Figuri în reperul cartezian: perimetre (M2, științe ale naturii)

Coordonatele vârfurilor pot descrie conturul unei zone de lucru sau al unei plăci plane. Pentru lungimea marginii trebuie să știm atât distanțele, cât și ordinea în care sunt unite punctele. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), folosim geometria analitică pentru astfel de calcule. Ele consolidează noțiunile cerute în pregătirea pentru Bacalaureatul M2 2027–2029 și în domeniul „Geometrie. Trigonometrie” al probei MAT_P2 din 2030.

Formula distanței dintre două puncte va fi instrumentul de calcul pentru laturi. Relațiile dintre segmente pot fi controlate și folosind mijloacele lor, când problema oferă o asemenea condiție. Nu introducem aici formule de arie sau ecuații de drepte: urmărim conturul, calculăm lungimile necesare și interpretăm totalul.

Ce vei învăța

• Vei identifica laturile unui poligon din ordinea vârfurilor, inclusiv închiderea conturului.
• Vei calcula un perimetru prin distanțe exacte într-un reper ortonormat.
• Vei justifica folosirea unei formule scurte numai când proprietățile figurii sunt cunoscute.
• Vei urmări și porțiunile retrase ale unui contur concav, fără a înlocui forma cu dreptunghiul exterior.
• Vei elimina corect o latură comună când două piese formează un singur contur exterior.
• Vei deosebi perimetrul geometric de lungimea efectivă de material cerută într-o aplicație.

Hai să descoperim împreună

1. Ce date definesc conturul?

O listă de puncte arată poziții, dar un poligon cere și informația despre legăturile dintre ele. În notația unui poligon simplu $ABCDE$, vârfurile sunt date în ordinea parcurgerii conturului. Laturile sunt $AB$, $BC$, $CD$, $DE$ și $EA$. Ultima legătură închide figura și se întoarce la primul punct.

Perimetrul unui poligon simplu este suma lungimilor laturilor sale, fiecare latură a conturului fiind numărată o singură dată. Prin poligon simplu înțelegem că laturile nu se intersectează în afara capetelor consecutive. În această lecție lucrăm cu astfel de contururi, ale căror vârfuri și ordine sunt precizate.

În figura de descoperire urmărim, pe rând, cele cinci laturi ale unui contur. Unele sunt paralele cu axele și permit un calcul imediat; altele sunt oblice și folosesc două diferențe de coordonate. Orientarea laturii schimbă modul convenabil de calcul, nu faptul că ea trebuie inclusă în contur.

Înainte de a calcula, scrie lista laturilor cerute. Acest inventar scurt te ajută să separi informațiile necesare de segmentele ajutătoare ale desenului. Dacă un punct intermediar este marcat pe o latură, el poate împărți calculul acelei lungimi în două porțiuni, dar nu inventează o margine nouă a regiunii.

2. Cum trecem de la coordonate la perimetru?

Pentru fiecare pereche de vârfuri consecutive, aplicăm formula distanței în reperul ortonormat. La un triunghi $ABC$, scriem $P=AB+BC+CA$. Calculăm cele trei lungimi separat, apoi le adunăm. Perimetrul este o lungime și se exprimă în aceeași unitate ca laturile.

Pentru o latură orizontală, diferența ordonatelor este zero, iar lungimea este modulul diferenței absciselor. Pentru o latură verticală folosim diferența ordonatelor. La o latură oblică păstrăm ambele contribuții în radical. Nu tratăm toate segmentele ca fiind orizontale doar pentru că desenul este mic.

Un tabel de lucru poate conține capetele, diferențele pe axe, pătratul lungimii și lungimea exactă. Nu este obligatoriu să îl trasezi la fiecare problemă, dar organizarea separă calculele și permite un control mai ușor. La final aduni coloana lungimilor, nu coloana pătratelor.

Dacă apar radicali care nu se simplifică, perimetrul poate rămâne o sumă de numere exacte. Nu toate problemele trebuie să conducă la un întreg. O aproximare este utilă numai dacă enunțul cere o valoare practică rotunjită, iar precizia se stabilește înainte de a interpreta rezultatul.

3. Când putem folosi o formulă mai scurtă?

Pentru un dreptunghi cu laturile alăturate de lungimi $L$ și $l$, perimetrul este $2(L+l)$. Pentru un pătrat de latură $a$, este $4a$. Aceste formule folosesc egalitatea anumitor laturi. Ele sunt scurtături justificate de proprietățile figurii, nu înlocuitori ai verificării datelor.

Dacă enunțul spune că figura este un dreptunghi și coordonatele sunt date corect, putem calcula două laturi alăturate. Dacă trebuie tocmai să verificăm natura figurii, justificăm proprietățile necesare înainte de a utiliza concluzia. Un contur care pare dreptunghi pe ecran poate fi deformat de scară sau poate fi doar asemănător vizual.

O figură poate fi rotită față de axe fără să își schimbe numele. Laturile unui dreptunghi nu sunt obligatoriu orizontale și verticale. Formula distanței permite calculul lor în orice orientare. Pentru controlul unghiurilor, relațiile dintre pătratele lungimilor pot fi utile, conform reciprocei teoremei lui Pitagora.

Nu este nevoie să clasifici complet figura dacă se cere numai perimetrul și cunoști toate laturile. Poți calcula direct lungimile conturului. A demonstra mai mult decât este necesar poate prelungi rezolvarea fără a o face mai sigură; în schimb, orice scurtătură folosită trebuie să aibă o justificare reală.

4. Cum urmărim un contur cu o retragere spre interior?

Un poligon concav are o porțiune a marginii retrasă spre interiorul formei sale exterioare. Conturul trebuie parcurs integral, inclusiv acea retragere. Dreptunghiul cel mai mic care cuprinde figura poate fi util desenului, dar perimetrul său nu este automat perimetrul figurii.

Imaginează o placă dreptunghiulară din care se decupează o adâncitură în partea de sus. O porțiune a marginii inițiale dispare și este înlocuită cu alte segmente. Lungimea nouă se calculează după această înlocuire, nu printr-o afirmație generală că o decupare micșorează întotdeauna perimetrul. Suprafața și lungimea marginii sunt mărimi diferite.

Pe un caroiaj, un asemenea contur poate avea numai laturi orizontale și verticale. Calculul rămâne elementar, dar inventarul laturilor este mai important decât într-un dreptunghi simplu. Urmărește fiecare schimbare de direcție și revino la punctul de pornire.

Ca verificare, poți compara două metode: suma tuturor laturilor și modificarea perimetrului formei inițiale prin înlocuirea porțiunii decupate. Cele două totaluri trebuie să coincidă. Dacă nu coincid, caută o latură omisă sau o porțiune numărată de două ori, fără a schimba arbitrar coordonatele.

5. Ce se întâmplă când alipim două piese?

Dacă două poligoane simple sunt alipite fără suprapunere de suprafață, de-a lungul unui segment comun, acel segment devine interior reuniunii. Pentru perimetrul exterior al piesei reunite nu îl mai numărăm. În suma perimetrelor inițiale fusese însă numărat o dată de fiecare piesă.

De aceea, din suma celor două perimetre scădem de două ori lungimea segmentului comun. Relația este valabilă pentru configurația descrisă, în care acel segment reprezintă întreaga porțiune comună de margine și nu apar alte suprapuneri. Nu o aplicăm automat oricăror două figuri care se intersectează.

Dacă problema cere material pentru contururile celor două piese înainte de alipire, suma inițială poate fi mărimea potrivită. Dacă cere doar marginea exterioară după alipire, folosim conturul nou. Diferența nu este în coordonate, ci în obiectul a cărui margine o măsurăm.

Un desen cu latura comună punctată ajută la separarea ei de conturul exterior. În calcule, numește explicit segmentul comun și verifică lungimea lui din coordonate. Astfel, scăderea dublă are o explicație geometrică verificabilă, nu este un număr introdus pentru a ajusta rezultatul.

6. Perimetrul este întotdeauna lungimea materialului necesar?

Perimetrul este lungimea întregului contur geometric. Dacă o bandă trebuie montată pe tot conturul fără suprapuneri și fără pierderi, lungimea teoretică de material este egală cu perimetrul. Într-un model practic, enunțul poate prevedea o deschidere, o rezervă sau un segment care nu se acoperă.

O deschidere de lungime cunoscută se scade o singură dată, dacă ea este o singură porțiune a conturului. O rezervă cerută pentru montaj se adaugă separat. Nu inventăm procente de pierderi sau reguli de cumpărare care nu au fost precizate. Calculăm modelul exact oferit de problemă.

Scara fizică se aplică lungimilor. Dacă o unitate din reper reprezintă jumătate de metru, fiecare latură și întregul perimetru în unități se înmulțesc cu jumătate de metru pe unitate. O deschidere deja exprimată în metri se compară cu perimetrul convertit în metri, nu cu valoarea sa numerică înainte de conversie.

Rezultatul trebuie să aibă sens: o porțiune scoasă dintr-un contur nu poate fi mai lungă decât conturul din care se scoate. Un rezultat negativ nu este o lungime de material admisă. El semnalează fie date incompatibile, fie amestecarea unităților, fie o interpretare greșită a obiectului cerut.

7. Ce poate și ce nu poate spune un perimetru?

Două figuri cu același perimetru nu sunt obligatoriu congruente și nu au obligatoriu aceeași formă. De exemplu, laturile unui dreptunghi pot varia păstrând aceeași sumă a celor două dimensiuni. Totalul marginii nu păstrează toate informațiile despre distribuția ei între laturi.

Nici poziția figurii în reper nu se poate deduce din perimetru. O translație care mută toate vârfurile prin aceleași deplasări păstrează diferențele de coordonate și, prin urmare, lungimile și perimetrul. Nu este necesar ca figura să aibă un vârf în origine pentru ca metodele să funcționeze.

În sens invers, dacă sunt cunoscute coordonatele și ordinea conturului, lungimile sunt determinate. O valoare de perimetru declarată suplimentar poate fi verificată și respinsă dacă nu coincide cu totalul calculat. Nu schimbăm datele numai pentru a obține cifra anunțată de un raport.

O rezolvare completă precizează astfel trei lucruri: conturul ales, lungimile lui și interpretarea sumei. Dacă unul dintre acestea lipsește, un total corect numeric poate răspunde totuși altei întrebări. Desenul, formula și propoziția finală trebuie să descrie același obiect geometric.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un triunghi cu perimetru exact

În reper ortonormat, triunghiul are vârfurile $A(-2,1)$, $B(5,1)$ și $C(2,4)$. Calculează perimetrul.

Rezolvare. Latura $AB$ este orizontală și are lungimea șapte. Pentru celelalte laturi, $B{C}^2=(-3{)}^2+3^2=18$ și $C{A}^2=(-4{)}^2+(-3{)}^2=25$. Așadar, $BC=3\sqrt{2}$, $CA=5$ și $P=12+3\sqrt{2}$.

Triunghiul este nedegenerat: al treilea punct nu este pe orizontala primelor două. Nu este necesar să aflăm toate unghiurile pentru a calcula perimetrul. Am folosit exact cele trei laturi ale conturului și am păstrat radicalul cerut de coordonate, fără o aproximare inutilă.

Exemplul 2 — Un dreptunghi rotit față de axe

Se dau, în ordinea conturului, $A(-1,-2)$, $B(3,1)$, $C(-3,9)$ și $D(-7,6)$, vârfurile unui dreptunghi. Calculează perimetrul și controlează lungimile laturilor opuse.

Rezolvare. Diferențele pentru $AB$ sunt patru și trei, deci $AB=5$. Pentru $BC$ sunt minus șase și opt, deci $BC=10$. Celelalte două laturi au aceleași pătrate, astfel că $CD=5$ și $DA=10$. Obținem $P=30$.

Orientarea oblică nu împiedică folosirea formulei $2(5+10)$. Datele sunt compatibile cu dreptunghiul: laturile opuse sunt egale, iar $A{C}^2=125=25+100$ verifică un unghi drept în triunghiul $ABC$. Împreună cu proprietatea patrulaterului având laturi opuse egale, acest control confirmă și forma declarată.

Exemplul 3 — Conturul unei plăci cu adâncitură

Un contur simplu are vârfurile, în ordine, $A(0,0)$, $B(8,0)$, $C(8,6)$, $D(5,6)$, $E(5,3)$, $F(3,3)$, $G(3,6)$, $H(0,6)$. Calculează perimetrul în unitățile reperului.

Rezolvare. Lungimile succesive sunt $8,6,3,3,2,3,3,6$. Suma lor este $34$. Conturul intră în adâncitură prin $DE$, parcurge $EF$ și revine prin $FG$; toate aceste laturi sunt margine a plăcii.

Dreptunghiul exterior ar avea perimetrul $28$. Porțiunea de sus de lungime doi a fost înlocuită cu trei segmente de lungimi trei, doi și trei. Diferența este șase, deci al doilea control dă tot $28+6=34$. Decuparea a redus suprafața plăcii, dar a mărit lungimea conturului.

Exemplul 4 — Latura comună devine interioară

Două dreptunghiuri sunt alipite de-a lungul întregului segment $BC$, unde $B(5,0)$ și $C(5,3)$. Primul ocupă de la $x=0$ la $x=5$, al doilea de la $x=5$ la $x=9$, ambele între $y=0$ și $y=3$. Calculează perimetrul exterior al reuniunii.

Rezolvare. Perimetrele pieselor sunt $2(5+3)=16$ și $2(4+3)=14$. Segmentul comun are lungimea trei și apare în fiecare perimetru inițial. Îl eliminăm de două ori: perimetrul exterior este $16+14-2\cdot 3=24$.

Controlul direct vede un dreptunghi cu dimensiunile nouă și trei, deci tot $2(9+3)=24$. Dacă am fi scăzut o singură dată latura comună, am fi lăsat în total o copie a unei margini care nu mai este exterioară.

Exemplul 5 — Perimetru convertit și o singură deschidere

O zonă dreptunghiulară are vârfurile $A(-4,-1)$, $B(2,-1)$, $C(2,4)$, $D(-4,4)$. O unitate reprezintă $1/2$ m. Pe contur se montează o bandă, exceptând o singură deschidere de $0,8$ m. Ce lungime teoretică de bandă este necesară, fără rezervă?

Rezolvare. Laturile au șase și cinci unități, deci perimetrul este $22$ unități. În metri, acesta este $11$ m. Scădem deschiderea o singură dată și obținem $10,2$ m de bandă.

Perimetrul geometric al dreptunghiului rămâne unsprezece metri; numai lungimea acoperită este mai mică. Am făcut conversia înainte de scădere, astfel încât cele două mărimi să folosească aceeași unitate. Nu adăugăm rezervă, deoarece enunțul o exclude explicit din model.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Triunghiul $ABC$ are vârfurile $A(1,-3)$, $B(7,-3)$ și $C(3,2)$ într-un reper ortonormat. Determină perimetrul în formă exactă.

Rezolvare. Segmentul $AB$ are lungimea șase. Pentru $AC$, suma pătratelor diferențelor este $2^2+5^2=29$. Pentru $BC$, ea este $(-4{)}^2+5^2=41$. Rezultă $P=6+\sqrt{29}+\sqrt{41}$.

Punctul $C$ nu este pe orizontala $AB$, deci triunghiul există cu trei vârfuri necoliniare. Nu forțăm radicalii să devină întregi. Cerința este construită pentru exersarea geometriei analitice M2; nu este prezentată ca reproducere a problemei din modelul oficial 2026, care folosește o condiție despre mijloace.

Să exersăm

Vârfurile poligoanelor sunt date în ordinea conturului. Toate reperele sunt ortonormate și toate datele sunt exacte. În problemele aplicate, calculează întâi mărimea geometrică, apoi transformările de unitate sau modificările de material cerute explicit.

1. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Află perimetrul triunghiului $A(0,0)$, $B(5,0)$, $C(0,-3)$.

2. Calculează perimetrul dreptunghiului $A(-3,-2)$, $B(4,-2)$, $C(4,3)$, $D(-3,3)$.

3. Pentru $A(-1,1)$, $B(2,1)$, $C(2,5)$, compară lungimea liniei frânte $A\to B\to C$ cu perimetrul triunghiului $ABC$.

4. Un triunghi are pătratele lungimilor laturilor $8,18,26$. Scrie perimetrul exact; explică de ce nu aduni direct cele trei pătrate ca răspuns.

5. Două dreptunghiuri au dimensiunile doi și șapte, respectiv patru și cinci. Compară perimetrele. Rezultă că dreptunghiurile sunt congruente?

6. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Pătratul $A(0,1)$, $B(3,4)$, $C(6,1)$, $D(3,-2)$ este rotit față de axe. Calculează perimetrul din lungimea laturii $AB$.

7. (Problemă aplicată.) Un contur are perimetrul $18$ unități, iar o unitate reprezintă $3/4$ m. Ce lungime în metri are conturul?

8. Două pătrate de latură doi sunt alipite de-a lungul unei laturi întregi, fără suprapunere. Află perimetrul exterior al figurii reunite.

9. Din partea de sus a unui dreptunghi de dimensiuni zece și șapte se decupează o adâncitură dreptunghiulară de lățime patru și adâncime doi, fără a atinge laturile laterale. Calculează noul perimetru.

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) O adâncitură dreptunghiulară de lățime $a$ și adâncime $h$, decupată dintr-o latură de lungime $L>a$ fără a atinge capetele ei, mărește perimetrul cu $2h$, oricare ar fi $a$.

11. Un triunghi are vârfurile $P(-5,-1)$, $Q(1,-1)$, $R(-2,3)$. Calculează perimetrul și verifică separat egalitatea celor două laturi oblice.

12. (Problemă aplicată.) Conturul unei zone are $27$ m. O bandă se montează pe tot conturul, cu excepția unei deschideri de $1,4$ m. Se cere și o rezervă de $0,6$ m. Află lungimea totală de bandă prevăzută de model.

13. Două plăci au perimetrele $20$ cm și $18$ cm. Sunt alipite numai pe un segment comun de $4$ cm. Care este perimetrul exterior al reuniunii?

14. Un raport spune că dreptunghiul cu vârfurile $(0,0),(7,0),(7,4),(0,4)$ are perimetrul douăzeci. Verifică raportul din coordonate.

15. Calculează perimetrul paralelogramului $A(-3,-1)$, $B(4,-1)$, $C(6,5)$, $D(-1,5)$ și verifică egalitatea laturilor opuse.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Triunghiul are vârfurile $A(-3,-2)$, $B(2,-2)$, $C(-3,6)$. Calculează perimetrul și explică de ce figura este nedegenerată.

17. (Problemă aplicată.) O zonă dreptunghiulară are dimensiunile cinci și opt unități, fiecare unitate reprezentând doi centimetri. Se acoperă doar trei laturi, omisă fiind una dintre laturile de opt unități. Cât material este necesar?

18. (Provocare.) Dreptunghiul $ABCD$ are $A(-1,0)$, $B(5,0)$ și $C(5,k)$, cu $k>0$, iar perimetrul lui este $26$. Află $k$ și coordonatele vârfului $D$.

Răspunsuri și explicații

1. Laturile de pe axe au cinci și trei, iar $BC=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}$; perimetrul este $8+\sqrt{34}$.

2. Laturile alăturate sunt șapte și cinci, deci perimetrul este $24$.

3. Linia frântă are lungimea șapte, iar triunghiul are perimetrul doisprezece, deoarece închiderea adaugă segmentul $CA=5$.

4. Perimetrul este $2\sqrt{2}+3\sqrt{2}+\sqrt{26}=5\sqrt{2}+\sqrt{26}$. Pătratele lungimilor nu sunt lungimile de adunat.

5. Ambele perimetre sunt $18$, dar perechile lungimilor diferă. Figurile nu sunt congruente numai din egalitatea totalurilor.

6. $AB=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$, deci perimetrul este $12\sqrt{2}$.

7. Conturul are $18\cdot 3/4=13,5$ m. Scara se aplică lungimii totale.

8. Perimetrul este $8+8-2\cdot 2=12$. Latura comună a fost numărată de două ori înainte de alipire.

9. Perimetrul inițial este $34$. O porțiune de patru este înlocuită cu lungimile doi, patru și doi, deci noul total este $38$.

10. Adevărat. Porțiunea de lungime $a$ dispare, iar în locul ei apar $h$, $a$ și $h$; diferența este $2h$, fără $a$.

11. $PQ=6$, iar $PR=QR=5$, deci perimetrul este $16$. Cele două calcule oblice au suma pătratelor egală cu douăzeci și cinci.

12. Sunt necesari $27-1,4+0,6=26,2$ m de bandă. Perimetrul geometric rămâne douăzeci și șapte de metri.

13. Perimetrul exterior este $20+18-2\cdot 4=30$ cm, în configurația fără alte porțiuni comune.

14. Raportul este greșit: perimetrul este $2(7+4)=22$, nu douăzeci.

15. $AB=CD=7$, iar $BC=DA=\sqrt{4+36}=2\sqrt{10}$. Perimetrul este $14+4\sqrt{10}$.

16. $AB=5$, $AC=8$ și $BC=\sqrt{25+64}=\sqrt{89}$, deci perimetrul este $13+\sqrt{89}$. Două laturi nenule, una orizontală și una verticală, formează un unghi drept.

17. Lungimea acoperită este $5+8+5=18$ unități, adică $36$ cm. Nu se cere întregul perimetru.

18. Din $2(6+k)=26$ rezultă $k=7$, deci $C(5,7)$ și $D(-1,7)$. Latura $AB$ are șase unități, iar $BC$ este verticală.

De reținut

• Perimetrul este suma lungimilor conturului închis precizat, nu o sumă arbitrară a segmentelor din desen.
• Formula distanței calculează fiecare latură în reper ortonormat, indiferent de orientarea ei.
• Formulele pentru dreptunghi și pătrat folosesc proprietăți care trebuie date sau justificate.
• O adâncitură poate mări lungimea marginii, iar o latură comună poate dispărea din conturul exterior după alipire.
• Scara, deschiderile și rezervele transformă perimetrul într-o cerință de material numai după interpretarea precisă a modelului.

Greșeli frecvente

• Dreptunghiul exterior măsurat în locul conturului concav. Urmărește și porțiunile retrase. Marginea reală poate avea altă lungime decât forma care o cuprinde.
• Latura comună păstrată în marginea exterioară după alipire. Ea a fost numărată în ambele perimetre inițiale. Elimină ambele copii atunci când devine interioară reuniunii.
• Aceeași deschidere scăzută de două ori. Precizează câte porțiuni nu sunt acoperite. Două capete ale unei deschideri nu înseamnă două deschideri distincte.
• Perimetre egale considerate dovadă de congruență. Același total poate fi distribuit între laturi diferite. Compară proprietățile și lungimile necesare înainte de a identifica figurile.
• Scara fizică aplicată doar unor laturi. Convertește toate lungimile în aceeași unitate sau convertește suma completă. Nu amesteca unități de reper și metri în același total.

Aplică acasă

1. Același total, alte dimensiuni. Construiește în reper două dreptunghiuri necongruente cu perimetru egal. Scrie coordonatele în ordinea conturului și verifică ambele totaluri. Explică precis ce informație comună oferă perimetrul și ce informație despre laturi rămâne diferită.
2. Alipire verificată în două moduri. Desenează două dreptunghiuri alipite pe o latură întreagă, fără suprapunere. Calculează conturul exterior prin parcurgerea lui și prin suma perimetrelor din care elimini latura comună de două ori. Alege dimensiuni care îți permit să verifici exact coincidența rezultatelor.
3. Un marcaj care nu schimbă marginea. Desenează un contur simplu și adaugă un punct intermediar pe una dintre laturi. Scrie suma lungimilor înainte și după împărțirea laturii. Cere unui coleg să explice de ce numărul porțiunilor din calcul crește, în timp ce lungimea totală rămâne aceeași.

Pentru părinți și profesori

Înainte de operații, cereți elevului să parcurgă verbal conturul și să spună ce măsoară. La alipire, întrebați de câte ori apărea segmentul comun în totalul inițial. La aplicații, separați perimetrul de materialul solicitat. Această lectură a configurației poate preveni erori pe care un calcul corect al fiecărei distanțe nu le rezolvă singur.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă pentru științe ale naturii, OMEC 6930/2025, anexa 28, aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030. Aplicațiile cu distanțe și configurații plane aparțin domeniului „Geometrie. Trigonometrie” la Bacalaureatul 2030, MAT_P2. Generațiile pe programa veche pregătesc Bacalaureatul M2, M_șt-nat, 2027–2029, care include geometrie analitică în plan. Modelul oficial 2026 are la Subiectul I, cerința 5, o problemă despre mijlocul comun al segmentelor. Aceasta nu este o dovadă că perimetrul ar fi cerut în fiecare sesiune; lecția de față aplică distanța din programă.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: figuri în reperul cartezian: perimetre și verificări. Varianta M2 adaugă controlul conturului concav, al alipirii și al unităților într-un model practic. Pentru recapitularea geometrică, poți folosi perimetrul pătratului și al dreptunghiului din clasa a V-a, iar pentru evaluarea unității testul M2 despre reper, distanțe și dreaptă. Interpretarea scării și a pozițiilor continuă în coordonate în situații practice.

Întrebări frecvente

De ce trebuie cunoscut conturul, dacă am coordonatele punctelor?

Coordonatele fixează pozițiile, dar nu spun singure ce segmente alcătuiesc marginea cerută. Pentru un poligon, ordinea vârfurilor indică legăturile consecutive și închiderea. În problemele acestei lecții, ordinea este dată explicit. O sumă de distanțe între alte perechi poate fi corect calculată și totuși să nu reprezinte perimetrul obiectului solicitat.

Poate o decupare să mărească perimetrul?

Da. O adâncitură poate înlocui o porțiune scurtă a marginii cu mai multe segmente a căror sumă este mai mare. Suprafața scade, dar conturul se poate lungi. Pentru verdict trebuie să urmărești marginea nouă și să compari porțiunea eliminată cu porțiunile adăugate, folosind dimensiunile exacte ale configurației date.

De ce se scade de două ori latura comună a două piese alipite?

În suma perimetrelor inițiale, segmentul comun apare o dată pentru fiecare piesă. După alipire, dacă devine interior și nu există alte suprapuneri, niciuna dintre cele două copii nu mai aparține marginii exterioare. De aceea eliminăm ambele contribuții. Controlul direct prin parcurgerea conturului nou trebuie să producă același total.

Perimetrul egal spune că două figuri au aceeași formă?

Nu. Perimetrul păstrează numai totalul lungimilor marginii, nu distribuția lor și nici unghiurile. Două dreptunghiuri cu dimensiuni diferite pot avea aceeași sumă a laturilor alăturate, deci același perimetru. Pentru congruență sunt necesare alte informații geometrice; egalitatea unui singur total nu poate înlocui acele condiții.

Ce pregătește lecția pentru bacalaureatul M2?

Pregătește aplicarea distanței dintre puncte în configurații plane și redactarea unui calcul geometric complet. Distanța este prevăzută în programele M2. Exemplele marcate sunt construite pentru antrenament, iar modelul oficial 2026 citit conține altă relație de geometrie analitică, despre mijloace. Nu atribuim acestei lecții o frecvență de apariție sau un punctaj viitor.

Cum diferă organizarea M2 de lecția mate-info (M1)?

Instrumentul comun este distanța din coordonate. Aici sunt dezvoltate și sarcini despre contururi cu adâncituri, piese alipite și material necesar după conversia unităților. Calculul urmărește exact obiectul din enunț. Clasificarea figurilor apare numai când justifică o formulă folosită, fără o colecție suplimentară de criterii sau probleme avansate.