Ce unghi face diagonala cubului cu baza?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Distanțe și unghiuri în corpuri

Diagonala corpului se sprijină pe diagonala bazei, care este proiecția ei, iar unghiul dintre ele se citește într-un triunghi dreptunghic cu cateta verticală egală cu înălțimea. La cub tangenta acestui unghi iese $\frac{a}{a 2} = \frac{2}{2}$ , așadar aproximativ $3 5^{\circ}$ , indiferent cât de mare este muchia. La un paralelipiped oarecare raportul devine $\frac{h}{L ^{2} + l ^{2}}$ și depinde de dimensiuni.

Ideea centrală: orice distanță sau unghi din interiorul unui cub sau paralelipiped se află găsind triunghiul dreptunghic potrivit, format prin proiectarea punctelor de sus pe planul bazei. Muchia laterală (de exemplu $C C^{'}$ ) este perpendiculară pe bază, deci perpendiculară pe orice dreaptă din bază care pornește din același vârf. Astfel, proiecția diagonalei corpului $A C^{'}$ pe bază este diagonala bazei $A C$ , iar unghiul dintre ele, $α$ , se află din triunghiul dreptunghic $A C C^{'}$ (dreptunghic în $C$ ): $tg α = \frac{C C ^{'}}{C A} = \frac{h}{L ^{2} + l ^{2}}$ . Tot din același desen, distanța de la un vârf la o muchie verticală opusă este chiar diagonala bazei, iar distanța de la un vârf la o diagonală a bazei se află cu teorema celor trei perpendiculare. Exemplu: la un cub cu muchia $a = 6$ cm, diagonala bazei este $62$ cm, iar $tg α = \frac{6}{6 2} = \frac{2}{2}$ — același raport pentru orice cub, indiferent de mărimea muchiei.

De reținut

proiecția diagonalei corpului pe bază = diagonala bazei
la cub $tg α = \frac{2}{2}$
muchia laterală este perpendiculară pe planul bazei

Greșeala tipică

Se măsoară unghiul între diagonala corpului și o muchie a bazei, nu între ea și proiecția ei. Unghiul dintre o dreaptă și un plan se ia întotdeauna față de proiecția dreptei pe acel plan.

Exerciții din această mini-lecție

Un cub $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ are muchia $a = 10$ cm. Cât este $tg α$ , unde $α$ este unghiul dintre diagonala corpului $A C^{'}$ și planul bazei?
- a) $\frac{2}{2}$
- b) $1$
- c) $\frac{3}{2}$
- d) $2$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{2}{2}$

În triunghiul dreptunghic $A C C^{'}$ (dreptunghic în $C$ ), $tg α = \frac{C C ^{'}}{C A} = \frac{a}{a 2} = \frac{2}{2}$ . Acest raport nu depinde de valoarea lui $a$ — este mereu același pentru orice cub.
Un paralelipiped dreptunghic $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ are baza un dreptunghi $5$ cm $\times$ $12$ cm. Care este distanța de la vârful $A$ la muchia verticală $C C^{'}$ ?
- a) $13$ cm
- b) $17$ cm
- c) $7$ cm
- d) $60$ cm
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $13$ cm

Muchia $C C^{'}$ este perpendiculară pe bază, deci perpendiculară pe $A C$ ; piciorul perpendicularei din $A$ este chiar $C$ . Distanța cerută este diagonala bazei: $A C = 5^{2} + 1 2^{2} = 25 + 144 = 169 = 13$ cm.
Un paralelipiped dreptunghic $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ are baza un dreptunghi $8$ cm $\times$ $15$ cm. Care este distanța de la vârful $A$ la muchia verticală $C C^{'}$ ?
- a) $23$ cm
- b) $17$ cm
- c) $7$ cm
- d) $27$ cm
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $17$ cm

Muchia $C C^{'}$ este perpendiculară pe bază, deci distanța de la $A$ la $C C^{'}$ este chiar diagonala bazei: $A C = 8^{2} + 1 5^{2} = 64 + 225 = 289 = 17$ cm.

Întrebări conexe

Ce unghi face diagonala unei fețe cu muchia de jos?

Unul a cărui tangentă este raportul dintre cele două dimensiuni ale feței. La o față pătrată iese exact $45°$ , fiindcă laturile sunt egale. La o față dreptunghiulară unghiul se abate de la $45°$ în partea laturii mai lungi.

Cum aflu distanța dintre două vârfuri opuse ale unei cutii?

Este lungimea diagonalei corpului, care se calculează cu radicalul din suma pătratelor celor trei dimensiuni. Pentru o cutie de $3$ , $4$ și $12$ cm iese $13$ cm. Formula este prelungirea în spațiu a teoremei lui Pitagora, aplicată de două ori.

Ce raport trigonometric aleg când am cateta verticală și pe cea din bază?

Alegi tangenta, fiindcă ea leagă cele două catete între ele. Dacă ai și ipotenuza, adică diagonala corpului, poți folosi sinusul sau cosinusul. Regula simplă: alegi funcția în care intră mărimile pe care le cunoști.

Ce unghi face diagonala cutiei cu o muchie verticală?

Se lucrează în triunghiul dreptunghic format din diagonala corpului, muchia verticală și diagonala bazei. Muchia este cateta alăturată, iar diagonala bazei cea opusă, deci tangenta unghiului este raportul dintre diagonala bazei și înălțime.

De ce unghiul diagonalei cubului cu baza nu depinde de mărimea muchiei?

Pentru că în raportul dintre înălțime și diagonala bazei muchia se simplifică. Rămâne un număr fix, $\frac{2}{2}$ , la fel pentru un cub de un centimetru și pentru unul de un metru. Toate cuburile au aceeași formă, doar dimensiunea diferă.

Cum desenez corect triunghiul de lucru într-o astfel de problemă?

Trasezi diagonala bazei, ridici muchia verticală din capătul ei și unești vârfurile rămase. Marchezi unghiul drept jos și scrii pe fiecare latură mărimea cunoscută. Un desen curat rezolvă jumătate din problemă.

Oamenii mai întreabă și: unghiul diagonalei cubului cu baza · unghiul dintre diagonala corpului și bază · distanțe în interiorul cubului · unghiuri în paralelipiped · proiecția diagonalei pe baza cubului