Ce este o funcție liniară?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Funcția liniară f(x) = ax + b

Se scrie $f (x) = a x + b$ , cu doi coeficienți ficși: iei numărul dat, îl înmulțești cu $a$ și adaugi $b$ . Litera trebuie să apară doar la puterea întâi, niciodată sub radical, la numitor sau ridicată la pătrat. La $f (x) = 2 x + 3$ obții $f (4) = 11$ , iar $f (0) = 3$ . Când $b$ lipsește ai proporționalitate directă, iar când $a$ lipsește funcția rămâne mereu egală cu $b$ .

O funcție liniară are forma $f (x) = a x + b$ , unde $a$ și $b$ sunt numere reale fixe. Gândește-te la ea ca la o rețetă: iei $x$ , îl înmulțești cu $a$ , apoi aduni $b$ .

Coeficientul $a$ arată cât de repede crește (sau scade) rezultatul când $x$ crește cu $1$ . Termenul liber $b$ este „punctul de plecare”, adică valoarea funcției când $x = 0$ , pentru că $f (0) = a \cdot 0 + b = b$ .

Două cazuri speciale merită reținute: dacă $b = 0$ , obții proporționalitatea directă $f (x) = a x$ ; dacă $a = 0$ , funcția devine constantă, mereu egală cu $b$ .

Exemplu: la $f (x) = 2 x + 3$ avem $a = 2$ , $b = 3$ . Calculăm $f (4) = 2 \cdot 4 + 3 = 11$ , iar $f (0) = 3 = b$ , exact cum spune regula.

Atenție: $x$ trebuie să apară doar la puterea întâi (nu $x^{2}$ , nu la numitor) — altfel nu e funcție liniară!

De reținut

$f (x) = a x + b$ , cu $a$ și $b$ numere reale
$f (0) = b$ — termenul liber este valoarea în zero
$b = 0$ dă proporționalitate directă, $a = 0$ dă funcție constantă

Greșeala tipică

Se numește liniară orice funcție cu formulă scurtă, chiar dacă litera apare la pătrat sau la numitor. Condiția este ca litera să apară doar la puterea întâi, altfel graficul nu mai iese o linie dreaptă.

Exerciții din această mini-lecție

Pentru funcția $f (x) = 6 - 2 x$ , care sunt coeficienții $a$ și $b$ ?
- a) $a = 6$ , $b = - 2$
- b) $a = - 2$ , $b = 6$
- c) $a = 2$ , $b = 6$
- d) $a = - 2$ , $b = - 6$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $a = - 2$ , $b = 6$

Rescriem expresia în ordinea din formula generală: $f (x) = 6 - 2 x = - 2 x + 6$ . Comparând cu $f (x) = a x + b$ , obținem $a = - 2$ (coeficientul lui $x$ ) și $b = 6$ (termenul liber).
Care dintre funcțiile de mai jos este funcție de proporționalitate directă?
- a) $f (x) = 4 x + 1$
- b) $f (x) = - 5 x$
- c) $f (x) = x + 7$
- d) $f (x) = 2$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $f (x) = - 5 x$

O funcție liniară este de proporționalitate directă doar dacă $b = 0$ , adică $f (0) = 0$ . Funcția $f (x) = - 5 x$ are $b = 0$ (deci $f (0) = 0$ ), pe când celelalte au termen liber diferit de $0$ .
Pentru funcția $f (x) = 9 - 5 x$ , care sunt coeficienții $a$ și $b$ ?
- a) $a = 9$ , $b = - 5$
- b) $a = - 5$ , $b = 9$
- c) $a = 5$ , $b = 9$
- d) $a = - 5$ , $b = - 9$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $a = - 5$ , $b = 9$

Rescriem expresia în ordinea din formula generală: $f (x) = 9 - 5 x = - 5 x + 9$ . Comparând cu $f (x) = a x + b$ , obținem $a = - 5$ (coeficientul lui $x$ ) și $b = 9$ (termenul liber).

Întrebări conexe

Cum recunosc o funcție care nu este liniară?

Te uiți la litera din formulă: dacă apare la pătrat, sub radical, la numitor sau înmulțită cu ea însăși, funcția nu mai este liniară. Astfel $f (x) = x^{2} + 1$ și $g (x) = \frac{3}{x}$ ies din categorie, oricât de simple ar părea.

Ce se întâmplă cu rezultatul când numărul introdus crește cu unu?

Rezultatul se schimbă cu exact $a$ , indiferent de unde pornești. La $f (x) = 5 x - 2$ , trecând de la $3$ la $4$ valoarea urcă de la $13$ la $18$ , adică tot cu $5$ . Această creștere constantă este semnul distinctiv al funcțiilor liniare.

Cum aflu numărul introdus dacă știu rezultatul funcției?

Egalezi formula cu rezultatul și rezolvi ecuația de gradul întâi obținută. Pentru $f (x) = 3 x - 4$ și rezultatul $11$ scrii $3 x - 4 = 11$ , deci $x = 5$ . Este drumul invers față de calculul obișnuit al valorii.

Cum scriu o funcție liniară al cărei grafic trece prin origine?

Pui termenul liber egal cu zero și rămâi cu $f (x) = a x$ . Atunci $f (0) = 0$ , deci punctul de plecare este chiar originea. Funcțiile de acest fel descriu proporționalitatea directă: dublând numărul introdus, se dublează și rezultatul.

De ce se numește liniară o astfel de funcție?

Fiindcă punctele obținute din ea se așază pe o linie dreaptă atunci când sunt desenate în sistemul de axe. Numele vine din imaginea grafică, nu din formulă. Orice altă formă de expresie ar da o curbă, nu o linie.

Ce valori pot lua coeficienții unei funcții liniare?

Orice numere reale, inclusiv negative sau fracționare; doar situația în care ambii sunt zero dă o funcție care returnează mereu zero. Astfel $f (x) = - \frac{1}{2} x + 3$ este tot funcție liniară, deși coeficienții arată neobișnuit.

Oamenii mai întreabă și: funcția liniară · ce înseamnă funcție liniară · forma f de x egal ax plus b · definiția funcției liniare · funcție de gradul întâi