Teorema fundamentală a asemănării

Imaginează-ți că stai lângă un stâlp și vrei să afli înălțimea unui bloc, fără să te urci pe el. Sau că un arhitect desenează planul unei case la scară: fiecare cameră este micșorată de un anumit număr de ori, dar forma rămâne exact aceeași. În spatele acestor situații stă o idee simplă și foarte puternică: dacă tragi o dreaptă paralelă cu o latură a unui triunghi, obții un triunghi mai mic care are exact aceeași formă cu triunghiul mare. Această idee se numește teorema fundamentală a asemănării, iar în lecția de față vei învăța să o enunți, să o recunoști într-o figură și, mai ales, să o folosești ca să calculezi lungimi necunoscute. Este una dintre cele mai utile teoreme din toată geometria clasei a VII-a.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți teorema fundamentală a asemănării clasa 7, corect și complet.
• Vei ști să recunoști triunghiul asemenea format de o paralelă la o latură a unui triunghi.
• Vei ști să scrii corect rapoartele de asemănare în configurația paralelei.
• Vei ști să calculezi lungimi necunoscute folosind teorema fundamentală a asemănării.
• Vei înțelege legătura strânsă dintre această teoremă, teorema lui Thales și criteriul de asemănare UU.

Hai să descoperim împreună

1. De unde pornim: ce știm deja despre asemănare

Până acum ai învățat două lucruri importante, pe care ne vom sprijini toată lecția.

Mai întâi, din lecția despre triunghiuri asemenea și raportul de asemănare, știi că două triunghiuri sunt asemenea dacă au unghiurile respectiv congruente și laturile respectiv proporționale. Scriem $△ABC\sim △A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ și înțelegem că:

$$\frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{BC}{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{CA}{C^{\prime }{A}^{\prime }}=k,$$

unde $k$ se numește raport de asemănare. Două triunghiuri asemenea au aceeași formă, dar (în general) mărimi diferite.

Apoi, din lecția despre criteriile de asemănare a triunghiurilor, știi criteriul cel mai des folosit, criteriul UU (unghi–unghi): dacă două triunghiuri au două unghiuri respectiv congruente, atunci ele sunt asemenea. E de ajuns să găsim două perechi de unghiuri egale — a treia pereche vine automat, pentru că suma unghiurilor unui triunghi este mereu $180°$.

Ține minte aceste două idei. Teorema fundamentală a asemănării le va lega într-un rezultat nou și foarte practic.

2. Situația din care pornește teorema

Să desenăm un triunghi oarecare $ABC$. Alegem un punct $M$ pe latura $AB$ și un punct $N$ pe latura $AC$, astfel încât dreapta $MN$ să fie paralelă cu latura $BC$.

Ce observăm în această figură? Se formează un triunghi mic, $AMN$, chiar lângă vârful $A$, și un patrulater (mai exact un trapez), $MBCN$, dedesubt. Întrebarea firească este: ce legătură are triunghiul mic $AMN$ cu triunghiul mare $ABC$?

Răspunsul, pe care îl bănuiești deja din desen, este că cele două triunghiuri au aceeași formă: triunghiul $AMN$ pare o „copie micșorată" a triunghiului $ABC$. Exact acest lucru îl afirmă teorema fundamentală a asemănării.

3. Enunțul teoremei fundamentale a asemănării

Iată enunțul complet, așa cum trebuie să îl știi la clasa a 7-a.

Teorema fundamentală a asemănării. O paralelă la una dintre laturile unui triunghi, care intersectează celelalte două laturi (sau prelungirile lor) în două puncte distincte, formează cu acestea un triunghi asemenea cu triunghiul dat.

Cu notațiile din figura noastră, enunțul devine foarte concret:

Ipoteză: În triunghiul $ABC$, $M\in AB$, $N\in AC$ și $MN\parallel BC$.

Concluzie: $△AMN\sim △ABC$, cu rapoartele $$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}.$$

Atenție la ordinea literelor când scrii asemănarea. Litera $A$ (vârful comun) se corespunde cu $A$, punctul $M$ de pe $AB$ se corespunde cu $B$, iar punctul $N$ de pe $AC$ se corespunde cu $C$. De aceea scriem $△AMN\sim △ABC$ și nu în altă ordine. Corespondența corectă a vârfurilor este cheia care îți spune ce laturi și ce unghiuri se potrivesc.

4. De ce este adevărată? Legătura cu criteriul UU

Teorema fundamentală a asemănării nu pică din cer — o putem justifica foarte simplu, folosind criteriul UU pe care îl știi deja. Hai să vedem raționamentul, pas cu pas.

Pasul 1. Triunghiurile $AMN$ și $ABC$ au unghiul din $A$ comun. Este exact același unghi, $\angle A$, pentru amândouă. Avem deci prima pereche de unghiuri congruente: $$\angle MAN\equiv \angle BAC.$$

Pasul 2. Deoarece $MN\parallel BC$, iar dreapta $AB$ este o secantă care le taie pe amândouă, unghiurile $\angle AMN$ și $\angle ABC$ sunt unghiuri corespondente. Din geometria de clasa a VI-a, știi că două paralele tăiate de o secantă formează unghiuri corespondente congruente. Deci: $$\angle AMN\equiv \angle ABC.$$

Pasul 3. Am găsit două perechi de unghiuri respectiv congruente: unghiul din $A$ (comun) și perechea $\angle AMN\equiv \angle ABC$. Conform criteriului UU, cele două triunghiuri sunt asemenea: $$△AMN\sim △ABC.$$

Iată de ce spunem că teorema fundamentală a asemănării este, de fapt, o consecință directă a criteriului UU aplicată în configurația paralelei. Ea nu este un rezultat izolat, ci face parte din aceeași familie de idei.

5. Legătura cu teorema lui Thales

Poate te întrebi: de unde vine partea cu rapoartele egale? Aici intervine teorema lui Thales, pe care ai studiat-o cu câteva lecții în urmă.

Teorema lui Thales spune că, dacă $MN\parallel BC$, atunci paralela împarte laturile $AB$ și $AC$ în segmente proporționale: $$\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}.$$

De aici, printr-o mică prelucrare (o proporție derivată: trecem de la părți la întreg), obținem rapoartele care apar în teorema fundamentală: $$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}.$$

Cu alte cuvinte: din Thales obținem că primele două rapoarte sunt egale. Al treilea raport, $\frac{MN}{BC}$, este „bonusul" adus de asemănare: fiindcă triunghiurile sunt asemenea, toate cele trei perechi de laturi corespunzătoare sunt proporționale, inclusiv $MN$ cu $BC$. Reține deosebirea:

• Teorema lui Thales vorbește doar despre segmentele de pe cele două laturi tăiate ($AB$ și $AC$). Ea nu spune nimic direct despre segmentul $MN$.
• Teorema fundamentală a asemănării adaugă informația despre $MN$: raportul $\frac{MN}{BC}$ este egal cu celelalte două.

Așa se leagă cele trei mari idei ale unității: Thales dă proporționalitatea pe laturi, UU dă asemănarea, iar teorema fundamentală le pune împreună și adaugă raportul laturii paralele.

6. Cum scriem corect rapoartele de asemănare

Aici greșesc mulți elevi, așa că fii atent. În configurația paralelei există două tipuri de rapoarte și e important să nu le amesteci.

Rapoartele „vârf–latură întreagă" (cele din teorema fundamentală): $$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}.$$ La numărător pui segmentul mic care pleacă din vârful $A$, la numitor pui latura întreagă a triunghiului mare. Toate pornesc din vârful comun $A$.

Rapoartele „bucată–bucată" (Thales): $$\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}.$$ Aici comparăm bucata de sus cu bucata de jos, pe fiecare latură.

Amândouă sunt corecte și utile, dar atenție: raportul $\frac{AM}{MB}$ (Thales) nu este egal cu raportul $\frac{MN}{BC}$! De exemplu, dacă $AM=4$ și $MB=4$, atunci $\frac{AM}{MB}=1$, dar $\frac{MN}{BC}=\frac{AM}{AB}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$. Sunt lucruri diferite. Regula de aur: pentru $MN$ folosește mereu rapoartele „vârf–latură întreagă".

7. Un prim exemplu numeric, ca să prindem mecanismul

Fie triunghiul $ABC$ și paralela $MN\parallel BC$, cu $M\in AB$, $N\in AC$. Se dau: $AM=4$ cm, $AB=10$ cm și $BC=15$ cm. Vrem lungimea segmentului $MN$.

Aplicăm teorema fundamentală. Raportul de asemănare este: $$k=\frac{AM}{AB}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}.$$

Atunci și $\frac{MN}{BC}=k=\frac{2}{5}$, deci: $$MN=\frac{2}{5}\cdot BC=\frac{2}{5}\cdot 15=6\text{ cm}.$$

Simplu, nu? Odată ce ai găsit raportul $k$, îl aplici oricărei laturi. Triunghiul mic $AMN$ este o copie a lui $ABC$ micșorată de $\frac{5}{2}$ ori (adică laturile mari sunt de $2,5$ ori mai mari decât cele mici). Această idee — găsești raportul o dată, îl folosești peste tot — este inima tuturor problemelor de mai jos.

8. Un caz special pe care îl cunoști deja: linia mijlocie

Există o situație particulară a acestei configurații pe care ai întâlnit-o mai devreme, în lecția despre linia mijlocie în triunghi. Ce se întâmplă dacă punctele $M$ și $N$ sunt exact mijloacele laturilor $AB$ și $AC$?

Atunci $AM=MB$, deci $\frac{AM}{AB}=\frac{1}{2}$. Raportul de asemănare devine $k=\frac{1}{2}$, iar segmentul $MN$ — care se numește linie mijlocie — se calculează imediat cu teorema fundamentală: $$\frac{MN}{BC}=\frac{1}{2}\Rightarrow MN=\frac{BC}{2}.$$

Regăsim astfel exact cele două proprietăți ale liniei mijlocii: ea este paralelă cu latura $BC$ și are lungimea jumătate din ea. Cu alte cuvinte, teorema liniei mijlocii nu este un rezultat separat, ci cazul particular $k=\frac{1}{2}$ al teoremei fundamentale a asemănării. Iată încă un exemplu al felului în care ideile din această unitate se leagă între ele: un singur rezultat general (teorema fundamentală) le cuprinde pe mai multe pe care le știai deja.

Reține totuși deosebirea de logică: la linia mijlocie pornim de la faptul că $M$ și $N$ sunt mijloace și deducem paralelismul; la teorema fundamentală pornim de la paralelism și deducem asemănarea. Sunt drumuri în sensuri diferite prin aceeași figură.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — găsim un segment de pe o latură

În triunghiul $ABC$, punctul $M\in AB$ și punctul $N\in AC$ sunt astfel încât $MN\parallel BC$. Se cunosc $AM=8$ cm, $MB=4$ cm și $AN=10$ cm. Aflați lungimea segmentului $NC$.

Rezolvare. Fiindcă $MN\parallel BC$, suntem exact în configurația teoremei fundamentale (și a lui Thales). Folosim rapoartele „bucată–bucată": $$\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}.$$ Înlocuim valorile cunoscute: $$\frac{8}{4}=\frac{10}{NC}.$$ Adică $2=\frac{10}{NC}$, de unde $NC=\frac{10}{2}=5$ cm.

Verificare. $AC=AN+NC=10+5=15$ și $AB=AM+MB=8+4=12$. Verificăm rapoartele mari: $\frac{AM}{AB}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$ și $\frac{AN}{AC}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$. Egale — corect. $\boxed{NC=5\text{ cm}}$

Exemplul 2 — găsim latura paralelă MN

În triunghiul $ABC$ avem $MN\parallel BC$, $M\in AB$, $N\in AC$. Se dau $AM=6$ cm, $AB=9$ cm și $BC=12$ cm. Calculați $MN$.

Rezolvare. Aflăm mai întâi raportul de asemănare: $$k=\frac{AM}{AB}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}.$$ Deoarece $△AMN\sim △ABC$, avem $\frac{MN}{BC}=k$, deci: $$MN=k\cdot BC=\frac{2}{3}\cdot 12=8\text{ cm}.$$

$\boxed{MN=8\text{ cm}}$. Observă că $MN$ se calculează numai din rapoartele „vârf–latură întreagă", nu din raportul $AM/MB$.

Exemplul 3 — două necunoscute deodată

În triunghiul $ABC$, $MN\parallel BC$ cu $M\in AB$, $N\in AC$. Se cunosc $AM=5$ cm, $AB=15$ cm, $AC=21$ cm și $BC=18$ cm. Aflați $AN$ și $MN$.

Rezolvare. Raportul de asemănare: $$k=\frac{AM}{AB}=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}.$$

Pentru $AN$ folosim $\frac{AN}{AC}=k$: $$AN=\frac{1}{3}\cdot 21=7\text{ cm}.$$

Pentru $MN$ folosim $\frac{MN}{BC}=k$: $$MN=\frac{1}{3}\cdot 18=6\text{ cm}.$$

$\boxed{AN=7\text{ cm},MN=6\text{ cm}}$. Un singur raport, $k=\frac{1}{3}$, ne-a rezolvat ambele necunoscute.

Exemplul 4 — problemă cu ecuație

În triunghiul $ABC$, $MN\parallel BC$, $M\in AB$, $N\in AC$. Se dau $AM=x$, $MB=6$ cm, $AN=4$ cm și $NC=3$ cm. Aflați $x$ și apoi lungimea lui $AB$.

Rezolvare. Aplicăm teorema lui Thales în configurația paralelei: $$\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}\Rightarrow \frac{x}{6}=\frac{4}{3}.$$ Rezolvăm ecuația prin înmulțire încrucișată: $$3x=6\cdot 4=24\Rightarrow x=8\text{ cm}.$$ Deci $AM=8$ cm și $AB=AM+MB=8+6=14$ cm.

Verificare. $\frac{AM}{AB}=\frac{8}{14}=\frac{4}{7}$; iar $\frac{AN}{AC}=\frac{4}{4+3}=\frac{4}{7}$. Egale — corect. $\boxed{x=8\text{ cm},AB=14\text{ cm}}$

Exemplul 5 — aplicație practică: înălțimea unui copac

Andrei vrea să afle înălțimea unui copac. El înfige un băț vertical de $1,5$ m în pământ, la o anumită distanță de copac, și observă că razele soarelui, copacul și bățul formează triunghiuri asemenea (bățul este paralel cu copacul, ambele fiind verticale). Vârful umbrei bățului și vârful umbrei copacului cad în același punct $O$. Distanța de la $O$ la baza bățului este $2$ m, iar de la $O$ la baza copacului este $10$ m. Cât de înalt este copacul?

Rezolvare. Bățul și copacul sunt paralele (ambele verticale), deci determină în triunghiul mare (cu vârful în $O$) un triunghi mic asemenea cu cel mare — exact teorema fundamentală a asemănării. Corespondența dă rapoartele: $$\frac{\text{distanța paˆna˘ la ba˘ț}}{\text{distanța paˆna˘ la copac}}=\frac{\text{ıˆna˘lțimea ba˘țului}}{\text{ıˆna˘lțimea copacului}}.$$ Notând cu $h$ înălțimea copacului: $$\frac{2}{10}=\frac{1,5}{h}\Rightarrow 2h=10\cdot 1,5=15\Rightarrow h=7,5\text{ m}.$$

$\boxed{h=7,5\text{ m}}$. Iată cum, cu un băț și puțină geometrie, măsori un copac fără să te urci în el! Vom aprofunda astfel de măsurători indirecte în lecția aplicații practice: aproximarea distanțelor folosind asemănarea.

Exemplul 6 — perimetrul triunghiului mic

În triunghiul $ABC$, $MN\parallel BC$ cu $M\in AB$, $N\in AC$. Se știe că $\frac{AM}{AB}=\frac{3}{4}$, iar perimetrul triunghiului $ABC$ este $48$ cm. Aflați perimetrul triunghiului $AMN$.

Rezolvare. Raportul de asemănare este $k=\frac{3}{4}$. La triunghiuri asemenea, raportul perimetrelor este egal cu raportul de asemănare (fiindcă fiecare latură a triunghiului mic este de $k$ ori latura corespunzătoare a celui mare, deci și suma laturilor se micșorează la fel). Prin urmare: $$\frac{P_{AMN}}{P_{ABC}}=k=\frac{3}{4}\Rightarrow P_{AMN}=\frac{3}{4}\cdot 48=36\text{ cm}.$$

$\boxed{P_{AMN}=36\text{ cm}}$. (Atenție: raportul ariilor ar fi $k^2$, dar despre asta vei învăța în lecția următoare, raportul ariilor a două triunghiuri asemenea.)

Exemplul 7 — cazul liniei mijlocii

În triunghiul $ABC$, $M$ este mijlocul laturii $AB$, iar $N$ este mijlocul laturii $AC$. Se știe că $BC=14$ cm. Arată că $MN\parallel BC$ și calculează $MN$.

Rezolvare. Fiindcă $M$ și $N$ sunt mijloacele laturilor, avem $AM=MB$ și $AN=NC$, deci $$\frac{AM}{MB}=1=\frac{AN}{NC}.$$ Segmentele de pe cele două laturi sunt împărțite în același raport, deci (reciproca teoremei lui Thales) $MN\parallel BC$. Acum suntem în configurația teoremei fundamentale, cu raportul de asemănare $$k=\frac{AM}{AB}=\frac{1}{2}.$$ Prin urmare: $$MN=k\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot 14=7\text{ cm}.$$

$\boxed{MN=7\text{ cm}}$. Ai regăsit teorema liniei mijlocii ca simplu caz particular ($k=\frac{1}{2}$) al teoremei fundamentale.

Să exersăm

Rezolvă exercițiile pe caiet. La geometrie, fă întâi un desen clar — te ajută enorm. Pentru toate exercițiile de mai jos, unde apare $MN\parallel BC$, se subînțelege că $M\in AB$ și $N\in AC$.

1. Enunță cu propriile cuvinte teorema fundamentală a asemănării.

2. În triunghiul $ABC$, $MN\parallel BC$. Scrie toate cele trei rapoarte egale din teorema fundamentală a asemănării.

3. Adevărat sau fals (motivează): „Dacă $MN\parallel BC$, atunci $\frac{AM}{MB}=\frac{MN}{BC}$."

4. În triunghiul $ABC$, $MN\parallel BC$. Se dau $AM=6$ cm, $AB=15$ cm, $BC=20$ cm. Calculează $MN$.

5. În triunghiul $ABC$, $MN\parallel BC$. Se dau $AM=9$ cm, $MB=3$ cm, $AN=12$ cm. Află $NC$.

6. În triunghiul $ABC$, $MN\parallel BC$. Se dau $AN=8$ cm, $NC=4$ cm, $MN=10$ cm. Află $BC$.

7. În triunghiul $ABC$, $MN\parallel BC$. Se dau $AM=5$ cm, $AB=12$ cm, $AC=18$ cm. Află $AN$.

8. În triunghiul $ABC$, $MN\parallel BC$. Se dau $AM=x$, $MB=8$ cm, $AN=6$ cm, $NC=4$ cm. Rezolvă ecuația și află $x$.

9. În triunghiul $ABC$, $MN\parallel BC$. Raportul de asemănare este $k=\frac{2}{5}$, iar $BC=30$ cm. Află $MN$.

10. În triunghiul $ABC$, $MN\parallel BC$. Perimetrul lui $ABC$ este $60$ cm, iar $\frac{AM}{AB}=\frac{2}{3}$. Află perimetrul lui $AMN$.

11. Explică în două-trei fraze legătura dintre teorema fundamentală a asemănării și criteriul UU.

12. În triunghiul $ABC$, $MN\parallel BC$. Se dau $AM=4$ cm, $MB=6$ cm și $MN=8$ cm. Află $BC$.

13. O scară dublă (în formă de $\Lambda$) are cele două picioare de lungime egală. La $\frac{1}{3}$ din înălțime, de jos în sus, este fixată o traversă orizontală (paralelă cu solul). Distanța dintre capetele de jos ale picioarelor (deschiderea la sol) este $180$ cm. Cât de lungă este traversa? (Indicație: traversa este paralelă cu baza.)

14. Adevărat sau fals (motivează): „Dacă în triunghiul $ABC$ o dreaptă taie laturile $AB$ și $AC$ în punctele $M$, respectiv $N$, astfel încât $△AMN\sim △ABC$, atunci acea dreaptă este paralelă cu $BC$."

15. În triunghiul $ABC$, $MN\parallel BC$. Se dau $AM=6$ cm, $AB=10$ cm, $BC=15$ cm și $AC=20$ cm. Află simultan $MN$ și $AN$.

16. În triunghiul $ABC$, $MN\parallel BC$. Se dau $MB=9$ cm, $AN=6$ cm, $NC=4$ cm. Află $AM$ și apoi $AB$.

17. Un fotograf ține o ramă dreptunghiulară la $0,5$ m de ochi și prin ea „încadrează" exact fațada unei clădiri aflate la $20$ m. Rama are lățimea de $0,3$ m. Cât de lată este fațada clădirii încadrate? (Indicație: rama și fațada sunt paralele; ochiul este vârful comun.)

18. În triunghiul $ABC$, $MN\parallel BC$. Se știe că $AM=2\cdot MB$. Ce fracție din $BC$ reprezintă $MN$? (Indicație: exprimă raportul $\frac{AM}{AB}$.)

19. În triunghiul $ABC$, $M$ este mijlocul laturii $AB$, iar $N$ este mijlocul laturii $AC$. Se dă $MN=6,5$ cm. Află lungimea laturii $BC$. (Indicație: $MN$ este linie mijlocie.)

20. În triunghiul $ABC$, $MN\parallel BC$. Se dau $AM=7$ cm, $AB=21$ cm și $MN=9$ cm. Află $BC$ și verifică apoi ce fracție din $AB$ reprezintă $AM$.

Răspunsuri și explicații

1. O paralelă la una dintre laturile unui triunghi, care taie celelalte două laturi în puncte distincte, formează cu ele un triunghi asemenea cu triunghiul dat.

2. $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$.

3. Fals. Rapoartele din teorema fundamentală sunt „vârf–latură întreagă": $\frac{AM}{AB}=\frac{MN}{BC}$. Raportul $\frac{AM}{MB}$ este cel din Thales (bucată–bucată) și, în general, nu este egal cu $\frac{MN}{BC}$. Exemplu: dacă $AM=MB$, atunci $\frac{AM}{MB}=1$, dar $\frac{MN}{BC}=\frac{1}{2}$.

4. $k=\frac{AM}{AB}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$, deci $MN=\frac{2}{5}\cdot 20=8$ cm.

5. Thales: $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}\Rightarrow \frac{9}{3}=\frac{12}{NC}\Rightarrow 3=\frac{12}{NC}\Rightarrow NC=4$ cm.

6. $AC=AN+NC=8+4=12$; $k=\frac{AN}{AC}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$. Din $\frac{MN}{BC}=k$: $BC=\frac{MN}{k}=\frac{10}{2/3}=10\cdot \frac{3}{2}=15$ cm.

7. $k=\frac{AM}{AB}=\frac{5}{12}$, deci $AN=\frac{5}{12}\cdot 18=\frac{90}{12}=7,5$ cm.

8. Thales: $\frac{x}{8}=\frac{6}{4}\Rightarrow 4x=48\Rightarrow x=12$ cm.

9. $MN=k\cdot BC=\frac{2}{5}\cdot 30=12$ cm.

10. Raportul perimetrelor este egal cu $k=\frac{2}{3}$, deci $P_{AMN}=\frac{2}{3}\cdot 60=40$ cm.

11. În configurația $MN\parallel BC$, triunghiurile $AMN$ și $ABC$ au unghiul din $A$ comun și unghiurile corespondente $\angle AMN\equiv \angle ABC$ (formate de paralele cu secanta $AB$). Cu două perechi de unghiuri congruente, criteriul UU dă $△AMN\sim △ABC$. Deci teorema fundamentală este o consecință a criteriului UU.

12. $AB=AM+MB=4+6=10$; $k=\frac{AM}{AB}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$. Din $\frac{MN}{BC}=k$: $BC=\frac{MN}{k}=\frac{8}{2/5}=8\cdot \frac{5}{2}=20$ cm.

13. Traversa este paralelă cu solul, la $\frac{1}{3}$ din înălțime de jos. Măsurând de la vârful $\Lambda$-ului (sus), traversa se află la $\frac{2}{3}$ din înălțime, deci raportul de asemănare (vârf–jos) este $k=\frac{2}{3}$. Traversa $=\frac{2}{3}\cdot 180=120$ cm. (Deschiderea la sol joacă rolul lui $BC$, traversa joacă rolul lui $MN$.)

14. Adevărat. Din $△AMN\sim △ABC$ (corespondența vârfurilor: $M\leftrightarrow B$, $N\leftrightarrow C$) rezultă $\angle AMN\equiv \angle ABC$. Aceste unghiuri sunt corespondente pentru dreptele $MN$ și $BC$ tăiate de secanta $AB$; fiind congruente, dreptele sunt paralele (reciproca teoremei unghiurilor corespondente). Deci $MN\parallel BC$.

15. $k=\frac{AM}{AB}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$. Atunci $MN=\frac{3}{5}\cdot 15=9$ cm și $AN=\frac{3}{5}\cdot 20=12$ cm.

16. Thales: $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}\Rightarrow \frac{AM}{9}=\frac{6}{4}\Rightarrow 4\cdot AM=54\Rightarrow AM=13,5$ cm. Apoi $AB=AM+MB=13,5+9=22,5$ cm.

17. Ochiul este vârful comun; rama (la $0,5$ m) și fațada (la $20$ m) sunt paralele. $k=\frac{0,5}{20}=\frac{1}{40}$. Lățimea ramei corespunde lățimii fațadei: $\frac{0,3}{L}=\frac{1}{40}\Rightarrow L=0,3\cdot 40=12$ m.

18. $AM=2\cdot MB$, deci $AB=AM+MB=2\cdot MB+MB=3\cdot MB$. Atunci $\frac{AM}{AB}=\frac{2\cdot MB}{3\cdot MB}=\frac{2}{3}$. Prin urmare $MN=\frac{2}{3}\cdot BC$, adică $MN$ reprezintă $\frac{2}{3}$ din $BC$.

19. $MN$ este linie mijlocie, deci $MN=\frac{BC}{2}$. Atunci $BC=2\cdot MN=2\cdot 6,5=13$ cm.

20. $k=\frac{AM}{AB}=\frac{7}{21}=\frac{1}{3}$. Din $\frac{MN}{BC}=k$: $BC=\frac{MN}{k}=\frac{9}{1/3}=9\cdot 3=27$ cm. Verificare: $\frac{AM}{AB}=\frac{7}{21}=\frac{1}{3}$, deci $AM$ reprezintă $\frac{1}{3}$ din $AB$.

De reținut

• Teorema fundamentală a asemănării: o paralelă la o latură a unui triunghi formează cu celelalte două laturi un triunghi asemenea cu triunghiul dat. Dacă $MN\parallel BC$, atunci $△AMN\sim △ABC$.
• Rapoartele cheie (vârf–latură întreagă): $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}=k$, raportul de asemănare.
• Latura paralelă $MN$ se află numai din rapoartele „vârf–latură întreagă", niciodată din $\frac{AM}{MB}$.
• Teorema fundamentală este o consecință a criteriului UU (unghi comun în $A$ + unghiuri corespondente egale) și se sprijină pe teorema lui Thales pentru proporționalitatea segmentelor.
• Raportul perimetrelor a două triunghiuri asemenea este egal cu raportul de asemănare $k$.
• Linia mijlocie este cazul particular $k=\frac{1}{2}$ al teoremei fundamentale: când $M$ și $N$ sunt mijloacele laturilor, $MN\parallel BC$ și $MN=\frac{BC}{2}$.

Greșeli frecvente

• Confuzia rapoartelor. Mulți scriu $\frac{AM}{MB}=\frac{MN}{BC}$ — greșit! Pentru $MN$ folosește mereu $\frac{AM}{AB}$ (latura întreagă la numitor), nu $\frac{AM}{MB}$ (bucata rămasă).
• Ordinea greșită a vârfurilor. Dacă scrii $△AMN\sim △ACB$ în loc de $△ABC$, corespondența laturilor se strică și obții rapoarte false. $M$ se corespunde cu $B$ (ambele pe $AB$), $N$ cu $C$ (ambele pe $AC$).
• Uiți condiția de paralelism. Teorema funcționează doar dacă dreapta este paralelă cu latura. Fără paralelism, nu ai nici asemănare, nici rapoarte egale.
• Amesteci întregul cu bucata. Când ți se dau $AM$ și $MB$ separat, nu uita că $AB=AM+MB$. Numitorul rapoartelor mari este $AB$ (întregul), nu $MB$.

Aplică acasă

1. Măsoară un obiect înalt fără să îl urci. Într-o zi cu soare, înfige vertical un băț de lungime cunoscută (de exemplu o riglă de $1$ m) și măsoară lungimea umbrei lui. Măsoară apoi umbra unui copac sau a unui stâlp. Fiindcă bățul și obiectul înalt sunt paralele (ambele verticale), triunghiurile umbrelor sunt asemenea: $\frac{\text{umbra ba˘țului}}{\text{umbra obiectului}}=\frac{\text{ıˆna˘lțimea ba˘țului}}{\text{ıˆna˘lțimea obiectului}}$. Calculează înălțimea obiectului.

2. Verifică teorema cu rigla. Desenează pe o foaie un triunghi mare $ABC$. Trasează o paralelă $MN$ la $BC$ (folosește două rigle sau echerul). Măsoară cu rigla $AM$, $AB$, $MN$, $BC$ și verifică dacă $\frac{AM}{AB}\approx \frac{MN}{BC}$. Vei vedea că rapoartele ies aproape egale (mici diferențe apar doar din imprecizia măsurării).

3. Harta la scară. Ia o hartă sau un plan de apartament. Alege un traseu triunghiular și încearcă să identifici raportul de asemănare (scara). Explică unui membru al familiei de ce o hartă la scara $1:1000$ este, de fapt, un exemplu uriaș de figuri asemenea.

Pentru părinți și profesori

Această lecție consolidează trecerea de la teorema lui Thales la asemănare — un pas conceptual important. Elevul trebuie să înțeleagă că teorema fundamentală a asemănării nu este o formulă de memorat, ci o consecință logică a lucrurilor deja învățate (unghiuri corespondente + criteriul UU + Thales).

Cum verificați dacă a înțeles:

• Cereți-i să enunțe teorema fără să se uite în caiet și să deseneze figura corectă.
• Puneți întrebarea-cheie: „Care raport folosești pentru latura $MN$?" Răspunsul corect este $\frac{AM}{AB}$, nu $\frac{AM}{MB}$. Dacă le confundă, aici e punctul de lucru.
• Dați-i un exercițiu cu numere „urâte" (de exemplu răspuns $7,5$) — dacă înțelege metoda, fracția nu îl sperie.
• Rugați-l să justifice de ce triunghiurile sunt asemenea (unghi comun + unghi corespondent). Dacă poate reproduce raționamentul din trei pași, a înțeles esența, nu doar rezultatul.

Un semn clar de înțelegere reală: elevul găsește întâi raportul de asemănare $k$ și abia apoi îl aplică laturilor necunoscute, în loc să repornească de fiecare dată de la zero.

Întrebări frecvente

Ce spune teorema fundamentală a asemănării la clasa a 7-a? Spune că o paralelă la o latură a unui triunghi, care taie celelalte două laturi, formează cu ele un triunghi asemenea cu triunghiul dat. Dacă $MN\parallel BC$, atunci $△AMN\sim △ABC$, iar laturile sunt proporționale: $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$.

Care este diferența dintre teorema lui Thales și teorema fundamentală a asemănării? Teorema lui Thales dă doar proporționalitatea segmentelor de pe cele două laturi tăiate ($\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}$), fără să spună ceva despre latura paralelă. Teorema fundamentală adaugă asemănarea triunghiurilor și, în plus, raportul $\frac{MN}{BC}$ pentru latura paralelă. Practic, teorema fundamentală „continuă" ideea lui Thales.

Cum aflu lungimea segmentului MN dacă știu că este paralel cu BC? Calculezi mai întâi raportul de asemănare $k=\frac{AM}{AB}$ (segmentul de sus supra latura întreagă). Apoi înmulțești: $MN=k\cdot BC$. Atenție, nu folosi raportul $\frac{AM}{MB}$ pentru $MN$ — este o greșeală frecventă.

De ce triunghiul format de paralelă este asemenea cu triunghiul mare? Pentru că cele două triunghiuri au unghiul din vârful $A$ comun și unghiurile de la bază congruente (sunt unghiuri corespondente formate de dreptele paralele $MN$ și $BC$ cu secantele $AB$ și $AC$). Cu două perechi de unghiuri congruente, criteriul UU garantează asemănarea.

Teorema funcționează și dacă paralela taie prelungirile laturilor? Da. Enunțul general spune „celelalte două laturi sau prelungirile lor". Chiar dacă paralela este trasată dincolo de triunghi (pe prelungiri), tot se obține un triunghi asemenea cu cel dat. La clasa a VII-a lucrezi cel mai des cu paralela din interiorul triunghiului, dar principiul rămâne același.

Ce raport folosesc pentru perimetre la triunghiuri asemenea? Raportul perimetrelor este egal cu raportul de asemănare $k$. Dacă $k=\frac{2}{3}$, atunci perimetrul triunghiului mic este $\frac{2}{3}$ din perimetrul celui mare. (Pentru arii raportul ar fi $k^2$, dar aceasta este tema lecției următoare.)

Ce legătură are teorema fundamentală a asemănării cu linia mijlocie? Linia mijlocie este cazul particular în care punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele laturilor. Atunci reciproca teoremei lui Thales dă $MN\parallel BC$, raportul de asemănare este $k=\frac{1}{2}$, iar teorema fundamentală îți dă imediat $MN=\frac{BC}{2}$ — exact cele două proprietăți ale liniei mijlocii. Practic, teorema liniei mijlocii este un caz special al teoremei fundamentale a asemănării.

Ce fac dacă în problemă nu mi se dă direct latura întreagă, ci doar bucățile? Aduni bucățile ca să obții latura întreagă. Dacă ți se dau $AM$ și $MB$, atunci $AB=AM+MB$; la fel, $AC=AN+NC$. Abia după ce ai latura întreagă poți scrie corect raportul de asemănare $k=\frac{AM}{AB}$ și îl poți folosi pentru $MN$.

Unde folosesc în viața reală teorema fundamentală a asemănării? Oriunde compari o „copie micșorată" cu originalul: măsurarea indirectă a înălțimii unui copac sau a unei clădiri cu ajutorul umbrelor, hărțile și planurile la scară, machetele, fotografia sau modul în care ochiul „încadrează" un obiect îndepărtat printr-o ramă. Toate acestea sunt figuri asemenea generate de raze paralele sau de linii paralele.