Care dintre următoarele numere este mai mare: $$3\sqrt{5}$$ sau $$4\sqrt{3}$$?

nu se poate determina fără calculator

Cum introduc un factor sub radical?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Introducerea factorilor sub radical

Numărul din față intră ridicat la pătrat și se înmulțește cu ce se află deja sub semn: $a b = a^{2} b$ , pentru numere pozitive sau nule. Așa $35$ devine $9 \cdot 5 = 45$ . Este drumul invers al scoaterii factorilor, deci verificarea se face scoțându-i la loc. Folosul cel mare este compararea: aduse la un singur radical, două numere se pun în ordine privind doar ce stă sub semn.

Când ai un număr de forma $a b$ și vrei să-l scrii ca un singur radical, folosești regula de aur: $a b = a^{2} \cdot b$ , valabilă pentru $a \geq 0$ și $b \geq 0$ . Cu alte cuvinte, factorul din față se ridică la pătrat și se înmulțește cu numărul de sub radical — nu se înmulțește direct cu el! De exemplu: $35 = 3^{2} \cdot 5 = 9 \cdot 5 = 45$ .

Este operația inversă scoaterii factorilor de sub radical, așa că orice rezultat se poate verifica scoțând factorul înapoi. Cel mai util lucru pe care ți-l dă această regulă este puterea de a compara două numere iraționale: le transformi pe amândouă în radicali puri, apoi compari doar numerele de sub radical — cel mai mare câștigă. De reținut: chiar și un întreg, ca $7$ , se poate scrie ca radical, $7 = 49$ , ca să poată intra în comparație cu alți radicali.

De reținut

$a b = a^{2} b$ , pentru $a, b \geq 0$
se ridică la pătrat numai numărul dinafară
este operația inversă scoaterii factorilor
comparație: aduci la radicali puri, apoi privești ce e sub semn

Greșeala tipică

Factorul intră fără să fie ridicat la pătrat, așa că $52$ ajunge $10$ . Scrierea corectă este $50$ , iar verificarea prin scoaterea factorilor o arată imediat.

Exerciții din această mini-lecție

Introdu factorul sub radical: $43$ .
- a) $12$
- b) $48$
- c) $24$
- d) $7$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $48$

Ridicăm factorul la pătrat: $4^{2} = 16$ , apoi înmulțim cu numărul de sub radical: $16 \cdot 3 = 48$ . Deci $43 = 16 \cdot 3 = 48$ . Greșeala tipică (varianta a) apare dacă înmulțești direct $4 \cdot 3$ fără să ridici la pătrat.
Care dintre următoarele numere este mai mare: $35$ sau $43$ ?
- a) $35$
- b) $43$
- c) sunt egale
- d) nu se poate determina fără calculator
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $43$

Introducem factorii: $35 = 9 \cdot 5 = 45$ și $43 = 16 \cdot 3 = 48$ . Cum $48 > 45$ , rezultă $43 > 35$ , deși la prima vedere factorul $3$ e mai mic decât $4$ , dar contează numărul de sub radical după transformare.
Introdu factorul sub radical: $53$ .
- a) $15$
- b) $75$
- c) $30$
- d) $8$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $75$

Ridicăm factorul la pătrat: $5^{2} = 25$ , apoi înmulțim cu numărul de sub radical: $25 \cdot 3 = 75$ . Deci $53 = 25 \cdot 3 = 75$ . Greșeala tipică (varianta a) apare dacă înmulțești direct $5 \cdot 3$ fără să ridici la pătrat.

Întrebări conexe

Cine e mai mare, 5 radical din 2 sau 3 radical din 6?

Al doilea. Introduci factorii și obții $50$ , respectiv $54$ , iar 54 întrece pe 50. Numărul din față nu hotărăște singur, deși 5 este mai mare decât 3, tocmai fiindcă și cel de sub semn cântărește.

Ce se întâmplă cu o fracție aflată în fața radicalului?

Intră tot ridicată la pătrat, deci numărul de sub semn se împarte. Din $\frac{1}{2} 8$ iese $\frac{8}{4} = 2$ . Rezultatul se poate verifica și pe drumul obișnuit, simplificând întâi radicalul.

De ce nu se ridică la pătrat și numărul de sub radical?

Fiindcă acela se află deja sub semn și nu are de ce să se schimbe. Numai factorul dinafară trebuie preschimbat, ca să treacă dincolo. Ridicând amândouă numerele, ai obține din $52$ rezultatul $100$ , adică 10, mult peste valoarea adevărată de aproape $7, 07$ .

Unde apare introducerea factorilor în probleme de geometrie?

Apare la compararea unor lungimi scrise cu radicali, de pildă când vrei să vezi care diagonală este mai lungă. Apare și la ordonarea laturilor unui triunghi, unde măsurile ies adesea sub forma unui număr înmulțit cu un radical.

Cum verific dacă am introdus corect factorul sub radical?

Scoți factorii înapoi de sub radicalul obținut și trebuie să ajungi la scrierea de la care ai pornit. Din $45$ iese $9 \cdot 5 = 35$ , deci introducerea a fost corectă. Verificarea aceasta durează câteva secunde.

Poate un radical pur să fie egal cu un număr întreg?

Poate, atunci când numărul de sub semn este pătrat perfect: $49$ face 7. Tocmai de aceea orice întreg pozitiv se poate scrie ca radical, ridicându-l la pătrat, ceea ce ajută la compararea lui cu alte numere scrise cu radicali.

Oamenii mai întreabă și: introducerea factorilor sub radical · cum bag un număr sub radical · a radical din b egal radical din a la pătrat ori b · compararea radicalilor · scrierea ca radical pur