În $$\triangle ABC$$: $$\widehat{A} = 55°$$, $$\widehat{B} = 70°$$. În $$\triangle MNP$$: $$\widehat{M} = 55°$$, $$\widehat{N} = 70°$$. Ce criteriu arată că $$\triangle ABC \sim \triangle MNP$$?

LUL (latură–unghi–latură)

LLL (latură–latură–latură)

Nu se poate stabili asemănarea

Un triunghi are laturile $$6$$, $$8$$, $$10$$. Alt triunghi are laturile $$9$$, $$12$$, $$15$$. Ce criteriu confirmă că sunt asemenea?

LLL, pentru că toate cele trei rapoarte ale laturilor omoloage sunt egale

UU, pentru că unghiurile sunt evident egale

LUL, folosind cel mai mare unghi

Niciunul, informațiile sunt insuficiente

În $$\triangle DEF$$: $$\widehat{D} = 40°$$, $$\widehat{E} = 85°$$. În $$\triangle XYZ$$: $$\widehat{X} = 40°$$, $$\widehat{Y} = 85°$$. Ce criteriu arată că $$\triangle DEF \sim \triangle XYZ$$?

LUL (latură–unghi–latură)

LLL (latură–latură–latură)

Nu se poate stabili asemănarea

Care sunt criteriile de asemănare?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Criteriile UU, LUL, LLL

Sunt trei scurtături care scutesc de verificarea tuturor laturilor și a tuturor unghiurilor. Prima cere două perechi de unghiuri egale, fiindcă al treilea vine de la sine din suma de 180 de grade. A doua cere un unghi egal, cuprins între două laturi cu același raport. A treia cere ca toate trei perechile de laturi să fie în același raport. Alegi criteriul după datele pe care ți le dă enunțul.

Ca să arăți că două triunghiuri sunt asemenea, nu trebuie să verifici toate cele 3 unghiuri și toate cele 3 laturi — există „scurtături" sigure, numite criterii:

UU (unghi–unghi): 2 perechi de unghiuri congruente sunt de ajuns (al treilea rezultă automat, din $180°$ ).
LUL (latură–unghi–latură): un unghi congruent cuprins între două laturi respectiv proporționale.
LLL (latură–latură–latură): toate cele 3 perechi de laturi respectiv proporționale.

Alegi criteriul după datele pe care le ai: unghiuri → UU; un unghi + 2 laturi care îl formează → LUL; doar laturi → LLL.

Exemplu minimal (LUL): în $△ A B C$ , $A B = 10$ , $A C = 15$ , $A = 60°$ ; în $△ D E F$ , $D E = 6$ , $D F = 9$ , $D = 60°$ . Verificăm $\frac{A B}{D E} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$ și $\frac{A C}{D F} = \frac{15}{9} = \frac{5}{3}$ — egale, iar unghiul dintre ele e congruent. Deci $△ A B C \sim △ D E F$ , cu $k = \frac{5}{3}$ .

De reținut

două unghiuri egale sunt de ajuns pentru asemănare
la criteriul cu un unghi, acesta trebuie cuprins între laturile din raport
toate trei laturile în același raport dau asemănare
raportul ariilor este pătratul raportului laturilor

Greșeala tipică

Se trage concluzia din o singură pereche de unghiuri egale. Este nevoie de două perechi, altfel triunghiurile pot avea forme cu totul deosebite.

Exerciții din această mini-lecție

În $△ A B C$ : $A = 55°$ , $B = 70°$ . În $△ M N P$ : $M = 55°$ , $N = 70°$ . Ce criteriu arată că $△ A B C \sim △ M N P$ ?
- a) UU (unghi–unghi)
- b) LUL (latură–unghi–latură)
- c) LLL (latură–latură–latură)
- d) Nu se poate stabili asemănarea
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) UU (unghi–unghi)

Avem două perechi de unghiuri respectiv congruente ( $55°$ și $70°$ ), fără nicio informație despre laturi. Acesta este exact criteriul UU: al treilea unghi ( $55°$ , respectiv $55°$ ) rezultă automat din suma $180°$ .
Un triunghi are laturile $6$ , $8$ , $10$ . Alt triunghi are laturile $9$ , $12$ , $15$ . Ce criteriu confirmă că sunt asemenea?
- a) UU, pentru că unghiurile sunt evident egale
- b) LUL, folosind cel mai mare unghi
- c) LLL, pentru că toate cele trei rapoarte ale laturilor omoloage sunt egale
- d) Niciunul, informațiile sunt insuficiente
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) LLL, pentru că toate cele trei rapoarte ale laturilor omoloage sunt egale

Ordonăm laturile crescător și comparăm: $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ , $\frac{8}{12} = \frac{2}{3}$ , $\frac{10}{15} = \frac{2}{3}$ . Toate cele trei rapoarte sunt egale, deci se aplică criteriul LLL (nu avem nicio informație despre unghiuri, doar laturi).
În $△ D E F$ : $D = 40°$ , $E = 85°$ . În $△ X Y Z$ : $X = 40°$ , $Y = 85°$ . Ce criteriu arată că $△ D E F \sim △ X Y Z$ ?
- a) UU (unghi–unghi)
- b) LUL (latură–unghi–latură)
- c) LLL (latură–latură–latură)
- d) Nu se poate stabili asemănarea
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) UU (unghi–unghi)

Avem două perechi de unghiuri respectiv congruente ( $40°$ și $85°$ ), fără nicio informație despre laturi. Acesta este exact criteriul UU: al treilea unghi ( $55°$ , respectiv $55°$ ) rezultă automat din suma $180°$ .

Întrebări conexe

Ce este raportul de asemănare k?

Este numărul care arată de câte ori un triunghi este mai mare decât celălalt, obținut împărțind două laturi care se corespund. Toate perechile de laturi dau aceeași valoare, iar perimetrele stau și ele în același raport.

Ce se întâmplă cu ariile a două triunghiuri asemenea?

Raportul ariilor este pătratul raportului laturilor. La un raport de 2, aria devine de patru ori mai mare, fiindcă se măresc deodată și baza, și înălțimea. Aceeași regulă merge la orice figuri asemenea.

Sunt asemenea două triunghiuri congruente?

Da, cu raportul 1. Congruența este cazul în care mărirea nu schimbă nimic, deci figurile se suprapun. Așadar orice pereche de triunghiuri congruente trece automat oricare dintre criteriile de asemănare.

Cum recunosc triunghiuri asemenea într-o figură cu paralele?

Cauți unghiurile la fel care apar din paralelism, corespondente sau alterne, plus un unghi comun ori două opuse la vârf. Cu două perechi de unghiuri egale ești gata, iar figura cu paralele le oferă aproape întotdeauna.

Ce se întâmplă cu raportul de asemănare dacă schimb ordinea triunghiurilor?

Devine inversul lui. Dacă primul triunghi are laturile de $1, 5$ ori mai mari decât al doilea, atunci, luate în ordinea cealaltă, raportul este $\frac{2}{3}$ . De aceea se scrie de fiecare dată în ce ordine ai luat triunghiurile, altfel rezultatele ies răsturnate.

Sunt toate triunghiurile echilaterale asemenea între ele?

Da, oricât de mari ar fi. Toate au unghiuri de câte 60 de grade, deci trec criteriul cu două unghiuri egale, iar laturile lor sunt în același raport. Același lucru este adevărat pentru toate pătratele sau pentru toate cercurile.

Oamenii mai întreabă și: criterii de asemănare a triunghiurilor · criteriul UU · criteriul LUL asemănare · criteriul LLL asemănare · când sunt două triunghiuri asemenea