Când adun și când înmulțesc exponenții?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Reguli de calcul cu puteri

Aduni exponenții la înmulțirea a două puteri cu aceeași bază, dar îi înmulțești atunci când o putere este ridicată din nou la o putere. Așadar $a^{3} \cdot a^{4} = a^{7}$ , dar $(a^{3})^{4} = a^{12}$ . La împărțire exponenții se scad: $a^{7} : a^{2} = a^{5}$ . Confuzia dispare dacă te gândești ce înseamnă fiecare scriere: prima lipește două șiruri de factori, a doua repetă un șir întreg de mai multe ori.

Când înmulțești sau împarți expresii cu litere, totul se sprijină pe regulile puterilor cu aceeași bază: la înmulțire aduni exponenții ( $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ ), la împărțire îi scazi ( $a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$ ), iar la o putere de putere îi înmulțești ( $(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}$ ).

Ca să înmulțești două monoame, înmulțești coeficienții separat și aduni exponenții literelor identice: $4 x^{3} \cdot 5 x^{2} = 20 x^{5}$ . Când ai un monom în fața unei paranteze, distribui: $3 x (2 x + 5) = 6 x^{2} + 15 x$ . Iar când ridici un monom la putere, ridici și coeficientul, nu doar litera: $(2 x^{3})^{2} = 4 x^{6}$ , nu $2 x^{6}$ — aceasta e greșeala cea mai des întâlnită. Reține mereu ce faci cu exponenții: adunare la înmulțire, scădere la împărțire, înmulțire la putere-de-putere.

De reținut

$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$
$a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$
$(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}$ , iar la $(k a^{m})^{n}$ se ridică și $k$

Greșeala tipică

Se ridică la putere doar litera, nu și numărul din fața ei, ajungându-se la $(2 x^{3})^{2} = 2 x^{6}$ . Coeficientul face parte din termen, deci se ridică și el: rezultatul corect este $4 x^{6}$ .

Exerciții din această mini-lecție

Calculați $3 x^{4} \cdot 5 x^{3}$ .
- a) $8 x^{7}$
- b) $15 x^{7}$
- c) $15 x^{12}$
- d) $8 x^{12}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $15 x^{7}$

Înmulțim coeficienții $3 \cdot 5 = 15$ și adunăm exponenții lui $x$ : $4 + 3 = 7$ . Rezultat: $15 x^{7}$ .
Care este rezultatul ridicării la putere $(2 x^{3})^{2}$ ?
- a) $2 x^{6}$
- b) $4 x^{6}$
- c) $4 x^{5}$
- d) $2 x^{5}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $4 x^{6}$

Puterea se aplică fiecărui factor: $2^{2} \cdot (x^{3})^{2} = 4 \cdot x^{6} = 4 x^{6}$ . Nu uita să ridici și coeficientul $2$ la pătrat.
Calculați $4 x^{5} \cdot 2 x^{2}$ .
- a) $6 x^{7}$
- b) $8 x^{10}$
- c) $6 x^{10}$
- d) $8 x^{7}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $8 x^{7}$

Înmulțim coeficienții $4 \cdot 2 = 8$ și adunăm exponenții lui $x$ : $5 + 2 = 7$ . Rezultat: $8 x^{7}$ .

Întrebări conexe

Cum înmulțesc două monoame?

Înmulțești separat numerele din față și separat literele, adunând exponenții celor identice. Astfel $4 x^{3} \cdot 5 x^{2} = 20 x^{5}$ , iar $- 3 a b^{2} \cdot 2 a^{2} b = - 6 a^{3} b^{3}$ . Semnul rezultatului se stabilește după regula obișnuită a înmulțirii.

Cum ridic la putere un produs de mai mulți factori?

Ridici fiecare factor în parte, inclusiv numărul din față. Din $(2 x^{3})^{2}$ obții $4 x^{6}$ , nu $2 x^{6}$ , fiindcă și $2$ se ridică la pătrat. La trei factori procedezi la fel: $(3 ab)^{2} = 9 a^{2} b^{2}$ .

Ce obțin dacă împart două puteri identice ale aceleiași litere?

Obții $1$ , fiindcă scăderea exponenților dă zero, iar orice bază diferită de zero ridicată la exponentul zero face unu. Astfel $x^{5} : x^{5} = x^{0} = 1$ . Rezultatul se potrivește cu ideea că împărțind ceva la el însuși obții unu.

De ce nu pot aduna exponenții la x la a doua plus x la a treia?

Fiindcă regula cu adunarea exponenților este pentru înmulțire, nu pentru adunare. Aici ai doi termeni de feluri diferite, care rămân scriși unul lângă altul. Cel mult scoți factor comun și obții $x^{2} (1 + x)$ .

Cum simplific o fracție care are puteri ale aceleiași litere sus și jos?

Scazi exponentul de jos din cel de sus și păstrezi litera cu diferența obținută. Din $\frac{12 x ^{5}}{4 x ^{2}}$ iese $3 x^{3}$ , după ce simplifici și numerele. Dacă exponentul de jos este mai mare, litera rămâne la numitor.

Cum înmulțesc un monom cu o paranteză?

Îl înmulțești pe rând cu fiecare termen din paranteză, fără să sari peste niciunul. Din $3 x (2 x + 5)$ obții $6 x^{2} + 15 x$ . La paranteze cu trei termeni faci trei înmulțiri, iar la sfârșit reduci ce se poate reduce.

Oamenii mai întreabă și: reguli de calcul cu puteri · când adun exponenții · putere la putere · înmulțirea puterilor cu aceeași bază · împărțirea puterilor