Cum rezolv o ecuație cu x la pătrat?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Discuția ecuației x² = a

Izolezi pătratul, apoi te uiți la numărul rămas de partea cealaltă. Dacă este pozitiv, ies două soluții opuse, $x = a$ și $x = - a$ , fiindcă un număr și opusul lui au același pătrat. Din $x^{2} = 25$ ies 5 și $- 5$ . Dacă numărul este zero, soluția este una singură, chiar zero. Dacă este negativ, nu există nicio soluție reală, pentru că un pătrat nu coboară sub zero.

Ecuația $x^{2} = a$ se rezolvă în funcție de semnul lui $a$ , pentru că pătratul oricărui număr real este mereu $\geq 0$ .

Dacă $a > 0$ , ecuația are două soluții: $x = a$ și $x = - a$ (pe scurt $x = \pm a$ ), pentru că și un număr, și opusul lui dau același pătrat.
Dacă $a = 0$ , există o singură soluție: $x = 0$ .
Dacă $a < 0$ , ecuația nu are soluții reale, fiindcă un pătrat nu poate fi negativ.

Exemplu: $x^{2} = 25 \Rightarrow x = 5$ sau $x = - 5$ , pentru că $5^{2} = 25$ și $(- 5)^{2} = 25$ .

Dacă ecuația nu e dată direct sub forma $x^{2} = a$ , mai întâi izolezi $x^{2}$ (muți termenii, împarți la coeficient) și abia apoi aplici discuția. La probleme cu lungimi, păstrezi doar soluția pozitivă.

De reținut

$a > 0$ : două soluții, $x = \pm a$
$a = 0$ : o soluție, $x = 0$
$a < 0$ : nicio soluție reală
$a$ înseamnă doar valoarea pozitivă

Greșeala tipică

Se scrie o singură soluție când numărul din dreapta este pozitiv. Ecuația $x^{2} = 25$ are două soluții, 5 și $- 5$ , fiindcă amândouă ridicate la pătrat dau același rezultat.

Exerciții din această mini-lecție

Care sunt soluțiile reale ale ecuației $x^{2} = 64$ ?
- a) $x = 8$
- b) $x = 8$ sau $x = - 8$
- c) $x = - 8$
- d) nu are soluții reale
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $x = 8$ sau $x = - 8$

Cum $64 > 0$ , ecuația are două soluții: $8^{2} = 64$ și $(- 8)^{2} = 64$ , deci $x = 8$ sau $x = - 8$ . Varianta (a) uită soluția negativă.
Câte soluții reale are ecuația $x^{2} + 12 = 5$ ?
- a) o soluție
- b) două soluții
- c) nicio soluție reală
- d) infinit de multe soluții
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) nicio soluție reală

Izolăm: $x^{2} = 5 - 12 = - 7$ . Cum membrul drept este negativ, iar $x^{2} \geq 0$ pentru orice număr real, ecuația nu are nicio soluție reală.
Care sunt soluțiile reale ale ecuației $x^{2} = 121$ ?
- a) $x = 11$
- b) $x = 11$ sau $x = - 11$
- c) $x = - 11$
- d) nu are soluții reale
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $x = 11$ sau $x = - 11$

Cum $121 > 0$ , ecuația are două soluții: $1 1^{2} = 121$ și $(- 11)^{2} = 121$ , deci $x = 11$ sau $x = - 11$ . Varianta (a) uită soluția negativă.

Întrebări conexe

Cât este x dacă x la pătrat este 25?

Sunt două valori, 5 și $- 5$ , fiindcă amândouă ridicate la pătrat dau 25. Scrierea prescurtată este $x = \pm 5$ . Uitarea celei negative este greșeala cea mai des întâlnită la acest tip de ecuație.

Câte soluții are ecuația cu x la pătrat egal zero?

Una singură, anume zero, fiindcă doar el are pătratul nul. Aici cele două soluții obișnuite se suprapun, opusul lui zero fiind tot zero. Este singura situație cu exact o soluție la acest fel de ecuație.

Cum rezolv o ecuație de forma x minus 3, totul la pătrat, egal 16?

Tratezi paranteza ca pe o singură necunoscută: ea poate fi 4 sau $- 4$ . Din $x - 3 = 4$ iese $x = 7$ , iar din $x - 3 = - 4$ iese $x = - 1$ . Ambele valori se verifică în scrierea de la început.

Ce legătură are ecuația cu x la pătrat cu teorema lui Pitagora?

Teorema dă tocmai pătratul unei laturi, iar aflarea laturii cere rezolvarea unei asemenea ecuații. Acolo se păstrează numai valoarea pozitivă, fiindcă o lungime nu poate fi negativă, iar cealaltă soluție se lasă deoparte cu o explicație.

De ce pătratul unui număr nu poate fi negativ?

Fiindcă înmulțind un număr cu el însuși, cele două semne sunt la fel: plus cu plus dă plus, iar minus cu minus dă tot plus. Rămâne doar zero înmulțit cu zero, care dă zero. Așadar rezultatul este mereu pozitiv sau nul.

Ce număr este egal cu propriul lui pătrat?

Zero și unu. La zero, $0 \cdot 0$ dă tot zero, iar la unu, $1 \cdot 1$ dă unu. Orice alt număr se schimbă prin ridicare la pătrat: cele mai mari decât unu cresc, iar cele dintre zero și unu scad.

Oamenii mai întreabă și: ecuația x la pătrat egal a · câte soluții are x la pătrat egal 25 · ecuație cu pătrat · plus minus radical din a · x pătrat egal număr negativ