Care este mulțimea tuturor divizorilor numărului 33?

$$D_{33} = \{1,\ 3,\ 11,\ 33\}$$

$$D_{33} = \{1,\ 3,\ 9,\ 33\}$$

$$D_{33} = \{1,\ 3,\ 11,\ 22,\ 33\}$$

Care este mulțimea tuturor divizorilor numărului 28?

$$D_{28} = \{1,\ 2,\ 4,\ 7,\ 14,\ 28\}$$

$$D_{28} = \{1,\ 2,\ 7,\ 14,\ 28\}$$

$$D_{28} = \{1,\ 2,\ 4,\ 14,\ 28\}$$

$$D_{28} = \{1,\ 2,\ 4,\ 7,\ 28\}$$

Cum aflu cmmdc a două numere?

Lecția pe scurt · clasa a V-a · Divizori comuni și cmmdc prin enumerare

Scrii toți divizorii primului număr, apoi pe toți ai celui de-al doilea, compari listele și alegi numărul comun cu valoarea maximă. Pentru 16 divizorii sunt 1, 2, 4, 8 și 16, iar pentru 24 sunt 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 și 24. Comuni ies 1, 2, 4 și 8, deci cel mai mare divizor comun este 8. Numărul 1 apare mereu în ambele liste, așa că lista comună nu rămâne niciodată goală.

Un număr d este divizor comun al numerelor $a$ și $b$ dacă $d$ îl divide exact pe fiecare dintre ele. Cel mai mare divizor comun (cmmdc) este, dintre toți acești divizori comuni, cel mai mare.

Metoda prin enumerare are 3 pași:

Scrii toți divizorii primului număr (folosind trucul perechilor: $1 \cdot n$ , $2 \cdot \dots$ , până se întâlnesc la mijloc).
Scrii toți divizorii celui de-al doilea număr.
Compari listele și alegi cel mai mare număr comun.

Exemplu: $D_{16} = {1, 2, 4, 8, 16}$ , $D_{24} = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}$ . Comuni: 1, 2, 4, 8. Cel mai mare este 8, deci $cmmdc (16, 24) = 8$ .

Reguli utile: 1 este mereu divizor comun; dacă un număr îl divide pe celălalt, cmmdc este numărul mai mic; dacă $cmmdc = 1$ , numerele sunt prime între ele.

De reținut

scrii divizorii fiecărui număr, apoi alegi cel mai mare număr comun
1 este divizor comun al oricăror două numere
când unul dintre numere intră exact în celălalt, cmmdc este cel mic

Greșeala tipică

Se alege primul număr comun găsit în cele două liste, adică 1 sau 2, în loc de cel mai mare. Parcurge listele până la capăt și ia valoarea maximă dintre cele comune.

Exerciții din această mini-lecție

Care este mulțimea tuturor divizorilor numărului 33?
- a) $D_{33} = {1, 3, 11, 33}$
- b) $D_{33} = {1, 3, 9, 33}$
- c) $D_{33} = {1, 11, 33}$
- d) $D_{33} = {1, 3, 11, 22, 33}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $D_{33} = {1, 3, 11, 33}$

Folosim trucul perechilor: $1 \cdot 33 = 33$ , $3 \cdot 11 = 33$ . Verificăm 2, 4–10: niciunul nu divide exact pe 33. Perechile se opresc la 3 și 11 (nu mai există alt divizor între ele). Așadar $D_{33} = {1, 3, 11, 33}$ — varianta a.
O florăreasă are 35 de trandafiri albi și 49 de trandafiri roșii. Vrea să facă buchete identice (același număr de trandafiri albi și același număr de trandafiri roșii în fiecare), folosind toate florile. Care este numărul maxim de buchete pe care le poate forma?
- a) 5 buchete
- b) 7 buchete
- c) 35 buchete
- d) 49 buchete
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) 7 buchete

Numărul maxim de buchete egale, fără flori rămase, este $cmmdc (35, 49)$ . $D_{35} = {1, 5, 7, 35}$ , $D_{49} = {1, 7, 49}$ . Singurii divizori comuni sunt 1 și 7, iar cel mai mare este 7. Deci florăreasa poate forma cel mult 7 buchete, fiecare cu $35 : 7 = 5$ trandafiri albi și $49 : 7 = 7$ trandafiri roșii — varianta b.
Care este mulțimea tuturor divizorilor numărului 28?
- a) $D_{28} = {1, 2, 4, 7, 14, 28}$
- b) $D_{28} = {1, 2, 7, 14, 28}$
- c) $D_{28} = {1, 2, 4, 14, 28}$
- d) $D_{28} = {1, 2, 4, 7, 28}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $D_{28} = {1, 2, 4, 7, 14, 28}$

Folosim trucul perechilor: $1 \cdot 28 = 28$ , $2 \cdot 14 = 28$ , $4 \cdot 7 = 28$ . Verificăm 3, 5, 6: niciunul nu divide exact pe 28. Perechile se opresc la 4 și 7 (se întâlnesc la mijloc). Așadar $D_{28} = {1, 2, 4, 7, 14, 28}$ — varianta a.

Întrebări conexe

Cum aflu divizorii comuni ai lui 12 și 18?

Divizorii lui 12 sunt 1, 2, 3, 4, 6 și 12, iar ai lui 18 sunt 1, 2, 3, 6, 9 și 18. Comuni ambelor liste ies 1, 2, 3 și 6. Cel mai mare dintre ei, adică 6, este cmmdc-ul căutat.

Cum aflu cmmdc a trei numere?

Scrii cele trei liste de divizori și cauți numerele care apar în toate, nu doar în două. Poți proceda și în doi pași: afli întâi cmmdc-ul primelor două, apoi pe cel dintre rezultat și al treilea număr.

Ce plăci pătrate identice acoperă o cameră de 24 pe 36?

Latura plăcii trebuie să fie divizor comun al ambelor dimensiuni. Cel mai mare divizor comun al lui 24 și 36 este 12, deci plăcile cele mai mari care se potrivesc fără tăiere au latura de 12.

Cmmdc și cmmmc pot fi egale?

Da, atunci când cele două numere sunt identice. Pentru 6 și 6 ambele ies tot 6. În rest cmmdc-ul nu trece de numărul mic, iar cmmmc-ul ajunge cel puțin cât numărul mare, deci cele două valori rămân diferite. La 16 și 48 iese cmmdc 16 și cmmmc 48.

Ce înseamnă că 8 este divizor comun, dar nu cel mai mare?

Ar însemna că mai există un divizor comun peste 8. La perechea 16 și 24 asta nu se întâmplă, dar la 16 și 48 divizorul 8 este întrecut de 16. De aceea nu te oprești la primul divizor comun găsit.

Cum verific rezultatul obținut pentru cmmdc?

Împarți fiecare număr la valoarea găsită și ambele împărțiri trebuie să iasă fără rest. Apoi verifici că împărțind cele două rezultate obținute nu mai rămâne niciun divizor comun peste 1.

Oamenii mai întreabă și: cmmdc prin enumerare · cel mai mare divizor comun · cum calculez cmmdc · divizori comuni a două numere