Cum aflu cifra ca numărul să fie divizibil?

Lecția pe scurt · clasa a VI-a · Criterii de divizibilitate: cifre necunoscute

Începi cu criteriul care privește ultima cifră, fiindcă el fixează repede o valoare, apoi treci la cel cu suma cifrelor. Pentru $\overline{45 b}$ divizibil cu 2 și cu 9, cifra $b$ trebuie să fie pară, iar suma $4 + 5 + b$ să se împartă la 9; singura potrivire este $b = 0$ . Când rămâne doar criteriul sumei, încerci pe rând valorile de la 0 la 9 și le păstrezi pe cele care merg.

Criteriile de divizibilitate transformă o împărțire lungă într-o simplă privire asupra cifrelor unui număr. Se împart în două „familii”: cele care privesc coada numărului — cu $2$ (ultima cifră pară), cu $5$ (ultima cifră $0$ sau $5$ ) și cu $1 0^{n}$ ( $n$ zerouri la coadă) — și cele care privesc suma cifrelor — cu $3$ (suma multiplu de $3$ ) și cu $9$ (suma multiplu de $9$ ). Orice număr divizibil cu $9$ este automat divizibil și cu $3$ , dar invers nu e garantat.

Cel mai util truc apare la aflarea cifrelor necunoscute, de tipul $\overline{2 a 5 b}$ : fixezi întâi cifra de la coadă (cu 2, 5 sau 10), apoi rezolvi criteriul de sumă, mărginind valoarea între cazurile extreme ale cifrei ( $0$ și $9$ ).

Exemplu: pentru $\overline{4 a 1}$ divizibil cu 3, suma $5 + a$ trebuie să fie multiplu de $3$ ; verificând valorile posibile, obținem $a \in {1, 4, 7}$ .

De reținut

cu 2, cu 5 și cu $1 0^{n}$ hotărăsc ultimele cifre
cu 3 și cu 9 hotărăște suma cifrelor
ce se împarte exact la 9 se împarte și la 3, dar reciproca nu ține
cifra din față a unui număr nu are voie să fie zero

Greșeala tipică

Se crede că un număr divizibil cu 3 se împarte automat și la 9. Numărul 24 are suma cifrelor 6, deci trece de criteriul lui 3, dar nu și de cel al lui 9, care cere o sumă multiplu de 9.

Exerciții din această mini-lecție

Care dintre numerele $645$ , $730$ , $812$ , $925$ se divide simultan cu $2$ și cu $5$ ?
- a) $645$
- b) $730$
- c) $812$
- d) $925$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $730$

Un număr divizibil simultan cu $2$ și cu $5$ trebuie să se termine în $0$ (singura cifră pară din mulțimea ${0, 5}$ ). Dintre variante, doar $730$ se termină în $0$ . $645$ și $925$ se termină în $5$ (nu sunt pare), iar $812$ se termină în $2$ (nu e $0$ sau $5$ ).
Determină cifra $b$ pentru care numărul $\overline{45 b}$ se divide simultan cu $2$ și cu $9$ .
- a) $0$
- b) $3$
- c) $6$
- d) $9$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $0$

Suma cifrelor este $4 + 5 + b = 9 + b$ , prinsă între $9$ și $18$ ; multiplii de $9$ din acest interval sunt $9$ (pentru $b = 0$ ) și $18$ (pentru $b = 9$ ). Dintre aceștia, condiția de a fi și par (divizibil cu $2$ ) o respectă doar $b = 0$ . Numărul obținut este $450$ : se termină în $0$ (par ✓) și suma cifrelor $4 + 5 + 0 = 9$ se divide cu $9$ ✓.
Care dintre numerele $250$ , $360$ , $620$ , $483$ se divide simultan cu $3$ și cu $5$ ?
- a) $250$
- b) $360$
- c) $620$
- d) $483$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $360$

Un număr divizibil simultan cu $3$ și cu $5$ trebuie să se termine în $0$ sau $5$ , iar suma cifrelor să fie multiplu de $3$ . $250$ se termină în $0$ , dar suma cifrelor $2 + 5 + 0 = 7$ nu e multiplu de $3$ → nu convine. $620$ se termină în $0$ , dar suma $6 + 2 + 0 = 8$ nu e multiplu de $3$ → nu convine. $483$ se termină în $3$ , deci nu respectă nici măcar regula lui $5$ . Doar $360$ se termină în $0$ și are suma cifrelor $3 + 6 + 0 = 9$ , multiplu de $3$ — este divizibil cu ambele.

Întrebări conexe

Care este criteriul de divizibilitate cu 8?

Se privesc ultimele trei cifre ale numărului: dacă numărul format din ele se împarte exact la $8$ , atunci se împarte și cel întreg. Regula vine de acolo că $1000$ este multiplu de $8$ , deci tot ce stă înaintea sutelor nu mai contează.

Care este criteriul de divizibilitate cu 4?

Se privesc ultimele două cifre: dacă numărul format din ele se împarte exact la 4, atunci și numărul întreg se împarte. Astfel 1316 este divizibil cu 4, fiindcă 16 este, iar 1322 nu este, fiindcă 22 nu se împarte exact.

Cum recunosc un număr divizibil cu 15?

Trebuie să treacă în același timp criteriul lui 3 și pe cel al lui 5: ultima cifră să fie 0 sau 5, iar suma cifrelor să se împartă la 3. Numărul 285 le respectă pe amândouă, fiindcă se termină în 5, iar $2 + 8 + 5 = 15$ .

Cum arăt că un număr nu se divide cu 6?

Este de ajuns să cadă una dintre cele două condiții: să nu fie par sau suma cifrelor să nu se împartă la 3. Numărul $34$ este par, dar $3 + 4 = 7$ nu se împarte la 3, deci nu se divide cu 6.

Cum verific cifra găsită la final?

O pui înapoi în număr și refaci criteriul: recalculezi suma cifrelor sau te uiți din nou la coadă. Apoi, dacă mai ai timp, faci chiar împărțirea. Verificarea prinde și greșelile de adunare, care sunt cele mai frecvente la acest tip de exercițiu.

Oamenii mai întreabă și: cifra necunoscută divizibilitate · cum aflu cifra a dintr-un număr divizibil · criterii de divizibilitate aplicații · exerciții cu cifre necunoscute