Rezolvă ecuația $$x - \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{10}$$ și alege mulțimea soluțiilor corectă.

$$S=\left\{\dfrac{7}{10}\right\}$$

$$S=\left\{-\dfrac{1}{10}\right\}$$

$$S=\left\{\dfrac{1}{10}\right\}$$

$$S=\left\{-\dfrac{7}{10}\right\}$$

Cum rezolv o ecuație cu fracții?

Lecția pe scurt · clasa a VI-a · Ecuații cu numere raționale

Desfaci, în ordine inversă, operațiile făcute asupra necunoscutei, folosind de fiecare dată operația opusă, sau păstrezi echilibrul aplicând aceeași operație ambilor membri. La forma cu doi pași scapi întâi de termenul liber, apoi împarți la coeficient. Din $2 x + \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$ obții $2 x = 3$ , deci $x = \frac{3}{2}$ . La final scrii mulțimea soluțiilor și faci proba în forma de la început.

O ecuație cu numere raționale este o egalitate în care necunoscuta $x$ apare împreună cu fracții sau numere zecimale, de tipurile $x + a = b$ , $x \cdot a = b$ , $x : a = b$ (cu $a \neq = 0$ ) sau $a x + b = c$ . Rezolvarea se face prin metoda mersului invers: desfacem, în ordine inversă, operațiile aplicate lui $x$ , folosind operația opusă (adunare ↔ scădere, înmulțire ↔ împărțire). La tipul $a x + b = c$ lucrăm în doi pași: întâi eliminăm $b$ , apoi împărțim la $a$ . Metoda balanței exprimă aceeași idee: ce faci cu un membru, faci și cu celălalt. La final scriem mulțimea soluțiilor $S$ și facem proba, înlocuind soluția în ecuația inițială.

Exemplu: $2 x + \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$ → $2 x = 3$ → $x = \frac{3}{2}$ , deci $S = {\frac{3}{2}}$ .

De reținut

metoda mersului invers folosește operația opusă, în ordine inversă
la $a x + b = c$ : întâi scapi de $b$ , apoi împarți la $a$
la final scrii mulțimea soluțiilor și faci proba

Greșeala tipică

Se împarte la coeficient înainte de a muta termenul liber, iar împărțirea se aplică doar unei părți din membru; ordinea corectă cere ca membrul cu necunoscuta să rămână întâi curat de termeni liberi.

Exerciții din această mini-lecție

Rezolvă ecuația $x - \frac{2}{5} = \frac{3}{10}$ și alege mulțimea soluțiilor corectă.
- a) $S = {\frac{7}{10}}$
- b) $S = {- \frac{1}{10}}$
- c) $S = {\frac{1}{10}}$
- d) $S = {- \frac{7}{10}}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $S = {\frac{7}{10}}$

Lui $x$ i s-a scăzut $\frac{2}{5}$ , deci facem opusul: adunăm $\frac{2}{5}$ în ambii membri. $x = \frac{3}{10} + \frac{2}{5} = \frac{3}{10} + \frac{4}{10} = \frac{7}{10}$ . Proba: $\frac{7}{10} - \frac{2}{5} = \frac{7}{10} - \frac{4}{10} = \frac{3}{10}$ . ✓ Deci $S = {\frac{7}{10}}$ .
Rezolvă ecuația $x : (- \frac{3}{5}) = \frac{4}{15}$ și alege soluția corectă, scrisă ca fracție ireductibilă.
- a) $x = \frac{4}{25}$
- b) $x = - \frac{4}{25}$
- c) $x = - \frac{4}{15}$
- d) $x = - \frac{4}{9}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $x = - \frac{4}{25}$

$x$ a fost împărțit la $- \frac{3}{5}$ ; facem opusul, adică înmulțim cu $- \frac{3}{5}$ : $x = \frac{4}{15} \cdot (- \frac{3}{5}) = - \frac{12}{75}$ . Simplificăm prin 3: $x = - \frac{4}{25}$ . Proba: $- \frac{4}{25} : (- \frac{3}{5}) = - \frac{4}{25} \cdot (- \frac{5}{3}) = \frac{20}{75} = \frac{4}{15}$ . ✓
Rezolvă ecuația $x + \frac{3}{8} = \frac{7}{8}$ și alege soluția corectă.
- a) $x = \frac{1}{2}$
- b) $x = \frac{5}{4}$
- c) $x = - \frac{1}{2}$
- d) $x = \frac{1}{4}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $x = \frac{1}{2}$

Lui $x$ i s-a adunat $\frac{3}{8}$ , deci facem opusul: scădem $\frac{3}{8}$ în ambii membri. $x = \frac{7}{8} - \frac{3}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ . Proba: $\frac{1}{2} + \frac{3}{8} = \frac{4}{8} + \frac{3}{8} = \frac{7}{8}$ . ✓

Întrebări conexe

Cum scap de numitori într-o ecuație cu numere raționale?

Înmulțești ambii membri cu un multiplu comun al numitorilor. Pentru numitorii $2$ și $3$ folosești $6$ , iar ecuația se transformă într-una cu numere întregi. Soluția rămâne aceeași, fiindcă ai înmulțit egalitatea cu același număr nenul de ambele părți.

Ce fac dacă necunoscuta apare în ambii membri ai ecuației?

O aduni sau o scazi până rămâne într-o singură parte, iar numerele trec în cealaltă. Din $\frac{5 x}{2} - 1 = x + 2$ obții, după mutări, $\frac{3 x}{2} = 3$ , deci $x = 2$ . Fiecare mutare peste semnul egal schimbă semnul termenului.

Cum rezolv o ecuație cu numere zecimale?

Poți lucra direct cu zecimalele sau le poți transforma în fracții ordinare. A doua cale evită erorile de virgulă la împărțiri. Din $0, 4 x = 1, 2$ obții $x = 3$ , fie împărțind direct, fie scriind ecuația cu fracțiile $\frac{2}{5}$ și $\frac{6}{5}$ .

De ce nu am voie să împart o ecuație la zero?

Pentru că împărțirea la zero nu are rezultat, deci pasul nu ar avea sens. Din același motiv, când împarți la o expresie cu necunoscută, trebuie să te asiguri că aceasta nu poate fi zero, altfel ai putea pierde sau inventa soluții.

Cum transform o problemă scrisă în text într-o ecuație cu fracții?

Notezi cu $x$ mărimea căutată și traduci fiecare propoziție într-o relație. Formularea o treime din sumă devine $\frac{x}{3}$ , iar cu cinci mai mult devine adunarea lui $5$ . Legătura finală, de obicei o egalitate, dă chiar ecuația.

Ce înseamnă că două ecuații cu numere raționale sunt echivalente?

Că au exact aceleași soluții, chiar dacă arată diferit. Orice pas corect de rezolvare produce o ecuație echivalentă cu cea de dinainte. Din acest motiv poți verifica soluția în oricare dintre formele obținute pe parcurs.

Oamenii mai întreabă și: ecuații cu numere raționale · cum se rezolvă o ecuație cu fracții · metoda mersului invers · ecuații de forma ax + b = c