Aplicații practice: aproximarea distanțelor folosind asemănarea

Cum poți afla înălțimea unui bloc de zece etaje fără să urci pe acoperiș cu ruleta? Cum măsori lățimea unui râu fără să treci pe malul celălalt și cum estimezi cât de departe este un far, un stâlp de înaltă tensiune sau vârful unui munte? Răspunsul este surprinzător de elegant: te folosești de triunghiuri asemenea. În această lecție vei descoperi cum topografii, marinarii și inginerii au măsurat, secole la rând, distanțe imposibil de parcurs cu pasul — și cum poți face și tu același lucru cu un băț, o umbră și o proporție.

Ce vei învăța

• Vei ști să modelezi o situație practică din realitate cu ajutorul a două triunghiuri asemenea.
• Vei ști să aproximezi înălțimea unui obiect (copac, clădire, stâlp) folosind umbra lui și asemănarea.
• Vei ști să aproximezi distanțe inaccesibile (lățimea unui râu, distanța până la un mal) construind triunghiuri asemenea.
• Vei ști să parcurgi etapele de rezolvare: desen → identificarea triunghiurilor asemenea → scrierea proporției → calcul.
• Vei ști să interpretezi rezultatul în contextul problemei și să apreciezi când o aproximare este rezonabilă.

Hai să descoperim împreună

De ce funcționează totul: ideea de bază

Până acum ai învățat ce înseamnă două triunghiuri asemenea și ai lucrat cu criteriile de asemănare și cu teorema fundamentală a asemănării. Reținem ideea centrală, pentru că pe ea se sprijină toată lecția de azi:

Dacă două triunghiuri sunt asemenea, atunci laturile lor omoloage (corespunzătoare) sunt proporționale.

Cu alte cuvinte, dacă $△ABC\sim △A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, atunci:

$$\frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{BC}{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{CA}{C^{\prime }{A}^{\prime }}=k,$$

unde $k$ este raportul de asemănare. Această egalitate de rapoarte este „mașina" cu care vom afla lungimi pe care nu le putem măsura direct. Trucul practic e simplu: construim o situație în care avem un triunghi mare, inaccesibil (cel cu obiectul real: clădirea, râul, muntele) și un triunghi mic, ușor de măsurat (bățul nostru, câțiva pași pe teren). Arătăm că cele două triunghiuri sunt asemenea, scriem proporția, și din trei mărimi cunoscute o aflăm pe a patra.

Gândește-te la o fotografie. Când vezi în poză un om lângă un far, poți estima cât de înalt e farul comparând înălțimile din imagine cu înălțimea reală a omului. Fotografia păstrează proporțiile — exact ca triunghiurile asemenea. Asta face asemănarea: păstrează forma, schimbă doar mărimea.

Metoda umbrei: aflarea înălțimii unui obiect

Cea mai cunoscută aplicație este aflarea înălțimii cu umbra. Se spune că matematicianul Thales din Milet a măsurat astfel înălțimea Marii Piramide din Egipt, în urmă cu peste 2500 de ani, doar cu ajutorul umbrei ei și a propriei umbre.

Iată ideea. La un moment dat al zilei, soarele trimite razele sub un anumit unghi. Aceleași raze cad paralel peste tot (soarele e foarte, foarte departe). Așadar, în același moment, un băț vertical și un copac vertical fac cu solul același unghi între rază și pământ.

Să notăm:

• $\hat{I}C$ = înălțimea copacului (necunoscută), $uC$ = lungimea umbrei copacului;
• $\hat{I}b$ = înălțimea bățului (o măsori), $ub$ = lungimea umbrei bățului.

Copacul cu umbra lui formează un triunghi dreptunghic: cateta verticală e înălțimea copacului, cateta orizontală e umbra, iar ipotenuza e „raza de soare". Bățul cu umbra lui formează un al doilea triunghi dreptunghic. Cele două triunghiuri au:

1. câte un unghi drept (obiectul e vertical, solul orizontal) — deci un unghi de $90°$ egal;
2. unghiul dintre rază și sol egal, pentru că razele soarelui sunt paralele.

Având două unghiuri respectiv congruente, cele două triunghiuri sunt asemenea (criteriul U.U.). Prin urmare, laturile omoloage sunt proporționale. Punem în raport catetele corespunzătoare (înălțime cu înălțime, umbră cu umbră):

$$\frac{\hat{I}C}{\hat{I}b}=\frac{uC}{ub}.$$

De aici obținem regula de aur a metodei umbrei:

$$\boxed{\hat{I}C=\hat{I}b\cdot \frac{uC}{ub}}$$

Sub-exemplu rapid. Un băț de $1\text{m}$ aruncă o umbră de $1,5\text{m}$. În același moment, umbra unui copac este de $9\text{m}$. Atunci:

$$\hat{I}C=1\cdot \frac{9}{1,5}=\frac{9}{1,5}=6\text{m}.$$

Copacul are aproximativ $6$ metri. Observă cât de puțin ne-a trebuit: un băț, o riglă și o umbră. Nimeni nu a urcat în copac.

O idee și mai practică: raportul $\frac{uC}{ub}$ ne spune „de câte ori e umbra copacului mai lungă decât umbra bățului". Copacul este de exact tot atâtea ori mai înalt decât bățul. Umbra e $6$ ori mai lungă ($9:1,5=6$)? Atunci copacul e de $6$ ori mai înalt decât bățul.

⚠️ Foarte important: cele două umbre trebuie măsurate în același moment. Peste o oră, soarele se mișcă, unghiul se schimbă și umbrele devin altfel de lungi. Dacă amesteci umbre luate la ore diferite, proporția nu mai e valabilă.

Metoda „omului și oglinda" (o variantă a umbrei)

Aceeași idee funcționează cu o oglindă pusă pe sol. Așezi o oglindă mică pe pământ, între tine și clădire, și te dai înapoi până vezi în oglindă vârful clădirii. Raza de lumină „se reflectă" în oglindă cu același unghi cu care vine (unghiul de incidență = unghiul de reflexie). Se formează din nou două triunghiuri dreptunghice asemenea: unul cu tine (înălțimea ochilor tăi și distanța de la tine la oglindă), altul cu clădirea (înălțimea ei și distanța de la oglindă la clădire).

Proporția devine:

$$\frac{\text{ıˆna˘lțimea cla˘dirii}}{\text{ıˆna˘lțimea ochilor ta˘i}}=\frac{\text{distanța oglinda˘–cla˘dire}}{\text{distanța tu–oglinda˘}}.$$

E frumos pentru că nu depinde de soare — merge și pe înnorat, și în interior.

Aproximarea unei distanțe inaccesibile (lățimea unui râu)

A doua mare aplicație: măsurarea distanțelor inaccesibile. „Inaccesibil" înseamnă că nu poți întinde ruleta direct — pentru că în cale e un râu, o prăpastie, un gard, un lac. Ideea rămâne aceeași: construim pe teren, în partea accesibilă, un triunghi mic asemenea cu triunghiul mare care conține distanța necunoscută.

Să presupunem că vrem lățimea unui râu, adică distanța $AB$, unde $A$ e pe malul nostru și $B$ e un copac fix pe malul opus, exact în fața lui $A$.

Procedăm astfel pe teren:

1. Din $A$, mergem de-a lungul malului (perpendicular pe direcția $AB$) și marcăm un punct $C$; măsurăm $AC$.
2. Continuăm pe aceeași linie și marcăm punctul $D$; măsurăm $CD$.
3. Din $D$, mergem perpendicular pe mal, în partea opusă râului, până în punctul $E$, astfel încât punctele $B$, $C$, $E$ să fie coliniare (adică, privind din $E$ peste jalonul din $C$, vezi exact copacul $B$).
4. Măsurăm $DE$.

Acum avem două triunghiuri: $△BAC$ (cel mare, cu latura necunoscută $AB$) și $△EDC$ (cel mic, tot pe malul nostru, măsurabil). Sunt asemenea, pentru că:

• $\angle BAC=\angle EDC=90°$ (ambele construite perpendicular pe mal);
• $\angle BCA=\angle ECD$ (unghiuri opuse la vârf, în punctul $C$).

Cu U.U., $△BAC\sim △EDC$, deci laturile omoloage sunt proporționale:

$$\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DC}.$$

De aici lățimea râului:

$$AB=DE\cdot \frac{AC}{DC}.$$

Aceeași metodă, folosită cu jaloane și o coardă, măsura distanțe pe care nu le puteai parcurge cu pasul. E geniu curat: în loc să traversezi râul, plimbi triunghiul pe malul tău.

Metoda triunghiurilor „încuiate" (Thales pe teren)

Uneori triunghiul mic e chiar înăuntrul celui mare, nu față în față. Atunci folosim direct teorema lui Thales: o paralelă la o latură a unui triunghi taie celelalte două laturi în segmente proporționale, iar triunghiul mic format e asemenea cu cel mare.

Exemplu de gând: stai la o distanță de o clădire și ții vertical o riglă la lungimea brațului. Rigla „acoperă" fix înălțimea clădirii în câmpul vizual. Ochiul tău, rigla și clădirea formează două triunghiuri asemenea, „încuiate" unul în altul, pentru că rigla e paralelă cu clădirea (ambele verticale). Vom folosi această idee într-unul dintre exemplele rezolvate.

Etapele de rezolvare — rețeta pe care o urmezi mereu

Indiferent de problemă (umbră, râu, oglindă, riglă), respectă aceleași cinci etape. Le vei folosi la fiecare exercițiu:

1. Fă un desen clar. Notează pe el ce cunoști (cu cifre) și ce cauți (cu literă/semnul întrebării). Fără desen, te încurci.
2. Identifică cele două triunghiuri și arată că sunt asemenea. De obicei găsești un unghi drept + un unghi comun sau opus la vârf ⇒ criteriul U.U. Scrie explicit: „$△\dots \sim △\dots$".
3. Stabilește laturile omoloage (corespondența): înălțime cu înălțime, umbră cu umbră, latura de lângă unghiul mare cu latura de lângă unghiul mic corespunzător. Aici se fac cele mai multe greșeli — potrivește corect vârfurile.
4. Scrie proporția și rezolvă (aici folosești proporțiile: produsul mezilor = produsul extremilor).
5. Interpretează rezultatul: pune unitatea de măsură, verifică dacă are sens (un copac de $600\text{m}$ e clar o greșeală), și rotunjește rezonabil, pentru că e o aproximare.

Ține minte cuvântul „aproximare": pe teren, măsurătorile umbrelor și distanțelor au mici erori. Rezultatul e o estimare foarte bună, nu o valoare la milimetru. De aceea rotunjim la centimetri sau la o zecimală, după context.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Înălțimea unui stâlp cu ajutorul umbrei

Un stâlp de iluminat aruncă o umbră de $7,2\text{m}$. În același moment, un elev înalt de $1,6\text{m}$ aruncă o umbră de $1,2\text{m}$. Ce înălțime are stâlpul?

Desen și triunghiuri.

Stâlpul cu umbra formează triunghiul dreptunghic mare; elevul cu umbra, triunghiul mic. Razele soarelui sunt paralele, deci unghiurile față de sol sunt egale; ambele au și un unghi drept. Prin criteriul U.U., triunghiurile sunt asemenea.

Proporția (înălțime cu înălțime, umbră cu umbră):

$$\frac{{\hat{I}}_{\text{staˆlp}}}{1,6}=\frac{7,2}{1,2}.$$

Calcul.

$${\hat{I}}_{\text{staˆlp}}=1,6\cdot \frac{7,2}{1,2}=1,6\cdot 6=9,6\text{m}.$$

Interpretare. Stâlpul are aproximativ $9,6$ metri — o valoare firească pentru un stâlp de iluminat. Observă că umbra stâlpului e de $6$ ori mai lungă decât a elevului, deci stâlpul e de $6$ ori mai înalt.

Exemplul 2 — Lățimea unui râu

Vrei lățimea $AB$ a unui râu ($B$ = copac pe malul opus, $A$ = punct pe malul tău, fix în fața copacului). Pe malul tău măsori: $AC=3\text{m}$ de-a lungul malului, apoi $CD=1,5\text{m}$ pe aceeași linie, iar din $D$, perpendicular pe mal, $DE=4,5\text{m}$, astfel încât $B$, $C$, $E$ să fie coliniare. Cât de lat e râul?

Triunghiuri. $△BAC$ (mare) și $△EDC$ (mic). Au $\angle A=\angle D=90°$ și $\angle BCA=\angle ECD$ (opuse la vârf în $C$). Deci $△BAC\sim △EDC$ (U.U.).

Corespondența laturilor. $AB$ (opusă unghiului din $C$, în triunghiul mare) corespunde cu $DE$ (opusă unghiului din $C$, în triunghiul mic); $AC$ corespunde cu $DC$.

$$\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DC}\Rightarrow \frac{AB}{4,5}=\frac{3}{1,5}.$$

Calcul.

$$AB=4,5\cdot \frac{3}{1,5}=4,5\cdot 2=9\text{m}.$$

Interpretare. Râul are aproximativ $9$ metri lățime, deși nu am pus piciorul în apă. Am „mutat" măsurarea pe uscat.

Exemplul 3 — Metoda oglinzii

Andrei vrea înălțimea unei clădiri. Pune o oglindă mică pe jos, la $8\text{m}$ de clădire, și se retrage până vede în oglindă vârful clădirii. Se află atunci la $2\text{m}$ de oglindă. Ochii lui sunt la $1,5\text{m}$ de sol. Ce înălțime are clădirea?

Triunghiuri. Raza care vine de la vârful clădirii se reflectă în oglindă spre ochii lui Andrei. Unghiul de incidență = unghiul de reflexie, iar clădirea și Andrei sunt verticali (unghiuri drepte cu solul). Se formează două triunghiuri dreptunghice asemenea, cu vârful comun în oglindă.

Proporția (înălțime cu înălțime, distanță la oglindă cu distanță la oglindă):

$$\frac{{\hat{I}}_{\text{cla˘dire}}}{1,5}=\frac{8}{2}.$$

Calcul.

$${\hat{I}}_{\text{cla˘dire}}=1,5\cdot \frac{8}{2}=1,5\cdot 4=6\text{m}.$$

Interpretare. Clădirea are aproximativ $6$ metri (cam un parter înalt). Metoda merge și fără soare.

Exemplul 4 — Riglă ținută la distanța brațului (triunghiuri „încuiate")

Maria ține vertical o riglă de $20\text{cm}$ la $60\text{cm}$ de ochi (lungimea brațului). Rigla „acoperă" exact înălțimea unui copac aflat la $30\text{m}$ de ea. Ce înălțime are copacul?

Idee. Rigla e paralelă cu copacul (ambele verticale). Ochiul, rigla și copacul formează două triunghiuri asemenea cu vârf comun în ochi (o aplicație a teoremei lui Thales). Distanța ochi–riglă corespunde distanței ochi–copac; înălțimea riglei corespunde înălțimii copacului.

Atenție la unități! Punem tot în aceleași unități. Distanțele: $60\text{cm}=0,6\text{m}$ și $30\text{m}$. Înălțimea riglei: $20\text{cm}=0,2\text{m}$.

Proporția.

$$\frac{{\hat{I}}_{\text{copac}}}{0,2}=\frac{30}{0,6}.$$

Calcul.

$${\hat{I}}_{\text{copac}}=0,2\cdot \frac{30}{0,6}=0,2\cdot 50=10\text{m}.$$

Interpretare. Copacul are aproximativ $10$ metri. Fii atent: dacă amestecai centimetrii cu metrii, obțineai un rezultat absurd.

Exemplul 5 — Distanța până la un far, folosind două puncte de observație

Un topograf vrea distanța $AB$ de la un punct $A$ de pe țărm până la un far $B$ din larg (inaccesibil). Din $A$ merge $30\text{m}$ perpendicular pe direcția $AB$, până în $C$. Din $C$ vizează farul și pune un jalon $E$ pe segmentul $AC$, la $AE=12\text{m}$ de $A$; apoi din $E$ ridică o perpendiculară pe $AC$ (paralelă cu $AB$) și, privind spre far peste această perpendiculară, marchează punctul $F$ pe ea astfel încât $B$, $F$, $C$ să fie coliniare. Măsoară $EF=8\text{m}$. Cât e distanța $AB$?

Triunghiuri. $EF\parallel AB$ (ambele perpendiculare pe $AC$). În triunghiul $△ABC$, dreapta $EF$ e paralelă cu latura $AB$, deci $△CEF\sim △CAB$ (teorema fundamentală a asemănării). Corespund: $EF\leftrightarrow AB$ și $CE\leftrightarrow CA$.

Cât e $CE$? $CE=CA-EA=30-12=18\text{m}$.

Proporția.

$$\frac{AB}{EF}=\frac{CA}{CE}\Rightarrow \frac{AB}{8}=\frac{30}{18}.$$

Calcul.

$$AB=8\cdot \frac{30}{18}=8\cdot \frac{5}{3}=\frac{40}{3}\approx 13,33\text{m}.$$

Interpretare. Distanța până la far este de aproximativ $13,3$ metri. Rezultatul e o fracție, așa că îl rotunjim rezonabil, potrivit unei aproximări de teren.

Exemplul 6 — Verificare inversă (proporția „lucrează" în ambele sensuri)

Se știe că un copac de $5\text{m}$ aruncă, la un anumit moment, o umbră de $2\text{m}$. La același moment, un gard aruncă o umbră de $0,8\text{m}$. Ce înălțime are gardul?

Triunghiuri asemenea (raze paralele, unghiuri drepte, U.U.). Aici raportul umbră/înălțime e același pentru orice obiect vertical în acel moment:

$$\frac{\hat{I}}{u}=\frac{5}{2}=2,5(\text{ıˆna˘lțimea e de }2,5\text{ ori umbra}).$$

Pentru gard:

$${\hat{I}}_{\text{gard}}=2,5\cdot 0,8=2\text{m}.$$

Interpretare. Gardul are $2$ metri. Observă că raportul $\frac{\hat{I}}{u}$ e o „constantă a momentului": depinde doar de poziția soarelui, nu de obiect. E chiar tangenta unghiului razei — o idee pe care o vei relua la trigonometrie.

Să exersăm

Rezolvă în ordine; primele sunt de încălzire, ultimele cer mai multă gândire. La geometrie, fă întâi desenul.

1. Un băț de $1\text{m}$ are umbra de $0,5\text{m}$. În același moment, un copac are umbra de $6\text{m}$. Cât e înălțimea copacului?

2. Un elev de $1,5\text{m}$ are umbra de $2\text{m}$. Umbra unui stâlp este $8\text{m}$ în același moment. Cât e stâlpul?

3. Un panou publicitar de $4\text{m}$ aruncă o umbră de $3\text{m}$. Ce umbră are, în același moment, un om de $2\text{m}$?

4. Adevărat sau fals, cu motivare: „Metoda umbrei funcționează chiar dacă măsurăm umbra bățului la ora 10 și umbra copacului la ora 14."

5. Adevărat sau fals, cu motivare: „Dacă umbra unui obiect este de trei ori mai lungă decât umbra unui băț (măsurate simultan), atunci obiectul este de trei ori mai înalt decât bățul."

6. La metoda oglinzii: oglinda e la $6\text{m}$ de un turn; observatorul, cu ochii la $1,6\text{m}$, stă la $1,5\text{m}$ de oglindă. Ce înălțime are turnul?

7. Lățimea unui râu $AB$: pe malul tău $AC=4\text{m}$, $CD=2\text{m}$, iar $DE=6\text{m}$ (perpendicular pe mal), cu $B$, $C$, $E$ coliniare și $\angle A=\angle D=90°$. Cât e $AB$?

8. Maria ține o riglă de $15\text{cm}$ la $50\text{cm}$ de ochi. Rigla acoperă exact un stâlp aflat la $20\text{m}$. Cât e stâlpul? (Atenție la unități.)

9. Într-un triunghi $△ABC$, o dreaptă $MN\parallel BC$ ($M\in AB$, $N\in AC$) dă $AM=3\text{cm}$, $MB=6\text{cm}$, $MN=4\text{cm}$. Cât e $BC$?

10. Un copac de $3\text{m}$ are umbra de $1,2\text{m}$. În același moment, umbra unei clădiri e $14\text{m}$. Ce înălțime are clădirea?

11. Justificare: explică în $2$–$3$ propoziții de ce, la metoda umbrei, cele două triunghiuri sunt asemenea. Ce criteriu folosești?

12. Distanța până la un copac inaccesibil $B$: din $A$ (fix în fața lui $B$) mergi perpendicular $AC=20\text{m}$; pe $AC$, la $AE=8\text{m}$, ridici $EF\parallel AB$ și, vizând $B$ peste $F$, obții $B,F,C$ coliniare, cu $EF=7,2\text{m}$. Cât e $AB$?

13. Un turn are umbra de $18\text{m}$. Un băț vertical de $1,2\text{m}$ are umbra de $0,9\text{m}$ în același moment. Cât e turnul?

14. Problemă cu întorsătură: un stâlp de $6\text{m}$ are umbra de $4,5\text{m}$. La umbra stâlpului stă un băiat de $1,5\text{m}$. Cât de lungă e umbra băiatului în acel moment?

15. Doi copaci verticali au înălțimile $4\text{m}$ și $10\text{m}$. Umbra celui mic e $3\text{m}$. Cât e umbra celui mare (același moment)?

16. Raționament: doi elevi măsoară același copac cu metoda umbrei, dar la ore diferite. Primul obține $8\text{m}$, al doilea $8,3\text{m}$. Este vreunul „greșit"? Explică de ce rezultatele pot diferi, deși copacul e același.

17. Lățimea unei prăpăstii $AB$: $AC=5\text{m}$, $CD=3\text{m}$, $DE=12\text{m}$, cu configurația din Exemplul 2 ($\angle A=\angle D=90°$, $B,C,E$ coliniare). Cât e $AB$?

18. Provocare: un elev de $1,7\text{m}$ merge dinspre un stâlp de iluminat de $5,1\text{m}$. La un moment dat, umbra lui (aruncată de lampă, nu de soare) are lungimea de $2\text{m}$. La ce distanță de piciorul stâlpului se află elevul? (Indiciu: capul elevului, vârful umbrei și lampa sunt coliniare; se formează două triunghiuri asemenea, cu vârful comun în vârful umbrei.)

Răspunsuri și explicații

1. $\frac{\hat{I}}{1}=\frac{6}{0,5}=12\Rightarrow \hat{I}=12\text{m}$. Umbra e de $12$ ori mai lungă, deci copacul e de $12$ ori mai înalt decât bățul de $1\text{m}$.

2. $\frac{\hat{I}}{1,5}=\frac{8}{2}=4\Rightarrow \hat{I}=1,5\cdot 4=6\text{m}$.

3. Raportul înălțime/umbră al momentului: $\frac{4}{3}$. Deci umbra omului: $u=2\cdot \frac{3}{4}=1,5\text{m}$. (Verificare: $\frac{2}{1,5}=\frac{4}{3}$. ✓)

4. Fals. Între ora 10 și ora 14 soarele se mișcă, unghiul razelor se schimbă și lungimile umbrelor nu mai corespund. Măsurătorile trebuie făcute simultan, altfel triunghiurile nu mai sunt asemenea.

5. Adevărat. Triunghiurile fiind asemenea, raportul umbrelor = raportul înălțimilor. Dacă $\frac{u_{\text{obiect}}}{u_{\text{ba˘ț}}}=3$, atunci și $\frac{{\hat{I}}_{\text{obiect}}}{{\hat{I}}_{\text{ba˘ț}}}=3$.

6. $\frac{\hat{I}}{1,6}=\frac{6}{1,5}=4\Rightarrow \hat{I}=1,6\cdot 4=6,4\text{m}$.

7. $△BAC\sim △EDC$ (U.U.). $\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DC}\Rightarrow \frac{AB}{6}=\frac{4}{2}=2\Rightarrow AB=12\text{m}$.

8. Unități la fel: $50\text{cm}=0,5\text{m}$, $15\text{cm}=0,15\text{m}$. $\frac{\hat{I}}{0,15}=\frac{20}{0,5}=40\Rightarrow \hat{I}=0,15\cdot 40=6\text{m}$.

9. $MN\parallel BC\Rightarrow △AMN\sim △ABC$. $AB=AM+MB=3+6=9\text{cm}$. Raport $\frac{AM}{AB}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$. Deci $\frac{MN}{BC}=\frac{1}{3}\Rightarrow BC=3\cdot MN=12\text{cm}$.

10. $\frac{\hat{I}}{3}=\frac{14}{1,2}\Rightarrow \hat{I}=3\cdot \frac{14}{1,2}=3\cdot \frac{35}{3}=35\text{m}$.

11. Ambele triunghiuri (obiect + umbra, băț + umbra) au un unghi drept (obiectul e vertical, solul orizontal) și același unghi între raza de soare și sol (razele soarelui sunt paralele). Cu două unghiuri respectiv egale, triunghiurile sunt asemenea prin criteriul U.U.

12. $EF\parallel AB\Rightarrow △CEF\sim △CAB$. $CE=CA-EA=20-8=12\text{m}$. $\frac{AB}{EF}=\frac{CA}{CE}\Rightarrow \frac{AB}{7,2}=\frac{20}{12}=\frac{5}{3}\Rightarrow AB=7,2\cdot \frac{5}{3}=12\text{m}$.

13. $\frac{\hat{I}}{1,2}=\frac{18}{0,9}=20\Rightarrow \hat{I}=1,2\cdot 20=24\text{m}$.

14. Raportul înălțime/umbră: $\frac{6}{4,5}=\frac{4}{3}$. Umbra băiatului: $u=1,5\cdot \frac{3}{4}=1,125\text{m}\approx 1,13\text{m}$. (Aici înmulțim cu inversul, $\frac{u}{\hat{I}}=\frac{3}{4}$.)

15. Raportul umbră/înălțime al momentului: $\frac{3}{4}$. Umbra copacului mare: $u=10\cdot \frac{3}{4}=7,5\text{m}$.

16. Niciunul nu e „greșit". Metoda dă o aproximare: mici erori la măsurarea umbrei sau a bățului, plus mișcarea soarelui între cele două momente, produc rezultate ușor diferite. Ambele estimări sunt rezonabile; adevărata înălțime e undeva în jurul lor (de exemplu $\approx 8,1$–$8,2\text{m}$).

17. $△BAC\sim △EDC$. $\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DC}\Rightarrow \frac{AB}{12}=\frac{5}{3}\Rightarrow AB=12\cdot \frac{5}{3}=20\text{m}$.

18. Fie $x$ = lungimea umbrei ($x=2\text{m}$) și $d$ = distanța de la elev la piciorul stâlpului. Vârful umbrei $V$, capul elevului și lampa sunt coliniare. Se formează $△$ mic (elev + umbra) $\sim$ $△$ mare (stâlp + umbra întreagă $d+x$), ambele cu vârful în $V$: $$\frac{{\hat{I}}_{\text{elev}}}{{\hat{I}}_{\text{staˆlp}}}=\frac{x}{d+x}\Rightarrow \frac{1,7}{5,1}=\frac{2}{d+2}.$$ Cum $\frac{1,7}{5,1}=\frac{1}{3}$, avem $\frac{1}{3}=\frac{2}{d+2}\Rightarrow d+2=6\Rightarrow d=4\text{m}$. Elevul e la $4\text{m}$ de stâlp.

De reținut

• Triunghiuri asemenea ⇒ laturi omoloage proporționale. Aceasta e unealta cu care afli lungimi nemăsurabile direct.
• Metoda umbrei: $\frac{{\hat{I}}_{\text{obiect}}}{{\hat{I}}_{\text{ba˘ț}}}=\frac{u_{\text{obiect}}}{u_{\text{ba˘ț}}}$, deci ${\hat{I}}_{\text{obiect}}={\hat{I}}_{\text{ba˘ț}}\cdot \frac{u_{\text{obiect}}}{u_{\text{ba˘ț}}}$ — umbrele se măsoară simultan.
• Distanțe inaccesibile: construiește pe partea accesibilă un triunghi mic asemenea cu cel mare (unghi drept + unghi opus la vârf, sau o paralelă la o latură ⇒ Thales), apoi scrie proporția.
• Etape fixe: desen → arată asemănarea → potrivește laturile omoloage → scrie proporția → interpretează (cu unitate și rotunjire).
• Rezultatul e o aproximare bună, nu o valoare exactă la milimetru.

Greșeli frecvente

• Umbre luate la ore diferite. Dacă nu măsori simultan, unghiul soarelui se schimbă și proporția e falsă. Măsoară bățul și obiectul în același minut.
• Amestecarea unităților de măsură. Centimetri cu metri în aceeași proporție = dezastru. Transformă totul în aceeași unitate înainte de a scrie proporția (vezi Exemplul 4).
• Potrivirea greșită a laturilor omoloage. Nu pune la întâmplare. Înălțime cu înălțime, umbră cu umbră; într-un triunghi, latura opusă unui unghi corespunde laturii opuse unghiului egal din celălalt triunghi. Scrie întâi $△\dots \sim △\dots$ cu vârfurile în ordinea corectă.
• Uiți să justifici asemănarea. Într-o problemă completă trebuie să spui de ce triunghiurile sunt asemenea (criteriul U.U., paralelism, opuse la vârf), nu doar să scrii proporția.

Aplică acasă

1. Măsoară un copac sau un stâlp cu umbra. Într-o zi însorită, ia un băț (sau folosește-te pe tine, măsurându-ți înălțimea). Măsoară simultan umbra bățului și umbra copacului, apoi calculează $\hat{I}={\hat{I}}_{\text{ba˘ț}}\cdot \frac{u_{\text{copac}}}{u_{\text{ba˘ț}}}$. Notează ora — și repetă peste două ore ca să vezi că umbrele se schimbă, dar rezultatul pentru înălțime rămâne aproape la fel.

2. Metoda oglinzii pentru un obiect înalt. Pune o oglindă mică pe jos, retrage-te până vezi vârful obiectului, măsoară distanțele și înălțimea ochilor tăi, apoi află înălțimea. Compară cu metoda umbrei — ar trebui să dea valori apropiate.

3. Estimează o lățime inaccesibilă. Alege ceva ce nu poți traversa comod (un teren de joacă, un pârâu, o alee lată). Reproduce configurația cu jaloane (bețe înfipte) din Exemplul 2, măsoară cele trei segmente accesibile și calculează lățimea. Verifică apoi, dacă poți, printr-o măsurare directă și compară.

Pentru părinți și profesori

Această lecție transformă asemănarea triunghiurilor dintr-o teorie abstractă într-un instrument concret. Cel mai bun sprijin e o activitate reală: ieșiți afară cu un băț și o ruletă și măsurați împreună înălțimea unui copac. Copilul înțelege pe viu de ce razele paralele fac triunghiurile asemenea.

Întrebări de verificare pe care le puteți pune:

• „De ce sunt asemenea cele două triunghiuri? Ce criteriu folosești?" (Răspuns țintă: două unghiuri egale — U.U. — pentru că razele soarelui sunt paralele și obiectele sunt verticale.)
• „De ce trebuie măsurate umbrele în același moment?"
• „Care latură din triunghiul mic corespunde cu care din triunghiul mare?" (Verifică potrivirea corectă a laturilor omoloage.)
• „Rezultatul are sens? Un copac de $60\text{m}$ e realist?" (Antrenează interpretarea și verificarea de bun-simț.)

Semne că a înțeles cu adevărat: face desenul spontan, scrie explicit relația de asemănare înainte de proporție, transformă unitățile fără să i se amintească și rotunjește rezultatul spunând „aproximativ". Dacă sare direct la calcul fără desen și fără justificare, întoarceți-vă la cele cinci etape.

Întrebări frecvente

Cum aflu înălțimea unui copac fără să urc în el? Folosești metoda umbrei: măsori simultan umbra copacului și umbra unui băț de înălțime cunoscută, apoi calculezi ${\hat{I}}_{\text{copac}}={\hat{I}}_{\text{ba˘ț}}\cdot \frac{\text{umbra copacului}}{\text{umbra ba˘țului}}$. Triunghiurile formate de fiecare obiect cu umbra lui sunt asemenea, așa că înălțimile sunt proporționale cu umbrele.

De ce funcționează metoda umbrei cu asemănarea? Pentru că soarele e foarte departe, razele lui cad paralel. Un obiect vertical și un băț vertical fac cu solul două triunghiuri dreptunghice care au același unghi față de rază. Cu două unghiuri egale, triunghiurile sunt asemenea (criteriul U.U.), deci laturile lor sunt proporționale.

Cum măsor lățimea unui râu fără să îl traversez? Construiești pe malul tău un triunghi mic asemenea cu triunghiul mare care conține lățimea râului. Mergi perpendicular pe mal, apoi ridici o perpendiculară, aliniezi jaloanele cu copacul de pe malul opus și măsori segmentele accesibile. Din proporția triunghiurilor asemenea afli lățimea (vezi Exemplul 2).

Trebuie să fie neapărat soare pentru aceste măsurători? Nu. Metoda umbrei cere soare, dar există alternative: metoda oglinzii puse pe sol (folosește reflexia luminii) sau metoda riglei ținute la distanța brațului. Ambele se bazează tot pe triunghiuri asemenea și funcționează și pe înnorat sau în interior.

Ce criteriu de asemănare folosesc în aceste probleme? Aproape întotdeauna criteriul U.U. (unghi-unghi): găsești un unghi drept și încă un unghi egal (fie comun, fie opus la vârf, fie dat de raze paralele). Uneori pornești de la o paralelă la o latură a triunghiului și aplici teorema fundamentală a asemănării.

De ce spunem „aproximarea" distanței și nu valoarea exactă? Pentru că pe teren măsurătorile umbrelor și ale segmentelor au mici erori, iar soarele se mișcă. Metoda dă o estimare foarte bună, potrivită pentru practică, dar nu o valoare la milimetru. De aceea rotunjim rezultatul rezonabil.

Cum evit greșeala cu unitățile de măsură? Transformă toate mărimile în aceeași unitate (toate în metri sau toate în centimetri) înainte de a scrie proporția. Dacă ai o riglă în centimetri și o clădire în metri, treci totul într-una singură; altfel rezultatul iese complet greșit.

Are legătură această lecție cu trigonometria? Da. Raportul „înălțime : umbră" dintr-un anumit moment este chiar tangenta unghiului pe care îl fac razele soarelui cu solul — o idee pe care o vei studia la tangenta unui unghi ascuțit. Asemănarea de azi este fundamentul pe care se construiește mai târziu trigonometria în triunghiul dreptunghic.