Este adevărat că $$\sqrt{35} < 6$$?

Da, pentru că $$35 < 36 = 6^2$$

Nu se poate ști fără calculator

Da, dar doar dacă rotunjim rezultatul

Între ce numere întregi se află o rădăcină?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Încadrarea și estimarea rădăcinii pătrate

Cauți cele două pătrate perfecte vecine între care încape numărul de sub semn. Din $25 < 30 < 36$ rezultă $5 < 30 < 6$ , deci partea întreagă este 5. Metoda merge fiindcă rădăcina pătrată păstrează ordinea: la numere mai mari sub semn ies rădăcini mai mari. Pentru fracții preschimbi întâi în zecimal sau simplifici, uneori chiar iese un pătrat perfect.

Estimarea rădăcinii pătrate înseamnă să afli rapid, fără calculator, între ce numere se află $n$ pentru un număr rațional pozitiv $n$ . Ideea-cheie: rădăcina pătrată păstrează ordinea — dacă $0 \leq a < b$ , atunci $a < b$ . Prinzi numărul de sub radical între două pătrate perfecte consecutive, $k^{2} \leq n < (k + 1)^{2}$ , și rezultă $k \leq n < k + 1$ , iar partea întreagă este $[n] = k$ .

Exemplu: pentru $30$ observăm $25 < 30 < 36$ , adică $5^{2} < 30 < 6^{2}$ , deci $5 < 30 < 6$ și $[30] = 5$ . Pentru mai multă precizie, testezi pătrate cu o zecimală: $5, 4^{2} = 29, 16$ și $5, 5^{2} = 30, 25$ , deci $5, 4 < 30 < 5, 5$ .

Pentru fracții sau zecimale, transformi mai întâi în zecimal (sau simplifici — poate iese chiar un pătrat perfect), apoi încadrezi la fel. Orice estimare o verifici ridicând marginile la pătrat.

De reținut

dacă $k^{2} \leq n < (k + 1)^{2}$ , atunci $k \leq n < k + 1$
partea întreagă a lui $n$ este $k$
rădăcina păstrează ordinea la numere pozitive
la fracții simplifici sau treci în zecimal, apoi încadrezi

Greșeala tipică

Se dă partea întreagă drept rotunjire. La $63$ , valoarea apropiată este 8, dar partea întreagă rămâne 7, fiindcă 63 stă între 49 și 64.

Exerciții din această mini-lecție

Între ce două numere naturale consecutive se află $44$ ?
- a) $5$ și $6$
- b) $6$ și $7$
- c) $7$ și $8$
- d) $44$ și $45$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $6$ și $7$

Pătratele perfecte vecine sunt $36 = 6^{2}$ și $49 = 7^{2}$ , iar $36 < 44 < 49$ . Deci $6 < 44 < 7$ : rădăcina se află între $6$ și $7$ .
Este adevărat că $35 < 6$ ?
- a) Da, pentru că $35 < 36 = 6^{2}$
- b) Nu, pentru că $35 > 36$
- c) Nu se poate ști fără calculator
- d) Da, dar doar dacă rotunjim rezultatul
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) Da, pentru că $35 < 36 = 6^{2}$

Ridicăm la pătrat numărul curat: $6^{2} = 36$ . Cum $35 < 36$ , rezultă $35 < 36 = 6$ , deci afirmația este adevărată.
Între ce două numere naturale consecutive se află $58$ ?
- a) $6$ și $7$
- b) $7$ și $8$
- c) $8$ și $9$
- d) $57$ și $58$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $7$ și $8$

Pătratele perfecte vecine sunt $49 = 7^{2}$ și $64 = 8^{2}$ , iar $49 < 58 < 64$ . Deci $7 < 58 < 8$ : rădăcina se află între $7$ și $8$ .

Întrebări conexe

Care sunt pătratele perfecte pe care merită să le știu pe de rost?

Cele până la 400, adică pătratele numerelor de la 1 la 20, plus câteva reper precum $2 5^{2} = 625$ și $3 0^{2} = 900$ . Cu ele încadrezi din prima orice radical întâlnit la gimnaziu, fără să mai încerci numere la nimereală.

Cât este partea întreagă a lui radical din 63?

Este 7, fiindcă $49 < 63 < 64$ , deci valoarea stă între 7 și 8. Rotunjirea ar da 8, valoarea fiind aproape $7, 94$ , dar partea întreagă numără câți întregi încap, nu care întreg este mai aproape.

Cum rafinez estimarea până la prima zecimală?

Iei pe rând numerele cu o zecimală dintre marginile aflate și le ridici la pătrat. Pentru $30$ calculezi $5, 4^{2} = 29, 16$ și $5, 5^{2} = 30, 25$ , deci valoarea stă între $5, 4$ și $5, 5$ . Pasul se poate repeta la sutimi, cu aceeași socoteală.

Între ce numere se află radicalul unui număr de patru cifre?

Între 31 și 100, fiindcă $3 1^{2} = 961$ este sub 1000, iar $10 0^{2} = 10000$ trece de 9999. Așadar orice număr de patru cifre are rădăcina scrisă cu două cifre, ceea ce restrânge mult căutarea.

De ce rădăcina pătrată păstrează ordinea numerelor?

Fiindcă la numere pozitive un pătrat mai mare vine dintr-un număr mai mare. Dacă ar exista două numere pozitive cu ordinea răsturnată după extragerea rădăcinii, ridicându-le la pătrat s-ar ajunge la o contrazicere. Proprietatea aceasta stă la baza oricărei încadrări.

Cum estimez radicalul unui număr mare, precum 2026?

Cauți pătratele apropiate: $4 5^{2} = 2025$ și $4 6^{2} = 2116$ , deci valoarea stă foarte aproape de 45, chiar peste el. Partea întreagă este 45, iar zecimalele încep imediat, fiindcă numărul depășește pătratul cu o singură unitate.

Oamenii mai întreabă și: estimarea rădăcinii pătrate · între ce numere se află radical din 30 · partea întreagă a unei rădăcini · încadrare între pătrate perfecte · cum estimez un radical