este un instrument de desen și citire, nu o parte obligatorie a planului matematic. Un reper poate avea numai axe, câteva gradații și punctele studiate. Dacă poziția este dată exact prin coordonate, punctul este determinat și fără rețea. Liniile ajutătoare pot fi adăugate când facilitează proiecțiile.

O imagine alungită poate păstra coordonatele scrise?

Da, valorile etichetelor pot rămâne corecte, deși reprezentarea nu mai păstrează proporțiile geometrice. Atunci citim coordonatele după axe, dar nu judecăm unghiurile sau egalitatea segmentelor după aspect. Dacă problema precizează un reper ortonormat, calculele exacte folosesc această ipoteză; pentru o imagine fidelă refacem desenul la aceeași scară în ambele direcții.

Cum arăt că o descriere nu identifică un singur punct?

Poți găsi două puncte distincte care respectă toate informațiile date. Este esențial să verifici toate condițiile, nu numai una convenabilă. Dacă ambele poziții sunt posibile, descrierea este insuficientă pentru unicitate. Aceasta nu înseamnă că nu există puncte potrivite, ci că există mai mult de o alegere compatibilă.

Cum mă ajută lecția în pregătirea pentru bacalaureatul M2?

Îți oferă cadrul în care citești puncte și formulezi condiții geometrice. Modelul oficial M_șt-nat 2026 folosește un reper în Subiectul I, cerința 5, într-o problemă despre mijloace de segmente. Exercițiile marcate aici pregătesc condițiile de bază. Ele nu garantează aceeași cerință, aceeași poziție sau un punctaj într-o sesiune viitoare.

Ce accent diferit are varianta M2 față de mate-info (M1)?

Noțiunile despre axe și cadrane sunt comune. Varianta M2 de aici urmărește mai ales verificarea reperului folosit într-o observație: gradații coerente, unități, mărirea imaginii și precizia informațiilor. Nu presupune că o imagine familiară este deja corect calibrată. Exercițiile cer explicații scurte și controlul condițiilor, înaintea calculelor geometrice din lecțiile următoare.