Teorema lui Thales

Ai văzut vreodată cum arhitecții calculează înălțimea unei clădiri fără să urce pe acoperiș, sau cum un topograf măsoară lățimea unui râu fără să-l traverseze? În spatele acestor trucuri stă una dintre cele mai elegante teoreme din geometrie: teorema lui Thales. Ea leagă între ele niște segmente formate atunci când o dreaptă paralelă taie două laturi ale unui triunghi și îți spune că raporturile dintre bucățile acestor laturi sunt egale. În această lecție vei descoperi enunțul teoremei lui Thales pentru clasa a 7-a, cum recunoști configurația teoremei lui Thales, cum scrii corect proporțiile și cum calculezi o lungime necunoscută pas cu pas.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți teorema lui Thales și să recunoști configurația ei într-un desen.
• Vei ști să identifici dreapta paralelă cu o latură a triunghiului care taie celelalte două laturi.
• Vei ști să scrii corect proporțiile de segmente date de teorema lui Thales.
• Vei ști să determini o lungime necunoscută aplicând proporțiile lui Thales.
• Vei ști să eviți greșelile tipice la scrierea rapoartelor și la potrivirea segmentelor.

Hai să descoperim împreună

De unde pornim

Această lecție se sprijină pe două lucruri pe care le știi deja. Primul sunt segmentele proporționale (vezi lecția Segmente proporționale): două segmente sunt proporționale cu alte două atunci când raporturile lungimilor lor sunt egale. Al doilea este teorema paralelelor echidistante (vezi lecția Teorema paralelelor echidistante), care ne-a arătat deja că niște paralele „taie" segmente egale pe două drepte. Teorema lui Thales este pasul următor și cel mai important: ea funcționează chiar și când segmentele tăiate nu sunt egale, dar păstrează aceleași rapoarte.

Reține ideea de bază, cu cuvintele tale: paralelismul păstrează rapoartele. Când o dreaptă este paralelă cu o latură a unui triunghi, ea împarte celelalte două laturi „în același fel", adică în aceeași proporție.

De ce se întâmplă asta? O imagine care ajută este cea de zoom (mărire uniformă). Închipuie-ți că triunghiul mic din vârf, tăiat de dreapta paralelă, este de fapt triunghiul mare „micșorat" de la același vârf $A$, ca și cum ai da zoom out cu un aparat foto centrat în $A$. La o astfel de micșorare, toate distanțele față de $A$ se scurtează cu același factor: dacă latura $AB$ s-a scurtat până la $AM$ reprezentând, să zicem, $\frac{2}{3}$ din ea, atunci și $AC$ s-a scurtat până la $AN$ tot la $\frac{2}{3}$ din ea, și tot așa. Exact fiindcă factorul de micșorare este același pe ambele laturi, rapoartele rămân egale: $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$. Paralelismul lui $MN$ cu $BC$ este chiar condiția care garantează că avem o micșorare „curată", cu același factor în toate direcțiile. Nu trebuie să memorezi această explicație — o folosim doar ca să simți că egalitatea de rapoarte nu cade din cer, ci exprimă o mărire/micșorare uniformă din vârful $A$.

Configurația teoremei lui Thales

Ca să aplici teorema, trebuie mai întâi să recunoști desenul. Configurația este mereu aceeași:

• Ai un triunghi, să-l notăm $△ABC$.
• O dreaptă paralelă cu o latură (de exemplu paralelă cu latura $BC$) taie celelalte două laturi.
• Această dreaptă intersectează latura $AB$ într-un punct $M$ și latura $AC$ într-un punct $N$.

În acest desen spunem că punctul $M$ aparține dreptei $AB$, punctul $N$ aparține dreptei $AC$, iar $MN\parallel BC$ (simbolul $\parallel$ înseamnă „paralel cu"). Dreapta paralelă $MN$ „decupează" pe cele două laturi câte două segmente:

• pe latura $AB$: segmentul de sus $AM$ și segmentul de jos $MB$;
• pe latura $AC$: segmentul de sus $AN$ și segmentul de jos $NC$.

Enunțul teoremei lui Thales

Acum că vezi configurația, iată enunțul teoremei lui Thales pentru clasa a 7-a:

Teorema lui Thales. O dreaptă paralelă cu o latură a unui triunghi determină pe celelalte două laturi (sau pe prelungirile lor) segmente proporționale.

Cu notațiile din desenul nostru, dacă $MN\parallel BC$, atunci:

$$\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}.$$

Această egalitate de rapoarte se citește: „$AM$ pe $MB$ este egal cu $AN$ pe $NC$". Cu alte cuvinte, segmentul de sus supra segmentul de jos, pe latura din stânga, este egal cu segmentul de sus supra segmentul de jos, pe latura din dreapta.

Teorema lui Thales se studiază la clasa a VII-a fără demonstrație — o folosim ca instrument sigur, așa cum am folosit teorema paralelelor echidistante. Ce trebuie tu să stăpânești este să o aplici corect.

Toate proporțiile pe care le poți scrie

Egalitatea $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}$ este forma „clasică", dar din configurația lui Thales se pot scrie mai multe rapoarte egale. Toate sunt corecte și adesea una dintre ele este mai comodă decât alta, în funcție de ce lungimi ai și ce cauți. Iată-le pe cele mai folosite (toate sunt echivalente):

1. Partea de sus supra partea de jos (forma de bază): $$\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}.$$

2. Partea de sus supra latura întreagă: $$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}.$$

3. Latura întreagă supra partea de sus (răsturnata formei 2): $$\frac{AB}{AM}=\frac{AC}{AN}.$$

4. Rapoarte care includ și segmentul paralel $MN$ față de baza $BC$: $$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}.$$

Ultima formă (cu $MN$ și $BC$) o vei folosi mai des la lecția despre triunghiuri asemenea și la teorema fundamentală a asemănării; deocamdată reține că, atenție, raportul cu $MN$ și $BC$ se potrivește cu raportul „parte de sus supra latura întreagă" ($\frac{AM}{AB}$), nu cu „parte de sus supra parte de jos" ($\frac{AM}{MB}$). O precizare de corectitudine: raportul $\frac{MN}{BC}$ nu se obține prin calcul din proporția de bază $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}$ (aceea leagă doar segmentele de pe cele două laturi tăiate), ci provine din faptul că triunghiul mic $AMN$ este o micșorare a triunghiului mare $ABC$ — exact ideea de zoom de mai sus. De aceea îl vei demonstra riguros abia la asemănarea triunghiurilor; deocamdată îl folosim ca formulă gata verificată.

De ce sunt echivalente formele 1 și 2? Pornim de la $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}$. O proprietate a proporțiilor (pe care ai învățat-o la segmente proporționale) spune că, dacă $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$, atunci și $\frac{a}{a+b}=\frac{c}{c+d}$. Cum $AM+MB=AB$ și $AN+NC=AC$, obținem exact $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$. Nu trebuie să reții demonstrația, dar e bine să vezi că toate aceste rapoarte „vin din același loc".

Cum recunoști ce segment cu ce segment se potrivește

Cea mai frecventă greșeală la teorema lui Thales este să amesteci segmentele. Ține minte o regulă simplă: fiecare raport trebuie să fie „la fel construit" pe ambele laturi. Dacă în stânga pui (sus)/(jos), atunci și în dreapta pui (sus)/(jos). Dacă în stânga pui (sus)/(întreg), și în dreapta pui (sus)/(întreg).

Un truc vizual: mergi „de la vârful $A$ în jos". Segmentele care pornesc din $A$ ($AM$ și $AN$) sunt „partenere". Segmentele dinspre bază ($MB$ și $NC$) sunt „partenere". Nu amesteca niciodată un segment dinspre vârf cu unul dinspre bază în același raport.

Configurația cu prelungiri

Enunțul spune „pe celelalte două laturi sau pe prelungirile lor". Uneori dreapta paralelă nu taie chiar interiorul laturilor, ci prelungirile lor dincolo de vârf. Configurația arată puțin altfel, dar teorema funcționează la fel: rapoartele segmentelor determinate rămân egale.

La clasa a VII-a vei lucra aproape mereu cu cazul „clasic" în care $M$ este între $A$ și $B$, iar $N$ este între $A$ și $C$. E bine însă să știi că teorema este mai generală.

De ce ne ajută teorema lui Thales

Puterea teoremei este că, din trei lungimi cunoscute, o poți afla pe a patra. Ai o proporție cu o singură necunoscută și o rezolvi cu regula produsului mezilor și extremilor (produsul „în cruce"): dacă $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$, atunci $a\cdot d=b\cdot c$. Exact acest lucru îl vom folosi la fiecare exemplu de calcul.

Hai să facem un prim exemplu foarte simplu, ca să prinzi mecanismul. Fie $△ABC$ cu $MN\parallel BC$, $M\in AB$, $N\in AC$. Știm $AM=4$, $MB=6$ și $AN=6$. Cât este $NC$?

Scriem proporția de bază: $$\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}⟹\frac{4}{6}=\frac{6}{NC}.$$

Facem produsul în cruce: $4\cdot NC=6\cdot 6$, deci $4\cdot NC=36$, de unde $NC=\frac{36}{4}=9$.

Așadar $NC=9$. Simplu, nu? Tot secretul e să scrii proporția corectă și apoi să faci produsul în cruce. Restul lecției antrenează exact acest reflex, cu situații tot mai variate.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — calcul direct al unui segment de jos

În $△ABC$, punctele $M\in AB$ și $N\in AC$ sunt astfel încât $MN\parallel BC$. Se cunosc $AM=5$ cm, $MB=3$ cm și $AN=10$ cm. Află lungimea segmentului $NC$.

Rezolvare. Configurația este exact cea a teoremei lui Thales, deci putem scrie: $$\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}.$$ Înlocuim valorile cunoscute: $$\frac{5}{3}=\frac{10}{NC}.$$ Produsul în cruce: $5\cdot NC=3\cdot 10=30$, deci $$NC=\frac{30}{5}=6\text{ cm}.$$

Verificare rapidă: $\frac{AM}{MB}=\frac{5}{3}$ și $\frac{AN}{NC}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}$. Rapoartele coincid. Răspuns: $NC=6$ cm.

Exemplul 2 — află segmentul de sus folosind latura întreagă

În $△ABC$ avem $MN\parallel BC$, $M\in AB$, $N\in AC$. Se dau $AB=12$ cm, $AM=8$ cm și $AC=15$ cm. Calculează $AN$.

Rezolvare. Aici ni se dă latura întreagă $AB$ și segmentul de sus $AM$, plus latura întreagă $AC$. Este comod să folosim forma „sus supra întreg": $$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}.$$ Înlocuim: $$\frac{8}{12}=\frac{AN}{15}.$$ Simplificăm întâi fracția din stânga: $\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$. Deci $\frac{2}{3}=\frac{AN}{15}$. Produsul în cruce: $3\cdot AN=2\cdot 15=30$, de unde $$AN=\frac{30}{3}=10\text{ cm}.$$

Răspuns: $AN=10$ cm. (Poți verifica: dacă vrei și $NC$, este $NC=AC-AN=15-10=5$ cm, iar $\frac{AN}{NC}=\frac{10}{5}=2$, la fel ca $\frac{AM}{MB}=\frac{8}{4}=2$, unde $MB=AB-AM=4$.)

Exemplul 3 — când necunoscuta apare de două ori

În $△ABC$, $MN\parallel BC$, $M\in AB$, $N\in AC$. Se știe că $AM=x$, $MB=6$, $AN=x+2$ și $NC=9$. Află $x$ și apoi lungimile $AM$ și $AN$.

Rezolvare. Scriem proporția lui Thales: $$\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}⟹\frac{x}{6}=\frac{x+2}{9}.$$ Produsul în cruce: $$9\cdot x=6\cdot (x+2).$$ Desfacem paranteza din dreapta: $9x=6x+12$. Trecem $6x$ în stânga: $$9x-6x=12⟹3x=12⟹x=4.$$ Deci $AM=x=4$ și $AN=x+2=6$.

Verificare: $\frac{AM}{MB}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$ și $\frac{AN}{NC}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$. Corect. Răspuns: $x=4$, $AM=4$, $AN=6$. (Aici am legat teorema lui Thales de rezolvarea unei ecuații de gradul I — vezi Ecuația de forma ax + b = 0.)

Exemplul 4 — află latura întreagă din segmentul paralel

În $△ABC$, $MN\parallel BC$ cu $M\in AB$, $N\in AC$. Se cunosc $AM=6$ cm, $AB=9$ cm și $MN=8$ cm. Cât este lungimea bazei $BC$?

Rezolvare. Când în joc intră segmentul paralel $MN$ și baza $BC$, folosim forma: $$\frac{AM}{AB}=\frac{MN}{BC}.$$ Atenție: $MN$ se potrivește cu latura întreagă $AB$ (nu cu $AM$), pentru că $MN$ este „baza mică" a triunghiului mic $AMN$, iar $BC$ este baza triunghiului mare $ABC$. Înlocuim: $$\frac{6}{9}=\frac{8}{BC}.$$ Simplificăm $\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$, deci $\frac{2}{3}=\frac{8}{BC}$. Produsul în cruce: $2\cdot BC=3\cdot 8=24$, de unde $$BC=\frac{24}{2}=12\text{ cm}.$$

Răspuns: $BC=12$ cm.

Exemplul 5 — problemă aplicată: umbra și stâlpul

Un stâlp de iluminat și un băiat stau pe același teren plat, iar razele Soarelui coboară paralel. La un moment dat, dreapta care unește vârful stâlpului cu vârful capului băiatului „taie" configurația unui triunghi. Modelăm astfel: în $△ABC$ (dreptunghic, cu unghiul drept în $B$, la baza stâlpului), $M\in AB$ și $N\in AC$, $MN\parallel BC$, unde $MN$ reprezintă înălțimea băiatului. Se știe $AM=1,5$ m, $AB=6$ m, iar băiatul are $MN=1,6$ m. Cât de înalt este stâlpul, adică $BC$?

Rezolvare. Folosim $\frac{AM}{AB}=\frac{MN}{BC}$: $$\frac{1,5}{6}=\frac{1,6}{BC}.$$ Produsul în cruce: $1,5\cdot BC=6\cdot 1,6=9,6$, deci $$BC=\frac{9,6}{1,5}=6,4\text{ m}.$$

Răspuns: stâlpul are $6,4$ m înălțime. Iată cum teorema lui Thales devine un instrument practic de măsurare indirectă.

Exemplul 6 — două puncte pe aceeași latură (Thales „în lanț")

Pe latura $AB$ a triunghiului $ABC$ luăm punctele $P$ și apoi $Q$ (cu $P$ mai aproape de $A$), iar pe latura $AC$ punctele $R$ și $S$ astfel încât $PR\parallel BC$ și $QS\parallel BC$. Se dau $AP=2$, $PQ=3$, $QB=5$, iar $AR=3$. Află $RS$ și $SC$.

Rezolvare. Fiindcă $PR\parallel BC$ și $QS\parallel BC$, rezultă că $PR\parallel QS$, deci avem trei paralele: $PR$, $QS$, $BC$. Ele taie pe cele două laturi segmente proporționale (idee legată de teorema paralelelor echidistante, dar cu rapoarte, nu doar egalități). Practic aplicăm Thales pentru fiecare paralelă în triunghiul $ABC$, folosind forma „sus supra întreg".

Pe latura $AB$ avem segmentele $AP=2$, $PQ=3$, $QB=5$, deci $AB=2+3+5=10$.

Pentru paralela $QS$: $\frac{AQ}{AB}=\frac{AS}{AC}$. Aici $AQ=AP+PQ=2+3=5$.

Pentru paralela $PR$: $\frac{AP}{AB}=\frac{AR}{AC}$, adică $\frac{2}{10}=\frac{3}{AC}$. Produsul în cruce: $2\cdot AC=10\cdot 3=30$, deci $AC=15$.

Acum aflăm $AS$ din $\frac{AQ}{AB}=\frac{AS}{AC}$: $\frac{5}{10}=\frac{AS}{15}$, deci $AS=\frac{5\cdot 15}{10}=\frac{75}{10}=7,5$.

Prin urmare: $$RS=AS-AR=7,5-3=4,5,SC=AC-AS=15-7,5=7,5.$$

Verificare cu proporțiile pe bucăți: pe $AB$ raportul $AP:PQ:QB=2:3:5$; pe $AC$ ar trebui să avem același raport: $AR:RS:SC=3:4,5:7,5=2:3:5$ (împărțind fiecare la $1,5$). Perfect. Răspuns: $RS=4,5$, $SC=7,5$.

Să exersăm

Rezolvă exercițiile în ordine; sunt gradate de la ușor la greu. Pentru cele de geometrie, fă întâi un desen cu configurația teoremei lui Thales.

1. Completează enunțul: „O dreaptă paralelă cu o latură a unui triunghi determină pe celelalte două laturi segmente ………… ."

2. În $△ABC$, $M\in AB$, $N\in AC$ și $MN\parallel BC$. Scrie proporția de bază a teoremei lui Thales pentru această configurație.

3. Adevărat sau fals (justifică): „Dacă $MN\parallel BC$, atunci $\frac{AM}{MB}=\frac{NC}{AN}$."

4. În $△ABC$, $MN\parallel BC$, $M\in AB$, $N\in AC$. Se dau $AM=4$, $MB=8$, $AN=5$. Află $NC$.

5. În aceeași configurație, se dau $AM=6$, $MB=4$ și $NC=6$. Află $AN$.

6. În $△ABC$, $MN\parallel BC$. Se cunosc $AB=20$ cm, $AM=12$ cm, $AC=25$ cm. Află $AN$ și $NC$.

7. Adevărat sau fals (justifică): „Din $MN\parallel BC$ rezultă $\frac{AM}{AB}=\frac{MN}{BC}$."

8. În $△ABC$, $MN\parallel BC$, $M\in AB$, $N\in AC$. Se dau $AM=3$, $AB=12$, $MN=5$. Află $BC$.

9. În $△ABC$, $MN\parallel BC$. Se știe $AM=x$, $MB=8$, $AN=6$, $NC=12$. Află $x$.

10. În $△ABC$, $MN\parallel BC$. Se dau $AM=x$, $MB=5$, $AN=x+1$, $NC=10$. Rezolvă ecuația și află $AM$ și $AN$.

11. Într-un triunghi $ABC$ cu $MN\parallel BC$ ($M\in AB$, $N\in AC$), avem $AM=9$ cm, $MB=6$ cm și $AC=20$ cm. Află $AN$ și $NC$.

12. Explică pe scurt de ce, dacă $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}$, atunci și $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$ (folosește proprietatea proporțiilor).

13. Desenează un triunghi $ABC$ și o dreaptă $MN\parallel BC$ cu $AM=MB$. Ce poți spune despre $N$? Cum se numește segmentul $MN$? (Leagă de o lecție anterioară.)

14. Un brad și un băț vertical de $1$ m aruncă umbre în același moment. Modelând cu teorema lui Thales, dacă la băț raportul (înălțime supra umbră) este același ca la brad, iar bradul are umbra de $9$ m în timp ce bățul are umbra de $1,5$ m, cât este înălțimea bradului? (Indiciu: $\frac{1}{1,5}=\frac{h}{9}$.)

15. În $△ABC$, pe $AB$ luăm $P$, apoi $Q$ ($P$ mai aproape de $A$), și pe $AC$ luăm $R$, apoi $S$, cu $PR\parallel BC$ și $QS\parallel BC$. Se dau $AP=3$, $PQ=3$, $QB=6$ și $AR=4$. Află $AC$, $RS$ și $SC$.

16. În $△ABC$, $MN\parallel BC$. Se dau $\frac{AM}{MB}=\frac{3}{5}$ și $AN=9$. Află $NC$.

17. În $△ABC$, $MN\parallel BC$ cu $M\in AB$, $N\in AC$. Se dau $AB=18$, $MB=12$ și $NC=8$. Află $AN$ și $AC$.

18. Provocare. În $△ABC$, $MN\parallel BC$. Perimetrul triunghiului mic $AMN$ este $12$ cm, $AM=4$ cm și $AB=10$ cm. Află perimetrul triunghiului $ABC$. (Indiciu: toate laturile lui $AMN$ și $ABC$ sunt în același raport $\frac{AM}{AB}$, deci și perimetrele.)

Răspunsuri și explicații

1. ……… proporționale. (Acesta este chiar cuvântul-cheie din enunțul teoremei lui Thales.)

2. $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}$ (echivalent și $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$).

3. Fals. Forma corectă este $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}$ (sus/jos = sus/jos). În enunț este răsturnat doar unul dintre rapoarte ($\frac{NC}{AN}$ în loc de $\frac{AN}{NC}$), ceea ce strică egalitatea. Ar fi adevărat doar în cazul particular când $AM=MB$ și $AN=NC$ (adică $M$ și $N$ sunt mijloacele laturilor).

4. $\frac{4}{8}=\frac{5}{NC}\Rightarrow 4\cdot NC=8\cdot 5=40\Rightarrow NC=10$.

5. $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}\Rightarrow \frac{6}{4}=\frac{AN}{6}\Rightarrow 4\cdot AN=6\cdot 6=36\Rightarrow AN=9$.

6. $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}\Rightarrow \frac{12}{20}=\frac{AN}{25}$. Cum $\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$, avem $5\cdot AN=3\cdot 25=75\Rightarrow AN=15$. Apoi $NC=AC-AN=25-15=10$.

7. Adevărat. Este forma cu segmentul paralel: $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$. $MN$ se potrivește cu latura întreagă $AB$, deci $\frac{AM}{AB}=\frac{MN}{BC}$ este corectă.

8. $\frac{AM}{AB}=\frac{MN}{BC}\Rightarrow \frac{3}{12}=\frac{5}{BC}$. Cum $\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$, avem $1\cdot BC=4\cdot 5=20\Rightarrow BC=20$.

9. $\frac{x}{8}=\frac{6}{12}$. Cum $\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$, avem $2x=8\Rightarrow x=4$. Deci $AM=4$.

10. $\frac{x}{5}=\frac{x+1}{10}\Rightarrow 10x=5(x+1)\Rightarrow 10x=5x+5\Rightarrow 5x=5\Rightarrow x=1$. Deci $AM=1$ și $AN=x+1=2$. Verificare: $\frac{1}{5}=\frac{2}{10}$. Corect.

11. Folosim forma sus/jos împreună cu latura întreagă $AC$. Avem $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}$, adică $\frac{9}{6}=\frac{AN}{NC}$, deci $\frac{AN}{NC}=\frac{3}{2}$. Cum $AN+NC=AC=20$, împărțim $20$ în raportul $3:2$: o „parte" valorează $20:(3+2)=4$, deci $AN=3\cdot 4=12$ și $NC=2\cdot 4=8$. Verificare: $\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$. Corect.

12. Din $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}$, folosind proprietatea proporțiilor „adun numărătorul la numitor": $\frac{AM}{AM+MB}=\frac{AN}{AN+NC}$. Dar $AM+MB=AB$ și $AN+NC=AC$, deci $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$.

13. Dacă $AM=MB$, atunci $M$ este mijlocul lui $AB$. Cum $MN\parallel BC$, teorema lui Thales dă $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}=1$, deci $AN=NC$, adică $N$ este mijlocul lui $AC$. Segmentul $MN$ este linia mijlocie a triunghiului (vezi Linia mijlocie în triunghi).

14. $\frac{1}{1,5}=\frac{h}{9}\Rightarrow 1,5\cdot h=9\Rightarrow h=6$. Bradul are $6$ m înălțime.

15. Pe $AB$: $AP=3$, $PQ=3$, $QB=6$, deci $AB=12$ și $AQ=AP+PQ=6$. Din $PR\parallel BC$: $\frac{AP}{AB}=\frac{AR}{AC}\Rightarrow \frac{3}{12}=\frac{4}{AC}\Rightarrow AC=\frac{12\cdot 4}{3}=16$. Din $QS\parallel BC$: $\frac{AQ}{AB}=\frac{AS}{AC}\Rightarrow \frac{6}{12}=\frac{AS}{16}\Rightarrow AS=8$. Deci $RS=AS-AR=8-4=4$ și $SC=AC-AS=16-8=8$. Verificare raport: $AR:RS:SC=4:4:8=1:1:2=AP:PQ:QB=3:3:6$. Corect.

16. $\frac{AN}{NC}=\frac{AM}{MB}=\frac{3}{5}$, deci $\frac{9}{NC}=\frac{3}{5}\Rightarrow 3\cdot NC=45\Rightarrow NC=15$.

17. $AM=AB-MB=18-12=6$. Din $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}$: $\frac{6}{12}=\frac{AN}{8}$, adică $\frac{1}{2}=\frac{AN}{8}\Rightarrow AN=4$. Apoi $AC=AN+NC=4+8=12$.

18. Raportul de „micșorare" este $\frac{AM}{AB}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$. Toate laturile lui $AMN$ sunt de $\frac{2}{5}$ din laturile lui $ABC$, deci și perimetrele sunt în raportul $\frac{2}{5}$: $\frac{P_{AMN}}{P_{ABC}}=\frac{2}{5}$. Așadar $\frac{12}{P_{ABC}}=\frac{2}{5}\Rightarrow 2\cdot P_{ABC}=60\Rightarrow P_{ABC}=30$ cm.

De reținut

• Enunț: o dreaptă paralelă cu o latură a unui triunghi determină pe celelalte două laturi (sau pe prelungirile lor) segmente proporționale.
• Configurație: $△ABC$, $M\in AB$, $N\in AC$, $MN\parallel BC$.
• Proporția de bază: $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}$; forme echivalente: $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$.
• Regula de aur: fiecare raport se construiește la fel pe ambele laturi (sus/jos = sus/jos, sau sus/întreg = sus/întreg). $MN$ se potrivește cu latura întreagă ($AB$, $AC$), nu cu segmentul de sus.
• Calcul: scrie proporția cu o singură necunoscută, apoi fă produsul în cruce.

Greșeli frecvente

• Amesteci segmentele. Scrii, de exemplu, $\frac{AM}{MB}=\frac{NC}{AN}$ (răsturnat pe o parte). Corect: $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}$. Verifică mereu că numărătorii sunt „ambii dinspre vârf" și numitorii „ambii dinspre bază".
• Confunzi $MN$ cu segmentul de sus. Scrii greșit $\frac{AM}{MB}=\frac{MN}{BC}$. De fapt $MN$ merge cu latura întreagă: $\frac{AM}{AB}=\frac{MN}{BC}$. Reține că $MN$ e „baza mică", iar $BC$ „baza mare".
• Aplici teorema fără paralelism. Teorema lui Thales funcționează doar dacă dreapta este paralelă cu o latură. Fără $MN\parallel BC$ nu ai voie să scrii proporția. (Reciproca — cum verifici paralelismul din rapoarte — o vei studia la Reciproca teoremei lui Thales.)
• Greșești la produsul în cruce. Din $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ corect e $a\cdot d=b\cdot c$, nu $a\cdot c=b\cdot d$. Înmulțește mereu „în diagonală".

Aplică acasă

• Măsoară un copac sau un stâlp fără să urci. Într-o zi însorită, înfige vertical un băț de lungime cunoscută (de exemplu $1$ m) și măsoară-i umbra. Măsoară apoi umbra copacului. Scrie proporția lui Thales $\frac{\text{ıˆna˘lțime ba˘ț}}{\text{umbra˘ ba˘ț}}=\frac{\text{ıˆna˘lțime copac}}{\text{umbra˘ copac}}$ și află înălțimea copacului. Compară cu o estimare „din ochi".
• Împarte o rețetă folosind rapoarte. Dacă ai o rețetă pentru $8$ porții și vrei $5$ porții, ideea de proporționalitate (aceeași cu a lui Thales) te ajută să afli fiecare cantitate. Scrie și rezolvă câte o proporție pentru două ingrediente.
• Desenează configurația și inventează o problemă. Trasează un triunghi, o paralelă la o latură, alege trei lungimi și cere-i unui coleg (sau părinte) să afle a patra. Apoi verificați împreună răspunsul cu produsul în cruce.

Pentru părinți și profesori

Această lecție introduce teorema lui Thales fără demonstrație, punând accent pe recunoașterea configurației și pe aplicarea corectă a proporțiilor. Cel mai bine sprijiniți elevul cerându-i întâi să facă un desen clar și să eticheteze segmentele (sus/jos, latura întreagă). Multe greșeli dispar dacă desenul este corect.

Întrebări bune de verificare: „Ce condiție trebuie neapărat îndeplinită ca să poți folosi teorema?" (răspuns: paralelismul cu o latură). „Cu ce se potrivește segmentul $MN$ — cu $AM$ sau cu $AB$?" (răspuns: cu $AB$, latura întreagă). „După ce ai scris proporția, cum afli necunoscuta?" (răspuns: produsul în cruce). Dacă elevul poate rescrie o proporție în mai multe forme echivalente și explică de ce sunt egale, a înțeles fondul, nu doar procedura. Un semn sigur de stăpânire este când rezolvă corect Exemplul 3 (necunoscuta apare de două ori) și problema 18 (raportul perimetrelor).

Întrebări frecvente

Care este enunțul teoremei lui Thales la clasa a 7-a? O dreaptă paralelă cu o latură a unui triunghi determină pe celelalte două laturi (sau pe prelungirile lor) segmente proporționale. Pentru $△ABC$ cu $MN\parallel BC$, $M\in AB$, $N\in AC$, aceasta înseamnă $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}$.

Cum aplic teorema lui Thales pas cu pas? Întâi verifici că ai configurația (o dreaptă paralelă cu o latură care taie celelalte două laturi). Apoi scrii proporția cu segmentele potrivite, punând necunoscuta într-un singur loc. La final faci produsul în cruce și rezolvi. Verifică răspunsul înlocuind valorile în proporție.

Ce proporții pot scrie din configurația lui Thales? Cele mai folosite sunt $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}$ (sus/jos), $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$ (sus/întreg) și $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$ (cu segmentul paralel). Toate sunt echivalente; alege-o pe cea care conține datele tale și necunoscuta.

Cu ce se potrivește segmentul $MN$ în proporție? $MN$ se potrivește cu latura întreagă: $\frac{AM}{AB}=\frac{MN}{BC}$. Nu îl pune niciodată cu segmentul de sus ($\frac{AM}{MB}$), pentru că $MN$ este baza triunghiului mic $AMN$, iar $BC$ baza triunghiului mare $ABC$.

Trebuie neapărat ca dreapta să fie paralelă cu o latură? Da, paralelismul este condiția esențială. Fără el segmentele nu mai sunt proporționale și nu ai voie să scrii proporția lui Thales. Dacă vrei să afli, invers, dacă o dreaptă este paralelă pornind de la rapoarte, folosești reciproca teoremei lui Thales.

Cum calculez o lungime necunoscută cu teorema lui Thales? Scrii proporția care leagă cele trei lungimi cunoscute de cea necunoscută, apoi aplici produsul în cruce (înmulțire în diagonală) și rezolvi ecuația de gradul I care rezultă. De exemplu, din $\frac{4}{6}=\frac{6}{NC}$ obții $4\cdot NC=36$, deci $NC=9$.

Se demonstrează teorema lui Thales la clasa a 7-a? Nu, la clasa a VII-a teorema lui Thales se folosește fără demonstrație, la fel ca teorema paralelelor echidistante. Important este să recunoști configurația și să aplici corect proporțiile pentru a calcula lungimi.

La ce folosește teorema lui Thales în viața reală? Se folosește la măsurări indirecte: înălțimea unui copac sau a unei clădiri din lungimea umbrelor, lățimea unui râu, distanțe greu accesibile. Toate se bazează pe faptul că paralelismul păstrează rapoartele dintre segmente.