Distanța dintre două puncte în plan (M2, științe ale naturii)

O imagine de laborator poate indica precis pozițiile a două particule. Pentru a afla cât de departe sunt, coordonatele trebuie transformate într-o lungime. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), folosim teorema lui Pitagora în reperul ortonormat. Distanța dintre puncte aparține pregătirii pentru Bacalaureatul M2 2027–2029 și domeniului „Geometrie. Trigonometrie” din programa MAT_P2 pentru 2030.

Înainte de calcul, verifică citirea coordonatelor și unitatea reperului. O formulă aplicată unor date citite greșit poate produce un rezultat bine calculat, dar fără legătură cu segmentul cerut. Aici vom calcula lungimi, vom compara apropierea de un punct și vom reconstrui o coordonată dintr-o distanță dată. Mijlocul segmentului este o poziție, nu o lungime, și va fi studiat separat.

Ce vei învăța

• Vei explica de ce formula distanței cere un reper ortonormat.
• Vei calcula lungimea unui segment din diferențele coordonatelor.
• Vei trata corect punctele coincidente și segmentele orizontale sau verticale.
• Vei compara lungimi prin pătratele lor, fără aproximări inutile.
• Vei determina toate pozițiile admise de o distanță și de o coordonată fixată.
• Vei deosebi distanța directă de lungimea unui traseu cu oprire intermediară.

Hai să descoperim împreună

1. Ce triunghi se ascunde între două puncte?

Distanța dintre două puncte este lungimea segmentului care le unește. Pentru a o calcula din coordonate, căutăm două separări perpendiculare pe care le putem măsura în aceeași unitate.

Luăm punctele de descoperire $A(-2,-1)$ și $B(4,3)$ într-un reper ortonormat. Trasăm prin primul o orizontală și prin al doilea o verticală. Ele se întâlnesc în $H(4,-1)$. Segmentul $AB$ este ipotenuza triunghiului dreptunghic $AHB$, iar cele două catete urmăresc direcțiile axelor.

Lungimea orizontală se obține din diferența absciselor, iar cea verticală din diferența ordonatelor. Ca lungimi, ambele sunt nenegative. Putem folosi modulele diferențelor pentru catete, apoi pătratele lor în teorema lui Pitagora. Ridicarea la pătrat face ca semnul unei diferențe să nu influențeze lungimea finală.

Desenul arată două deplasări perpendiculare utile calculului. El nu susține că un obiect trebuie să meargă întâi orizontal și apoi vertical. Segmentul direct și drumul format din cele două catete au aceleași capete, dar lungimi diferite în acest caz.

Condiția de reper ortonormat explică de ce unitățile de pe ambele axe pot intra în aceeași relație de lungimi. Dacă o direcție este măsurată în alte unități, facem întâi conversia. Dacă desenul este deformat, datele și ipoteza geometrică rămân baza calculului, nu aspectul de pe ecran.

2. Care este formula și ce reprezintă rezultatul?

Distanța dintre punctele $A(x_A,y_A)$ și $B(x_B,y_B)$ într-un reper ortonormat este lungimea segmentului care le unește:

$$AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}.$$

Formula funcționează pentru orice coordonate reale. Rezultatul este un număr nenegativ. Dacă punctele sunt distincte, cel puțin una dintre diferențe este nenulă, deci suma pătratelor este pozitivă și distanța este strict pozitivă. Dacă punctele coincid, ambele diferențe sunt zero și obținem distanța zero.

Ordinea numelor nu schimbă distanța: $AB=BA$. La inversarea capetelor, ambele diferențe își schimbă semnul, dar pătratele rămân aceleași. Această simetrie este un control bun al calculului. Nu trebuie să inventăm o distanță negativă pentru drumul parcurs în sens invers.

Într-o problemă fără unitate fizică, spunem că rezultatul este exprimat în unitățile de lungime ale reperului. Dacă o unitate reprezintă un centimetru, rezultatul numeric reprezintă centimetri. Suma din interiorul radicalului corespunde pătratului lungimii; după extragerea rădăcinii revenim la unitatea de lungime, nu la unități pătrate.

3. Cum organizăm un calcul verificabil?

Scrie mai întâi perechea fiecărui punct și identifică diferențele pe cele două direcții. Este util să le notezi separat înainte de pătrare. Astfel, dacă apare o valoare neașteptată, poți localiza eroarea în citirea coordonatelor, în scădere sau în calculul pătratelor.

După obținerea sumei, simplifică radicalul numai prin identități corecte. Nu este necesar ca rezultatul să fie întreg. O lungime irațională este la fel de legitimă ca una întreagă; păstrarea formei exacte permite comparații și calcule ulterioare fără acumularea rotunjirilor.

Un control geometric simplu este că segmentul direct nu poate fi mai scurt decât oricare dintre diferențele absolute pe axe. Radicalul sumei a două pătrate este cel puțin fiecare dintre module. Dacă rezultatul tău încalcă acest control, reia calculele înainte de a căuta o explicație în desen.

Nu este obligatoriu să efectuezi aceeași ordine de scădere în două soluții independente, deoarece pătratele elimină semnele. Totuși, în interiorul unei soluții, o convenție unitară face redactarea mai ușor de urmărit. Separarea coordonatelor și a etapelor este mai valoroasă decât memorarea mecanică a unui șablon lung.

O altă verificare privește alegerea originii. Dacă mutăm descrierea adăugând aceeași constantă ambelor abscise și aceeași altă constantă ambelor ordonate, diferențele nu se schimbă. Distanța fizică dintre puncte rămâne aceeași. Formula se bazează pe poziția lor relativă, nu pe mărimea izolată a coordonatelor.

Aceasta explică de ce două puncte cu coordonate mari pot fi foarte apropiate. Nu comparăm pur și simplu valorile din perechi, ci diferențele componentelor corespondente. Într-un registru cu multe cifre, această etapă este și un control util al scării rezultatului: două poziții vecine nu ar trebui să producă o lungime enormă numai pentru că originea a fost aleasă departe.

Controlul nu permite amestecarea reperelor. Aceeași schimbare de origine trebuie aplicată ambelor puncte. Dacă o pereche este citită față de o origine, iar cealaltă față de alta, scăderea directă nu mai descrie segmentul dintre ele. Mai întâi aducem datele în același cadru.

4. Ce facem pentru segmentele paralele cu axele?

Dacă două puncte au aceeași ordonată, segmentul este orizontal. Diferența verticală este zero, iar formula se reduce la modulul diferenței absciselor. Dacă au aceeași abscisă, segmentul este vertical și lungimea este modulul diferenței ordonatelor.

Acestea nu sunt reguli independente de formula generală, ci cazurile ei simple. Ele permit un calcul mai scurt și oferă controale pentru formula memorată. O expresie care nu se reduce corect la o lungime pe axă trebuie verificată.

Originea este un punct ca oricare altul, cu coordonatele nule. Distanța de la origine la $P(x,y)$ este $OP=\sqrt{x^2+y^2}$. Valoarea unei singure coordonate nu poate înlocui această distanță când ambele componente sunt nenule. Ea descrie doar una dintre cele două direcții implicate.

În cazul punctelor coincidente nu avem un triunghi dreptunghic propriu-zis cu trei vârfuri distincte, dar formula rămâne valabilă și dă zero. Este important să distingem justificarea prin figura nedegenerată de extinderea evidentă a rezultatului la cazurile cu o catetă sau cu ambele catete nule.

5. Putem compara distanțe fără radicali?

Da. Pentru două lungimi nenegative, ordinea pătratelor este aceeași cu ordinea lungimilor. Dacă vrei să afli care dintre două puncte este mai aproape de un punct fix, compară sumele pătratelor diferențelor. Nu trebuie să calculezi zecimale ale radicalilor.

Condiția de nenegativitate este satisfăcută pentru distanțe. Nu transferăm fără grijă acest procedeu la numere reale cu semne diferite. Pătratul unui număr negativ poate fi mai mare decât al unui număr pozitiv, fără ca numărul negativ să fie mai mare.

Punctele aflate la aceeași distanță de un punct fix sunt echidistante față de acesta. În calcule, egalitatea distanțelor este echivalentă cu egalitatea pătratelor lor. Această alegere poate transforma o relație cu radicali într-o ecuație mai simplă, fără pierderea informației despre semne, deoarece lungimile sunt deja nenegative.

Când cauți cel mai apropiat punct dintr-o listă, precizează lista. Un rezultat minim între trei candidați nu dovedește că acel punct este cel mai apropiat dintre toate punctele planului. Domeniul de alegere face parte din concluzie, la fel ca unitatea rezultatului.

6. Cum aflăm o coordonată dintr-o distanță?

Presupunem cunoscute un punct, o coordonată a altui punct și distanța dintre ele. Înlocuim datele în formula distanței și ridicăm la pătrat. Putem face aceasta echivalent dacă valoarea dată a distanței este nenegativă; o lungime negativă ar respinge imediat enunțul.

După separarea termenului necunoscut, putem ajunge la o ecuație de forma $(x-a{)}^2=c$. Pentru $c>0$ există două valori, simetrice în raport cu $a$; pentru $c=0$ există una; pentru $c<0$ nu există soluții reale. Numărul de soluții exprimă și o posibilitate geometrică, nu doar o regulă algebrică.

Cele două valori trebuie verificate în condițiile inițiale. Dacă enunțul cere și un anumit cadran, un semn sau apartenența la un segment, aceste restricții pot elimina unul dintre candidați. Fără o asemenea condiție, nu alegem singuri punctul care apare mai convenabil în desen.

O verificare rapidă înainte de rezolvare compară distanța cerută cu separarea deja fixată pe o axă. Dacă separarea verticală este mai mare decât distanța totală admisă, nicio alegere a abscisei nu poate repara situația. Pătratul unei noi diferențe se adaugă, nu scade lungimea deja impusă.

7. Distanța directă și traseul descriu același lucru?

Segmentul dintre două puncte reprezintă distanța directă în plan. Un traseu care trece printr-un al treilea punct are lungimea obținută prin adunarea segmentelor efectiv parcurse. Trebuie să citim care dintre aceste mărimi este solicitată.

Dacă există un obstacol, o stradă obligatorie sau o deplasare realizată numai pe direcțiile grilei, traseul poate fi mai lung decât segmentul direct. Coordonatele capetelor nu spun singure cum s-a deplasat un obiect între ele. Ele permit calculul distanței directe, nu reconstruirea oricărui drum posibil.

Pentru trei puncte, distanța directă nu depășește suma celorlalte două segmente. Egalitatea apare când punctul intermediar este pe segmentul dintre capete. Într-un drum cu un colț real, suma este mai mare. Această observație este un control de bun-simț pentru aplicațiile în care se compară un cablu întins cu un cablu montat pe două direcții.

Nu aplicăm formula plană coordonatelor geografice în grade ca și cum ar fi lungimi carteziene în metri. Modelul acestei lecții este un plan cu axe perpendiculare și aceeași unitate de lungime. Pentru observații pe o suprafață plană, cu o calibrare declarată, ipoteza poate fi potrivită și trebuie precizată.

8. Ce verificăm într-o problemă de echidistanță?

Când un punct necunoscut trebuie să fie egal depărtat de două puncte date, scriem două formule cu aceeași necunoscută. Dacă punctul este pe $Ox$, îl putem nota $M(t,0)$. Pentru punctele fixe $U(u,v)$ și $V(w,z)$, condiția este $(t-u{)}^2+v^2=(t-w{)}^2+z^2$.

Pătratele lui $t$ se reduc după desfacerea parantezelor. Când abscisele $u$ și $w$ sunt diferite, rămâne o ecuație de gradul întâi care determină o singură valoare a lui $t$. Verificarea finală se face în ambele pătrate de distanță, nu într-o singură parte a ecuației.

Dacă abscisele celor două puncte fixe sunt egale, termenii care conțin necunoscuta se reduc complet. Atunci poate apărea fie o egalitate adevărată pentru toate valorile lui $t$, fie o contradicție. Nu împărțim la un coeficient nul doar pentru a forța o soluție unică. De exemplu, pentru două puncte simetrice față de $Ox$, fiecare punct al acestei axe este egal depărtat de ele.

Această discuție nu cere memorarea unei formule noi pentru punctul necunoscut. Procedura sigură rămâne scrierea distanțelor, folosirea nenegativității pentru a compara pătratele și examinarea ecuației obținute. În problemele cu date concrete, forma ecuației arată dacă informația determină o singură poziție, mai multe sau niciuna. O schiță poate sugera cazul, dar calculul îl justifică.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — O lungime exactă care nu este întreagă

Într-un reper ortonormat se dau $A(-4,3)$ și $B(2,-2)$. Calculează distanța dintre puncte și compar-o cu separarea orizontală.

Rezolvare. Diferențele sunt $2-(-4)=6$ și $-2-3=-5$. Obținem $A{B}^2=6^2+(-5{)}^2=61$, deci $AB=\sqrt{61}$. Separarea orizontală este șase, iar $61>36$, deci $AB>6$, așa cum trebuie.

Păstrăm forma exactă; enunțul nu solicită o aproximație. Semnul negativ al diferenței verticale arată sensul schimbării de la $A$ la $B$, dar nu produce o lungime negativă. Dacă am inversa numele capetelor, pătratele ar fi identice și distanța ar rămâne aceeași.

Exemplul 2 — Alegerea celui mai apropiat punct dintr-o listă

Față de $T(1,2)$, compară pozițiile $A(-2,6)$, $B(-3,3)$ și $C(0,-3)$. Care este cea mai apropiată dintre cele trei?

Rezolvare. Calculăm $T{A}^2=(-3{)}^2+4^2=25$, $T{B}^2=(-4{)}^2+1^2=17$ și $T{C}^2=(-1{)}^2+(-5{)}^2=26$. Cel mai mic pătrat este șaptesprezece, deci $B$ este punctul cel mai apropiat din lista dată, la distanța $\sqrt{17}$.

Nu am aproximat niciun radical. Comparația pătratelor este suficientă deoarece toate distanțele sunt nenegative. Figura ajută la identificarea punctelor, însă verdictul se bazează pe cele trei calcule exacte. Afirmația se referă numai la candidații enumerați, nu la toate punctele planului.

Exemplul 3 — De la grilă la milimetri

Pe o probă plană, două repere diferă cu trei intervale pe orizontală și două pe verticală. Fiecare interval reprezintă doi milimetri pe ambele direcții. Află distanța fizică dintre repere.

Rezolvare. Separările sunt șase milimetri și patru milimetri. Teorema lui Pitagora dă distanța $\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$ mm. Putem controla și calculând mai întâi $\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$ intervale, apoi înmulțind cu doi milimetri pe interval.

Cele două metode coincid fiindcă scara este aceeași pe ambele direcții. Un rezultat de $\sqrt{13}$ mm ar omite calibrarea și ar descrie o lungime fizică de două ori mai mică. Unitatea este parte din răspuns, nu o etichetă adăugată arbitrar.

Exemplul 4 — Două poziții posibile

Punctul $P(t,4)$ este la distanța cinci de $A(-2,1)$. Determină toate valorile reale ale lui $t$.

Rezolvare. Formula dă $(t+2{)}^2+(4-1{)}^2=25$, deci $(t+2{)}^2=16$. Rezultă $t+2=4$ sau $t+2=-4$, așadar $t=2$ ori $t=-6$. Pozițiile sunt $P(2,4)$ și $P(-6,4)$.

Ambele au separare verticală trei și separare orizontală de modul patru față de $A$, deci distanța cinci. Enunțul nu impune o parte a planului care să elimine una dintre ele. Două răspunsuri sunt firești aici; păstrarea numai a rădăcinii pozitive pentru coordonată ar pierde o poziție admisă.

Exemplul 5 — Segment direct sau două porțiuni de cablu?

Un traseu în plan pornește din $A(-1,-2)$, trece prin $B(6,-2)$ și ajunge la $C(6,4)$. O unitate reprezintă un metru. Compară lungimea traseului $A\to B\to C$ cu distanța directă $AC$.

Rezolvare. Segmentele traseului au lungimile $AB=7$ m și $BC=6$ m, deci totalul este $13$ m. Segmentul direct are $AC=\sqrt{7^2+6^2}=\sqrt{85}$ m. Pentru comparație, $85<169$, deci distanța directă este mai mică decât treisprezece metri.

Nu alegem una dintre valori ca fiind „distanța corectă” fără a citi cerința. Ambele calcule sunt corecte pentru mărimi diferite: drumul impus are două porțiuni, iar distanța directă unește capetele printr-un singur segment.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Într-un reper ortonormat, se dau $A(-5,2)$ și $B(1,5)$. Calculează $AB$ și verifică afirmația $AB>OA$, unde $O$ este originea.

Rezolvare. Obținem $A{B}^2=6^2+3^2=45$, deci $AB=3\sqrt{5}$. Pentru origine, $O{A}^2=(-5{)}^2+2^2=29$. Deoarece $45>29$, iar ambele lungimi sunt nenegative, rezultă $AB>OA$.

Am folosit valoarea exactă pentru distanța solicitată și pătratele pentru comparație. Nu este necesară calcularea unei aproximații a lui $\sqrt{29}$. Enunțul antrenează o cerință scurtă de geometrie analitică din programa M2, fără să atribuie aceste date unui subiect oficial sau unei sesiuni viitoare.

Să exersăm

Toate coordonatele de mai jos sunt date în repere ortonormate. Păstrează rezultatele exacte dacă nu se cere o aproximare. Pentru o comparație, scrie ce domeniu de puncte ai verificat; pentru o aplicație, precizează unitatea și dacă ai calculat un segment sau un traseu.

1. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Calculează $AB$ pentru $A(-3,4)$ și $B(1,6)$.

2. Află distanța dintre $C(-8,2)$ și $D(3,2)$ fără un calcul inutil cu două diferențe nenule.

3. Pentru $E(-4,-6)$ și $F(-4,2)$, calculează distanța și numește direcția segmentului.

4. Calculează distanța dintre $G(-0,7;0,4)$ și $H(0,5;0,9)$.

5. Calculează distanța de la origine la $P(-9,12)$.

6. Determină $UV$ pentru $U(1/2,-3/2)$ și $V(5/2,3/2)$.

7. Care punct este mai aproape de origine: $K(2,7)$ sau $L(-4,5)$? Compară fără zecimale.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) Dacă $A{B}^2=48$ și $CD=5\sqrt{2}$, atunci $AB>CD$.

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Pentru $A(1,-3)$ și $P(t,1)$, determină toate valorile reale ale lui $t$ pentru care $AP=\sqrt{65}$.

10. Găsește punctul $M(x,0)$ egal depărtat de $A(-3,2)$ și $B(5,4)$.

11. Poate un punct cu ordonata opt să fie la distanța trei de $N(2,4)$? Justifică înainte de a rezolva o ecuație completă.

12. (Problemă aplicată.) Două particule au diferențe de coordonate de patru și cinci unități. O unitate reprezintă $1/2$ mm. Află distanța în milimetri.

13. Se cunosc $R{S}^2=72$ și $R{T}^2=75$. Compară lungimile și scrie valoarea exactă simplificată a lui $RS$.

14. (Problemă aplicată.) Un senzor din $S(2,-1)$ poate detecta punctele la distanță de cel mult cinci unități. Detectează $P(6,3)$? Verifică exact pragul.

15. Traseul $A(0,0)\to B(8,0)\to C(8,9)$ este măsurat în metri. Calculează lungimea lui și distanța directă dintre capete.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Pentru $A(-7,-1)$ și $B(3,2)$, calculează $AB$ și verifică dacă depășește zece unități.

17. Dintre $P(3,3)$, $Q(5,0)$ și $R(-1,4)$, care este cel mai apropiat de origine? Există vreun alt punct al planului mai apropiat decât acesta?

18. (Provocare.) Pot punctele $A(t-4,2)$ și $B(5,3t-1)$ să aibă distanța zero pentru vreun număr real $t$? Folosește faptul că o sumă de pătrate reale este zero numai când fiecare termen este zero.

Răspunsuri și explicații

1. $AB=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$.

2. $CD=|3-(-8)|=11$. Segmentul este orizontal, cu ordonate egale.

3. $EF=|2-(-6)|=8$. Segmentul este vertical, cu abscisa comună minus patru.

4. Diferențele sunt $1,2$ și $0,5$, deci $G{H}^2=1,44+0,25=1,69$ și $GH=1,3$. Zecimalele nu schimbă formula.

5. $OP=\sqrt{81+144}=15$. Ambele componente intră în lungimea față de origine.

6. $UV=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$. Scăderile fracțiilor produc diferențe întregi.

7. $O{K}^2=53$, iar $O{L}^2=41$, deci $L$ este mai aproape.

8. Fals. $C{D}^2=25\cdot 2=50>48=A{B}^2$, iar lungimile sunt nenegative, deci $AB<CD$.

9. $(t-1{)}^2+16=65$, deci $t=8$ sau $t=-6$. Ambele se verifică în distanța inițială.

10. $(x+3{)}^2+4=(x-5{)}^2+16$ dă $16x=28$, deci $M(7/4,0)$.

11. Nu. Separarea verticală este patru, deja mai mare decât distanța permisă trei.

12. Distanța este $\sqrt{41}/2$ mm. Calibrarea se aplică lungimii în unități de grilă.

13. $RS<RT$ și $RS=6\sqrt{2}$. Compararea pătratelor evită aproximațiile radicalilor.

14. Nu: $S{P}^2=4^2+4^2=32>25$. Punctul este în afara razei de cinci unități, cu unitatea de lungime a reperului.

15. Traseul are $17$ m, iar distanța directă este $\sqrt{145}$ m. Sunt două mărimi distincte.

16. $AB=\sqrt{109}>10$, deoarece $109>100$.

17. Pătratele sunt $18,25,17$, deci $R$ este minimul listei. Da, originea însăși are distanța zero, mai mică; concluzia despre listă nu privește tot planul.

18. Nu. Abscisele egale ar impune $t=9$, iar ordonatele egale ar impune $t=1$. Niciun parametru nu satisface ambele condiții.

De reținut

• Formula distanței combină două diferențe de coordonate într-un reper ortonormat, după teorema lui Pitagora.
• Distanța este nenegativă și este zero exact pentru puncte coincidente; inversarea capetelor nu o schimbă.
• Pătratele distanțelor pot fi comparate direct, deoarece toate lungimile sunt nenegative.
• O distanță și o coordonată pot determina două poziții, una singură sau niciuna; verifică toate cazurile admise.
• Traseul efectiv se calculează din porțiunile parcurse, iar segmentul direct numai din cele două capete.

Greșeli frecvente

• O lungime negativă acceptată după rezolvarea ecuației. Coordonata poate fi negativă, dar distanța nu. Separă valoarea necunoscutei de lungimea pe care o calculezi.
• Formula folosită înainte de calibrarea unităților. Exprimă separările în aceeași unitate de lungime; două numere din coloane cu unități diferite nu se pătrățesc direct împreună.
• Minimul unei liste declarat minim în tot planul. Spune între ce candidați ai comparat. Verificarea a trei puncte justifică numai alegerea dintre cele trei.
• Lungimea drumului înlocuită cu segmentul dintre capete. Urmărește traseul din enunț. O oprire intermediară poate adăuga lungime fără să schimbe capetele.
• Un candidat pentru coordonată eliminat numai pentru că este negativ. După o ecuație cu pătrat, verifică ambele valori în restricțiile geometrice reale; semnul coordonatei nu este semnul distanței.

Aplică acasă

1. Clasament fără radicali zecimali. Alege un punct fix și patru candidați cu coordonate întregi. Calculează pătratele distanțelor și ordonează candidații. Modifică unul astfel încât să obții o egalitate de distanțe. Explică de ce clasamentul folosește aceeași ordine pentru lungimi și pentru pătratele lor.
2. Aceleași puncte, altă origine. Alege două poziții într-un reper și calculează distanța dintre ele. Descrie-le apoi într-un al doilea reper cu aceleași direcții și unități, adăugând aceeași constantă ambelor abscise și aceeași altă constantă ambelor ordonate. Recalculează distanța și arată algebric de ce deplasările comune dispar din diferențe.
3. Date imposibile. Construiește un enunț cu un punct cunoscut, o ordonată fixată și o distanță prea mică pentru orice abscisă. Scrie explicația geometrică și verificarea printr-un pătrat care ar trebui să fie negativ. Schimbă apoi distanța astfel încât să existe exact o poziție posibilă.

Pentru părinți și profesori

Cereți elevului să anunțe ce calculează înainte de substituție: lungime directă, drum sau comparație. Alternați rezultatele întregi cu radicali care rămân nesimplificabili. Includeți un caz cu puncte coincidente și unul fără soluție, pentru a verifica definiția, nu numai operațiile. Datele și unitățile trebuie verificate înainte de concluzia geometrică.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă pentru științe ale naturii, OMEC 6930/2025, anexa 28, aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030. Distanța dintre două puncte aparține domeniului „Geometrie. Trigonometrie” la Bacalaureatul 2030, MAT_P2. Ea este și în programa Bacalaureatului M2, M_șt-nat, pentru generațiile 2027–2029. Modelul oficial 2026 conține geometrie analitică la Subiectul I, cerința 5, dar cere o relație de mijloc comun, nu calculul de distanță din exemplele noastre. Nu deducem frecvențe sau punctaje pentru această lecție din acel singur model.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: distanța dintre două puncte în plan. Varianta M2 de aici include alegerea dintre candidați și calibrarea unei imagini plane. Testul M2 al unității se parcurge integral după noțiunile despre drepte; acum pot fi selectate cerințele despre puncte și distanțe.

Întrebări frecvente

De ce este util pătratul distanței, dacă problema cere o lungime?

Pătratul permite comparații exacte și verificări ale egalității fără radicali zecimali. Pentru concluzia despre lungime, revii la rădăcina nenegativă atunci când trebuie să dai valoarea efectivă. Nu scrie pătratul în locul distanței: numerele și unitățile lor sunt diferite. Metoda scurtează comparația, nu schimbă mărimea solicitată.

Un punct cu abscisă negativă poate fi soluția unei distanțe date?

Da. Semnul abscisei descrie poziția față de axa verticală, nu semnul unei lungimi. O ecuație pentru coordonată poate avea două soluții, dintre care una negativă. Le verifici pe amândouă în formula inițială și în restricțiile enunțului. Numai o condiție suplimentară, precum un cadran impus, poate elimina o poziție altfel validă.

Când nu este nevoie să rezolv complet ecuația distanței?

Dacă una dintre separările deja fixate pe axe depășește distanța cerută, problema nu are soluție reală. Cealaltă diferență contribuie printr-un pătrat nenegativ, deci nu poate micșora lungimea. Acest control geometric poate preceda algebra și oferă o explicație scurtă a imposibilității, nu doar constatarea unui radical neadmis.

Distanța directă îmi spune cât a mers un obiect?

Numai dacă mișcarea a urmat segmentul dintre cele două poziții fără ocol sau revenire. În general, coordonatele capetelor dau distanța directă, iar drumul parcurs depinde de traseu. Dacă sunt date opriri obligatorii, aduni lungimile porțiunilor respective. Distincția rămâne necesară chiar când toate punctele sunt în același plan.

Cum se leagă formula de pregătirea pentru bacalaureatul M2?

Formula este inclusă în geometria analitică a programei de examen M_șt-nat și în domeniul „Geometrie. Trigonometrie” pentru MAT_P2. Exercițiile marcate antrenează aplicarea și verificarea condițiilor. Modelul oficial 2026 arată o problemă cu coordonate și mijloace, nu o frecvență garantată a cerințelor de distanță și nici un punctaj fix pentru ele.

Ce aduce diferit această lecție M2 față de mate-info (M1)?

Formula este comună, dar sarcinile de aici insistă asupra alegerii celui mai apropiat candidat, conversiei unei grile de laborator și deosebirii dintre segment și traseu. Nu cere aproximări dacă forma exactă răspunde întrebării. Situațiile imposibile și soluțiile multiple sunt interpretate geometric, la nivelul necesar programelor M2.