Cum împart două fracții algebrice?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Înmulțirea și împărțirea fracțiilor

Răstorni a doua fracție și transformi împărțirea într-o înmulțire: $\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C}$ . Înainte de a înmulți, descompui în factori tot ce se poate și tai perechile identice, chiar dacă una este la prima fracție și cealaltă la a doua. La împărțire se adaugă o condiție în plus: și $C$ trebuie să fie diferit de zero, fiindcă după răsturnare ajunge jos.

La fracțiile algebrice, înmulțirea și împărțirea funcționează exact ca la numerele obișnuite. La înmulțire: $\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{A \cdot C}{B \cdot D}$ — numărător cu numărător, numitor cu numitor. La împărțire, înmulțești cu inversa (răsturnata) celei de-a doua fracții: $\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C}$ .

Rețeta bună: descompui întâi în factori numărătorii și numitorii, apoi simplifici — inclusiv „încrucișat”, adică un factor de sus de la o fracție cu un factor de jos de la cealaltă. Simplificarea se face doar prin factori (înmulțiri), niciodată prin termeni (adunări).

Atenție la condiții: la împărțire apare o condiție în plus — numărătorul celei de-a doua fracții (care devine numitor după răsturnare) trebuie să fie nenul.

Exemplu: $\frac{2 a}{a - 1} \cdot \frac{a - 1}{a} = \frac{2 a ( a - 1 )}{a ( a - 1 )} = 2$ , pentru $a \neq = 0, a \neq = 1$ .

De reținut

$\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{A C}{B D}$
împărțirea = înmulțire cu fracția răsturnată
la împărțire apare o condiție în plus, pentru numărătorul celei de-a doua fracții

Greșeala tipică

Se răstoarnă prima fracție în loc de a doua la împărțire. Se răstoarnă întotdeauna împărțitorul, adică fracția scrisă după semnul de împărțire, iar prima rămâne neatinsă.

Exerciții din această mini-lecție

Calculează $\frac{3 x}{4} \cdot \frac{8}{9 x ^{2}}$ , cu $x \neq = 0$ .
- a) $\frac{2}{3 x}$
- b) $\frac{2 x}{3}$
- c) $\frac{6}{9 x ^{2}}$
- d) $\frac{3}{2 x}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{2}{3 x}$

Simplificăm încrucișat: $3$ cu $9$ dau $1$ și $3$ ; $8$ cu $4$ dau $2$ și $1$ ; $x$ (numărător) cu $x^{2}$ (numitor) dau $1$ și $x$ . Rezultă $\frac{1 \cdot 2}{3 \cdot x} = \frac{2}{3 x}$ .
La împărțirea $\frac{A}{B} : \frac{C}{D}$ , ce condiție de existență apare în plus față de înmulțire?
- a) $A \neq = 0$
- b) $C \neq = 0$
- c) $D \neq = 0$
- d) Nu apare nicio condiție nouă
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $C \neq = 0$

Împărțirea transformă $\frac{C}{D}$ în inversa ei $\frac{D}{C}$ , deci $C$ (numărătorul inițial al fracției-împărțitor) ajunge la numitor și trebuie să fie nenul. Condițiile $B \neq = 0$ și $D \neq = 0$ existau deja și la înmulțire.
Calculează $\frac{5 y ^{2}}{6} \cdot \frac{3}{10 y}$ , cu $y \neq = 0$ .
- a) $\frac{y}{4}$
- b) $\frac{4}{y}$
- c) $\frac{y ^{2}}{4}$
- d) $\frac{y}{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{y}{4}$

Înmulțim numărătorii și numitorii: $\frac{5 y ^{2} \cdot 3}{6 \cdot 10 y} = \frac{15 y ^{2}}{60 y}$ . Simplificăm coeficienții ( $15 : 15 = 1$ , $60 : 15 = 4$ ) și exponenții lui $y$ ( $y^{2} : y = y$ ): rezultă $\frac{y}{4}$ .

Întrebări conexe

Ce fac dacă una dintre fracții are sus un binom?

Îl descompui în factori, dacă se poate, și abia apoi cauți ce se simplifică. Din $\frac{x ^{2} - 4}{x} \cdot \frac{x}{x + 2}$ obții $\frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{x} \cdot \frac{x}{x + 2} = x - 2$ . Fără descompunere nu ai vedea nicio simplificare.

Cum înmulțesc o fracție algebrică cu un număr întreg?

Scrii numărul ca fracție cu numitorul unu, apoi înmulțești obișnuit. Din $3 \cdot \frac{2 x}{5}$ obții $\frac{6 x}{5}$ . Numitorul rămâne neschimbat, fiindcă înmulțirea de jos a fost cu unu.

Ce înseamnă că se simplifică prin factori, nu prin termeni?

Înseamnă că poți tăia doar bucăți legate prin înmulțire, nu bucăți despărțite de plus sau minus. La $\frac{x + 3}{x}$ litera de sus nu se taie cu cea de jos, fiindcă sus ea este termen, nu factor. Fracția rămâne așa cum este.

Cum scriu rezultatul dacă totul se simplifică și rămâne un număr?

Scrii numărul obținut și adaugi condițiile luate de la forma inițială. Din $\frac{2 a}{a - 1} \cdot \frac{a - 1}{a}$ rămâne $2$ , valabil pentru $a$ diferit de zero și de unu. Condițiile nu dispar odată cu literele.

Cum recunosc un factor de sus care se simplifică cu unul de jos?

Cauți paranteze scrise identic sau care diferă doar prin semn. Perechea $(x - 2)$ de sus cu $(x - 2)$ de jos se taie direct, iar $(2 - x)$ se transformă întâi în $- (x - 2)$ . După tăiere rămâne un minus în fața fracției.

La ce ajută înmulțirea fracțiilor algebrice într-un exercițiu lung?

Ajută la scurtarea expresiei înainte de calculul final: multe produse se reduc la un singur termen sau chiar la un număr. Cu cât simplifici mai devreme, cu atât ai numere mai mici de purtat prin pașii următori.

Oamenii mai întreabă și: împărțirea fracțiilor algebrice · înmulțirea fracțiilor algebrice · inversa unei fracții algebrice · cum împart fracții cu litere · simplificare încrucișată