Cum descompun un număr în factori primi?

Lecția pe scurt · clasa a VI-a · Descompunere în factori primi

Împarți numărul pe rând la cele mai mici numere prime care se potrivesc: întâi la $2$ cât se poate, apoi la $3$ , la $5$ , la $7$ și așa mai departe, până când câtul ajunge la $1$ . Factorii obținuți se strâng în puteri, scrise de la primul cel mai mic. Pentru $60$ ies factorii $2$ , $2$ , $3$ și $5$ , deci $60 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5$ . Proba se face înmulțind factorii înapoi, iar rezultatul readuce numărul inițial.

Orice număr natural mai mare ca 1 este prim sau se poate scrie ca produs de numere prime — descompunerea în factori primi. Metoda sigură este algoritmul împărțirilor succesive: împărțim numărul la cel mai mic număr prim posibil (întâi $2$ , apoi $3$ , apoi $5$ , apoi $7$ ...), repetăm cu rezultatul, până ajungem la $1$ . Factorii primi obținuți se strâng sub formă de puteri, scrise în ordine crescătoare.

Exemplu: pentru $60$ obținem prin împărțiri succesive factorii $2, 2, 3, 5$ , deci

$60 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5$

Verificarea se face înmulțind la loc: $4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$ ✓. Capcana tipică: oprirea prea devreme — $60 = 6 \cdot 10$ nu este o descompunere în factori primi, pentru că $6$ și $10$ nu sunt prime; continuă până când toți factorii sunt primi. Descompunerea este unică pentru fiecare număr — e ca o amprentă — și din ea se pot construi toți divizorii numărului, combinând puterile factorilor primi de la exponentul $0$ până la exponentul din descompunere.

De reținut

se împarte pe rând la $2$ , $3$ , $5$ , $7$ … până se ajunge la $1$
factorii repetați se strâng în puteri, cu bazele în ordine crescătoare
proba: produsul factorilor trebuie să dea numărul inițial

Greșeala tipică

Se oprește lucrul la primul produs care iese, de exemplu $72 = 8 \cdot 9$ ; ambii factori mai au divizori, așa că împărțirile continuă până când în produs rămân numai numere prime.

Exerciții din această mini-lecție

Descompunerea în factori primi a numărului $108$ , scrisă sub formă de puteri de numere prime, este:
- a) $2 \cdot 3^{3}$
- b) $2^{2} \cdot 3^{2}$
- c) $2^{2} \cdot 3^{3}$
- d) $2^{3} \cdot 3^{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $2^{2} \cdot 3^{3}$

Prin împărțiri succesive: $108 : 2 = 54$ , $54 : 2 = 27$ , $27 : 3 = 9$ , $9 : 3 = 3$ , $3 : 3 = 1$ . Factorii primi obținuți sunt doi de $2$ și trei de $3$ , deci $108 = 2^{2} \cdot 3^{3}$ . Verificare: $4 \cdot 27 = 108$ ✓.
Un număr $N$ are descompunerea $N = 2 \cdot 3^{2} \cdot 7$ . Care dintre următoarele numere este divizor al lui $N$ ?
- a) $12$
- b) $15$
- c) $21$
- d) $49$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $21$

Un divizor al lui $N$ se construiește doar din cărămizile lui, luate cel mult de câte ori apar în descompunere: $2^{0}$ sau $2^{1}$ , $3^{0}$ sau $3^{1}$ sau $3^{2}$ , $7^{0}$ sau $7^{1}$ . $21 = 3 \cdot 7$ folosește câte o dată din $3$ și $7$ , ambele disponibile în $N$ , deci este divizor ( $N = 2 \cdot 9 \cdot 7 = 126$ și $126 : 21 = 6$ ). $12 = 2^{2} \cdot 3$ ar avea nevoie de doi de $2$ , dar $N$ are doar unul; $15 = 3 \cdot 5$ și $49 = 7^{2}$ folosesc factori (respectiv puteri) care nu apar în $N$ .
Descompunerea în factori primi a numărului $150$ , scrisă sub formă de puteri de numere prime, este:
- a) $2 \cdot 3 \cdot 5^{2}$
- b) $2^{2} \cdot 3 \cdot 5$
- c) $2 \cdot 3^{2} \cdot 5$
- d) $2 \cdot 5^{3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $2 \cdot 3 \cdot 5^{2}$

Prin împărțiri succesive: $150 : 2 = 75$ , $75 : 3 = 25$ , $25 : 5 = 5$ , $5 : 5 = 1$ . Factorii primi obținuți sunt un $2$ , un $3$ și doi de $5$ , deci $150 = 2 \cdot 3 \cdot 5^{2}$ . Verificare: $2 \cdot 3 \cdot 25 = 150$ ✓.

Întrebări conexe

Cum arată descompunerea lui 360 în factori primi?

Împarți succesiv: $360 : 2 = 180$ , $180 : 2 = 90$ , $90 : 2 = 45$ , $45 : 3 = 15$ , $15 : 3 = 5$ , $5 : 5 = 1$ . Ai trei factori de $2$ , doi de $3$ și unul de $5$ , deci $360 = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5$ . Proba se face înmulțind $8 \cdot 9 \cdot 5$ , care dă chiar $360$ .

Ce fac dacă numărul nu se mai împarte la 2, la 3 sau la 5?

Treci la următorul număr prim, adică $7$ , apoi $11$ , $13$ și așa mai departe. Dacă ai ajuns la un cât mai mic decât pătratul primului pe care îl încerci și niciunul nu s-a potrivit, câtul rămas este el însuși prim și se trece direct în descompunere.

De ce iese aceeași descompunere, oricum aș începe?

Fiindcă orice număr are o singură scriere ca produs de numere prime, oricât de diferit ai porni. Pentru 72 poți începe cu $8 \cdot 9$ sau cu $2 \cdot 36$ ; la capăt rămâne tot $2^{3} \cdot 3^{2}$ . Se poate schimba doar ordinea în care scrii factorii.

La ce folosește descompunerea în factori primi când calculez cmmdc?

Descompui ambele numere, apoi iei factorii primi comuni luați cu exponentul cel mai mic. Pentru $24 = 2^{3} \cdot 3$ și $60 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5$ păstrezi $2^{2}$ și $3$ , deci divizorul comun căutat este $12$ . Pentru multiplul comun iei toți factorii cu exponentul cel mai mare.

Cum simplific o fracție folosind descompunerea în factori primi?

Descompui numărătorul și numitorul, apoi tai perechile de factori care apar în amândouă. La $\frac{84}{126}$ ai $2^{2} \cdot 3 \cdot 7$ și $2 \cdot 3^{2} \cdot 7$ ; rămân $2$ sus și $3$ jos, deci fracția devine $\frac{2}{3}$ , care nu se mai poate simplifica.

De ce scrierea $60 = 6 \cdot 10$ nu este o descompunere în factori primi?

Pentru că nici $6$ , nici $10$ nu sunt numere prime: fiecare are divizori în afară de $1$ și de el însuși. Descompunerea se oprește doar când toți factorii sunt primi, așa că trebuie continuat cu $6 = 2 \cdot 3$ și $10 = 2 \cdot 5$ .

Oamenii mai întreabă și: descompunere în factori primi · cum se descompune un număr în factori primi · împărțiri succesive la numere prime · scrierea unui număr ca produs de puteri de numere prime