Ce condiții definesc mijlocul unui segment cu capete distincte?

Punctul aparține segmentului și este egal depărtat de capete.

Punctul este oriunde în plan, egal depărtat de capete.

Punctul are abscisa cuprinsă între cele ale capetelor.

Punctul este pe aceeași verticală cu un capăt.

Capetele au coordonate întregi. Când are mijlocul ambele coordonate întregi?

Când suma absciselor și suma ordonatelor sunt ambele pare.

Când suma tuturor celor patru coordonate este pară.

Când cel puțin o coordonată a unui capăt este pară.

Întotdeauna, deoarece capetele sunt întregi.

Cum aflu punctul aflat la un sfert din segment?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Coordonatele mijlocului unui segment

Iei de două ori mijlocul: întâi mijlocul $M$ al lui $A B$ , apoi mijlocul lui $A M$ . Pentru $A (0, 0)$ și $B (8, 12)$ , $M$ are coordonatele $(4, 6)$ , iar mijlocul lui $A M$ este $N (2, 3)$ , la un sfert din drum de la $A$ spre $B$ . Același punct se obține direct cu $(\frac{3 x _{A} + x _{B}}{4}, \frac{3 y _{A} + y _{B}}{4})$ . Verificare: $A N = 13$ , iar $A B = 208 = 413$ .

Pentru un segment cu capete distincte, mijlocul trebuie să fie pe segment și să îl împartă în două părți egale. Egalitatea distanțelor până la capete, luată singură, permite și poziții exterioare. Formula coordonatelor selectează direct punctul corect prin media absciselor și media ordonatelor.

Cele două medii se calculează independent, între componente corespondente. Rezultatul este o pereche care descrie o poziție. Faptul că valorile se află între coordonatele capetelor este un control util, dar nu o dovadă suficientă pentru orice candidat ales.

Dintr-un capăt și mijloc se poate reconstrui celălalt capăt. Izolează necunoscutele din cele două ecuații ale mediilor, apoi recalculează mijlocul pentru verificare. Coincidența mijloacelor nu fixează lungimile sau orientările celor două segmente; relația comună descrie numai poziția centrului.

La înjumătățiri succesive, identifică atent segmentul folosit în fiecare etapă. Pentru capete întregi, mijlocul are componente întregi numai când ambele sume corespunzătoare sunt pare. Un rezultat fracționar este un punct valid, chiar dacă o aplicație permite marcaje numai pe grila întreagă. Verifică separat restricția practică și existența geometrică.

De reținut

mijlocul: $(\frac{x _{A} + x _{B}}{2}, \frac{y _{A} + y _{B}}{2})$
punctul de la un sfert dinspre $A$ : $(\frac{3 x _{A} + x _{B}}{4}, \frac{3 y _{A} + y _{B}}{4})$
centrul de greutate: media celor trei vârfuri

Greșeala tipică

La a doua înjumătățire se folosesc din nou capetele $A$ și $B$ , și se obține tot mijlocul; al doilea pas se face pe segmentul $A M$ .

Exerciții din această mini-lecție

Care este mijlocul lui $A B$ dacă $A (- 9, 5)$ și $B (3, - 7)$ ?
- a) $(- 6, - 2)$
- b) $(6, - 6)$
- c) $(- 3, - 1)$
- d) $(- 3, 6)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $(- 3, - 1)$

Mediile sunt $(- 9 + 3) /2 = - 3$ și $(5 - 7) /2 = - 1$ .
Ce condiții definesc mijlocul unui segment cu capete distincte?
- a) Punctul este oriunde în plan, egal depărtat de capete.
- b) Punctul are abscisa cuprinsă între cele ale capetelor.
- c) Punctul este pe aceeași verticală cu un capăt.
- d) Punctul aparține segmentului și este egal depărtat de capete.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) Punctul aparține segmentului și este egal depărtat de capete.

Egalitatea lungimilor trebuie însoțită de apartenența la segment. Numai împreună selectează mijlocul.
Capetele au coordonate întregi. Când are mijlocul ambele coordonate întregi?
- a) Când suma absciselor și suma ordonatelor sunt ambele pare.
- b) Când suma tuturor celor patru coordonate este pară.
- c) Când cel puțin o coordonată a unui capăt este pară.
- d) Întotdeauna, deoarece capetele sunt întregi.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) Când suma absciselor și suma ordonatelor sunt ambele pare.

Fiecare medie se verifică separat. O sumă totală pară poate proveni din două sume impare și nu ajunge.

Întrebări conexe

Ce coordonate are centrul de greutate al triunghiului $A (1, 2)$ , $B (5, 0)$ , $C (3, 7)$ ?

Faci media celor trei abscise și a celor trei ordonate: $\frac{1 + 5 + 3}{3} = 3$ și $\frac{2 + 0 + 7}{3} = 3$ . Centrul de greutate este $G (3, 3)$ , la două treimi din fiecare mediană, pornind de la vârf.

Ce punct se află la jumătatea drumului dintre două stații de pe o hartă?

Dacă stațiile au coordonatele $(- 6, 4)$ și $(10, - 2)$ , în kilometri, punctul de la jumătate are coordonatele $(\frac{- 6 + 10}{2}, \frac{4 - 2}{2}) = (2, 1)$ . El este la aceeași distanță de ambele stații, în linie dreaptă.

Cum aflu lungimea unei mediane dintr-un triunghi cu vârfuri date?

Afli întâi mijlocul laturii opuse, apoi distanța până la vârf. Pentru $A (0, 0)$ , $B (6, 0)$ , $C (2, 8)$ , mijlocul lui $B C$ este $M (4, 4)$ , iar mediana dusă din $A$ are lungimea $A M = 16 + 16 = 42 \approx 5, 66$ unități.

Cum aflu mijlocul unui segment cu coordonate fracționare?

Aplici aceeași medie: pentru $A (\frac{1}{2}, - 3)$ și $B (\frac{5}{2}, 2)$ , mijlocul este $(\frac{1/2 + 5/2}{2}, \frac{- 3 + 2}{2}) = (\frac{3}{2}, - \frac{1}{2})$ . Fracțiile se păstrează exacte până la capăt, fără rotunjiri, iar verificarea se face la fel: de la fiecare capăt până la mijloc diferențele coordonatelor sunt egale.

Ce se întâmplă cu mijlocul dacă mut segmentul cu $3$ unități la dreapta?

Ambele capete primesc $+ 3$ la abscisă, deci media absciselor crește tot cu $3$ , iar ordonata mijlocului rămâne aceeași. Mijlocul lui $(1, 4)$ și $(5, 0)$ este $(3, 2)$ ; după mutare, mijlocul lui $(4, 4)$ și $(8, 0)$ este $(6, 2)$ .

Oamenii mai întreabă și: punctul de la un sfert dintr-un segment · mijloace succesive ale unui segment · împărțirea unui segment în patru · punctul de la o pătrime din AB