Teorema paralelelor echidistante

Ți s-a întâmplat vreodată să vrei să împarți o riglă, o scândură sau o foaie în părți absolut egale, dar să nu ai un instrument potrivit la îndemână? Sau ai privit un caiet de matematică cu linii orizontale, perfect egal depărtate, și te-ai întrebat de ce arată atât de „ordonate"? În spatele acestor situații stă o idee geometrică elegantă și foarte utilă: teorema paralelelor echidistante. Ea ne spune că, dacă avem mai multe drepte paralele egal depărtate una de alta, atunci ele „taie" orice altă dreaptă în bucăți egale. În această lecție de geometrie clasa 7 din unitatea despre asemănare vei înțelege de ce se întâmplă asta, cum se scrie corect enunțul și, mai ales, cum poți folosi rezultatul ca să împarți practic un segment în părți egale doar cu rigla și cu câteva paralele.

Ce vei învăța

Vei ști să recunoști configurația de drepte paralele echidistante și să explici ce înseamnă „egal depărtate".
Vei ști să enunți corect teorema paralelelor echidistante clasa 7 (fără demonstrație) și ipoteza–concluzia ei.
Vei ști să aplici teorema pentru a determina segmente congruente pe o secantă tăiată de paralele echidistante.
Vei ști să împarți practic un segment în părți egale folosind rigla și paralele echidistante.
Vei înțelege de ce această teoremă este o pregătire naturală pentru teorema lui Thales.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă „distanța dintre două drepte paralele"

Înainte de a vorbi despre „echidistante", trebuie să fim foarte clari cu privire la un cuvânt: distanță. La două drepte paralele $a$ și $b$ , distanța dintre ele este lungimea segmentului perpendicular dus de la un punct al uneia până la cealaltă. Important: nu contează din ce punct pornim — dacă dreptele sunt paralele, orice perpendiculară dusă de la $a$ la $b$ are aceeași lungime. De aceea are sens să vorbim despre o singură distanță dintre două paralele.

Gândește-te la două șine de tren perfect drepte: oriunde măsori „lățimea" căii ferate, obții mereu aceeași valoare. Exact asta e distanța dintre două paralele — o mărime constantă.

2. Ce sunt dreptele paralele echidistante

Acum putem defini noțiunea centrală a lecției.

Definiție. Mai multe drepte paralele (trei sau mai multe) se numesc paralele echidistante dacă distanțele dintre oricare două drepte vecine (consecutive) sunt egale.

Cuvântul „echidistante" vine din latină: aequus = egal și distantia = depărtare. Deci „echidistante" înseamnă pur și simplu egal depărtate. Dacă avem dreptele paralele $d_{1}, d_{2}, d_{3}, d_{4}, \dots$ așezate în această ordine, ele sunt echidistante atunci când:

$dist (d_{1}, d_{2}) = dist (d_{2}, d_{3}) = dist (d_{3}, d_{4}) = \dots$

Exemplul cel mai la îndemână este caietul de matematică cu liniatură (sau foaia dictando): liniile orizontale sunt drepte paralele echidistante. Alte exemple din viața reală: treptele unei scări văzute din lateral, gradațiile egale de pe o riglă, rândurile egale ale unui gard de scânduri orizontale.

Atenție la un detaliu important: condiția de „egal depărtate" se cere între drepte consecutive. Dacă $d_{1}, d_{2}, d_{3}, d_{4}$ sunt echidistante și fiecare interval are înălțimea $h$ , atunci distanța de la $d_{1}$ până la $d_{3}$ este $2 h$ , de la $d_{1}$ până la $d_{4}$ este $3 h$ și așa mai departe. Distanțele „sar" din $h$ în $h$ , ca gradațiile unei rigle.

3. Ce se întâmplă când o dreaptă „taie" paralelele echidistante

Aici apare fenomenul care dă valoare temei. Ia foaia de caiet și trage cu rigla o linie oblică, oricât de înclinată vrei, care traversează mai multe linii orizontale. O astfel de dreaptă care intersectează un grup de paralele se numește secantă (sau transversală).

Secanta intersectează dreptele în patru puncte, pe care le notăm $A, B, C, D$ (în ordine, de-a lungul secantei). Se formează astfel segmentele $A B$ , $B C$ și $C D$ . Surpriza plăcută este că, dacă măsori aceste segmente cu rigla, obții exact aceeași lungime pentru fiecare! Deși secanta e oblică și segmentele „arată" mai lungi decât distanțele verticale dintre linii, ele sunt egale între ele.

Poți verifica singur cu creionul: desenează 4–5 linii paralele egal depărtate, trage o oblică, măsoară bucățile. Vor ieși congruente. Acesta nu e un accident — este o lege geometrică.

4. Enunțul teoremei paralelelor echidistante

Formulăm acum riguros rezultatul. Îl dăm fără demonstrație, așa cum cere programa clasei a VII-a (demonstrația completă se sprijină pe teorema lui Thales, pe care o vei studia în lecția următoare, Teorema lui Thales).

Teorema paralelelor echidistante. Dacă mai multe drepte paralele echidistante sunt intersectate de o secantă, atunci ele determină pe această secantă segmente congruente.

Să o scriem sub forma ipoteză–concluzie, cum se cuvine la geometrie:

Ipoteză: dreptele $d_{1}, d_{2}, d_{3}, \dots, d_{n}$ sunt paralele și echidistante (distanțele dintre drepte vecine sunt egale); o secantă $s$ le taie în punctele $A_{1}, A_{2}, A_{3}, \dots, A_{n}$ (în ordine).
Concluzie: segmentele determinate pe secantă sunt congruente: $A_{1} A_{2} \equiv A_{2} A_{3} \equiv A_{3} A_{4} \equiv \dots \equiv A_{n - 1} A_{n} .$

Cu alte cuvinte: paralele egal depărtate ⇒ secanta e împărțită în bucăți egale. Și — atenție, e foarte util — acest lucru se întâmplă pe orice secantă, indiferent de înclinarea ei. Poți trage zece secante diferite prin același set de paralele echidistante; fiecare dintre ele va fi tăiată în segmente congruente (deși segmentele de pe secante diferite pot avea lungimi diferite între ele — o secantă mai înclinată dă bucăți mai lungi).

5. De ce funcționează — o intuiție (nu o demonstrație)

Nu vom demonstra teorema (o luăm ca adevăr dat), dar merită o intuiție care să te ajute să o ții minte. Imaginează două intervale vecine, între $d_{1}$ – $d_{2}$ și între $d_{2}$ – $d_{3}$ , tăiate de aceeași secantă oblică. Cele două „fâșii" dintre paralele au aceeași înălțime $h$ (pentru că dreptele sunt echidistante) și sunt „străbătute" de secantă sub același unghi (pentru că secanta e o singură dreaptă, deci face același unghi cu toate paralelele). Două fâșii identice ca înălțime, traversate în aceeași direcție, produc în mod natural bucăți identice pe secantă. Este ca și cum ai urca o scară cu trepte egale: fiecare treaptă îți cere exact același „pas oblic".

Vei vedea în Teorema lui Thales că această teoremă este de fapt un caz particular al lui Thales: când rapoartele segmentelor de pe o secantă sunt toate egale cu 1 (fiindcă intervalele sunt egale), atunci și pe cealaltă secantă rapoartele sunt 1, adică segmentele sunt congruente. De aceea lecția de față este o pregătire pentru teorema lui Thales: mai întâi înțelegi cazul „egal", apoi generalizezi la orice raport.

6. Aplicația vedetă: împărțirea unui segment în părți egale cu rigla și paralele

Aici teorema devine un instrument practic. Problema clasică sună așa: ai un segment $A B$ și vrei să-l împarți în, să zicem, 5 părți egale, dar nu poți sau nu vrei să măsori $A B$ și să împarți lungimea la 5 (poate lungimea e un număr urât, cu multe zecimale). Teorema paralelelor echidistante rezolvă asta elegant, fără să calculezi nimic.

Ideea: construim un „gard" de paralele echidistante ușor de fabricat pe o dreaptă ajutătoare, apoi le lăsăm să taie segmentul $A B$ în părți egale. Iată pașii pentru a împărți $A B$ în $n$ părți egale (luăm $n = 5$ ca exemplu):

Trasează o semidreaptă ajutătoare din $A$ , sub un unghi oarecare (ascuțit) față de $A B$ . Nu contează cât de înclinată e — alege un unghi comod.
Marchează pe această semidreaptă $n$ segmente egale pornind din $A$ , folosind compasul sau pur și simplu o măsură fixă cu rigla. Obții punctele egal depărtate $P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4}, P_{5}$ , astfel încât $A P_{1} = P_{1} P_{2} = P_{2} P_{3} = P_{3} P_{4} = P_{4} P_{5}$ . (Lungimea acestor pași o alegi tu — de exemplu 1 cm fiecare.)
Unește ultimul punct $P_{5}$ cu capătul $B$ al segmentului: trasează segmentul $P_{5} B$ .
Prin celelalte puncte $P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4}$ trasează paralele la $P_{5} B$ . Acestea vor intersecta segmentul $A B$ în punctele $Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}, Q_{4}$ .
Gata! Punctele $Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}, Q_{4}$ împart $A B$ în 5 părți egale: $A Q_{1} = Q_{1} Q_{2} = Q_{2} Q_{3} = Q_{3} Q_{4} = Q_{4} B$ .

De ce funcționează? Dreptele $P_{1} Q_{1}, P_{2} Q_{2}, P_{3} Q_{3}, P_{4} Q_{4}$ și $P_{5} B$ sunt toate paralele între ele (le-am construit paralele cu $P_{5} B$ ). În plus, pe semidreapta ajutătoare ele determină segmente egale ( $A P_{1} = P_{1} P_{2} = \dots$ ), deci sunt paralele echidistante (paralele care determină pe o secantă segmente congruente sunt egal depărtate). Semidreapta ajutătoare este o secantă, iar $A B$ este o a doua secantă. Conform teoremei paralelelor echidistante, aceste paralele echidistante taie și pe $A B$ segmente congruente. Genial, nu? Nu am măsurat deloc lungimea lui $A B$ și totuși l-am împărțit exact în cinci.

Această tehnică este strâns legată de lecția viitoare Împărțirea unui segment în părți proporționale, unde vei învăța să împarți nu doar în părți egale, ci și în părți aflate într-un raport dat.

7. Legătura cu segmentele proporționale

Îți amintești din lecția Segmente proporționale că două perechi de segmente sunt proporționale dacă rapoartele lungimilor lor sunt egale. Teorema paralelelor echidistante este cazul „cel mai simpatic" de proporționalitate: toate segmentele de pe secantă au același raport unul față de altul, adică raportul $1$ . Când vei trece la teorema lui Thales, paralelele nu vor mai fi neapărat echidistante, iar rapoartele vor fi orice numere, nu doar $1$ — dar principiul rămâne același: paralele care taie două secante păstrează rapoartele. Deci reține: echidistant = caz particular cu raportul 1.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Recunoașterea configurației

Pe o foaie, dreptele $a, b, c, d$ sunt paralele. Se știe că distanțele dintre drepte vecine sunt: $dist (a, b) = 3$ cm, $dist (b, c) = 3$ cm, $dist (c, d) = 3$ cm. Sunt dreptele echidistante? Care este distanța de la $a$ la $d$ ?

Rezolvare. Dreptele sunt paralele (dat) și distanțele dintre oricare două vecine sunt egale, toate $3$ cm. Deci da, sunt paralele echidistante. Distanța de la $a$ la $d$ înseamnă trei intervale vecine puse cap la cap: $dist (a, d) = 3 + 3 + 3 = 3 \cdot 3 = 9 cm .$

Exemplul 2 — Segmente congruente pe secantă

Dreptele paralele echidistante $d_{1}, d_{2}, d_{3}, d_{4}$ sunt tăiate de o secantă în punctele $A, B, C, D$ (în această ordine). Se știe că $A B = 2, 5$ cm. Cât măsoară $B C$ , $C D$ și segmentul întreg $A D$ ?

Rezolvare. Conform teoremei paralelelor echidistante, segmentele determinate pe secantă sunt congruente: $A B \equiv B C \equiv C D .$ Prin urmare $B C = 2, 5$ cm și $C D = 2, 5$ cm. Segmentul întreg este suma celor trei bucăți: $A D = A B + B C + C D = 2, 5 + 2, 5 + 2, 5 = 3 \cdot 2, 5 = 7, 5 cm .$

Exemplul 3 — Aflarea unei bucăți din întreg

Cinci drepte paralele echidistante taie o secantă în punctele $M, N, P, Q, R$ (în ordine), iar segmentul total $M R = 18$ cm. Cât măsoară fiecare segment mic și cât măsoară $M P$ ?

Rezolvare. Între cele cinci puncte se formează $5 - 1 = 4$ segmente mici, toate congruente (teorema paralelelor echidistante). Fiecare are lungimea: $M N = N P = P Q = QR = \frac{M R}{4} = \frac{18}{4} = 4, 5 cm .$ Segmentul $M P$ conține două bucăți vecine ( $M N$ și $N P$ ): $M P = 2 \cdot 4, 5 = 9 cm .$ (Are sens: $M P$ e jumătate din $M R$ , adică $18 : 2 = 9$ cm.)

Exemplul 4 — Împărțirea practică a unui segment

Vrei să împarți un segment $A B = 12$ cm în 4 părți egale folosind metoda paralelelor echidistante. Descrie construcția și verifică lungimea fiecărei părți.

Rezolvare. Construcția:

Din $A$ trasez o semidreaptă oblică.
Pe ea marchez 4 pași egali de câte $1$ cm: obțin $P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4}$ cu $A P_{1} = P_{1} P_{2} = P_{2} P_{3} = P_{3} P_{4} = 1$ cm.
Unesc $P_{4}$ cu $B$ .
Prin $P_{1}, P_{2}, P_{3}$ trasez paralele la $P_{4} B$ ; ele taie $A B$ în $Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}$ .

Conform teoremei paralelelor echidistante, cele patru bucăți de pe $A B$ sunt congruente. Verificare a lungimii fiecăreia: $A Q_{1} = Q_{1} Q_{2} = Q_{2} Q_{3} = Q_{3} B = \frac{A B}{4} = \frac{12}{4} = 3 cm .$ Fiecare parte are $3$ cm, iar $4 \cdot 3 = 12$ cm confirmă rezultatul. Observă frumusețea metodei: pașii de pe semidreapta ajutătoare au fost de $1$ cm, dar bucățile obținute pe $A B$ au ieșit de $3$ cm — nu a trebuit să știm de la început cât e $12 : 4$ ; construcția „a nimerit" singură împărțirea corectă.

Exemplul 5 — Adevărat sau fals, cu justificare

Analizează afirmația: „Dacă trei drepte paralele taie o secantă în segmente congruente, atunci dreptele sunt neapărat echidistante." Adevărat sau fals?

Rezolvare. Afirmația este adevărată, și este chiar reciproca (parțială) a teoremei. Iată intuiția: dacă segmentele de pe secantă sunt egale și dreptele sunt paralele, atunci și distanțele dintre drepte vecine trebuie să fie egale, pentru că o secantă (o dreaptă cu o singură înclinare) transformă în mod uniform distanțele dintre paralele în segmente pe ea. Bucăți egale pe secantă ⇒ fâșii egale ca înălțime ⇒ paralele echidistante. Așadar afirmația este adevărată. (La clasa a VII-a folosim această reciprocă mai ales intuitiv; ea devine riguroasă odată cu Thales.)

Exemplul 6 — Problemă aplicată (construcții)

Un dulgher are o scândură lungă și vrea să traseze pe ea 6 linii de tăiere care să o împartă în 7 bucăți egale, dar rigla lui gradată e prea scurtă ca să măsoare toată scândura dintr-o dată. Cum poate folosi teorema paralelelor echidistante?

Rezolvare. Notează capetele scândurii cu $A$ și $B$ . Dulgherul:

Trage din $A$ o linie oblică (poate folosi muchia unei alte scânduri drepte).
Pe această linie marchează 7 pași egali cu rigla lui scurtă (de exemplu din $2$ în $2$ cm — asta încape ușor pe rigla scurtă), obținând punctele $P_{1}, \dots, P_{7}$ .
Unește $P_{7}$ cu $B$ .
Prin $P_{1}, \dots, P_{6}$ trasează paralele la $P_{7} B$ (folosind un echer glisant sau o riglă paralelă).
Cele 6 paralele taie muchia $A B$ în 6 puncte care o împart în 7 bucăți perfect egale — fără să fi măsurat vreodată lungimea totală a scândurii.

Aceasta este exact situația reală în care o teoremă „de manual" economisește timp și evită erori de măsurare acumulate.

Exemplul 7 — Aflarea întregului dintr-un segment interior

Șase drepte paralele echidistante taie o secantă în punctele $A, B, C, D, E, F$ (în ordine). Se știe că segmentul „din mijloc" $C D = 3$ cm. Cât măsoară întregul $A F$ și cât este $B E$ ?

Rezolvare. Cele șase puncte determină $6 - 1 = 5$ segmente mici, toate congruente (teorema paralelelor echidistante): $A B \equiv B C \equiv C D \equiv D E \equiv E F .$ Deoarece $C D = 3$ cm, fiecare segment mic are $3$ cm. Întregul $A F$ conține toate cele 5 bucăți: $A F = 5 \cdot C D = 5 \cdot 3 = 15 cm .$ Segmentul $B E$ se întinde de la al doilea la al cincilea punct, deci conține 3 bucăți vecine ( $B C$ , $C D$ , $D E$ ): $B E = 3 \cdot 3 = 9 cm .$ Observă strategia generală, foarte utilă la teste: numeri câte intervale (nu câte puncte) cuprinde segmentul cerut, apoi înmulțești cu lungimea unui segment mic. Un segment care merge de la punctul $i$ la punctul $j$ conține exact $j - i$ intervale.

Să exersăm

Rezolvă exercițiile de mai jos. Sunt gradate de la ușor la greu. Încearcă întâi singur, apoi verifică la secțiunea de răspunsuri.

1. Explică în cuvintele tale ce înseamnă că trei drepte paralele sunt echidistante.

2. Patru drepte paralele au distanțele dintre vecine: $dist (d_{1}, d_{2}) = 4$ cm, $dist (d_{2}, d_{3}) = 4$ cm, $dist (d_{3}, d_{4}) = 4$ cm. Sunt echidistante? Cât e $dist (d_{1}, d_{4})$ ?

3. Trei drepte paralele echidistante taie o secantă în punctele $A, B, C$ . Dacă $A B = 3, 2$ cm, cât este $B C$ ? Dar $A C$ ?

4. Cinci drepte paralele echidistante taie o secantă în $A, B, C, D, E$ . Se știe că $A B = 2$ cm. Calculează $A E$ .

5. Șase drepte paralele echidistante taie o secantă și determină segmentul total de la primul la ultimul punct egal cu $20$ cm. Cât măsoară fiecare segment mic?

6. Pe o secantă, trei paralele echidistante determină punctele $M, N, P$ . Dacă $M P = 9, 4$ cm, cât este $M N$ ?

7. Adevărat sau fals (justifică): „Dacă dreptele sunt paralele echidistante, atunci pe orice secantă care le taie segmentele obținute sunt congruente."

8. Adevărat sau fals (justifică): „Segmentele determinate pe două secante diferite de aceleași paralele echidistante au întotdeauna aceeași lungime."

9. Patru paralele echidistante taie o secantă în $A, B, C, D$ . Se dă $A C = 10$ cm. Cât este $A B$ ? Cât este $A D$ ?

10. Descrie, în pași, cum împarți un segment $A B$ în 3 părți egale folosind rigla și paralele echidistante (fără să măsori lungimea lui $A B$ ).

11. Vrei să împarți un segment $A B = 15$ cm în 5 părți egale prin metoda paralelelor. Cât va măsura fiecare parte? Verifică prin înmulțire.

12. Șapte drepte paralele echidistante taie o secantă în punctele $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{7}$ . Dacă $A_{1} A_{4} = 12$ cm, cât măsoară un segment mic $A_{k} A_{k + 1}$ ? Cât este $A_{1} A_{7}$ ?

13. Pe o secantă, paralelele echidistante $d_{1}, d_{2}, d_{3}, d_{4}$ dau punctele $A, B, C, D$ . Se știe că $B D = 7$ cm. Cât este $A B$ ? Cât este $A D$ ?

14. Un elev desenează 5 linii paralele egal depărtate la distanța de $1, 5$ cm fiecare și trage o secantă. Măsoară primul segment de pe secantă și obține $2, 6$ cm. Cât ar trebui să obțină la celelalte trei segmente? Care e lungimea totală tăiată pe secantă?

15. Justifică de ce metoda de împărțire cu paralele nu cere să cunoști lungimea segmentului $A B$ dinainte.

16. Problemă aplicată: un grădinar vrea să planteze 4 copaci egal depărtați de-a lungul unei alei drepte, între poartă ( $A$ ) și casă ( $B$ ), astfel încât aleea să fie împărțită în 5 intervale egale. Explică cum folosește paralelele echidistante și câte paralele ajutătoare trebuie să traseze.

17. Pe o secantă, șase paralele echidistante determină punctele $A, B, C, D, E, F$ . Se dă $C F = 13, 5$ cm. Cât este un segment mic? Cât este $A F$ ?

18. Gândire: dacă distanțele dintre paralele nu ar fi egale (de exemplu $2$ cm, $3$ cm, $2$ cm), ar mai fi congruente segmentele de pe secantă? Explică pe scurt de ce da/nu.

Răspunsuri și explicații

1. Înseamnă că distanțele dintre oricare două drepte vecine (consecutive) sunt egale — dreptele sunt egal depărtate una de alta.

2. Da, sunt echidistante (toate intervalele vecine au $4$ cm). $dist (d_{1}, d_{4}) = 4 + 4 + 4 = 3 \cdot 4 = 12$ cm.

3. Prin teoremă $B C = A B = 3, 2$ cm; $A C = A B + B C = 3, 2 + 3, 2 = 6, 4$ cm.

4. Cele 5 puncte dau 4 segmente congruente, fiecare de $2$ cm. $A E = 4 \cdot 2 = 8$ cm.

5. Șase puncte dau $6 - 1 = 5$ segmente congruente. Fiecare: $\frac{20}{5} = 4$ cm.

6. $M P$ conține 2 segmente mici congruente, deci $M N = \frac{9 , 4}{2} = 4, 7$ cm.

7. Adevărat. Exact asta afirmă teorema paralelelor echidistante: pe orice secantă, indiferent de înclinare, segmentele determinate sunt congruente.

8. Fals. Pe fiecare secantă în parte segmentele sunt congruente între ele, dar de la o secantă la alta lungimile pot diferi: o secantă mai înclinată dă segmente mai lungi. Egalitatea e „în interiorul" fiecărei secante, nu între secante.

9. $A C$ conține 2 segmente mici, deci $A B = \frac{10}{2} = 5$ cm. $A D$ conține 3 segmente mici: $A D = 3 \cdot 5 = 15$ cm.

10. Pași: (1) din $A$ trag o semidreaptă oblică; (2) marchez pe ea 3 pași egali → $P_{1}, P_{2}, P_{3}$ ; (3) unesc $P_{3}$ cu $B$ ; (4) prin $P_{1}, P_{2}$ trag paralele la $P_{3} B$ ; ele taie $A B$ în două puncte care îl împart în 3 părți egale.

11. Fiecare parte: $\frac{15}{5} = 3$ cm. Verificare: $5 \cdot 3 = 15$ cm. ✓

12. $A_{1} A_{4}$ conține 3 segmente mici, deci un segment mic are $\frac{12}{3} = 4$ cm. $A_{1} A_{7}$ conține 6 segmente mici: $A_{1} A_{7} = 6 \cdot 4 = 24$ cm.

13. $B D$ conține 2 segmente mici ( $B C$ și $C D$ ), deci un segment mic are $\frac{7}{2} = 3, 5$ cm. Atunci $A B = 3, 5$ cm, iar $A D = 3 \cdot 3, 5 = 10, 5$ cm.

14. Prin teoremă, toate cele 4 segmente de pe secantă sunt congruente, deci fiecare are $2, 6$ cm (nu contează că distanța verticală era $1, 5$ cm — pe secanta oblică bucata e mai lungă, dar egală cu celelalte). Total: $4 \cdot 2, 6 = 10, 4$ cm.

15. Pentru că împărțirea se face prin paralelism, nu prin măsurare. Paralelele echidistante taie $A B$ automat în părți egale, oricât ar fi lungimea lui $A B$ . Construcția „transferă" egalitatea pașilor de pe semidreapta ajutătoare pe segmentul $A B$ , fără vreun calcul de lungime.

16. Aleea $A B$ trebuie împărțită în 5 intervale egale, deci sunt necesare $5 - 1 = 4$ puncte interioare (acolo se plantează copacii). Din $A$ trage o semidreaptă oblică, marchează 5 pași egali ( $P_{1}, \dots, P_{5}$ ), unește $P_{5}$ cu $B$ și trasează prin $P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4}$ paralele la $P_{5} B$ : sunt necesare 4 paralele ajutătoare, care dau cele 4 puncte de plantare.

17. $C F$ conține 3 segmente mici ( $C D, D E, E F$ ), deci un segment mic are $\frac{13 , 5}{3} = 4, 5$ cm. $A F$ conține 5 segmente mici: $A F = 5 \cdot 4, 5 = 22, 5$ cm.

18. Nu ar mai fi congruente. Teorema cere explicit ca paralelele să fie echidistante. Dacă intervalele sunt $2, 3, 2$ cm (inegale), fâșiile au înălțimi diferite, iar secanta le taie în segmente de lungimi diferite — proporționale cu distanțele, nu egale. Egalitatea segmentelor pe secantă depinde direct de egalitatea distanțelor dintre paralele.

De reținut

Paralele echidistante = mai multe drepte paralele egal depărtate (distanțele dintre drepte vecine sunt egale).
Teorema paralelelor echidistante: paralele echidistante tăiate de o secantă ⇒ pe secantă se formează segmente congruente: $A_{1} A_{2} \equiv A_{2} A_{3} \equiv \dots \equiv A_{n - 1} A_{n}$ .
Rezultatul e valabil pe orice secantă (orice înclinare); segmentele sunt egale în interiorul aceleiași secante.
Dacă sunt $n$ puncte pe secantă, se formează $n - 1$ segmente congruente; lungimea fiecăruia = (lungimea totală) $\div (n - 1)$ .
Aplicație practică: împarți un segment în părți egale cu rigla și paralele, fără să-i măsori lungimea.
Teorema e cazul particular „raport 1" al Teoremei lui Thales — o pregătește.

Greșeli frecvente

Confuzia „echidistant" cu „paralel". Orice paralele pot fi trasate, dar echidistante sunt doar cele egal depărtate. Fără condiția de egalitate a distanțelor, teorema NU se aplică. Verifică mereu că intervalele vecine sunt egale.
Crezi că segmentele de pe secantă sunt egale cu distanțele dintre paralele. Fals: pe o secantă oblică bucata este mai lungă decât distanța perpendiculară dintre paralele. Egale sunt segmentele între ele pe aceeași secantă, nu cu înălțimea fâșiei.
Numeri greșit segmentele. La $n$ drepte (deci $n$ puncte) sunt $n - 1$ segmente, nu $n$ . Ca la gard: $n$ stâlpi ⇒ $n - 1$ deschideri. Împarte lungimea totală la $n - 1$ , nu la $n$ .
Compari segmente de pe secante diferite. Egalitatea e valabilă doar în cadrul aceleiași secante. Două secante cu înclinări diferite pot da segmente de lungimi diferite — nu le pune semn de egal între ele.

Aplică acasă

Împarte o riglă „oarbă". Ia o fâșie de carton fără gradații (sau o scobitoare) și, folosind doar o foaie de caiet dictando (liniile ei sunt paralele echidistante!), împarte-o în 6 părți egale: așaz-o oblic peste 7 linii vecine și marchează unde le intersectează. Măsoară apoi cu rigla ca să verifici că bucățile au ieșit egale.
Construcția cu semidreapta. Desenează pe o foaie un segment $A B$ de lungime „urâtă" (de exemplu $13$ cm) și împarte-l în 4 părți egale prin metoda paralelelor (semidreaptă oblică + 4 pași egali + paralele). Verifică la final cu rigla: fiecare parte ar trebui să fie $13 : 4 = 3, 25$ cm.
Vânătoare de paralele echidistante. Caută în casă și pe stradă 5 exemple reale de paralele echidistante (trepte, gard, jaluzele, gradații de riglă, rânduri de faianță). Fotografiază-le sau desenează-le și explică pentru fiecare de ce distanțele dintre linii vecine sunt egale.

Pentru părinți și profesori

Această lecție introduce o teoremă „fără demonstrație", ceea ce le poate părea elevilor neobișnuit. Ajutați copilul să înțeleagă că acceptăm rezultatul acum și îl justificăm complet în lecția următoare, prin teorema lui Thales — deci nu e o „scurtătură", ci o etapă de pregătire. Cel mai bun sprijin este practic: dați-i o foaie dictando și cereți-i să verifice singur, cu rigla, că o oblică peste linii egal depărtate produce bucăți egale. Manipularea concretă fixează ideea mai bine decât orice explicație.

Întrebări de verificare pe care le puteți pune:

„Ce înseamnă că niște drepte paralele sunt echidistante?” (răspuns așteptat: sunt egal depărtate, distanțele vecine sunt egale)
„Dacă cinci paralele echidistante taie o secantă, câte segmente egale se formează?” (patru — verifică raționamentul $n - 1$ )
„Segmentele de pe secantă sunt egale cu distanța dintre paralele?” (nu — sunt egale între ele, dar de obicei mai lungi decât distanța)
„Cum ai împărți un băț în 3 părți egale fără să-i măsori lungimea?” (descrie construcția cu semidreaptă și paralele)

Semne că elevul a înțeles: numără corect segmentele ( $n - 1$ ), nu confundă distanța dintre paralele cu lungimea segmentelor de pe secantă, și poate descrie autonom construcția de împărțire. Dacă greșește la numărare, folosiți analogia „stâlpi și deschideri de gard”.

Întrebări frecvente

Ce spune teorema paralelelor echidistante la clasa a 7-a? Spune că dacă mai multe drepte paralele echidistante (egal depărtate) sunt tăiate de o secantă, atunci ele determină pe acea secantă segmente congruente (de lungimi egale). Este un rezultat de geometrie plană din unitatea despre asemănare.

Ce înseamnă drepte paralele echidistante? Sunt drepte paralele așezate astfel încât distanța dintre oricare două drepte vecine (consecutive) să fie aceeași. „Echidistant" înseamnă literal „egal depărtat". Liniile unui caiet de matematică sunt exemplul tipic.

Se demonstrează teorema paralelelor echidistante în clasa a 7-a? Nu. Conform programei, teorema se dă fără demonstrație. Justificarea ei completă se face cu teorema lui Thales, pe care o studiezi imediat după această lecție. Deocamdată o acceptăm ca adevăr și o aplicăm.

Cum împart un segment în părți egale folosind paralele echidistante? Trasezi din capătul $A$ o semidreaptă oblică, marchezi pe ea atâția pași egali câte părți vrei, unești ultimul punct cu celălalt capăt $B$ , apoi trasezi prin celelalte puncte paralele la acea dreaptă. Ele taie $A B$ în părți egale, fără să fi măsurat lungimea lui $A B$ .

Câte segmente egale se formează pe secantă? Dacă secanta este tăiată în $n$ puncte (de $n$ drepte paralele), se formează $n - 1$ segmente congruente. De exemplu, 6 paralele dau 5 segmente egale. Împarte lungimea totală la $n - 1$ .

Segmentele de pe secantă sunt egale cu distanța dintre drepte? Nu neapărat. Ele sunt egale între ele, dar pe o secantă oblică fiecare segment este mai lung decât distanța perpendiculară dintre paralele. Cu cât secanta e mai înclinată, cu atât segmentele sunt mai lungi.

Care e legătura dintre teorema paralelelor echidistante și teorema lui Thales? Teorema paralelelor echidistante este un caz particular al teoremei lui Thales, în care toate rapoartele sunt egale cu 1 (pentru că distanțele dintre paralele sunt egale). Practic, este „varianta simplă” care te pregătește pentru cazul general al lui Thales, cu rapoarte oarecare.

Unde folosesc teorema paralelelor echidistante în viața reală? În construcții și tâmplărie (împărțirea unei scânduri sau a unui perete în bucăți egale fără măsurare lungă), la gradarea instrumentelor, în desen tehnic și oriunde vrei să împarți o distanță în intervale egale rapid și precis, folosind doar rigla și niște paralele.