Aplicații ale criteriilor de congruență

Ai învățat deja cele patru criterii care îți spun când două triunghiuri sunt congruente: LUL, ULU, LLL și criteriile speciale pentru triunghiuri dreptunghice. Acum vine partea cea mai interesantă: să le folosești ca pe niște unelte într-o cutie de scule. Într-o problemă reală nu ți se spune „folosește ULU”. Tu ești cel care privește figura, citește ipoteza și decide singur ce criteriu se potrivește. În această lecție înveți exact acest lucru: cum să alegi criteriul corect, cum să construiești o strategie pas cu pas și cum să tragi consecințe sigure dintr-o congruență demonstrată.

Ce vei învăța

Vei ști să alegi criteriul de congruență potrivit pentru o configurație geometrică dată (LUL, ULU, LLL sau criteriile triunghiului dreptunghic).
Vei ști să elaborezi o strategie de rezolvare pornind de la ipoteză, în pași logici clari.
Vei ști să tragi consecințe corecte după ce ai demonstrat o congruență (segmente sau unghiuri congruente, paralelisme, bisectoare).
Vei ști să validezi o afirmație geometrică printr-un raționament simplu, ordonat.
Vei ști să recunoști greșelile care duc la criterii „false” și să le eviți.

Hai să descoperim împreună

De ce sunt utile criteriile de congruență

Imaginează-ți că ești inginer și vrei să fii sigur că două piese metalice sunt identice, dar nu le poți suprapune fizic. Dacă măsori câteva elemente bine alese (de exemplu două laturi și unghiul dintre ele) și ele coincid, atunci poți garanta că piesele sunt identice fără să le mai compari bucată cu bucată. Exact asta fac criteriile de congruență în geometrie: îți permit să demonstrezi că toate cele șase elemente (3 laturi + 3 unghiuri) ale unui triunghi sunt egale cu ale altuia, verificând doar trei elemente potrivite.

Reamintim, foarte pe scurt, cele patru criterii — fără să le re-predăm, doar ca pe „uneltele” pe care le vei alege:

LUL (latură-unghi-latură): două laturi și unghiul cuprins între ele.
ULU (unghi-latură-unghi): două unghiuri și latura dintre ele.
LLL (latură-latură-latură): toate cele trei laturi.
Triunghi dreptunghic (IC, IU, CC, CU): folosesc ipotenuza și/sau catetele, uneori împreună cu un unghi ascuțit, când avem unghi drept.

Dacă vrei să recapitulezi fiecare criteriu în parte, ai lecțiile dedicate: Criteriul LUL, Criteriul ULU, Criteriul LLL și Criteriile triunghiurilor dreptunghice.

Pasul 1 — Citește ipoteza și „colorează” datele pe figură

Prima și cea mai importantă deprindere: transformă cuvintele în semne pe desen. O problemă de geometrie devine ușoară când figura îți „vorbește”.

Pentru laturi egale, pui aceleași semnulețe (o liniuță, două liniuțe).
Pentru unghiuri egale, pui aceleași arce.
Pentru unghi drept, pui pătrățelul de 90°.
Pentru un punct care e mijloc, marchezi cele două segmente egale.

Când ai marcat tot ce știi, numeri câte elemente cunoști pentru fiecare pereche de triunghiuri: câte laturi egale, câte unghiuri egale și unde sunt așezate ele.

Pasul 2 — Numără și identifică tipul de informație (L sau U)

Pentru fiecare pereche de triunghiuri pe care vrei să le compari, scrie pe scurt ce ai. De exemplu: „am o latură egală, un unghi egal lângă ea și încă o latură egală”. Atunci structura ta este L-U-L și criteriul candidat este LUL — dacă unghiul este chiar între cele două laturi.

Iată tabelul de decizie, „harta” pe care o vei folosi mereu:

Ce cunoști	Criteriul potrivit	Atenție la
2 laturi + unghiul dintre ele	LUL	unghiul trebuie să fie cuprins între laturi
2 unghiuri + latura dintre ele	ULU	latura trebuie să fie între unghiuri
3 laturi	LLL	nu ai nevoie de niciun unghi
unghi drept + ipotenuză + o catetă	IC	doar la triunghi dreptunghic
unghi drept + 2 catete	CC (= LUL)	catetele formează unghiul drept
unghi drept + ipotenuză + un unghi ascuțit	IU	la triunghi dreptunghic

Pasul 3 — Verifică POZIȚIA elementelor, nu doar numărul lor

Aici este capcana în care cad cei mai mulți elevi. Nu este de ajuns să ai „două laturi și un unghi”. Contează unde este unghiul.

Dacă unghiul este între cele două laturi → este LUL → criteriu valabil.
Dacă unghiul nu este între cele două laturi (e „lipit” de una singură) → nu ai un criteriu! (Combinația latură-latură-unghi, prescurtat LLU, nu este criteriu de congruență.)

La fel pentru ULU: latura trebuie să fie între cele două unghiuri. Dacă latura este în alt loc, folosești de fapt situația unghi-unghi-latură, care funcționează doar pentru că suma unghiurilor unui triunghi este 180° (al treilea unghi se calculează), dar la clasa a VI-a strategia sigură este să aduci totul la ULU.

Pasul 4 — Caută elementele „ascunse” (cadouri din figură)

De multe ori al treilea element de care ai nevoie nu este scris în ipoteză, ci se „ascunde” în figură. Acestea sunt cadourile geometriei. Învață-le pe de rost, pentru că le vei folosi în aproape orice problemă:

Latura comună: dacă două triunghiuri au în comun aceeași latură, atunci acea latură este, evident, congruentă cu ea însăși. O scriem: $[A D] \equiv [A D]$ .
Unghiuri opuse la vârf: când două drepte se intersectează, unghiurile opuse la vârf sunt congruente (vezi Unghiuri opuse la vârf).
Mijlocul unui segment: dacă $M$ este mijlocul lui $[B C]$ , atunci $[B M] \equiv [M C]$ .
Bisectoarea: dacă $A D$ este bisectoarea unghiului $A$ , atunci $∠ B A D \equiv ∠ D A C$ .
Perpendiculara: dacă două drepte sunt perpendiculare, ai un unghi drept gata făcut.
Unghi comun: dacă două triunghiuri „pornesc” din același vârf, pot avea un unghi comun.

Strategia completă, deci, este aceasta:

Citește ipoteza și marchează totul pe figură.
Identifică cele două triunghiuri pe care vrei să le compari.
Adună elementele cunoscute (din ipoteză + cadourile din figură).
Recunoaște tiparul L/U și verifică poziția lor.
Numește criteriul și scrie congruența: $△ A B C \equiv △ M N P$ .
Trage consecința cerută: din triunghiuri congruente rezultă elemente corespondente congruente.

Acest ultim pas se numește, pe scurt, metoda triunghiurilor congruente (ai o lecție întreagă despre ea: Metoda triunghiurilor congruente). Ideea de aur este: din triunghiuri congruente rezultă toate elementele corespondente congruente — în limbaj scurt spunem că „elementele se corespund în ordinea în care le scriem”.

Pasul 5 — Scrie congruența în ordinea corectă a vârfurilor

Când scrii $△ A B C \equiv △ M N P$ , ordinea literelor nu este la întâmplare: ea spune cine cu cine corespunde. Adică:

$A \leftrightarrow M$ , $B \leftrightarrow N$ , $C \leftrightarrow P$ ;
deci $[A B] \equiv [M N]$ , $[B C] \equiv [N P]$ , $[A C] \equiv [M P]$ ;
și $∠ A \equiv ∠ M$ , $∠ B \equiv ∠ N$ , $∠ C \equiv ∠ P$ .

Dacă scrii ordinea greșit, vei „trage” consecințe greșite. Așadar, scrie întotdeauna vârfurile corespondente unul sub altul, ca să nu greșești.

Ce consecințe poți „scoate” dintr-o congruență

Odată ce ai scris $△ A B C \equiv △ M N P$ , ai în mână o adevărată „mașină de produs egalități”. Dar elevii uită adesea cât de multe lucruri diferite pot fi cerute. Iată tipurile de concluzii pe care le poți trage — toate pleacă din aceeași congruență:

Ce ți se cere	Cum obții	Exemplu de redactare
două segmente egale	laturi corespondente	$[A B] \equiv [M N]$
două unghiuri egale	unghiuri corespondente	$∠ B \equiv ∠ N$
un punct e mijloc	două segmente corespondente egale	$[B D] \equiv [D C] \Rightarrow D$ mijloc
două drepte paralele	unghiuri alterne interne egale	$∠1 \equiv ∠2 \Rightarrow d_{1} ∥ d_{2}$
două drepte perpendiculare	unghiuri adiacente egale care dau $180°$	fiecare $= 90°$
o semidreaptă e bisectoare	două unghiuri corespondente egale	$∠ B A D \equiv ∠ D A C$

Observă ideea comună: niciodată nu măsori. Tragi concluzia citind ce element corespunde cu ce element, exact ca atunci când citești dintr-un tabel. De aceea ordinea vârfurilor este atât de importantă — ea este „cheia” cu care descifrezi tabelul.

O poveste scurtă ca să ții minte

Gândește-te la doi gemeni perfect identici, Andrei și Mihai. Dacă știi că au aceeași înălțime, aceeași culoare a ochilor și aceeași formă a feței, ești sigur că, în restul detaliilor, sunt la fel. Nu ai nevoie să verifici fiecare fir de păr. Cele trei elemente bine alese îți garantează restul. Criteriile de congruență sunt exact „cele trei detalii cheie” care îți garantează că două triunghiuri sunt gemeni perfecți. Iar metoda triunghiurilor congruente este momentul în care spui: „de vreme ce sunt gemeni, atunci și pantofii lor au aceeași mărime” — adică tragi consecința.

Cum validezi o afirmație (adevărat sau fals)

Uneori ți se cere să spui dacă o afirmație este adevărată sau falsă. Regula de aur:

Ca să arăți că o afirmație este adevărată, trebuie un raționament (o demonstrație) valabil pentru orice caz.
Ca să arăți că o afirmație este falsă, este suficient un singur contraexemplu — o figură concretă în care afirmația nu se respectă.

De exemplu, afirmația „dacă două triunghiuri au două laturi și un unghi respectiv congruente, atunci sunt congruente” este falsă, fiindcă unghiul ar putea să nu fie între laturi (LLU nu e criteriu). Un singur contraexemplu o dărâmă.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Alegerea criteriului (LUL)

Enunț. Punctul $O$ este mijlocul segmentelor $[A C]$ și $[B D]$ . Arată că $△ A O B \equiv △ C O D$ .

Strategia. Compar triunghiurile $A O B$ și $C O D$ . Adun datele:

$O$ mijlocul lui $[A C]$ ⇒ $[O A] \equiv [O C]$ (o latură).
$O$ mijlocul lui $[B D]$ ⇒ $[O B] \equiv [O D]$ (a doua latură).
$∠ A O B \equiv ∠ C O D$ , fiind opuse la vârf (un unghi).

Unghiul $∠ A O B$ este chiar între laturile $[O A]$ și $[O B]$ . Tiparul este L-U-L.

Rezolvare. Din $[O A] \equiv [O C]$ , $∠ A O B \equiv ∠ C O D$ , $[O B] \equiv [O D]$ , conform criteriului LUL, rezultă $△ A O B \equiv △ C O D .$

Consecință (dacă se cere). De aici $[A B] \equiv [C D]$ (laturi corespondente). Frumusețea: am demonstrat că două segmente sunt egale fără să le măsurăm.

Exemplul 2 — Alegerea criteriului (ULU)

Enunț. Fie $[A B]$ un segment și $M$ mijlocul lui. Prin $A$ și $B$ se duc, de o parte și de alta a dreptei $A B$ , două semidrepte pe care alegem punctele $C$ , respectiv $D$ , astfel încât $∠ M A C \equiv ∠ M B D$ și $∠ A M C \equiv ∠ B M D$ . Arată că $△ A M C \equiv △ B M D$ .

Strategia. Compar $△ A M C$ și $△ B M D$ . Adun:

$∠ M A C \equiv ∠ M B D$ (un unghi, din ipoteză);
$[A M] \equiv [B M]$ ( $M$ este mijloc — o latură);
$∠ A M C \equiv ∠ B M D$ (al doilea unghi, din ipoteză).

Latura $[A M]$ , respectiv $[B M]$ , este chiar între cele două unghiuri din fiecare triunghi. Tiparul este U-L-U.

Rezolvare. Conform criteriului ULU: $△ A M C \equiv △ B M D .$

Consecință. $[A C] \equiv [B D]$ și $[M C] \equiv [M D]$ .

Exemplul 3 — Alegerea criteriului (LLL) și o consecință despre unghiuri

Enunț. Fie patrulaterul $A B C D$ cu $[A B] \equiv [C D]$ și $[A D] \equiv [C B]$ . Trasăm diagonala $[A C]$ . Arată că $∠ B \equiv ∠ D$ .

Strategia. Diagonala $[A C]$ împarte patrulaterul în două triunghiuri: $△ A B C$ și $△ C D A$ . Adun datele:

$[A B] \equiv [C D]$ (o latură, din ipoteză);
$[C B] \equiv [A D]$ (a doua latură, din ipoteză);
$[A C] \equiv [C A]$ (a treia latură, este latura comună — cadoul!).

Trei laturi ⇒ tiparul este L-L-L.

Rezolvare. Conform criteriului LLL: $△ A B C \equiv △ C D A .$ Atenție la ordinea vârfurilor: $A \leftrightarrow C$ , $B \leftrightarrow D$ , $C \leftrightarrow A$ . Unghiul $∠ B$ (din $△ A B C$ ) corespunde unghiului $∠ D$ (din $△ C D A$ ). Deci $∠ B \equiv ∠ D . ■$

Exemplul 4 — Triunghi dreptunghic (criteriul IC)

Enunț. Două triunghiuri dreptunghice $A B C$ (cu $∠ A = 90°$ ) și $M N P$ (cu $∠ M = 90°$ ) au ipotenuzele egale, $[B C] \equiv [N P]$ , și câte o catetă egală, $[A B] \equiv [M N]$ . Arată că triunghiurile sunt congruente și că $∠ C \equiv ∠ P$ .

Strategia. Avem unghi drept la amândouă, ipotenuze egale și o catetă egală. Acesta este exact tiparul criteriului IC (ipotenuză-catetă), valabil doar la triunghiuri dreptunghice.

Rezolvare. Conform criteriului IC: $△ A B C \equiv △ M N P .$ Cu corespondența $A \leftrightarrow M$ , $B \leftrightarrow N$ , $C \leftrightarrow P$ , rezultă $∠ C \equiv ∠ P$ .

Observație. Aici nu ai voie să spui „am o latură, o latură și un unghi, deci LUL”, pentru că unghiul drept nu este cuprins între ipotenuză și catetă. Tocmai de aceea triunghiurile dreptunghice au criterii proprii.

Exemplul 5 — Strategie în doi pași (congruență ⇒ paralelism)

Enunț. Punctele $A$ , $O$ , $C$ sunt coliniare și $B$ , $O$ , $D$ sunt coliniare, cu $O$ mijlocul ambelor segmente $[A C]$ și $[B D]$ . Arată că $A B ∥ C D$ .

Strategia. Paralelismul nu se vede direct, dar îl pot obține din unghiuri. Planul în doi pași:

demonstrez $△ A O B \equiv △ C O D$ (ca la Exemplul 1, prin LUL);
din congruență obțin unghiuri congruente, care sunt alterne interne, deci dreptele sunt paralele.

Rezolvare. Pasul 1: $[O A] \equiv [O C]$ , $∠ A O B \equiv ∠ C O D$ (opuse la vârf), $[O B] \equiv [O D]$ ⇒ prin LUL, $△ A O B \equiv △ C O D$ .

Pasul 2: din congruență, $∠ O A B \equiv ∠ O C D$ . Aceste unghiuri sunt alterne interne față de dreptele $A B$ și $C D$ tăiate de secanta $A C$ . Unghiuri alterne interne congruente ⇒ dreptele sunt paralele (vezi Criterii de paralelism). Deci $A B ∥ C D . ■$

Exemplul 6 — Validarea unei afirmații (adevărat / fals cu justificare)

Enunț. Andrei spune: „Dacă două triunghiuri au două unghiuri respectiv congruente și o latură congruentă, atunci ele sunt sigur congruente.” Este afirmația adevărată sau falsă?

Rezolvare. Afirmația este falsă așa cum e formulată, fiindcă latura trebuie să fie între cele două unghiuri pentru a aplica ULU. Există un contraexemplu: două triunghiuri pot avea aceleași două unghiuri (deci aceeași formă) dar mărimi diferite (unul mic, unul mare) — atunci o latură a celui mic poate fi egală cu o altă latură (necorespondentă) a celui mare, fără ca triunghiurile să fie congruente.

Concluzie. Afirmația devine adevărată dacă precizăm că latura congruentă este cea cuprinsă între cele două unghiuri (atunci este chiar criteriul ULU). Lecția: la geometrie, poziția elementelor schimbă totul.

Exemplul 7 — O congruență care „deblochează” trei concluzii deodată

Enunț. Fie triunghiul isoscel $A B C$ cu $[A B] \equiv [A C]$ . Construim $[A D]$ bisectoarea unghiului $∠ A$ , cu $D \in [B C]$ . Arată că $D$ este mijlocul lui $[B C]$ și că $A D ⊥ B C$ .

Strategia. Compar triunghiurile $△ A B D$ și $△ A C D$ . Adun datele:

$[A B] \equiv [A C]$ (o latură, din ipoteză — triunghiul e isoscel);
$∠ B A D \equiv ∠ D A C$ (un unghi, din ipoteză — $A D$ e bisectoare);
$[A D] \equiv [A D]$ (a doua latură, este latura comună — cadoul!).

Unghiul este chiar între cele două laturi. Tiparul este L-U-L.

Rezolvare. Conform criteriului LUL: $△ A B D \equiv △ A C D .$ Acum vine partea frumoasă — o singură congruență ne dă trei concluzii deodată, citind elementele corespondente:

$[B D] \equiv [D C]$ ⇒ punctul $D$ este mijlocul lui $[B C]$ (deci $A D$ este și mediană).
$∠ A D B \equiv ∠ A D C$ (unghiuri corespondente). Dar aceste două unghiuri sunt suplementare (împreună formează unghiul alungit $∠ B D C = 180°$ ). Două unghiuri congruente care dau împreună $180°$ înseamnă fiecare $90°$ , deci $A D ⊥ B C$ (deci $A D$ este și înălțime).
$∠ A B D \equiv ∠ A C D$ ⇒ unghiurile de la baza triunghiului isoscel sunt congruente.

Concluzie. Într-un triunghi isoscel, bisectoarea din vârf este, în același timp, mediană și înălțime — un rezultat clasic pe care l-am obținut printr-o singură aplicare a metodei triunghiurilor congruente. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Desenează de fiecare dată figura și marchează datele!

Completează: criteriul în care folosim două laturi și unghiul dintre ele se numește ________ .
Completează: criteriul în care folosim trei laturi se numește ________ .
Adevărat sau fals: „Dacă două triunghiuri au două laturi și un unghi respectiv congruente, sunt sigur congruente.”
Adevărat sau fals: „Latura comună a două triunghiuri este congruentă cu ea însăși.”
Încercuiește criteriul potrivit: am $[A B] \equiv [D E]$ , $∠ A \equiv ∠ D$ , $[A C] \equiv [D F]$ . ( LUL / ULU / LLL )
Încercuiește criteriul potrivit: am $∠ B \equiv ∠ E$ , $[B C] \equiv [E F]$ , $∠ C \equiv ∠ F$ . ( LUL / ULU / LLL )
Potrivește fiecare set de date cu criteriul: a) 3 laturi egale — ... b) 2 unghiuri + latura dintre ele — ... c) 2 laturi + unghiul dintre ele — ... (variante: LUL, ULU, LLL)
Fie $O$ mijlocul lui $[A C]$ și al lui $[B D]$ . Ce criteriu folosești pentru $△ A O B \equiv △ C O D$ și de ce este unghiul din $O$ „gratuit”?
În figura unde $M$ este mijlocul lui $[B C]$ și $[A M] ⊥ [B C]$ , scrie cele trei elemente cu care demonstrezi $△ A B M \equiv △ A C M$ și numește criteriul.
Desenează un triunghi $A B C$ și bisectoarea $[A D]$ a unghiului $A$ ( $D \in B C$ ). Dacă, în plus, $[A B] \equiv [A C]$ , ce criteriu folosești pentru $△ A B D \equiv △ A C D$ ? Care este cadoul comun?
Mică problemă: $[A B] \equiv [C D]$ și $A B ∥ C D$ ; $[A C]$ este secantă. Arată că $△ A B C \equiv △ C D A$ și precizează criteriul. (Indiciu: unghiuri alterne interne + latură comună.)
Mică problemă: în patrulaterul $A B C D$ avem $[A B] \equiv [C B]$ și $[A D] \equiv [C D]$ . Trasează diagonala $[B D]$ și demonstrează $∠ A \equiv ∠ C$ .
Adevărat sau fals: „Două triunghiuri dreptunghice cu ipotenuzele egale și câte un unghi ascuțit egal sunt congruente.” Numește criteriul dacă e adevărat.
Scrie corect consecințele: dacă $△ A B C \equiv △ M N P$ , atunci $[B C] \equiv___$ și $∠ A \equiv___$ .
Găsește greșeala: „Am $[A B] \equiv [M N]$ , $[B C] \equiv [N P]$ și $∠ A \equiv ∠ M$ , deci prin LUL triunghiurile sunt congruente.” De ce este raționamentul greșit?
Mică problemă (mai grea): $O$ este punctul de intersecție al diagonalelor unui patrulater $A B C D$ , cu $[O A] \equiv [O B]$ și $[O D] \equiv [O C]$ , iar $∠ A O D \equiv ∠ B O C$ . Arată că $[A D] \equiv [B C]$ .
Mică problemă (mai grea): triunghiul $A B C$ are $[A B] \equiv [A C]$ . Pe $[A B]$ iei punctul $M$ și pe $[A C]$ punctul $N$ astfel încât $[A M] \equiv [A N]$ . Arată că $[B N] \equiv [C M]$ . (Indiciu: compară $△ A B N$ cu $△ A C M$ ; unghiul $A$ este comun.)
Provocare: două triunghiuri au perimetre egale și două laturi respectiv congruente. Sunt ele sigur congruente? Justifică.

Răspunsuri și explicații

LUL (latură-unghi-latură).
LLL (latură-latură-latură).
Fals. Unghiul trebuie să fie între cele două laturi (LUL). Dacă nu este, combinația LLU nu este criteriu.
Adevărat. Orice segment este congruent cu el însuși: $[A D] \equiv [A D]$ . Este „cadoul” laturii comune.
LUL. Unghiul $∠ A$ este cuprins între laturile $[A B]$ și $[A C]$ .
ULU. Latura $[B C]$ este cuprinsă între unghiurile $∠ B$ și $∠ C$ .
a) — LLL; b) — ULU; c) — LUL.
Folosești LUL. Unghiul din $O$ ( $∠ A O B$ și $∠ C O D$ ) este „gratuit” pentru că unghiurile opuse la vârf sunt congruente. Plus $[O A] \equiv [O C]$ și $[O B] \equiv [O D]$ din mijloc.
$[B M] \equiv [C M]$ ( $M$ mijloc), $∠ A M B \equiv ∠ A M C = 90°$ (din $[A M] ⊥ [B C]$ ), $[A M] \equiv [A M]$ (latură comună). Criteriul: LUL (unghiul drept este între cele două laturi).
Criteriul LUL: $[A B] \equiv [A C]$ , $∠ B A D \equiv ∠ D A C$ (din bisectoare), $[A D] \equiv [A D]$ (cadoul = latura comună).
$A B ∥ C D$ , secanta $A C$ ⇒ $∠ B A C \equiv ∠ D C A$ (alterne interne). Avem $[A B] \equiv [C D]$ și $[A C] \equiv [C A]$ (latură comună). Tiparul L-U-L ⇒ prin LUL, $△ A B C \equiv △ C D A$ .
Trasăm $[B D]$ (latură comună). În $△ A B D$ și $△ C B D$ : $[A B] \equiv [C B]$ , $[A D] \equiv [C D]$ , $[B D] \equiv [B D]$ ⇒ prin LLL, $△ A B D \equiv △ C B D$ . De aici $∠ A \equiv ∠ C$ (unghiuri corespondente).
Adevărat. Este criteriul IU (ipotenuză-unghi ascuțit) la triunghiuri dreptunghice.
$[B C] \equiv [N P]$ și $∠ A \equiv ∠ M$ (elemente corespondente, în ordinea vârfurilor $A \leftrightarrow M$ , $B \leftrightarrow N$ , $C \leftrightarrow P$ ).
Greșeala: unghiul $∠ A$ nu este cuprins între laturile $[A B]$ și $[B C]$ (el este lângă $[A B]$ , iar latura $[B C]$ pleacă din $B$ , nu din $A$ ). Deci structura este de fapt LLU, care nu este criteriu de congruență. LUL ar cere unghiul $∠ B$ (cel dintre $[A B]$ și $[B C]$ ).
$∠ A O D \equiv ∠ B O C$ din ipoteză (sau opuse la vârf), $[O A] \equiv [O B]$ , $[O D] \equiv [O C]$ . Atenție la corespondență: în $△ A O D$ și $△ B O C$ , unghiul din $O$ este între $[O A], [O D]$ respectiv $[O B], [O C]$ ⇒ prin LUL, $△ A O D \equiv △ B O C$ , deci $[A D] \equiv [B C]$ .
În $△ A B N$ și $△ A C M$ : $[A B] \equiv [A C]$ (ipoteză), $∠ A$ comun, $[A N] \equiv [A M]$ (ipoteză, $[A M] \equiv [A N]$ ). Tiparul L-U-L ⇒ prin LUL, $△ A B N \equiv △ A C M$ , de unde $[B N] \equiv [C M]$ .
Da, sunt congruente. Dacă două laturi sunt respectiv congruente, atunci suma lor e aceeași; perimetrele fiind egale, rezultă că și a treia latură este egală (perimetru minus suma celor două). Avem deci toate cele trei laturi congruente ⇒ prin LLL, triunghiurile sunt congruente. (Aici raționamentul aritmetic „deblochează” al treilea L.)

De reținut

Alege criteriul după ce numeri câte laturi (L) și câte unghiuri (U) cunoști și unde sunt așezate: LUL, ULU, LLL sau criteriile triunghiului dreptunghic.
Poziția contează: unghiul trebuie să fie între laturi (LUL), latura între unghiuri (ULU). LLU și UUU nu sunt criterii.
Caută cadourile din figură: latură comună, unghiuri opuse la vârf, mijloc de segment, bisectoare, perpendiculare — adesea ele sunt al treilea element.
Scrie congruența în ordinea vârfurilor corespondente, ca să tragi consecințe corecte (metoda triunghiurilor congruente).
O afirmație se dovedește adevărată printr-un raționament general, dar se dovedește falsă cu un singur contraexemplu.

Greșeli frecvente

„Două laturi și un unghi = LUL, mereu.” Fals. Doar dacă unghiul este cuprins între laturi. Altfel ai LLU, care nu garantează congruența.
Ordinea greșită a vârfurilor. Dacă scrii $△ A B C \equiv △ N M P$ în loc de $△ A B C \equiv △ M N P$ , vei „trage” consecințe false. Verifică mereu ce vârf corespunde cu ce vârf.
Uitarea laturii comune. Mulți elevi se blochează pentru că le lipsește al treilea element — care era chiar latura comună, „gratuită”. Marchează-o din primul moment.
Confundarea „aceeași formă” cu „congruente”. Două triunghiuri cu aceleași unghiuri au aceeași formă, dar pot avea mărimi diferite. Congruența cere și mărimea egală (cel puțin o latură corespondentă egală).

Joc acasă

Jocul 1 — Detectivul cadourilor. Ia o foaie și desenează 5 figuri simple (un „X” din două segmente, un triunghi cu bisectoare, două triunghiuri cu o latură comună etc.). Pe fiecare, marchează cu o culoare „cadourile” pe care le vezi: latură comună, unghiuri opuse la vârf, mijloace. Câștigi un punct pentru fiecare cadou descoperit corect. Cere unui părinte să verifice.

Jocul 2 — Cartonașe cu criterii. Fă patru cartonașe: LUL, ULU, LLL, „dreptunghic”. Scrie pe altă foaie 8 seturi de date (de exemplu „2 laturi + unghiul dintre ele”). Amestecă-le și, pe rând, așază fiecare set lângă cartonașul potrivit, la timp (30 de secunde per set). Este un antrenament rapid pentru alegerea criteriului.

Jocul 3 — Adevărat sau fals în familie. Fiecare membru al familiei scrie o afirmație despre triunghiuri (poate fi adevărată sau falsă). Ceilalți trebuie să decidă și să justifice: dacă e falsă, să dea un contraexemplu; dacă e adevărată, să spună ce criteriu o susține. Câștigă cine justifică cele mai multe corect.

Pentru părinți și învățători

Această lecție nu introduce un criteriu nou, ci dezvoltă gândirea strategică: cum alege copilul singur unealta potrivită. De aceea, accentul cade pe proces, nu pe memorare.

Cum să predați. Începeți întotdeauna cu desenul. Cereți copilului să „coloreze datele” pe figură (liniuțe pentru laturi, arce pentru unghiuri) înainte de orice calcul. Acest gest mărunt rezolvă jumătate din probleme. Apoi puneți întrebarea-cheie: „Câte laturi cunoști? Câte unghiuri? Unde sunt așezate?”. Lăsați copilul să numere cu voce tare.

Întrebări bune de pus:

„De ce ai ales LUL și nu LLL aici?”
„Unde este al treilea element — îl ai în ipoteză sau e un cadou din figură?”
„Unghiul tău este chiar între cele două laturi? Arată-mi.”
„Dacă afirmația ar fi falsă, ce contraexemplu ai desena?”

Cum verificați înțelegerea. Dați-i o problemă în care lipsește un element din ipoteză, dar care există ca latură comună. Dacă îl descoperă singur, a înțeles. Un al doilea test: cereți-i să scrie congruența și apoi să spună ce latură corespunde cu ce latură — dacă ordinea vârfurilor este corectă, raționamentul e solid.

Sprijin pentru copilul care se blochează. Reveniți la tabelul de decizie din lecție și la lista de „cadouri”. Blocajele apar aproape mereu pentru că lipsește al treilea element sau pentru că poziția unghiului a fost ignorată. Reamintiți că o congruență demonstrată este o „mașină” care produce automat egalități de segmente și unghiuri — de aici tragem consecințele.

Întrebări frecvente

Cum aleg criteriul de congruență potrivit la clasa a 6-a? Numără mai întâi câte laturi și câte unghiuri congruente cunoști și unde sunt așezate. Două laturi cu unghiul dintre ele înseamnă LUL; două unghiuri cu latura dintre ele înseamnă ULU; trei laturi înseamnă LLL; iar la triunghiuri dreptunghice folosești criteriile speciale cu ipotenuza și cateta.

De ce „două laturi și un unghi” nu este întotdeauna un criteriu? Pentru că unghiul trebuie să fie cuprins între cele două laturi (cazul LUL). Dacă unghiul este lângă o singură latură, ai combinația LLU, care nu garantează congruența — există triunghiuri diferite cu aceleași LLU.

Ce înseamnă „latură comună” și de ce o folosesc atât de des? Latura comună este o latură pe care două triunghiuri o împart. Fiind aceeași, este congruentă cu ea însăși ( $[A D] \equiv [A D]$ ). De multe ori ea este chiar al treilea element de care ai nevoie pentru a aplica un criteriu, deși nu apare scris în ipoteză.

Cum trag consecințe după ce am demonstrat congruența? Folosești faptul că în triunghiuri congruente toate elementele corespondente sunt congruente. Scrii congruența cu vârfurile în ordinea potrivită și apoi citești ce laturi și unghiuri corespund. Așa obții egalități de segmente, de unghiuri sau chiar paralelisme. Aceasta este metoda triunghiurilor congruente.

Cum demonstrez că o afirmație geometrică este falsă? Este de ajuns un singur contraexemplu: o figură concretă în care ipoteza se respectă, dar concluzia nu. Pentru a demonstra că o afirmație este adevărată, ai nevoie, în schimb, de un raționament valabil în toate cazurile.

Care criteriu folosesc la triunghiuri dreptunghice? La triunghiuri dreptunghice ai criterii proprii: ipotenuză-catetă (IC), ipotenuză-unghi ascuțit (IU), catetă-catetă (CC) și catetă-unghi ascuțit (CU). Le folosești deoarece unghiul drept nu este mereu cuprins între laturile pe care le cunoști, deci LUL clasic nu se aplică direct.

De ce contează ordinea literelor când scriu $△ A B C \equiv △ M N P$ ? Pentru că ordinea spune ce vârf corespunde cu ce vârf: $A$ cu $M$ , $B$ cu $N$ , $C$ cu $P$ . Din această corespondență citești ce laturi și ce unghiuri sunt egale. Dacă greșești ordinea, vei trage consecințe false.

Cum mă pregătesc mai bine pentru problemele de congruență? Exersează zilnic câteva figuri, marcând datele și „cadourile” înainte de a calcula. Repetă tabelul de decizie cu criteriile și verifică mereu poziția elementelor. Poți relua și lecțiile despre triunghiuri congruente și elemente corespondente și despre metoda triunghiurilor congruente.