Împărțirea unui segment în părți proporționale

Imaginează-ți că ai o scândură de $6$ metri și vrei să tai din ea trei rafturi, dar nu de aceeași lungime, ci „potrivite" între ele: unul de trei ori mai lung decât altul. Sau că trei prieteni au pus la un proiect sume diferite de bani și vor să împartă recompensa „cinstit", proporțional cu ce a pus fiecare. În ambele situații apare aceeași idee matematică: împărțirea unui segment în părți proporționale. În această lecție pentru clasa a 7-a vei învăța două lucruri complementare — cum calculezi lungimea fiecărei părți când știi lungimea totală și cum construiești geometric punctele de împărțire folosind paralele și teorema lui Thales, chiar și fără riglă gradată.

Ce vei învăța

• Vei ști ce înseamnă să împarți un segment în părți proporționale cu numere date.
• Vei ști să calculezi lungimea fiecărei părți pornind de la lungimea totală a segmentului.
• Vei ști să realizezi construcția geometrică de împărțire proporțională folosind o dreaptă ajutătoare și paralele.
• Vei ști să împarți un segment în părți proporționale cu segmente date.
• Vei ști să împarți un segment în părți egale ca un caz particular și să justifici construcția.

Hai să descoperim împreună

De la ce pornim

Această lecție adună la un loc tot ce ai învățat în ultimele lecții din unitatea Asemănarea triunghiurilor. Ne folosim de segmentele proporționale (vezi Segmente proporționale), de teorema paralelelor echidistante (vezi Teorema paralelelor echidistante) și, mai ales, de teorema lui Thales (vezi Teorema lui Thales), care ne spune că paralelismul păstrează rapoartele dintre segmente. Practic, aici vom „întoarce" teorema lui Thales și o vom folosi ca unealtă de împărțire: nu mai calculăm un raport, ci îl impunem dinainte și găsim punctele care îl realizează.

Ce înseamnă „părți proporționale cu numere date"

Să pornim de la un exemplu clar. Când spunem că împărțim segmentul $AB$ în părți proporționale cu numerele $2$ și $3$, înțelegem că punem pe segment un punct $P$ (între $A$ și $B$) astfel încât cele două bucăți să fie „în raportul $2$ la $3$":

$$\frac{AP}{PB}=\frac{2}{3}.$$

Numerele $2$ și $3$ nu sunt lungimile părților, ci doar rețeta raportului dintre ele. Bucata a doua trebuie să fie de $1,5$ ori mai lungă decât prima, indiferent cât de lung este segmentul. Dacă avem trei numere, de exemplu împărțim $AB$ în părți proporționale cu $2$, $3$ și $5$, atunci punem două puncte $P$ și $Q$ (în această ordine, de la $A$ spre $B$) astfel încât

$$AP:PQ:QB=2:3:5.$$

Ideea „unității" — cheia întregii lecții

Cel mai simplu mod de a înțelege împărțirea proporțională este să te gândești la o unitate comună, o „porție" pe care o notăm cu $u$. Dacă vrem raportul $2:3:5$, ne imaginăm segmentul tăiat în bucățele egale, fiecare de lungime $u$, și le grupăm astfel: prima parte primește $2$ porții, a doua $3$ porții, a treia $5$ porții. În total sunt

$$2+3+5=10\text{ porții}.$$

Deci întregul segment $AB$ este format din $10$ porții egale. De aici iese metoda de calcul: dacă știm lungimea totală, aflăm cât valorează o porție și apoi înmulțim cu numărul de porții al fiecărei părți.

Metoda de calcul, pas cu pas (cu numere date)

Fie un segment de lungime totală $L$, pe care vrem să-l împărțim în părți proporționale cu numerele $m$, $n$, $p$ (pot fi și doar două numere, sau patru — merge la fel). Urmează trei pași siguri:

Pasul 1 — adună numerele. Calculezi suma $S=m+n+p$. Acesta este numărul total de „porții".

Pasul 2 — află valoarea unei porții. Împarți lungimea totală la sumă: $$u=\frac{L}{S}.$$

Pasul 3 — află fiecare parte. Înmulțești valoarea porției cu numărul corespunzător: $$\text{partea 1}=m\cdot u,\text{partea 2}=n\cdot u,\text{partea 3}=p\cdot u.$$

La final, ca verificare, aduni părțile și trebuie să obții exact $L$.

Hai să vedem imediat un exemplu de calcul foarte simplu. Împărțim un segment de $L=40$ cm în părți proporționale cu $2$ și $3$. Suma este $S=2+3=5$, deci o porție valorează $u=\frac{40}{5}=8$ cm. Prima parte are $2\cdot 8=16$ cm, a doua $3\cdot 8=24$ cm. Verificare: $16+24=40$ cm. Corect! Și raportul se respectă: $\frac{16}{24}=\frac{2}{3}$.

Împărțirea în părți egale — un caz particular

Ce se întâmplă dacă numerele date sunt toate egale, de exemplu $1:1:1:1$? Atunci toate părțile sunt egale între ele — am împărțit segmentul în părți egale. A împărți $AB$ în $4$ părți egale înseamnă exact a-l împărți în părți proporționale cu $1,1,1,1$. Prin calcul, fiecare parte este $\frac{L}{4}$. Reține că „părți egale" este doar cazul cel mai simplu al împărțirii proporționale, când rețeta raportului este formată numai din unități.

Împărțirea în părți proporționale cu segmente date

Uneori nu ni se dau numere, ci segmente. De exemplu: „împarte segmentul $MN$ în părți proporționale cu segmentele $a$ și $b$", unde $a$ și $b$ au niște lungimi date. Ei bine, aici nu se schimbă nimic esențial: lungimile segmentelor $a$ și $b$ joacă rolul numerelor. Dacă $a=4$ cm și $b=6$ cm, împărțim exact ca pentru raportul $4:6$, pe care de obicei îl simplificăm la $2:3$.

Așadar, „proporțional cu segmente date" se reduce la „proporțional cu numere date", unde numerele sunt chiar lungimile segmentelor. Singura grijă este ca segmentele $a$ și $b$ să fie măsurate în aceeași unitate (amândouă în cm, de exemplu), altfel raportul iese greșit.

De ce avem nevoie și de o construcție geometrică

Metoda de calcul e minunată când cunoaștem lungimea segmentului. Dar geometria are o cerință specială: de multe ori vrem să împărțim un segment desenat pe hârtie doar cu rigla negradată și compasul, fără să-i măsurăm lungimea și fără să facem împărțiri cu rest urât. Cum tai un segment în $7$ părți egale dacă lungimea lui este, să zicem, $11,3$ cm? Împărțirea $11,3:7$ nu iese frumos. Aici intervine construcția geometrică bazată pe teorema lui Thales, care rezolvă problema fără niciun calcul de lungimi.

Construcția geometrică pas cu pas

Vrem să împărțim segmentul $AB$ în părți proporționale cu numerele $m$, $n$, $p$ (de exemplu $2:3:5$). Iată pașii:

Pasul 1. Din capătul $A$ trasăm o semidreaptă ajutătoare $Ax$, sub un unghi oarecare față de $AB$ (nici prea mic, nici prea mare — un unghi comod, de vreo $30^{\circ }$–$40^{\circ }$).

Pasul 2. Pe semidreapta $Ax$ alegem o „unitate" (o deschidere fixă a compasului) și marcăm, pornind din $A$, un număr de segmente egale egal cu suma $m+n+p$. În exemplul nostru, $2+3+5=10$ segmente egale. Obținem pe $Ax$ punctele $A_1,A_2,\dots ,A_{10}$, egal depărtate.

Pasul 3. Grupăm aceste diviziuni conform rețetei. Punctul care închide prima grupă este $A_2$ (după $2$ unități), cel care închide a doua grupă este $A_5$ (după $2+3=5$ unități), iar ultimul punct este $A_{10}$ (după toate $10$ unitățile). Punctele importante sunt deci $A_2$, $A_5$ și $A_{10}$.

Pasul 4. Unim ultimul punct $A_{10}$ cu capătul $B$ al segmentului: trasăm segmentul $A_{10}B$.

Pasul 5. Prin punctele $A_2$ și $A_5$ trasăm paralele la $A_{10}B$. Aceste paralele intersectează segmentul $AB$ în două puncte, să le numim $P$ și $Q$.

Gata! Punctele $P$ și $Q$ împart segmentul $AB$ exact în raportul $2:3:5$, adică $AP:PQ:QB=2:3:5$.

De ce funcționează construcția (justificarea cu Thales)

Această construcție nu e o „vrajă" — se sprijină direct pe teorema lui Thales. Privește figura ca pe un triunghi mare $AB{A}_{10}$, cu vârful în $A$, o latură pe $AB$ și cealaltă pe $Ax$ (care conține $A_{10}$). Dreptele trasate prin $A_2$ și $A_5$ sunt paralele cu latura $A_{10}B$. Avem astfel trei paralele: dreapta prin $A_2$, dreapta prin $A_5$ și latura prin $A_{10}$ (adică $A_{10}B$ însăși). Ele taie cele două laturi ale unghiului din $A$ — pe una segmentul $AB$, pe cealaltă semidreapta $Ax$.

Conform teoremei lui Thales, aceste paralele determină pe cele două transversale segmente proporționale. Pe latura $Ax$ segmentele sunt $A{A}_2$, $A_2{A}_5$, $A_5{A}_{10}$, adică $2$, $3$, $5$ unități (le-am construit egale, deci raportul este exact $2:3:5$). Prin urmare și pe latura $AB$ segmentele păstrează același raport:

$$AP:PQ:QB=A{A}_2:A_2{A}_5:A_5{A}_{10}=2:3:5.$$

Frumusețea metodei: nu am măsurat deloc lungimea lui $AB$. Am transferat pur și simplu raportul de pe semidreapta ajutătoare pe segmentul nostru, cu ajutorul paralelelor.

Cazul particular: împărțirea în părți egale prin construcție

Dacă vrem $n$ părți egale, marcăm pe $Ax$ exact $n$ unități egale, unim ultima diviziune cu $B$ și trasăm paralele la ea prin toate celelalte diviziuni. Fiindcă pe $Ax$ segmentele sunt egale, paralelele taie pe $AB$ tot segmente egale — de data aceasta justificarea vine chiar din teorema paralelelor echidistante (paralele care taie segmente egale pe o dreaptă taie segmente egale și pe cealaltă). Așa poți împărți un segment în $3$, $5$, $7$ sau oricâte părți egale, fără riglă gradată.

Cum recunoști ce metodă folosești

Ține minte deosebirea, ca să nu te încurci:

• Dacă problema îți dă lungimea totală și cere lungimile părților → folosești metoda de calcul (suma → o porție → fiecare parte).
• Dacă problema cere să construiești/desenezi punctele de împărțire, mai ales fără riglă gradată → folosești construcția geometrică cu semidreaptă ajutătoare, unități egale și paralele.
• Dacă părțile sunt „proporționale cu segmente date" → transformi lungimile segmentelor în numere și continui la fel.

Uneori aceeași problemă cere ambele: mai întâi construiești, apoi verifici prin calcul. Restul lecției antrenează exact aceste reflexe.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — împărțire cu două numere, prin calcul

Împarte un segment $AB$ de lungime $35$ cm în părți proporționale cu numerele $2$ și $5$.

Rezolvare. Suma numerelor este $S=2+5=7$ porții. O porție valorează $$u=\frac{35}{7}=5\text{ cm}.$$ Deci prima parte are $2\cdot 5=10$ cm, iar a doua $5\cdot 5=25$ cm.

Verificare: $10+25=35$ cm și $\frac{10}{25}=\frac{2}{5}$. Răspuns: părțile sunt de $10$ cm și $25$ cm.

Exemplul 2 — împărțire cu trei numere

Un segment de $48$ cm se împarte în părți proporționale cu $1$, $3$ și $4$. Află lungimea fiecărei părți.

Rezolvare. Suma este $S=1+3+4=8$ porții, deci $$u=\frac{48}{8}=6\text{ cm}.$$ Părțile sunt: $$1\cdot 6=6\text{ cm},3\cdot 6=18\text{ cm},4\cdot 6=24\text{ cm}.$$

Verificare: $6+18+24=48$ cm. Raportul $6:18:24=1:3:4$ (împărțind fiecare la $6$). Răspuns: $6$ cm, $18$ cm și $24$ cm.

Exemplul 3 — proporțional cu segmente date

Împarte un segment $MN$ de $40$ cm în părți proporționale cu două segmente date $a=6$ cm și $b=9$ cm.

Rezolvare. Lungimile segmentelor joacă rolul numerelor: raportul cerut este $6:9$, pe care îl simplificăm împărțind la $3$: $6:9=2:3$. Suma porțiilor este $S=2+3=5$, deci $$u=\frac{40}{5}=8\text{ cm}.$$ Părțile sunt $2\cdot 8=16$ cm și $3\cdot 8=24$ cm.

Verificare: $16+24=40$ cm și $\frac{16}{24}=\frac{2}{3}=\frac{6}{9}$. Răspuns: $16$ cm și $24$ cm. Observă cât de mult ajută simplificarea raportului la început: numerele mai mici duc la calcule mai ușoare.

Exemplul 4 — proporțional cu fracții

Împarte un segment de $52$ cm în părți proporționale cu numerele $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$ și $\frac{1}{4}$.

Rezolvare. Cu fracții e mai comod să le aducem întâi la același numitor, ca să obținem numere întregi pentru raport. Numitorul comun al numerelor $2$, $3$, $4$ este $12$: $$\frac{1}{2}=\frac{6}{12},\frac{1}{3}=\frac{4}{12},\frac{1}{4}=\frac{3}{12}.$$ Cum toate au același numitor, raportul dintre ele este dat de numărători: $6:4:3$. (Fii atent la o capcană: fracția mai mare, $\frac{1}{2}$, dă partea cea mai mare — de aceea numărul $6$ este cel mai mare, nu $2$!) Suma este $S=6+4+3=13$, deci $$u=\frac{52}{13}=4\text{ cm}.$$ Părțile: $6\cdot 4=24$ cm, $4\cdot 4=16$ cm, $3\cdot 4=12$ cm.

Verificare: $24+16+12=52$ cm. Răspuns: $24$ cm, $16$ cm și $12$ cm.

Exemplul 5 — află totalul pornind de la o parte

Un segment se împarte în părți proporționale cu $3$, $4$ și $5$. Se știe că partea din mijloc are $12$ cm. Află lungimea totală a segmentului și celelalte două părți.

Rezolvare. Partea din mijloc corespunde numărului $4$, deci ea reprezintă $4$ porții. Din $4u=12$ obținem valoarea porției: $$u=\frac{12}{4}=3\text{ cm}.$$ Acum aflăm toate părțile: $3\cdot 3=9$ cm, $4\cdot 3=12$ cm, $5\cdot 3=15$ cm. Lungimea totală este $$L=9+12+15=36\text{ cm}.$$

Verificare: raportul $9:12:15=3:4:5$. Răspuns: totalul este $36$ cm, iar părțile sunt $9$ cm, $12$ cm și $15$ cm. Acest tip de problemă arată că, dacă știi o singură parte, poți reconstitui tot segmentul.

Exemplul 6 — construcție geometrică (fără riglă gradată)

Descrie cum împarți un segment $AB$ desenat pe caiet în părți proporționale cu $2$ și $3$, folosind doar rigla negradată și compasul.

Rezolvare (pași de construcție).

1. Trasez din $A$ o semidreaptă $Ax$ oblică față de $AB$.
2. Cu compasul iau o deschidere fixă și marchez pe $Ax$, pornind din $A$, un număr de segmente egale egal cu suma $2+3=5$. Obțin punctele $A_1,A_2,A_3,A_4,A_5$, egal depărtate.
3. Punctul care închide prima grupă este $A_2$ (după $2$ unități); ultimul punct este $A_5$.
4. Unesc $A_5$ cu $B$.
5. Prin $A_2$ trasez o paralelă la $A_{5}B$; ea taie $AB$ într-un punct $P$.

Punctul $P$ împarte segmentul în raportul cerut: $AP:PB=2:3$.

Justificare. În triunghiul $AB{A}_5$, dreptele $A_{2}P$ și $A_{5}B$ sunt paralele, deci, prin teorema lui Thales, $\frac{AP}{PB}=\frac{A{A}_2}{A_2{A}_5}=\frac{2}{3}$. Răspuns: construcția produce exact raportul $2:3$, fără a măsura lungimea lui $AB$.

Exemplul 7 — problemă aplicată (scândura tăiată în rafturi)

O scândură lungă de $6$ m trebuie tăiată în trei rafturi ale căror lungimi să fie proporționale cu $1$, $2$ și $3$. Ce lungime are fiecare raft?

Rezolvare. Modelăm scândura ca un segment de $L=6$ m (adică $600$ cm, dar putem lucra direct în metri). Suma porțiilor: $S=1+2+3=6$, deci $$u=\frac{6}{6}=1\text{ m}.$$ Rafturile au $1\cdot 1=1$ m, $2\cdot 1=2$ m și $3\cdot 1=3$ m.

Verificare: $1+2+3=6$ m. Răspuns: rafturile măsoară $1$ m, $2$ m și $3$ m. Iată cum împărțirea proporțională a unui segment devine o problemă practică de tâmplărie.

Să exersăm

Rezolvă exercițiile în ordine; sunt gradate de la ușor la greu. La cele de construcție, fă efectiv desenul pe caiet. Verifică mereu că suma părților dă lungimea totală.

1. Completează: „A împărți segmentul $AB$ în părți proporționale cu $3$ și $4$ înseamnă a găsi un punct $P$ pentru care $\frac{AP}{PB}=\dots$ ."

2. Împarte un segment de $21$ cm în părți proporționale cu $3$ și $4$.

3. Împarte un segment de $45$ cm în părți proporționale cu $2$, $3$ și $4$.

4. Adevărat sau fals (justifică): „Ca să împart un segment în părți proporționale cu $5$ și $3$, fac fiecare parte egală cu jumătate din segment."

5. Împarte un segment de $60$ cm în părți proporționale cu două segmente date de $4$ cm și $8$ cm.

6. Împarte un segment de $100$ cm în părți proporționale cu $1$, $2$ și $2$.

7. Împarte un segment de $27$ cm în părți proporționale cu fracțiile $\frac{1}{3}$ și $\frac{1}{6}$. (Indiciu: adu-le la același numitor.)

8. Un segment se împarte în părți proporționale cu $2$ și $5$, iar partea mai mare are $35$ cm. Află partea mai mică și lungimea totală a segmentului.

9. Un segment se împarte în părți proporționale cu $3$, $4$ și $5$, iar partea cea mai mică are $9$ cm. Află celelalte părți și lungimea totală.

10. Descrie pașii construcției geometrice prin care împarți un segment $AB$ în părți proporționale cu $2$ și $3$, folosind o semidreaptă ajutătoare și paralele. Ce teoremă justifică rezultatul?

11. Explică pe scurt cum împarți un segment în $4$ părți egale prin construcție geometrică și de ce funcționează. (Indiciu: gândește-te la teorema paralelelor echidistante.)

12. Împarte un segment de $72$ cm în părți proporționale cu $1$, $2$, $3$ și $3$.

13. O grindă de $8$ m se taie în două bucăți proporționale cu $1$ și $3$. Ce lungime are fiecare bucată?

14. O sârmă de $84$ cm se taie în trei bucăți proporționale cu $3$, $4$ și $5$, din care se îndoaie laturile unui triunghi. Află lungimea fiecărei laturi. (Bonus: ce fel de triunghi se formează?)

15. Împarte un segment de $25$ cm în părți proporționale cu segmentele $a=2$ cm și $b=3$ cm.

16. Punctele $P$ și $Q$ împart segmentul $AB$ astfel încât $AP:PQ:QB=2:3:5$. Se știe că $PQ=9$ cm. Află $AP$, $QB$ și lungimea $AB$.

17. Adevărat sau fals (justifică): „În construcția geometrică de împărțire proporțională, dacă marchez pe semidreapta ajutătoare segmente egale, atunci pe segmentul dat obțin părți egale."

18. Provocare. Împarte un segment de $56$ cm în părți proporționale cu numerele $0,5$, $1,5$ și $2$. (Indiciu: înmulțește toate numerele cu $2$ ca să scapi de zecimale.)

Răspunsuri și explicații

1. $\frac{AP}{PB}=\frac{3}{4}$. Numerele $3$ și $4$ dau raportul dintre cele două părți, nu lungimile lor.

2. $S=3+4=7$, $u=\frac{21}{7}=3$ cm. Părțile: $3\cdot 3=9$ cm și $4\cdot 3=12$ cm. Verificare: $9+12=21$.

3. $S=2+3+4=9$, $u=\frac{45}{9}=5$ cm. Părțile: $10$ cm, $15$ cm, $20$ cm. Verificare: $10+15+20=45$.

4. Fals. Jumătate din segment ai lua doar dacă raportul ar fi $1:1$ (părți egale). Aici raportul este $5:3$, deci $S=8$, $u=\frac{L}{8}$; părțile sunt $\frac{5L}{8}$ și $\frac{3L}{8}$, diferite între ele și diferite de jumătate.

5. Raportul segmentelor: $4:8=1:2$. $S=1+2=3$, $u=\frac{60}{3}=20$ cm. Părțile: $20$ cm și $40$ cm. Verificare: $20+40=60$.

6. $S=1+2+2=5$, $u=\frac{100}{5}=20$ cm. Părțile: $20$ cm, $40$ cm, $40$ cm. Verificare: $20+40+40=100$.

7. Aducem la numitorul comun $6$: $\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$, $\frac{1}{6}=\frac{1}{6}$. Raportul este $2:1$. $S=3$, $u=\frac{27}{3}=9$ cm. Părțile: $2\cdot 9=18$ cm și $1\cdot 9=9$ cm. Verificare: $18+9=27$.

8. Partea mare corespunde numărului $5$, deci $5u=35\Rightarrow u=7$ cm. Partea mică: $2\cdot 7=14$ cm. Totalul: $14+35=49$ cm (sau $7u=7\cdot 7=49$). Verificare: $\frac{14}{35}=\frac{2}{5}$.

9. Partea cea mai mică corespunde numărului $3$, deci $3u=9\Rightarrow u=3$ cm. Celelalte: $4\cdot 3=12$ cm și $5\cdot 3=15$ cm. Totalul: $9+12+15=36$ cm.

10. Pași: (1) trasez din $A$ o semidreaptă $Ax$ oblică; (2) marchez pe ea $2+3=5$ segmente egale, obținând $A_1,\dots ,A_5$; (3) rețin $A_2$ (după $2$ unități) și $A_5$ (ultimul); (4) unesc $A_5$ cu $B$; (5) prin $A_2$ trasez o paralelă la $A_{5}B$, care taie $AB$ în $P$. Atunci $AP:PB=2:3$. Justificarea este teorema lui Thales (în triunghiul $AB{A}_5$, $A_{2}P\parallel A_{5}B$ dă $\frac{AP}{PB}=\frac{A{A}_2}{A_2{A}_5}=\frac{2}{3}$).

11. Trasez o semidreaptă ajutătoare din $A$, marchez pe ea $4$ segmente egale, unesc a patra diviziune cu $B$ și trasez paralele la acest segment prin celelalte $3$ diviziuni. Ele taie $AB$ în $3$ puncte, împărțindu-l în $4$ părți egale. Funcționează pentru că paralelele taie segmente egale pe semidreapta ajutătoare, deci — prin teorema paralelelor echidistante — taie segmente egale și pe $AB$.

12. $S=1+2+3+3=9$, $u=\frac{72}{9}=8$ cm. Părțile: $8$ cm, $16$ cm, $24$ cm, $24$ cm. Verificare: $8+16+24+24=72$.

13. $S=1+3=4$, $u=\frac{8}{4}=2$ m. Bucățile: $2$ m și $6$ m. Verificare: $2+6=8$.

14. $S=3+4+5=12$, $u=\frac{84}{12}=7$ cm. Laturile: $21$ cm, $28$ cm, $35$ cm. Verificare: $21+28+35=84$. Bonus: $21^2+28^2=441+784=1225=35^2$, deci este un triunghi dreptunghic (reciproca teoremei lui Pitagora).

15. Raportul $a:b=2:3$. $S=5$, $u=\frac{25}{5}=5$ cm. Părțile: $10$ cm și $15$ cm. Verificare: $10+15=25$.

16. Partea din mijloc corespunde numărului $3$: $3u=9\Rightarrow u=3$ cm. Atunci $AP=2\cdot 3=6$ cm, $QB=5\cdot 3=15$ cm, iar $AB=6+9+15=30$ cm. Verificare: $6:9:15=2:3:5$.

17. Adevărat. Dacă segmentele de pe semidreapta ajutătoare sunt egale, paralelele trasate taie segmente egale și pe segmentul dat — este exact conținutul teoremei paralelelor echidistante. Așa se obține împărțirea în părți egale.

18. Înmulțim numerele cu $2$: $0,5\cdot 2=1$, $1,5\cdot 2=3$, $2\cdot 2=4$, deci raportul devine $1:3:4$ (raportul nu se schimbă dacă înmulțim toate numerele cu aceeași valoare). $S=1+3+4=8$, $u=\frac{56}{8}=7$ cm. Părțile: $7$ cm, $21$ cm, $28$ cm. Verificare: $7+21+28=56$.

De reținut

• Sens: a împărți un segment în părți proporționale cu numerele $m,n,p$ înseamnă a găsi pe segment puncte care îl taie în bucăți cu raportul $m:n:p$.
• Metoda de calcul (3 pași): suma $S=m+n+p$; o porție $u=\frac{L}{S}$; fiecare parte $=\text{(numa˘rul ei)}\cdot u$. La final, suma părților trebuie să dea $L$.
• Cu segmente date: lungimile segmentelor devin numerele raportului (măsurate în aceeași unitate); de obicei se simplifică raportul.
• Construcția geometrică: semidreaptă ajutătoare din $A$, marchezi unități egale (suma numerelor), unești ultimul punct cu $B$ și trasezi paralele la $A_{\text{ultim}}B$ prin punctele de grupare. Justificare: teorema lui Thales.
• Părți egale = cazul particular cu raport $1:1:\cdots :1$; construcția lui se justifică prin teorema paralelelor echidistante.

Greșeli frecvente

• Confunzi numerele cu lungimile. Numerele $2,3,5$ nu sunt lungimile părților, ci doar rețeta raportului. Lungimile le afli abia după ce calculezi valoarea unei porții $u=\frac{L}{S}$.
• Uiți să aduni numerele. Împarți lungimea totală la unul dintre numere, nu la sumă. Reține: mereu împarți la suma tuturor numerelor.
• La fracții inversezi mărimea părților. Fracția mai mare ($\frac{1}{2}$) dă partea mai mare. Adu fracțiile la același numitor și ia raportul numărătorilor — nu al numitorilor.
• La construcție, unești greșit punctul cu $B$. Trebuie să unești ultimul punct (cel de la capătul diviziunilor) cu $B$, apoi să trasezi paralele la acest segment. Dacă unești alt punct sau nu ții paralelele exacte, raportul iese greșit.

Aplică acasă

• Împarte o riglă „la ochi", apoi verifică. Ia o fâșie de carton sau un băț de lungime necunoscută și împarte-l în $5$ părți egale prin construcția cu semidreaptă ajutătoare (marchezi $5$ deschideri egale de compas, unești ultima cu capătul, tragi paralele). Apoi măsoară părțile cu rigla: ar trebui să iasă egale. Ai împărțit fără să faci nicio împărțire cu rest!
• Rafturi proporționale. Alege o scândură (sau o bandă de hârtie) și „taie-o" pe hârtie în trei rafturi proporționale cu $2:3:4$. Calculează lungimile pornind de la lungimea totală și verifică prin adunare.
• Împărțire cinstită. Trei persoane contribuie la un cadou comun cu sume proporționale cu $2:2:3$. Modelează suma totală ca un segment și împarte-o proporțional, ca să afli cât dă fiecare. Este exact aceeași matematică, folosită în viața reală.

Pentru părinți și profesori

Lecția leagă două registre: calculul (aritmetic, cu proporții) și construcția geometrică (cu riglă și compas, justificată prin Thales). Cel mai bine sprijiniți elevul insistând pe ideea de „porție/unitate": întrebați-l întâi „în câte porții egale se împarte tot segmentul?" înainte de orice calcul. Pentru partea de construcție, cereți-i să facă efectiv desenul și să eticheteze diviziunile — înțelegerea vine din mână, nu doar din formulă.

Întrebări bune de verificare: „La ce număr împarți lungimea totală?" (răspuns: la suma numerelor). „Numerele date sunt lungimile părților?" (răspuns: nu, doar raportul). „De ce funcționează construcția cu paralele?" (răspuns: teorema lui Thales păstrează rapoartele). „Cum obții părți egale?" (răspuns: raport $1:1:\dots$, justificat de paralelele echidistante). Dacă elevul rezolvă corect Exemplul 4 (fracții) și Exemplul 5 (află totalul dintr-o parte), și poate descrie pașii construcției din Exemplul 6, a stăpânit lecția.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă să împarți un segment în părți proporționale cu numere date? Înseamnă să găsești pe segment punctele care îl taie în bucăți al căror raport este exact cel dat de numere. De exemplu, „proporțional cu $2$ și $3$" cere ca prima bucată supra a doua să fie $\frac{2}{3}$, indiferent de lungimea totală a segmentului.

Cum calculez lungimea fiecărei părți dacă știu lungimea totală? Aduni numerele date pentru a afla numărul total de porții, împarți lungimea totală la această sumă și obții valoarea unei porții, apoi înmulțești valoarea porției cu numărul fiecărei părți. La final verifici că suma părților dă lungimea totală a segmentului.

Cum împart un segment în părți proporționale cu segmente date, nu cu numere? Folosești lungimile segmentelor date drept numere ale raportului, având grijă să fie măsurate în aceeași unitate. De obicei simplifici raportul (de exemplu $6:9=2:3$), apoi aplici aceeași metodă cu suma porțiilor și valoarea unei porții.

Cum împart geometric un segment fără riglă gradată? Trasezi din capătul $A$ o semidreaptă ajutătoare, marchezi pe ea un număr de segmente egale egal cu suma numerelor, unești ultimul punct cu celălalt capăt $B$ și trasezi paralele la acest segment prin punctele de grupare. Paralelele taie segmentul dat exact în raportul cerut, iar rezultatul este garantat de teorema lui Thales.

De ce funcționează construcția cu paralele și teorema lui Thales? Pentru că paralelele trasate sunt paralele cu o latură a triunghiului format și, conform teoremei lui Thales, determină pe cele două laturi segmente proporționale. Astfel raportul construit pe semidreapta ajutătoare se transferă neschimbat pe segmentul pe care vrem să-l împărțim.

Cum împart un segment în părți egale? Împărțirea în părți egale este cazul particular al împărțirii proporționale cu raportul $1:1:\cdots :1$. Prin calcul, fiecare parte este lungimea totală împărțită la numărul de părți; prin construcție, marchezi diviziuni egale pe semidreapta ajutătoare, iar teorema paralelelor echidistante garantează că părțile de pe segment sunt egale.

Numerele date sunt chiar lungimile părților? Nu, numerele date reprezintă doar raportul dintre părți. Lungimile reale le afli abia după ce calculezi valoarea unei porții $u=\frac{L}{S}$ și o înmulțești cu numărul corespunzător fiecărei părți.

La ce folosește împărțirea proporțională a unui segment în viața reală? Se folosește ori de câte ori împarți ceva „potrivit", nu în părți egale: tăierea unei scânduri în bucăți de lungimi diferite după un raport, împărțirea cinstită a unei sume proporțional cu contribuțiile, sau desenarea la scară a unor lungimi în proiecte tehnice și hărți.