Ce înseamnă să împarți segmentul $$AB$$ în părți proporționale cu numerele $$3$$ și $$5$$?

Că $$\dfrac{AP}{PB} = \dfrac{3}{5}$$, adică cele două părți sunt în acest raport

Că $$AP = 3$$ cm și $$PB = 5$$ cm, indiferent de lungimea lui $$AB$$

Că segmentul $$AB$$ are neapărat $$8$$ cm lungime

Ce înseamnă să împarți segmentul $$CD$$ în părți proporționale cu numerele $$2$$ și $$9$$?

Că $$\dfrac{CP}{PD} = \dfrac{2}{9}$$, adică cele două părți sunt în acest raport

Că $$CP = 2$$ cm și $$PD = 9$$ cm, indiferent de lungimea lui $$CD$$

Că segmentul $$CD$$ are neapărat $$11$$ cm lungime

Cum împart un segment în părți proporționale?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Segment împărțit proporțional

Aduni numerele din raport ca să afli în câte bucăți la fel se taie totul, împarți lungimea la această sumă și obții valoarea unei bucăți, apoi înmulțești fiecare număr cu ea. Un segment de 20 cm împărțit după 2 și 3 dă $20 : 5 = 4$ cm o bucată, deci părțile măsoară 8 cm și 12 cm. Verificarea este adunarea lor, care trebuie să dea lungimea de la început.

Când împarți un segment în părți proporționale cu numerele $m$ și $n$ , nu afli lungimi direct, ci un raport: punctul $P$ trebuie să respecte $\frac{A P}{P B} = \frac{m}{n}$ . Cel mai simplu truc e să te gândești la o „porție" comună $u$ : aduni numerele ca să afli câte porții are tot segmentul, împarți lungimea totală $L$ la sumă ca să afli cât valorează o porție, apoi înmulțești cu numărul fiecărei părți.

Exemplu minimal: segment de $20$ cm, proporțional cu $2$ și $3$ . Suma $S = 2 + 3 = 5$ , o porție $u = \frac{20}{5} = 4$ cm, deci părțile sunt $2 \cdot 4 = 8$ cm și $3 \cdot 4 = 12$ cm (verificare: $8 + 12 = 20$ ).

Aceeași idee funcționează și dacă în loc de numere primești segmente date, sau dacă vrei să construiești geometric punctele cu o semidreaptă ajutătoare și paralele, sprijinite pe teorema lui Thales.

De reținut

suma numerelor arată în câte bucăți se taie segmentul
o bucată = lungimea totală împărțită la sumă
fiecare parte = numărul ei înmulțit cu o bucată
numerele din raport nu sunt lungimile părților

Greșeala tipică

Numerele din raport sunt luate drept lungimi gata calculate. Ele arată doar în ce proporție se taie, iar lungimile ies abia după împărțirea totalului la suma lor.

Exerciții din această mini-lecție

Ce înseamnă să împarți segmentul $A B$ în părți proporționale cu numerele $3$ și $5$ ?
- a) Că $A P = 3$ cm și $P B = 5$ cm, indiferent de lungimea lui $A B$
- b) Că $\frac{A P}{P B} = \frac{3}{5}$ , adică cele două părți sunt în acest raport
- c) Că segmentul $A B$ are neapărat $8$ cm lungime
- d) Că $A P + P B = 3 + 5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Că $\frac{A P}{P B} = \frac{3}{5}$ , adică cele două părți sunt în acest raport

Numerele $3$ și $5$ nu sunt lungimi, ci rețeta raportului dintre cele două bucăți: $\frac{A P}{P B} = \frac{3}{5}$ . Lungimile reale se află abia după ce calculezi valoarea unei porții.
Ce înseamnă să împarți segmentul $C D$ în părți proporționale cu numerele $2$ și $9$ ?
- a) Că $C P = 2$ cm și $P D = 9$ cm, indiferent de lungimea lui $C D$
- b) Că $\frac{C P}{P D} = \frac{2}{9}$ , adică cele două părți sunt în acest raport
- c) Că segmentul $C D$ are neapărat $11$ cm lungime
- d) Că $C P + P D = 2 + 9$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Că $\frac{C P}{P D} = \frac{2}{9}$ , adică cele două părți sunt în acest raport

Numerele $2$ și $9$ nu sunt lungimi, ci rețeta raportului dintre cele două bucăți: $\frac{C P}{P D} = \frac{2}{9}$ . Lungimile reale se află abia după ce calculezi valoarea unei porții.
Un segment se împarte în părți proporționale cu numerele $3$ și $7$ . Câte „porții" egale ( $u$ ) formează în total segmentul?
- a) $10$
- b) $20$
- c) $30$
- d) $7$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $10$

Numărul total de porții este suma numerelor date: $S = 3 + 7 = 10$ . Segmentul se împarte deci în $10$ porții egale, indiferent de lungimea sa reală.

Întrebări conexe

Cum împart 20 cm în părți proporționale cu 2 și 3?

Aduni 2 cu 3 și obții 5 bucăți, apoi împarți 20 la 5 și afli că o bucată are 4 cm. Prima parte primește două bucăți, adică 8 cm, iar a doua trei bucăți, adică 12 cm. Suma lor dă înapoi 20.

Ce fac dacă raportul de împărțire este dat cu fracții?

Le aduci la același numitor și păstrezi numai numărătorii drept numere ale raportului. Din jumătate și o treime ies $\frac{3}{6}$ și $\frac{2}{6}$ , deci raportul devine 3 la 2. Fracția mai mare primește partea mai mare.

Ce raport dă punctul aflat la două treimi dintr-un segment?

Raportul 2 la 1, fiindcă înaintea punctului rămân două treimi, iar după el o treime. Atenție la deosebirea dintre partea din întreg și raportul dintre bucăți: două treimi din segment înseamnă 2 la 1, nu 2 la 3.

Cum verific că părțile găsite sunt corecte?

Le aduni și trebuie să iasă lungimea totală, apoi le împarți una la alta și trebuie să obții raportul cerut. Amândouă verificările durează câteva secunde și prind aproape orice greșeală de calcul.

Ce legătură are împărțirea proporțională cu șirul de rapoarte egale?

Este chiar aceeași socoteală, scrisă altfel: părțile la numărători, numerele raportului la numitori, iar valoarea comună este tocmai lungimea unei bucăți. De aceea rețeta cu suma numitorilor merge la fel de bine aici.

Cum împart o sumă de bani în raportul 3 la 5?

Împarți suma la 8, cât fac cele două numere adunate, apoi dai trei părți unuia și cinci celuilalt. Din 240 de lei iese o parte de 30 de lei, deci se cuvin 90 de lei și 150 de lei.

Oamenii mai întreabă și: împărțirea unui segment în părți proporționale · împărțire în raport dat · părți proporționale cu numere · cum tai un segment după un raport · împărțirea unui segment în părți egale