Ridicarea la putere a fracțiilor algebrice

Când calculezi volumul unui cub, ridici latura la puterea a treia; când afli aria unui pătrat, ridici latura la pătrat. Dar dacă latura nu e un simplu număr, ci o expresie ca $\frac{2a}{3b}$? Atunci ai nevoie să știi cum se ridică la putere o fracție algebrică. Vestea bună este că regula e scurtă, logică și se leagă direct de tot ce ai învățat despre puteri în clasele anterioare. În această lecție din unitatea Fracții algebrice vei descoperi cum ridici corect o fracție cu litere la o putere naturală, cum combini această operație cu simplificarea și cu formulele de calcul prescurtat, și de ce condițiile de existență rămân la fel de importante. Este un instrument des cerut la Evaluarea Națională, așa că merită stăpânit temeinic.

Ce vei învăța

• Vei ști să ridici o fracție algebrică la o putere naturală, ridicând separat numărătorul și numitorul.
• Vei ști să combini ridicarea la putere cu regulile puterilor (produs de puteri, putere la putere) în numărător și numitor.
• Vei ști să folosești formulele de calcul prescurtat $(a\pm b{)}^2$ atunci când ridici binoame la pătrat.
• Vei ști să combini ridicarea la putere cu simplificarea fracțiilor algebrice.
• Vei ști să stabilești condițiile de existență pentru o fracție ridicată la putere.

Hai să descoperim împreună

1. De la fracția numerică la fracția algebrică

Îți amintești din clasele mai mici cum ridicai o fracție obișnuită la putere? De exemplu:

$${\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}=\frac{2\cdot 2}{3\cdot 3}=\frac{2^2}{3^2}=\frac{4}{9}.$$

Observă ce s-a întâmplat: exponentul $2$ „a coborât" și pe $2$ (numărătorul), și pe $3$ (numitorul). Nu ai ridicat doar numărătorul, nici doar numitorul — ci pe amândoi.

La fracțiile algebrice regula este exact aceeași. Singura diferență este că, în loc de numere, la numărător și la numitor pot apărea litere, monoame sau chiar binoame. Litera nu schimbă regula; ea doar înlocuiește un număr pe care nu îl cunoaștem.

2. Regula fundamentală

Regulă. Pentru a ridica o fracție algebrică la o putere naturală, ridicăm la acea putere atât numărătorul, cât și numitorul: $${\left(\frac{A}{B}\right)}^n=\frac{A^n}{B^n},B\ne 0,n\in \mathbb{N}.$$

Aici $A$ și $B$ sunt expresii algebrice (numere, monoame, binoame), iar condiția $B\ne 0$ este esențială: numitorul unei fracții nu poate fi niciodată zero.

De ce funcționează? Pentru că, prin definiție, a ridica la puterea $n$ înseamnă a înmulți factorul cu el însuși de $n$ ori:

$${\left(\frac{A}{B}\right)}^n=\underset{n\text{factori}}{\underbrace{\frac{A}{B}\cdot \frac{A}{B}\cdots \frac{A}{B}}}=\frac{\stackrel{n}{\overbrace{A\cdot A\cdots A}}}{\underset{n}{\underbrace{B\cdot B\cdots B}}}=\frac{A^n}{B^n}.$$

Deci regula nu este o „formulă de memorat pe de rost", ci consecința directă a modului în care se înmulțesc fracțiile — operație pe care ai studiat-o în lecția despre înmulțirea și împărțirea fracțiilor algebrice. Puterea nu este altceva decât o înmulțire repetată, iar înmulțirea fracțiilor se face „numărător cu numărător, numitor cu numitor". Când aceeași fracție se înmulțește cu ea însăși de mai multe ori, numărătorul se adună cu el însuși ca factor și devine o putere, la fel numitorul. Iată de ce exponentul „coboară" simultan pe amândoi.

Să vedem regula în acțiune pe cel mai simplu caz:

$${\left(\frac{x}{y}\right)}^3=\frac{x^3}{y^3},y\ne 0.$$

Reține și un caz-limită folositor: orice fracție algebrică nenulă ridicată la puterea $0$ este egală cu $1$, deoarece ${\left(\frac{A}{B}\right)}^0=\frac{A^0}{B^0}=\frac{1}{1}=1$ (pentru $A\ne 0$ și $B\ne 0$). Iar la puterea $1$ fracția rămâne neschimbată: ${\left(\frac{A}{B}\right)}^1=\frac{A}{B}$. În această lecție lucrăm însă mai ales cu exponenți naturali mai mari sau egali cu $2$, pentru că acolo apar calculele interesante.

O idee bună, pe care o vei folosi des la Evaluarea Națională, este să verifici rezultatul prin înlocuire numerică. De exemplu, dacă ai obținut ${\left(\frac{x}{y}\right)}^3=\frac{x^3}{y^3}$, poți da valori simple, să zicem $x=2$ și $y=1$: partea stângă este ${\left(\frac{2}{1}\right)}^3=8$, iar partea dreaptă $\frac{2^3}{1^3}=\frac{8}{1}=8$. Coincid, deci calculul are șanse mari să fie corect. Această verificare rapidă te scapă de multe greșeli de neatenție.

3. Când la numărător și numitor apar monoame

De cele mai multe ori, numărătorul și numitorul nu sunt litere simple, ci monoame (produse de numere și puteri de litere). În acest caz, după ce ridicăm la putere, folosim regulile puterilor pentru a calcula rezultatul.

Îți reamintesc cele patru reguli de bază pe care le-ai învățat în clasa a VII-a și în lecția Înmulțirea, împărțirea și ridicarea la putere a expresiilor cu litere:

• Produs de puteri cu aceeași bază: $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$.
• Cât de puteri cu aceeași bază: $a^m:a^n=a^{m-n}$ (pentru $a\ne 0$).
• Puterea unei puteri: ${\left(a^m\right)}^n=a^{m\cdot n}$.
• Puterea unui produs: ${\left(a\cdot b\right)}^n=a^n\cdot b^n$.

Ultimele două ne interesează cel mai mult acum. Să calculăm, de exemplu:

$${\left(\frac{2x}{3}\right)}^2=\frac{(2x{)}^2}{3^2}=\frac{2^2\cdot x^2}{9}=\frac{4x^2}{9}.$$

Ai văzut cum am folosit puterea unui produs: $(2x{)}^2=2^2\cdot x^2$. Este o greșeală foarte des întâlnită să scrii $2x^2$ în loc de $4x^2$ — atenție, coeficientul $2$ se ridică și el la pătrat!

Un exemplu cu litere și la numărător, și la numitor:

$${\left(\frac{a^2}{b^3}\right)}^4=\frac{(a^2{)}^4}{(b^3{)}^4}=\frac{a^{2\cdot 4}}{b^{3\cdot 4}}=\frac{a^8}{b^{12}},b\ne 0.$$

Aici am folosit puterea unei puteri: exponenții se înmulțesc.

Să mai facem un exemplu cu doi factori la numărător, ca să fixezi bine puterea unui produs:

$${\left(\frac{4x^{2}y}{7}\right)}^2=\frac{(4x^{2}y{)}^2}{7^2}=\frac{4^2\cdot (x^2{)}^2\cdot y^2}{49}=\frac{16x^4{y}^2}{49}.$$

Observă cum fiecare factor din numărător — coeficientul $4$, puterea $x^2$ și litera $y$ — a fost ridicat separat la pătrat. Nimic nu „scapă" de exponent atunci când baza este un produs. Aceasta este ideea centrală pe care trebuie să o ai mereu în minte: exponentul din afara parantezei acționează asupra fiecărui factor din interior.

4. Atenție la semn

Când baza fracției are semnul minus, trebuie să fii atent la paritatea exponentului:

• dacă exponentul este par, rezultatul este pozitiv;
• dacă exponentul este impar, rezultatul păstrează semnul minus.

De exemplu:

$${\left(\frac{-x}{y}\right)}^2=\frac{(-x{)}^2}{y^2}=\frac{x^2}{y^2},{\left(\frac{-x}{y}\right)}^3=\frac{(-x{)}^3}{y^3}=\frac{-x^3}{y^3}=-\frac{x^3}{y^3}.$$

Regula este exact ca la puterile numerelor negative: $(-{)}^{\text{par}}=+$, iar $(-{)}^{\text{impar}}=-$.

5. Combinarea puterii cu putere la putere

Uneori întâlnești o fracție deja ridicată la o putere, iar totul se ridică din nou la altă putere. Aici folosești regula puterii unei puteri, aplicată de această dată întregii fracții:

$${\left[{\left(\frac{A}{B}\right)}^m\right]}^n={\left(\frac{A}{B}\right)}^{m\cdot n}=\frac{A^{m\cdot n}}{B^{m\cdot n}}.$$

De pildă:

$${\left[{\left(\frac{a}{b}\right)}^2\right]}^3={\left(\frac{a}{b}\right)}^6=\frac{a^6}{b^6},b\ne 0.$$

Nu aduni exponenții ($2+3$), ci îi înmulțești ($2\cdot 3=6$) — la fel ca la orice putere a unei puteri.

6. Combinarea cu simplificarea

Multe expresii se scriu mai frumos dacă simplifici mai întâi fracția din interiorul parantezei și abia apoi ridici la putere. Rezultatul este același, dar calculul devine mult mai ușor. Regula de aur este:

Simplifică în interiorul parantezei, apoi ridică la putere.

Să luăm:

$${\left(\frac{6a^{2}b}{9a{b}^3}\right)}^2.$$

Mai întâi simplificăm fracția dinăuntru, așa cum ai învățat în lecția Simplificarea fracțiilor algebrice:

$$\frac{6a^{2}b}{9a{b}^3}=\frac{6}{9}\cdot \frac{a^2}{a}\cdot \frac{b}{b^3}=\frac{2}{3}\cdot a\cdot \frac{1}{b^2}=\frac{2a}{3b^2}.$$

Abia acum ridicăm la pătrat:

$${\left(\frac{2a}{3b^2}\right)}^2=\frac{(2a{)}^2}{(3b^2{)}^2}=\frac{4a^2}{9b^4}.$$

Dacă am fi ridicat direct la pătrat fără să simplificăm, am fi obținut $\frac{36a^4{b}^2}{81a^2{b}^6}$, care după simplificare dă tot $\frac{4a^2}{9b^4}$ — deci același rezultat, dar cu mult mai mult efort. Alege drumul scurt!

7. Ridicarea binoamelor la pătrat — formule de calcul prescurtat

Atunci când numărătorul sau numitorul este un binom (o sumă sau o diferență de doi termeni), iar exponentul este $2$, folosești formulele de calcul prescurtat pe care le-ai studiat în unitatea anterioară:

$$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2,(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2.$$

Aceste formule sunt detaliate în lecțiile Pătratul unei sume și Pătratul unei diferențe. Le folosim aici pentru a desface pătratul binomului.

Exemplu:

$${\left(\frac{x+3}{x-1}\right)}^2=\frac{(x+3{)}^2}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2+6x+9}{x^2-2x+1},x\ne 1.$$

La numărător am aplicat $(x+3{)}^2=x^2+2\cdot x\cdot 3+3^2=x^2+6x+9$, iar la numitor $(x-1{)}^2=x^2-2x+1$.

⚠️ Cea mai frecventă greșeală aici: să scrii $(x+3{)}^2=x^2+9$, „uitând" termenul din mijloc $2\cdot x\cdot 3=6x$. Un pătrat de binom are întotdeauna trei termeni, nu doi!

8. Legătura cu descompunerea în factori

Uneori, o fracție care pare complicată se simplifică frumos dacă îi descompui numărătorul și numitorul în factori, apoi o ridici la putere. Combină ce ai învățat la descompunerea folosind diferența de pătrate cu regula puterii:

$${\left(\frac{x^2-9}{x^2+6x+9}\right)}^2.$$

Descompunem întâi: $x^2-9=(x-3)(x+3)$ (diferență de pătrate), iar $x^2+6x+9=(x+3{)}^2$ (pătrat perfect). Fracția din interior devine:

$$\frac{(x-3)(x+3)}{(x+3{)}^2}=\frac{x-3}{x+3},x\ne -3.$$

Acum ridicăm la pătrat:

$${\left(\frac{x-3}{x+3}\right)}^2=\frac{(x-3{)}^2}{(x+3{)}^2}=\frac{x^2-6x+9}{x^2+6x+9}.$$

Vezi cât de mult ajută să descompui înainte de a ridica la putere? Dacă am fi ridicat direct la pătrat forma nedescompusă, am fi obținut o fracție uriașă, cu numărător și numitor de gradul patru, foarte greu de simplificat. Regula practică este limpede: descompune și simplifică întâi, ridică la putere la final. Aceasta este ordinea care îți economisește timp și reduce riscul de greșeală — un obicei deosebit de valoros când lucrezi contra cronometru la examen.

Reține și că descompunerea îți dezvăluie corect condițiile de existență: forma inițială $\frac{x^2-9}{x^2+6x+9}$ pare să depindă de o expresie complicată la numitor, dar odată descompus numitorul ca $(x+3{)}^2$, se vede imediat că singura valoare interzisă este $x=-3$.

9. Condițiile de existență

O fracție algebrică are sens doar dacă numitorul este diferit de zero. Această cerință nu dispare când ridici la putere — dimpotrivă, trebuie să o precizezi de fiecare dată. Reține un principiu important:

Condițiile de existență se stabilesc pentru fracția inițială (înainte de simplificare), deoarece simplificarea nu are voie să extindă domeniul.

De ce? Pentru că, dacă la început numitorul te obligă la $a\ne 0$ și $b\ne 0$, aceste restricții rămân valabile pentru toată expresia, indiferent cum arată forma finală, simplificată. Revenind la exemplul de mai sus, $\frac{6a^{2}b}{9a{b}^3}$ cere ca $9a{b}^3\ne 0$, adică $a\ne 0$ și $b\ne 0$; aceste condiții se păstrează pentru rezultatul $\frac{4a^2}{9b^4}$, chiar dacă acolo $a$ nu mai apare la numitor.

Pentru fracția ${\left(\frac{x+3}{x-1}\right)}^2$, numitorul este $x-1$, deci condiția este $x-1\ne 0$, adică $x\ne 1$. Reține: condiția o dă numitorul, nu numărătorul! Poți reciti detaliile în lecția Fracții algebrice. Condiții de existență.

10. Recapitulare a pașilor

Pentru a ridica corect o fracție algebrică la o putere, urmează algoritmul:

1. Stabilește condițiile de existență (numitorul inițial diferit de zero).
2. Simplifică fracția din interior, dacă se poate (eventual descompunând în factori).
3. Ridică la putere numărătorul și numitorul, separat.
4. Aplică regulile puterilor (putere a unui produs, putere a unei puteri) sau formulele de calcul prescurtat, dacă apar binoame.
5. Scrie forma finală, cât mai simplă, și reamintește condițiile.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Ridicare directă cu monoame

Cerință: Calculează ${\left(\frac{3m^2}{5n}\right)}^2$ și precizează condițiile de existență.

Rezolvare. Numitorul este $5n$, deci condiția de existență este $n\ne 0$.

Ridicăm la pătrat numărătorul și numitorul:

$${\left(\frac{3m^2}{5n}\right)}^2=\frac{(3m^2{)}^2}{(5n{)}^2}.$$

Aplicăm puterea unui produs și puterea unei puteri:

$$=\frac{3^2\cdot (m^2{)}^2}{5^2\cdot n^2}=\frac{9m^4}{25n^2}.$$

Răspuns: $\frac{9m^4}{25n^2}$, pentru $n\ne 0$.

Exemplul 2 — Exponent impar și semn negativ

Cerință: Calculează ${\left(\frac{-2x^3}{y^2}\right)}^3$, cu $y\ne 0$.

Rezolvare. Exponentul $3$ este impar, deci semnul minus se păstrează.

$${\left(\frac{-2x^3}{y^2}\right)}^3=\frac{(-2x^3{)}^3}{(y^2{)}^3}=\frac{(-2{)}^3\cdot (x^3{)}^3}{y^6}=\frac{-8x^9}{y^6}=-\frac{8x^9}{y^6}.$$

Am folosit $(-2{)}^3=-8$, $(x^3{)}^3=x^9$ și $(y^2{)}^3=y^6$.

Răspuns: $-\frac{8x^9}{y^6}$, pentru $y\ne 0$.

Exemplul 3 — Simplificare, apoi ridicare la putere

Cerință: Calculează ${\left(\frac{4a^3{b}^2}{6a^2{b}^4}\right)}^2$.

Rezolvare. Numitorul inițial $6a^2{b}^4\ne 0$ ne dă condițiile $a\ne 0$ și $b\ne 0$.

Simplificăm mai întâi fracția din paranteză:

$$\frac{4a^3{b}^2}{6a^2{b}^4}=\frac{4}{6}\cdot \frac{a^3}{a^2}\cdot \frac{b^2}{b^4}=\frac{2}{3}\cdot a\cdot \frac{1}{b^2}=\frac{2a}{3b^2}.$$

Acum ridicăm la pătrat:

$${\left(\frac{2a}{3b^2}\right)}^2=\frac{(2a{)}^2}{(3b^2{)}^2}=\frac{4a^2}{9b^4}.$$

Răspuns: $\frac{4a^2}{9b^4}$, pentru $a\ne 0$ și $b\ne 0$.

Exemplul 4 — Binom la pătrat cu formulă de calcul prescurtat

Cerință: Scrie sub formă dezvoltată ${\left(\frac{2x-1}{x+4}\right)}^2$.

Rezolvare. Condiția de existență: $x+4\ne 0$, deci $x\ne -4$.

Ridicăm la pătrat numărătorul și numitorul:

$${\left(\frac{2x-1}{x+4}\right)}^2=\frac{(2x-1{)}^2}{(x+4{)}^2}.$$

La numărător aplicăm $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$ cu $a=2x$, $b=1$:

$$(2x-1{)}^2=(2x{)}^2-2\cdot 2x\cdot 1+1^2=4x^2-4x+1.$$

La numitor aplicăm $(a+b{)}^2$ cu $a=x$, $b=4$:

$$(x+4{)}^2=x^2+8x+16.$$

Răspuns: $\frac{4x^2-4x+1}{x^2+8x+16}$, pentru $x\ne -4$.

Exemplul 5 — Descompunere în factori, apoi ridicare la putere

Cerință: Simplifică și apoi ridică la pătrat: ${\left(\frac{x^2-4}{x^2+4x+4}\right)}^2$.

Rezolvare. Descompunem numărătorul și numitorul:

• $x^2-4=(x-2)(x+2)$ (diferență de pătrate);
• $x^2+4x+4=(x+2{)}^2$ (pătrat perfect).

Condiția de existență o dă numitorul: $(x+2{)}^2\ne 0$, deci $x\ne -2$.

Simplificăm fracția din interior:

$$\frac{(x-2)(x+2)}{(x+2{)}^2}=\frac{x-2}{x+2}.$$

Ridicăm la pătrat:

$${\left(\frac{x-2}{x+2}\right)}^2=\frac{(x-2{)}^2}{(x+2{)}^2}=\frac{x^2-4x+4}{x^2+4x+4}.$$

Răspuns: $\frac{x^2-4x+4}{x^2+4x+4}$, pentru $x\ne -2$.

Exemplul 6 — Putere a unei puteri

Cerință: Calculează ${\left[{\left(\frac{a^2}{b}\right)}^3\right]}^2$, cu $b\ne 0$.

Rezolvare. Aplicăm puterea unei puteri pe întreaga fracție: exponenții se înmulțesc, $3\cdot 2=6$.

$${\left[{\left(\frac{a^2}{b}\right)}^3\right]}^2={\left(\frac{a^2}{b}\right)}^6=\frac{(a^2{)}^6}{b^6}=\frac{a^{12}}{b^6}.$$

Răspuns: $\frac{a^{12}}{b^6}$, pentru $b\ne 0$.

Exemplul 7 — Toate ideile într-un singur calcul

Cerință: Simplifică și ridică la pătrat expresia ${\left(\frac{2a^2-2ab}{a^2-b^2}\right)}^2$.

Rezolvare. Descompunem în factori numărătorul și numitorul.

• La numărător scoatem factorul comun: $2a^2-2ab=2a(a-b)$.
• La numitor folosim diferența de pătrate: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.

Condiția de existență o dă numitorul: $(a-b)(a+b)\ne 0$, deci $a\ne b$ și $a\ne -b$.

Simplificăm fracția din interior (cu factorul comun $a-b$):

$$\frac{2a(a-b)}{(a-b)(a+b)}=\frac{2a}{a+b}.$$

Acum ridicăm la pătrat, folosind și formula pătratului unei sume la numitor:

$${\left(\frac{2a}{a+b}\right)}^2=\frac{(2a{)}^2}{(a+b{)}^2}=\frac{4a^2}{a^2+2ab+b^2}.$$

Răspuns: $\frac{4a^2}{a^2+2ab+b^2}$, pentru $a\ne b$ și $a\ne -b$. Acest exemplu reunește toate ideile lecției: scoaterea factorului comun, diferența de pătrate, simplificarea, regula puterii și formula de calcul prescurtat.

Să exersăm

Rezolvă în caiet, arătând pașii. Precizează condițiile de existență acolo unde e cazul.

1. Calculează ${\left(\frac{x}{5}\right)}^2$.
2. Calculează ${\left(\frac{2}{a}\right)}^3$.
3. Calculează ${\left(\frac{3a}{4b}\right)}^2$.
4. Calculează ${\left(\frac{a^3}{b^2}\right)}^4$.
5. Calculează ${\left(\frac{-2x^2}{y^3}\right)}^3$.
6. Calculează ${\left(\frac{5m^{2}n}{2p}\right)}^2$.
7. Calculează ${\left[{\left(\frac{a^2}{b}\right)}^3\right]}^2$.
8. Scrie sub formă dezvoltată ${\left(\frac{x+2}{x-2}\right)}^2$.
9. Scrie sub formă dezvoltată ${\left(\frac{a-5}{b}\right)}^2$.
10. Simplifică, apoi ridică la pătrat: ${\left(\frac{4a^{2}b}{8a{b}^2}\right)}^2$.
11. Simplifică folosind descompunerea în factori, apoi ridică la pătrat: ${\left(\frac{x^2-4}{x^2+4x+4}\right)}^2$. (Verifică-ți raționamentul comparând cu Exemplul 5.)
12. Stabilește condițiile de existență pentru ${\left(\frac{3x}{x-7}\right)}^4$.
13. Adevărat sau fals (justifică): ${\left(\frac{a}{b}\right)}^3=\frac{a^3}{b}$.
14. Problemă aplicată. Un cub are latura $\frac{2a}{3b}$ cm. Scrie o expresie pentru volumul cubului. (Amintește-ți: $V=l^3$.)
15. Arată că ${\left(\frac{a}{b}\right)}^2\cdot {\left(\frac{b}{a}\right)}^2=1$, pentru $a\ne 0$, $b\ne 0$.
16. Item tip Evaluare Națională. Se dă $E={\left(\frac{x^2-1}{x+1}\right)}^2$. Simplifică expresia și precizează condiția de existență.
17. Adevărat sau fals (justifică): Pentru ${\left(\frac{x-3}{x+3}\right)}^2$, condiția de existență este $x\ne 3$.
18. Problemă aplicată. Un pătrat are latura $\frac{5}{2n}$ m. Scrie o expresie pentru aria pătratului și precizează condiția de existență.

Răspunsuri și explicații

1. ${\left(\frac{x}{5}\right)}^2=\frac{x^2}{25}$. Numitorul este numărul $5\ne 0$, deci expresia există pentru orice $x$ real.

2. ${\left(\frac{2}{a}\right)}^3=\frac{2^3}{a^3}=\frac{8}{a^3}$, pentru $a\ne 0$.

3. ${\left(\frac{3a}{4b}\right)}^2=\frac{(3a{)}^2}{(4b{)}^2}=\frac{9a^2}{16b^2}$, pentru $b\ne 0$. Atenție: și $3$, și $4$ se ridică la pătrat.

4. ${\left(\frac{a^3}{b^2}\right)}^4=\frac{(a^3{)}^4}{(b^2{)}^4}=\frac{a^{12}}{b^8}$, pentru $b\ne 0$. Exponenții se înmulțesc: $3\cdot 4=12$, $2\cdot 4=8$.

5. ${\left(\frac{-2x^2}{y^3}\right)}^3=\frac{(-2x^2{)}^3}{(y^3{)}^3}=\frac{-8x^6}{y^9}=-\frac{8x^6}{y^9}$, pentru $y\ne 0$. Exponent impar $\Rightarrow$ semnul minus se păstrează; $(-2{)}^3=-8$, $(x^2{)}^3=x^6$.

6. ${\left(\frac{5m^{2}n}{2p}\right)}^2=\frac{(5m^{2}n{)}^2}{(2p{)}^2}=\frac{25m^4{n}^2}{4p^2}$, pentru $p\ne 0$.

7. ${\left[{\left(\frac{a^2}{b}\right)}^3\right]}^2={\left(\frac{a^2}{b}\right)}^6=\frac{a^{12}}{b^6}$, pentru $b\ne 0$. Exponenții se înmulțesc: $3\cdot 2=6$.

8. ${\left(\frac{x+2}{x-2}\right)}^2=\frac{(x+2{)}^2}{(x-2{)}^2}=\frac{x^2+4x+4}{x^2-4x+4}$, pentru $x\ne 2$. Am folosit $(x+2{)}^2=x^2+4x+4$ și $(x-2{)}^2=x^2-4x+4$.

9. ${\left(\frac{a-5}{b}\right)}^2=\frac{(a-5{)}^2}{b^2}=\frac{a^2-10a+25}{b^2}$, pentru $b\ne 0$. La numărător: $(a-5{)}^2=a^2-2\cdot a\cdot 5+25$.

10. Simplificăm mai întâi: $\frac{4a^{2}b}{8a{b}^2}=\frac{a}{2b}$. Apoi ${\left(\frac{a}{2b}\right)}^2=\frac{a^2}{4b^2}$. Condiții (din numitorul inițial $8a{b}^2$): $a\ne 0$ și $b\ne 0$.

11. Descompunem: $\frac{x^2-4}{x^2+4x+4}=\frac{(x-2)(x+2)}{(x+2{)}^2}=\frac{x-2}{x+2}$. Ridicăm la pătrat: $\frac{(x-2{)}^2}{(x+2{)}^2}=\frac{x^2-4x+4}{x^2+4x+4}$, pentru $x\ne -2$.

12. Numitorul este $x-7$; condiția: $x-7\ne 0$, adică $x\ne 7$. (Exponentul $4$ nu schimbă condiția.)

13. Fals. La ridicarea la putere se ridică și numitorul. Corect este ${\left(\frac{a}{b}\right)}^3=\frac{a^3}{b^3}$, nu $\frac{a^3}{b}$.

14. $V={\left(\frac{2a}{3b}\right)}^3=\frac{(2a{)}^3}{(3b{)}^3}=\frac{8a^3}{27b^3}$ cm³, pentru $b\ne 0$.

15. ${\left(\frac{a}{b}\right)}^2\cdot {\left(\frac{b}{a}\right)}^2=\frac{a^2}{b^2}\cdot \frac{b^2}{a^2}=\frac{a^2\cdot b^2}{b^2\cdot a^2}=1$. La numărător și la numitor apar aceiași factori, deci fracția este egală cu $1$ (pentru $a\ne 0$, $b\ne 0$).

16. $E={\left(\frac{x^2-1}{x+1}\right)}^2$. Descompunem $x^2-1=(x-1)(x+1)$, deci $\frac{(x-1)(x+1)}{x+1}=x-1$. Atunci $E=(x-1{)}^2=x^2-2x+1$. Condiția de existență: $x+1\ne 0$, adică $x\ne -1$.

17. Fals. Condiția o dă numitorul $x+3$: $x+3\ne 0$, adică $x\ne -3$ (nu $x\ne 3$). Este o confuzie tipică între semnul din numitor și condiția pusă asupra lui $x$.

18. $A={\left(\frac{5}{2n}\right)}^2=\frac{5^2}{(2n{)}^2}=\frac{25}{4n^2}$ m², pentru $n\ne 0$.

De reținut

• Regula puterii unei fracții: ${\left(\frac{A}{B}\right)}^n=\frac{A^n}{B^n}$, cu $B\ne 0$ — se ridică la putere atât numărătorul, cât și numitorul.
• La monoame folosești puterea unui produs $(ab{)}^n=a^n{b}^n$ și puterea unei puteri $(a^m{)}^n=a^{mn}$; coeficienții numerici se ridică și ei la putere.
• La binoame la pătrat folosești formulele de calcul prescurtat: $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ și $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$.
• Simplifică mai întâi (eventual descompunând în factori), apoi ridică la putere — obții același rezultat cu mai puțin efort.
• Condiția de existență se stabilește din numitorul inițial și se păstrează pentru forma finală: numitorul nu poate fi niciodată zero.

Greșeli frecvente

• Ridici la putere doar numărătorul (sau doar numitorul). Scrii ${\left(\frac{a}{b}\right)}^3=\frac{a^3}{b}$. Greșit! Exponentul se aplică ambelor părți: $\frac{a^3}{b^3}$.
• Uiți să ridici la putere coeficientul numeric. Scrii $(2x{)}^2=2x^2$ în loc de $4x^2$. Numărul din fața literei intră și el sub putere: $(2x{)}^2=2^2{x}^2=4x^2$.
• Confunzi „pătratul unui binom" cu „suma pătratelor". Scrii $(x+3{)}^2=x^2+9$, uitând termenul din mijloc. Corect: $(x+3{)}^2=x^2+6x+9$ — trei termeni.
• Aduni exponenții la putere a unei puteri. Scrii ${\left[{\left(\frac{a}{b}\right)}^2\right]}^3={\left(\frac{a}{b}\right)}^5$. Greșit — exponenții se înmulțesc: ${\left(\frac{a}{b}\right)}^6$.

Aplică acasă

1. Cutii și cuburi. Găsește prin casă un cub sau o cutie cubică (un zar, un cub Rubik). Măsoară latura și notează-o cu o expresie de tipul $\frac{2a}{3}$ (unde $a$ ar fi o unitate aleasă de tine). Scrie formula volumului $V=l^3$ folosind ridicarea la putere a fracției și verifică-ți rezultatul înlocuind $a$ cu o valoare concretă.

2. Grădina în formă de pătrat. Imaginează-ți un teren pătrat cu latura $\frac{x}{4}$ metri. Scrie aria ca ${\left(\frac{x}{4}\right)}^2$ și calculează cât ar fi aria pentru $x=8$, apoi pentru $x=12$. Observă cum crește aria mult mai repede decât latura — aceasta e „puterea" ridicării la pătrat.

3. Fișă proprie de exerciții. Creează singur trei fracții algebrice (una cu monoame, una cu binom la pătrat, una care se poate simplifica prin descompunere) și ridică-le la putere. Roagă un coleg să le rezolve și verificați-vă reciproc, insistând asupra condițiilor de existență.

Pentru părinți și profesori

Ridicarea la putere a fracțiilor algebrice este o operație scurtă ca regulă, dar bogată ca aplicații: ea reunește puterile monoamelor, formulele de calcul prescurtat și simplificarea prin descompunere în factori. La Evaluarea Națională, această temă apare rar izolat, dar constant integrată în subiectele de tip II (rezolvare de probleme): la calculul unei expresii algebrice complexe, la aducerea unei fracții la o formă mai simplă sau la calcule cu volume și arii, unde apar puteri ale unor rapoarte.

Pentru a verifica dacă elevul a înțeles, puneți întrebări precum:

• „De ce se ridică la putere și numitorul, nu doar numărătorul?" (răspunsul corect arată înțelegerea definiției puterii, nu memorarea mecanică);
• „Câți termeni are $(x+2{)}^2$ și de ce?" (pentru a evita confuzia cu suma pătratelor);
• „De unde iei condiția de existență — din numărător sau din numitor?" (mereu din numitor).

Un semn bun de înțelegere este când elevul simplifică din reflex înainte de a ridica la putere și când scrie automat condițiile de existență, chiar dacă cerința nu le solicită explicit — este exact obiceiul care aduce punctele întregi la examen.

Întrebări frecvente

Cum ridic la putere o fracție algebrică la clasa a 8-a? Ridici la acea putere separat numărătorul și numitorul: ${\left(\frac{A}{B}\right)}^n=\frac{A^n}{B^n}$, cu $B\ne 0$. Apoi calculezi fiecare putere folosind regulile puterilor sau formulele de calcul prescurtat, dacă apar binoame.

Se ridică la putere doar numărătorul unei fracții? Nu. Exponentul se aplică și numărătorului, și numitorului. A scrie ${\left(\frac{a}{b}\right)}^3=\frac{a^3}{b}$ este greșit; forma corectă este $\frac{a^3}{b^3}$.

Ce fac cu coeficientul numeric când ridic la putere? Se ridică și el la aceeași putere. De exemplu, ${\left(\frac{3x}{y}\right)}^2=\frac{9x^2}{y^2}$, pentru că $3^2=9$. Este o greșeală frecventă să lași coeficientul neschimbat.

Cum ridic la pătrat un binom de la numărător sau numitor? Folosești formulele de calcul prescurtat: $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ și $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$. Nu uita termenul din mijloc $2ab$ — un pătrat de binom are trei termeni.

Trebuie să simplific înainte sau după ce ridic la putere? Cel mai simplu este să simplifici fracția din interior mai întâi, apoi să ridici la putere. Rezultatul este același, dar calculul e mult mai scurt. Poți chiar să descompui numărătorul și numitorul în factori pentru a simplifica.

De unde iau condiția de existență la o fracție ridicată la putere? Din numitorul fracției inițiale, care trebuie să fie diferit de zero. Exponentul nu schimbă condiția: pentru ${\left(\frac{3x}{x-7}\right)}^4$ condiția rămâne $x\ne 7$.

Ce se întâmplă cu semnul minus când ridic la putere o fracție negativă? Depinde de exponent: dacă este par, rezultatul iese pozitiv; dacă este impar, se păstrează semnul minus. De exemplu, ${\left(\frac{-x}{y}\right)}^2=\frac{x^2}{y^2}$, iar ${\left(\frac{-x}{y}\right)}^3=-\frac{x^3}{y^3}$.

Cum calculez o putere a unei puteri la fracții algebrice? Înmulțești exponenții și aplici regula pe toată fracția: ${\left[{\left(\frac{a}{b}\right)}^m\right]}^n={\left(\frac{a}{b}\right)}^{mn}=\frac{a^{mn}}{b^{mn}}$. Atenție, exponenții se înmulțesc, nu se adună.