Fie $$M$$ mijlocul unei coarde $$[AB]$$ dintr-un cerc de centru $$O$$, unde $$[AB]$$ nu este diametru. Ce relație există între $$OM$$ și $$AB$$?

$$OM$$ este perpendicular pe $$AB$$

Nu există nicio legătură anume

Cum aflu lungimea unei coarde?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Diametrul perpendicular pe coardă

Cobori din centru perpendiculara pe coardă; ea cade tocmai la mijlocul ei, așa că se formează un triunghi dreptunghic cu raza drept ipotenuză. De acolo, teorema lui Pitagora dă $r^{2} = d^{2} + (\frac{A B}{2})^{2}$ , unde $d$ este depărtarea de la centru. Într-un cerc de rază 5 cm, o coardă aflată la 3 cm de centru are jumătatea $25 - 9 = 4$ , deci lungimea 8 cm.

Într-un cerc, dacă tragi o rază (sau un diametru) perpendicular pe o coardă $[A B]$ , ea cade exact în mijlocul $M$ al coardei și trece și prin mijloacele celor două arce. De ce? Unind centrul $O$ cu capetele coardei obții mereu un triunghi isoscel $O A B$ (căci $O A = O B = r$ ), iar perpendiculara din vârf este totodată mediană, deci ajunge în mijlocul bazei. Reciproca merge la fel de bine: raza care trece prin mijlocul unei coarde (care nu e ea însăși diametru) este perpendiculară pe ea. De aici apare o formulă foarte folositoare, din teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic centru–mijloc–capăt: $r^{2} = d^{2} + (\frac{A B}{2})^{2}$ , unde $r$ e raza, $d$ distanța de la centru la coardă. Exemplu: într-un cerc de rază $5$ cm, o coardă aflată la $3$ cm de centru are semicoarda $5^{2} - 3^{2} = 4$ cm, deci lungimea coardei este $8$ cm.

De reținut

perpendiculara din centru înjumătățește coarda și arcele ei
$r^{2} = d^{2} + (\frac{A B}{2})^{2}$
reciproc: raza prin mijlocul coardei este perpendiculară pe ea
în formulă intră raza, nu diametrul

Greșeala tipică

Se pune în formulă coarda întreagă, nu jumătatea ei. Cateta triunghiului dreptunghic este jumătate din coardă, fiindcă perpendiculara din centru o taie exact la mijloc.

Exerciții din această mini-lecție

Într-un cerc de rază $13$ cm, o coardă se află la $12$ cm de centru. Cât este lungimea coardei?
- a) $5$ cm
- b) $10$ cm
- c) $12$ cm
- d) $13$ cm
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $10$ cm

Semicoarda este $r^{2} - d^{2} = 1 3^{2} - 1 2^{2} = 169 - 144 = 25 = 5$ cm, deci coarda întreagă are $A B = 2 \cdot 5 = 10$ cm.
Fie $M$ mijlocul unei coarde $[A B]$ dintr-un cerc de centru $O$ , unde $[A B]$ nu este diametru. Ce relație există între $O M$ și $A B$ ?
- a) $O M$ este paralel cu $A B$
- b) $O M$ este perpendicular pe $A B$
- c) $O M$ este egal cu $A B$
- d) Nu există nicio legătură anume
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $O M$ este perpendicular pe $A B$

Aceasta este reciproca teoremei: dreapta care unește centrul cu mijlocul unei coarde (ce nu e diametru) este perpendiculară pe acea coardă, deoarece $O M$ este mediană în triunghiul isoscel $O A B$ , iar mediana din vârf coincide cu înălțimea.
Într-un cerc de rază $10$ cm, o coardă se află la $6$ cm de centru. Cât este lungimea coardei?
- a) $6$ cm
- b) $8$ cm
- c) $16$ cm
- d) $26$ cm
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $16$ cm

Semicoarda este $r^{2} - d^{2} = 1 0^{2} - 6^{2} = 100 - 36 = 64 = 8$ cm, deci coarda întreagă are $2 \cdot 8 = 16$ cm. Varianta (b) este doar semicoarda, uitată nedublată.

Întrebări conexe

De ce triunghiul format de două raze și o coardă este isoscel?

Fiindcă cele două raze au aceeași lungime, oricare ar fi punctele alese pe cerc. Coarda le este bază, iar perpendiculara coborâtă din centru joacă totodată rolul de mediană, deci atinge coarda chiar la mijloc.

Cum aflu distanța de la centru la o coardă de 24 cm într-un cerc de rază 13?

Iei jumătate din coardă, adică 12, și o pui în relația cu raza: $1 3^{2} - 1 2^{2} = 25$ , deci depărtarea este 5 cm. Aceeași formulă merge în ambele sensuri, după cum îți dă enunțul datele.

Ce se întâmplă dacă perpendiculara nu pleacă din centru?

Atunci nu mai taie coarda la mijloc și proprietatea nu se aplică. Există o singură dreaptă perpendiculară pe coardă care o înjumătățește, iar aceea trece obligatoriu prin centru. De aceea în enunțuri se spune mereu din centru.

Ce lungime are coarda dacă distanța până la centru este zero?

Este chiar diametrul, adică dublul razei, fiindcă trece prin centru. Din formulă, cu depărtarea zero, jumătatea coardei devine egală cu raza. Diametrul rămâne astfel cea mai lungă coardă a cercului.

Prin ce puncte ale arcelor trece perpendiculara din centru?

Prin mijloacele amândurora, atât al arcului mic, cât și al arcului mare. Dreapta aceasta este axă de simetrie pentru toată figura, așa că împarte în părți egale și coarda, și arcele pe care ea le desparte.

Cum apare teorema într-o problemă cu un tunel semicircular?

Lățimea tunelului la o anumită înălțime este chiar o coardă, iar înălțimea măsurată de la centru este depărtarea. Din rază și una dintre ele o afli pe cealaltă, ceea ce spune dacă un camion de o anumită lățime trece pe acolo.

Oamenii mai întreabă și: lungimea unei coarde · diametrul perpendicular pe o coardă · distanța de la centru la coardă · formula coardei cu raza · semicoardă