Ecuații cu numere raționale

Ai învățat deja să aduni, să scazi, să înmulțești și să împarți numere raționale. Acum vine partea cu adevărat interesantă: să descoperi un număr ascuns. O ecuație este ca o balanță în echilibru, în care unul dintre numere s-a deghizat sub forma literei x. Misiunea ta este să-l demaschezi. În această lecție vei învăța să rezolvi ecuații cu numere raționale de tipurile x + a = b, x · a = b, x : a = b și ax + b = c, folosind două metode clare și sigure. La final vei putea verifica singur dacă răspunsul tău este corect, prin probă.

Ce vei învăța

Vei ști să recunoști tipul unei ecuații cu numere raționale (x + a = b, x · a = b, x : a = b, ax + b = c).
Vei ști să rezolvi fiecare tip de ecuație prin metoda mersului invers și prin metoda balanței.
Vei ști să faci proba unei ecuații, înlocuind soluția găsită.
Vei ști să scrii corect mulțimea soluțiilor, de exemplu S = {−3/4}.
Vei ști să redactezi îngrijit, pas cu pas, rezolvarea unei ecuații.

Hai să descoperim împreună

Ce este, de fapt, o ecuație?

Imaginează-ți o balanță cu două talere, perfect echilibrată. Pe talerul din stânga și pe talerul din dreapta greutatea este exact aceeași — de aceea brațul balanței stă orizontal. Semnul „egal” (=) dintr-o ecuație este chiar acel braț orizontal: el ne spune că partea stângă valorează exact cât partea dreaptă.

O ecuație este o egalitate în care apare un număr necunoscut, notat de obicei cu litera x (dar poate fi și y, a, n — orice literă). A rezolva ecuația înseamnă a afla ce valoare trebuie să aibă x pentru ca egalitatea să fie adevărată. Acea valoare se numește soluția ecuației.

Hai să fixăm câțiva termeni pe care îi vom folosi mereu:

Necunoscuta este litera, de obicei x.
Membrul stâng este tot ce se află în stânga semnului „=".
Membrul drept este tot ce se află în dreapta semnului „=".
Soluția este numărul care, pus în locul lui x, transformă ecuația într-o egalitate adevărată.
Mulțimea soluțiilor se notează cu S și conține toate soluțiile. De cele mai multe ori ea are un singur element, de exemplu S = {2/3}.

De ce „cu numere raționale"?

Până acum, la clasa a V-a, ai rezolvat ecuații cu numere naturale. La numerele întregi (vezi lecția Ecuații în mulțimea numerelor întregi) ai adăugat numerele negative. Acum lucrăm în mulțimea ℚ a numerelor raționale, adică folosim și fracții, și numere zecimale, și numere pozitive sau negative. Tehnica de rezolvare rămâne exact aceeași — se schimbă doar tipul de calcule, care vor fi cu fracții și cu reguli de semn. Tocmai de aceea e bine să ai la îndemână cele învățate la adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea numerelor raționale.

Ideea de aur: „desfacem" ce s-a făcut cu x

Gândește-te la x ca la un cadou împachetat. Cineva a luat numărul nostru și „a făcut ceva" cu el: i-a adunat ceva, l-a înmulțit cu ceva, l-a împărțit. Ca să aflăm cadoul, trebuie să desfacem ambalajul în ordine inversă, folosind de fiecare dată operația opusă:

Opusul adunării este scăderea.
Opusul scăderii este adunarea.
Opusul înmulțirii este împărțirea.
Opusul împărțirii este înmulțirea.

Aceasta se numește metoda mersului invers. Este ca atunci când îți pui pantofii și apoi șosetele — glumesc, invers: dimineața pui întâi șosetele, apoi pantofii; seara îi dai jos în ordine inversă, întâi pantofii, apoi șosetele. La fel facem și cu x.

Hai cu încă o analogie, ca să rămână bine fixată ideea. Imaginează-ți o cutie de cadou în mai multe ambalaje. Persoana care a împachetat cadoul a făcut, pe rând: a pus cadoul (acela e x), l-a băgat într-o cutie (înmulțire cu a), apoi a legat o fundă pe deasupra (adunare cu b). Tu, când îl primești, întâi tai funda, apoi scoți cutia. Adică desfaci în ordine inversă. Exact așa procedăm cu ecuația ax + b = c.

Tipul 1: ecuația `x + a = b`

Aici, lui x i s-a adunat numărul a. Ca să-l eliberăm pe x, scădem pe a din ambii membri. Operația opusă adunării este scăderea.

Exemplu: x + 3/5 = 9/5. I s-a adunat 3/5, deci scădem 3/5:

x = 9/5 − 3/5 = 6/5.

Foarte simplu. Și dacă ecuația e de tipul x − a = b (adică i s-a scăzut un număr), facem opusul scăderii, adică adunăm: x = b + a.

Tipul 2: ecuația `x · a = b` (cu a ≠ 0)

Aici, x a fost înmulțit cu numărul a. Ca să-l eliberăm, facem operația opusă: împărțim ambii membri la a.

Exemplu: x · 4 = 2/3. Împărțim la 4: x = (2/3) : 4 = 2/12 = 1/6.

Există un truc foarte util cu fracțiile: a împărți la un număr este același lucru cu a înmulți cu inversul lui (răsturnatul lui). De exemplu, a împărți la 2/3 înseamnă a înmulți cu 3/2. Vom folosi des această idee, mai ales când a este o fracție.

Tipul 3: ecuația `x : a = b` (cu a ≠ 0)

Aici, x a fost împărțit la numărul a. Operația opusă împărțirii este înmulțirea, deci înmulțim ambii membri cu a.

Exemplu: x : 5 = 3/10. Înmulțim cu 5: x = (3/10) · 5 = 15/10 = 3/2.

Tipul 4: ecuația `ax + b = c` (în doi pași)

Aceasta este vedeta lecției. Aici asupra lui x s-au făcut două operații: întâi a fost înmulțit cu a, apoi i s-a adunat b. Ca să-l descoperim, desfacem ambalajul în ordine inversă:

Întâi scăpăm de „+ b" (operația care s-a făcut ultima), scăzând b din ambii membri. Rămâne ax = c − b.
Apoi scăpăm de „· a", împărțind ambii membri la a. Obținem x = (c − b) : a.

Exemplu: 2x + 1/2 = 7/2.

Pasul 1 (scădem 1/2): 2x = 7/2 − 1/2 = 6/2 = 3.
Pasul 2 (împărțim la 2): x = 3 : 2 = 3/2.

Metoda balanței — aceeași idee, scrisă elegant

Metoda balanței este sora mai îngrijită a mersului invers. Regula de aur a balanței: ce faci cu un membru, faci și cu celălalt. Dacă scazi 1/2 din stânga, trebuie să scazi 1/2 și din dreapta, altfel balanța se dezechilibrează.

Cele două proprietăți pe care se sprijină metoda balanței sunt:

Putem aduna sau scădea același număr la ambii membri ai ecuației — egalitatea se păstrează.
Putem înmulți sau împărți ambii membri cu același număr nenul — egalitatea se păstrează.

Hai să rezolvăm 2x + 1/2 = 7/2 cu metoda balanței, scriind frumos pe coloane:

2x + 1/2 = 7/2      | − 1/2   (scădem 1/2 din ambii membri)
2x       = 7/2 − 1/2
2x       = 3
x        = 3 : 2     | : 2     (împărțim ambii membri la 2)
x        = 3/2

Vezi? Exact aceleași calcule ca la mersul invers, doar că notăm lângă bară (|) ce operație facem. Profesorii apreciază această scriere fiindcă se vede clar fiecare pas. Tu poți folosi oricare dintre metode — duc la același rezultat.

Proba — paznicul care îți confirmă răspunsul

Cum știi că nu ai greșit? Faci proba: iei soluția găsită și o înlocuiești în ecuația de la început, în locul lui x. Dacă membrul stâng iese egal cu membrul drept, soluția e corectă. Dacă nu, undeva e o greșeală și o cauți.

Pentru x = 3/2 în ecuația 2x + 1/2 = 7/2:

2 · (3/2) + 1/2 = 3 + 1/2 = 6/2 + 1/2 = 7/2. ✓

Membrul stâng a ieșit 7/2, exact cât membrul drept. Proba reușește, deci S = {3/2}.

Regula mea preferată: la o ecuație, niciodată nu termini fără probă. E ca centura de siguranță: te costă câteva secunde, dar te scapă de erori.

Cum scriem mulțimea soluțiilor

După ce ai aflat și ai verificat soluția, scrii mulțimea soluțiilor între acolade:

O soluție: S = {3/2}.
Dacă o ecuație nu are nicio soluție (lucru rar la nivelul nostru), scriem S = ∅ (mulțimea vidă).

La acest capitol, ecuațiile noastre au întotdeauna o singură soluție.

Un mic sfat de aur cu fracțiile

Când ai fracții urâte, te poți ajuta amplificând cu numitorul comun ca să le faci să dispară — dar la clasa a VI-a, cel mai sigur e să lucrezi pas cu pas, aducând fracțiile la același numitor când aduni sau scazi. Și nu uita: la final, simplifică rezultatul, ca să dai o fracție ireductibilă (vezi fracții ireductibile).

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — tipul `x + a = b` (cu fracții)

Rezolvă: x + 3/4 = 1/2.

Lui x i s-a adunat 3/4, deci scădem 3/4 din ambii membri:

x = 1/2 − 3/4.

Aducem la același numitor (4): 1/2 = 2/4. Deci:

x = 2/4 − 3/4 = −1/4.

Proba: −1/4 + 3/4 = 2/4 = 1/2. ✓ Corect.

Răspuns: S = {−1/4}.

Exemplul 2 — tipul `x − a = b` (cu numere negative)

Rezolvă: x − 2/3 = −5/6.

Lui x i s-a scăzut 2/3; facem opusul, adică adunăm 2/3:

x = −5/6 + 2/3.

Aducem la numitor comun 6: 2/3 = 4/6. Deci:

x = −5/6 + 4/6 = −1/6.

Proba: −1/6 − 2/3 = −1/6 − 4/6 = −5/6. ✓ Corect.

Răspuns: S = {−1/6}.

Exemplul 3 — tipul `x · a = b` (împărțim la o fracție = înmulțim cu inversul)

Rezolvă: (3/5) · x = 9/10.

x a fost înmulțit cu 3/5; facem opusul, adică împărțim la 3/5, ceea ce înseamnă să înmulțim cu inversul 5/3:

x = (9/10) : (3/5) = (9/10) · (5/3).

Simplificăm înainte de a înmulți: 9 cu 3 dă 3, iar 5 cu 10 dă 2:

x = (3 · 1)/(2 · 1) = 3/2.

Hai și pe pași mărunți, ca să fim siguri: (9 · 5)/(10 · 3) = 45/30 = 3/2.

Proba: (3/5) · (3/2) = 9/10. ✓ Corect.

Răspuns: S = {3/2}.

Exemplul 4 — tipul `x : a = b`

Rezolvă: x : (−2/7) = 3/14.

x a fost împărțit la −2/7; facem opusul, adică înmulțim cu −2/7:

x = (3/14) · (−2/7).

Înmulțim: (3 · (−2))/(14 · 7) = −6/98. Simplificăm cu 2: −6/98 = −3/49.

Proba: (−3/49) : (−2/7) = (−3/49) · (7/−2) = (−3 · 7)/(49 · (−2)) = −21/−98 = 21/98 = 3/14. ✓ Corect. (Minus împărțit la minus dă plus.)

Răspuns: S = {−3/49}.

Exemplul 5 — tipul `ax + b = c` (vedeta, în doi pași)

Rezolvă: 3x − 1/2 = 5/2.

Pasul 1 — scăpăm de „− 1/2", deci adunăm 1/2 în ambii membri:

3x = 5/2 + 1/2 = 6/2 = 3.

Pasul 2 — scăpăm de „· 3", deci împărțim ambii membri la 3:

x = 3 : 3 = 1.

Proba: 3 · 1 − 1/2 = 3 − 1/2 = 6/2 − 1/2 = 5/2. ✓ Corect.

Răspuns: S = {1}.

Exemplul 6 — tipul `ax + b = c` cu coeficient fracționar și soluție negativă

Rezolvă: (2/3)x + 1/6 = −1/2.

Pasul 1 — scădem 1/6 din ambii membri:

(2/3)x = −1/2 − 1/6.

Numitor comun 6: −1/2 = −3/6, deci (2/3)x = −3/6 − 1/6 = −4/6 = −2/3.

Pasul 2 — x este înmulțit cu 2/3; împărțim la 2/3, adică înmulțim cu 3/2:

x = (−2/3) · (3/2) = −6/6 = −1.

Proba: (2/3) · (−1) + 1/6 = −2/3 + 1/6. Numitor comun 6: −4/6 + 1/6 = −3/6 = −1/2. ✓ Corect.

Răspuns: S = {−1}.

Exemplul 7 — cu numere zecimale

Rezolvă: 1,5x − 0,2 = 0,7.

Numerele zecimale sunt tot numere raționale, deci metoda e aceeași. Pasul 1 — adunăm 0,2 în ambii membri:

1,5x = 0,7 + 0,2 = 0,9.

Pasul 2 — împărțim ambii membri la 1,5:

x = 0,9 : 1,5 = 0,6.

Dacă vrei să verifici împărțirea, transform-o în fracții: 0,9 : 1,5 = 9/10 : 15/10 = 9/15 = 3/5 = 0,6.

Proba: 1,5 · 0,6 − 0,2 = 0,9 − 0,2 = 0,7. ✓ Corect.

Răspuns: S = {0,6} (adică 3/5).

Exemplul 8 — necunoscuta apare cu altă literă

Rezolvă: y : (−3/4) = 8/9.

Nu te speria că litera e y în loc de x — regulile sunt identice. y a fost împărțit la −3/4; facem opusul, înmulțim cu −3/4:

y = (8/9) · (−3/4).

Simplificăm: 8 cu 4 dă 2, iar 3 cu 9 dă 3:

y = (2 · (−1))/(3 · 1) = −2/3.

Proba: (−2/3) : (−3/4) = (−2/3) · (4/−3) = −8/−9 = 8/9. ✓ Corect.

Răspuns: S = {−2/3}.

Să exersăm

Rezolvă fiecare ecuație și fă proba. Scrie de fiecare dată mulțimea soluțiilor S. Exercițiile sunt așezate de la ușor la greu.

1. x + 1/5 = 4/5

2. x − 3/8 = 1/8

3. x + 2/3 = 1 (atenție: scrie 1 = 3/3)

4. x − 1/2 = −3/2

5. 5 · x = 2/3

6. x : 4 = 3/8

7. (2/5) · x = 6/25

8. x : (1/3) = 2/9

9. 2x + 1/4 = 9/4

10. 3x − 1/5 = 7/5

11. Completează spațiul: dacă x + (−3/7) = 2/7, atunci x = ____.

12. Adevărat sau fals? Numărul x = 1/2 este soluția ecuației 4x − 1 = 1. Justifică prin probă.

13. Încercuiește soluția corectă a ecuației x · (−3) = 9/2: a) −3/2 b) 3/2 c) −27/2

14. Potrivește fiecare ecuație din coloana stângă cu soluția ei din coloana dreaptă: (I) x + 1/3 = 1 (A) x = 1 (II) 2x = 1/2 (B) x = 2/3 (III) x − 1/4 = 3/4 (C) x = 1/4

15. (1/2)x − 3/4 = 1/4

16. −2x + 5/6 = 1/6

17. Mica problemă: Maria a avut o sumă de bani, a cheltuit 3/4 lei pe un semn de carte și i-au mai rămas 5/2 lei. Notăm cu x suma pe care a avut-o la început: dintr-un număr x scădem 3/4 și obținem 5/2. Scrie ecuația și află x.

18. Provocare: (3/4)x − 1/2 = −5/4. Rezolvă și fă proba.

Răspunsuri și explicații

1. x = 4/5 − 1/5 = 3/5. Proba: 3/5 + 1/5 = 4/5. ✓ S = {3/5}.

2. x = 1/8 + 3/8 = 4/8 = 1/2. Proba: 1/2 − 3/8 = 4/8 − 3/8 = 1/8. ✓ S = {1/2}.

3. x = 1 − 2/3 = 3/3 − 2/3 = 1/3. Proba: 1/3 + 2/3 = 1. ✓ S = {1/3}.

4. x = −3/2 + 1/2 = −2/2 = −1. Proba: −1 − 1/2 = −2/2 − 1/2 = −3/2. ✓ S = {−1}.

5. x = (2/3) : 5 = 2/15. Proba: 5 · (2/15) = 10/15 = 2/3. ✓ S = {2/15}.

6. x = (3/8) · 4 = 12/8 = 3/2. Proba: (3/2) : 4 = 3/8. ✓ S = {3/2}.

7. x = (6/25) : (2/5) = (6/25) · (5/2) = 30/50 = 3/5. Proba: (2/5) · (3/5) = 6/25. ✓ S = {3/5}.

8. x = (2/9) · (1/3) = 2/27. (A împărți la 1/3 înseamnă a înmulți cu 3? Atenție: x : (1/3) = x · 3, deci ecuația devine 3x = 2/9, de unde x = 2/27.) Proba: (2/27) : (1/3) = (2/27) · 3 = 6/27 = 2/9. ✓ S = {2/27}.

9. Pasul 1: 2x = 9/4 − 1/4 = 8/4 = 2. Pasul 2: x = 2 : 2 = 1. Proba: 2 · 1 + 1/4 = 2 + 1/4 = 9/4. ✓ S = {1}.

10. Pasul 1: 3x = 7/5 + 1/5 = 8/5. Pasul 2: x = (8/5) : 3 = 8/15. Proba: 3 · (8/15) − 1/5 = 24/15 − 1/5 = 8/5 − 1/5 = 7/5. ✓ S = {8/15}.

11. x = 2/7 + 3/7 = 5/7 (am adunat 3/7, opusul lui −3/7). x = 5/7.

12. Adevărat. Proba: 4 · (1/2) − 1 = 2 − 1 = 1. Membrul stâng (1) este egal cu membrul drept (1), deci x = 1/2 chiar este soluția.

13. a) −3/2. Rezolvare: x = (9/2) : (−3) = 9/(2·(−3)) = 9/(−6) = −3/2. Proba: (−3/2) · (−3) = 9/2. ✓

14. (I)→(B): x = 1 − 1/3 = 2/3. (II)→(C): x = (1/2) : 2 = 1/4. (III)→(A): x = 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1. Deci I-B, II-C, III-A.

15. Pasul 1: (1/2)x = 1/4 + 3/4 = 4/4 = 1. Pasul 2: x = 1 : (1/2) = 1 · 2 = 2. Proba: (1/2) · 2 − 3/4 = 1 − 3/4 = 4/4 − 3/4 = 1/4. ✓ S = {2}.

16. Pasul 1: −2x = 1/6 − 5/6 = −4/6 = −2/3. Pasul 2: x = (−2/3) : (−2) = (−2)/(3·(−2)) = −2/−6 = 1/3. Proba: −2 · (1/3) + 5/6 = −2/3 + 5/6 = −4/6 + 5/6 = 1/6. ✓ S = {1/3}.

17. Ecuația: x − 3/4 = 5/2. Rezolvare: x = 5/2 + 3/4. Numitor comun 4: 5/2 = 10/4, deci x = 10/4 + 3/4 = 13/4. Proba: 13/4 − 3/4 = 10/4 = 5/2. ✓ S = {13/4} (adică 3,25).

18. Pasul 1: (3/4)x = −5/4 + 1/2 = −5/4 + 2/4 = −3/4. Pasul 2: x = (−3/4) : (3/4) = (−3/4) · (4/3) = −12/12 = −1. Proba: (3/4) · (−1) − 1/2 = −3/4 − 2/4 = −5/4. ✓ S = {−1}.

De reținut

A rezolva o ecuație înseamnă a afla numărul necunoscut x care face egalitatea adevărată; acel număr este soluția, iar mulțimea lor se notează cu S.
Metoda mersului invers: desfaci ce s-a făcut cu x, folosind operația opusă (scădere ↔ adunare, împărțire ↔ înmulțire), în ordine inversă.
Metoda balanței: ce faci cu un membru faci și cu celălalt (scazi/adaugi același număr sau înmulțești/împarți la același număr nenul).
La tipul ax + b = c lucrezi în doi pași: întâi scapi de „+ b", apoi de „· a".
Mereu faci proba: înlocuiești soluția în ecuația inițială și verifici că stânga = dreapta.

Greșeli frecvente

Operezi doar pe un membru. Dacă scazi 1/2 din stânga, trebuie să scazi 1/2 și din dreapta. Altfel balanța se strică și soluția iese greșită. Scrie întotdeauna bara | − 1/2 ca să nu uiți.
Greșești ordinea la ax + b = c. Nu împărți la a înainte să scapi de b! Întâi muți pe b (adunare/scădere), abia apoi împarți la a. Gândește-te la șosete și pantofi: scoți întâi ce s-a pus ultima dată.
Confuzii cu semnele. La numere raționale negative ai grijă: a scădea −3/7 înseamnă a aduna 3/7. Recitește lecția despre adunarea și scăderea numerelor raționale dacă ai dubii.
Uiți de probă sau nu simplifici. Fără probă nu ești sigur de răspuns, iar o fracție nesimplificată (de exemplu 12/8 în loc de 3/2) e considerată incompletă. Simplifică mereu la fracție ireductibilă.

Joc acasă

1. Balanța cu monede. Ia o riglă, pune un pix la mijloc ca pivot și echilibrează rigla. Pe un capăt pune o grămadă „secretă" de monede (necunoscuta x) plus 2 monede vizibile; pe celălalt capăt pune un număr de monede care echilibrează rigla. Scrie ecuația de tipul x + 2 = b și află câte monede sunt în grămada secretă. Verifică numărând. (Joc cu numere întregi, dar te ajută să simți ideea de balanță.)

2. Ghicitorul de fracții. Un jucător scrie pe o hârtie o ecuație de tipul x + a = b sau 2x + b = c cu fracții simple (numitori 2, 4 sau 5), o citește cu voce tare, iar celălalt o rezolvă pe caiet și anunță soluția. Apoi faceți proba împreună. Schimbați rolurile. Cine face mai puține greșeli din 5 ecuații câștigă.

3. Cardurile „opus". Decupează 8 cartonașe: pe 4 scrie operațiile +, −, ·, : și pe celelalte 4 opusele lor. Amestecă-le și antrenează-te să le potrivești rapid (+ cu −, · cu :). E exercițiul-cheie pentru mersul invers: cu cât potrivești mai repede opusele, cu atât rezolvi mai sigur ecuațiile.

Pentru părinți și învățători

Această lecție consolidează ideea de echivalență și de operație inversă, esențială pentru întreaga algebră de gimnaziu și liceu. Iată cum o puteți sprijini:

Începeți cu balanța fizică. Înainte de fracții, folosiți obiecte (monede, piese) ca să arătați că „ce faci pe o parte faci și pe cealaltă". Intuiția vizuală face restul mult mai ușor.
Cereți copilului să spună tipul ecuației înainte să o rezolve: „Ce s-a făcut cu x? Ce operație voi desface prima?" Numirea pașilor previne erorile de ordine la ax + b = c.
Insistați pe probă, de fiecare dată. Transformați proba într-un obicei: „Nu există ecuație terminată fără probă." Este cel mai bun instrument de autocorectare.
Întrebări de verificare a înțelegerii: „De ce împărțim la 2 abia la final?", „Ce se întâmplă dacă uit să scad și din partea dreaptă?", „Cum scrii mulțimea soluțiilor?". Dacă răspunde corect și justifică, a înțeles.
Greșelile de calcul cu fracții (numitor comun, semne) nu înseamnă că nu a priceput ecuațiile. Separați cele două: lăudați metoda corectă chiar dacă apare o eroare de aritmetică, apoi reluați calculul.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă să rezolvi o ecuație cu numere raționale? Înseamnă să afli valoarea necunoscutei x (o fracție sau un număr zecimal, pozitiv ori negativ) care face ca cei doi membri ai egalității să fie egali. Acea valoare este soluția, iar la final o scrii în mulțimea soluțiilor S.

Care este diferența dintre metoda balanței și metoda mersului invers? Sunt aceeași idee scrisă diferit. La mersul invers desfaci operațiile făcute asupra lui x folosind operațiile opuse. La metoda balanței scrii explicit, lângă o bară, ce operație aplici ambilor membri. Rezultatul este identic; alege metoda care ți se pare mai clară.

Cum rezolv o ecuație de tipul ax + b = c? În doi pași. Mai întâi scapi de termenul liber b (îl scazi sau îl aduni la ambii membri), apoi împarți ambii membri la coeficientul a (care trebuie să fie nenul). De exemplu, la 2x + 1/2 = 7/2 obții întâi 2x = 3, apoi x = 3/2.

Cum fac proba la o ecuație? Iei soluția găsită și o pui în locul lui x în ecuația inițială. Calculezi separat membrul stâng și membrul drept. Dacă ies egale, soluția este corectă; dacă nu, ai o greșeală de calcul pe care o cauți pas cu pas.

De ce a împărți la o fracție înseamnă a înmulți cu inversul ei? Pentru că împărțirea fracțiilor se face înmulțind cu răsturnatul (inversul) împărțitorului. Astfel x = b : (3/5) devine x = b · (5/3). Revezi lecția despre împărțirea numerelor raționale pentru detalii.

Ce fac dacă soluția îmi iese o fracție urâtă, de exemplu 12/8? O simplifici la fracția ireductibilă: 12/8 = 3/2. O soluție corectă se scrie întotdeauna în forma cea mai simplă. Te ajută cunoștințele despre fracții ireductibile.

Poate o ecuație să aibă soluție negativă? Da, foarte des, fiindcă lucrăm în mulțimea ℚ care conține și numere negative. De exemplu, x + 3/4 = 1/2 are soluția x = −1/4. Important este să respecți regulile de semn la calcul.

Cum scriu corect mulțimea soluțiilor? Între acolade, cu valoarea soluției: de exemplu S = {−1/4}. Dacă ecuația nu are nicio soluție, scrii S = ∅. La ecuațiile din această lecție vei avea mereu exact o soluție.