Care afirmație este corectă despre linia mijlocie a unui triunghi?

Este paralelă cu a treia latură și egală cu jumătate din ea

Este perpendiculară pe a treia latură

Este egală cu dublul celei de-a treia laturi

Un triunghi are o singură linie mijlocie

Ce este linia mijlocie a unui triunghi?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Linia mijlocie în triunghi

Este segmentul dus între mijloacele a două dintre laturile lui. Un triunghi are trei asemenea segmente, câte unul pentru fiecare pereche de laturi. Fiecare dintre ele merge paralel cu latura rămasă și măsoară jumătate din ea: la o latură de 14 cm iese 7 cm. Drumul invers cere înmulțirea cu doi. Există și proprietatea întoarsă: dreapta care pleacă din mijlocul unei laturi, paralelă cu alta, atinge a treia latură chiar la mijloc.

Într-un triunghi $A B C$ , dacă $M$ este mijlocul laturii $[A B]$ și $N$ este mijlocul laturii $[A C]$ , segmentul $[M N]$ se numește linie mijlocie. Un triunghi are întotdeauna trei linii mijlocii, câte una pentru fiecare pereche de laturi.

Teorema liniei mijlocii spune că linia mijlocie este paralelă cu a treia latură și are lungimea egală cu jumătate din ea:

$M N ∥ B C ș i M N = \frac{B C}{2} .$

Exemplu: dacă $B C = 14$ cm, atunci $M N = \frac{14}{2} = 7$ cm.

Atenție la sens: linia mijlocie e mai mică decât a treia latură (nu invers). Dacă vrei latura din linia mijlocie, înmulțești cu 2: $B C = 2 \cdot M N$ .

Există și o reciprocă: dacă o dreaptă trece prin mijlocul unei laturi și e paralelă cu altă latură, ea taie a treia latură exact la mijlocul ei — utilă pentru a demonstra că un punct este mijloc.

De reținut

linia mijlocie unește mijloacele a două laturi
este paralelă cu a treia latură
$M N = \frac{B C}{2}$ , deci $B C = 2 \cdot M N$
un triunghi are trei linii mijlocii

Greșeala tipică

Se scrie că segmentul dintre mijloace este dublul laturii. El este jumătate din ea, deci mereu mai scurt; dublul apare doar la drumul invers, când afli latura.

Exerciții din această mini-lecție

În triunghiul $A B C$ , $M$ este mijlocul lui $[A B]$ și $N$ este mijlocul lui $[A C]$ . Dacă $B C = 20$ cm, cât măsoară linia mijlocie $M N$ ?
- a) $5$ cm
- b) $10$ cm
- c) $20$ cm
- d) $40$ cm
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $10$ cm

Linia mijlocie este jumătate din a treia latură: $M N = \frac{B C}{2} = \frac{20}{2} = 10$ cm.
Care afirmație este corectă despre linia mijlocie a unui triunghi?
- a) Este paralelă cu a treia latură și egală cu jumătate din ea
- b) Este perpendiculară pe a treia latură
- c) Este egală cu dublul celei de-a treia laturi
- d) Un triunghi are o singură linie mijlocie
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) Este paralelă cu a treia latură și egală cu jumătate din ea

Teorema liniei mijlocii: $M N ∥ B C$ și $M N = \frac{B C}{2}$ . Un triunghi are trei linii mijlocii, nu doar una, iar linia mijlocie nu e perpendiculară, ci paralelă cu a treia latură.
În triunghiul $X Y Z$ , $M$ este mijlocul lui $[X Y]$ și $N$ este mijlocul lui $[X Z]$ . Dacă $Y Z = 42$ cm, cât măsoară linia mijlocie $M N$ ?
- a) $21$ cm
- b) $11$ cm
- c) $31$ cm
- d) $42$ cm
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $21$ cm

Linia mijlocie este jumătate din a treia latură: $M N = \frac{Y Z}{2} = \frac{42}{2} = 21$ cm. Varianta d) apare din greșeala de a uita împărțirea la 2.

Întrebări conexe

Cât măsoară linia mijlocie dacă latura are 14 cm?

Măsoară 7 cm, adică jumătate. Sensul contează: segmentul dintre mijloace este cel scurt, iar latura este cea lungă. Dacă îți iese un rezultat mai mare decât latura, ai înmulțit acolo unde trebuia să împarți.

Ce perimetru are triunghiul format din cele trei linii mijlocii?

Jumătate din perimetrul celui de la care ai pornit, fiindcă fiecare latură a lui este jumătate dintr-o latură a triunghiului mare. Adunând cele trei jumătăți obții exact jumătate din suma laturilor inițiale.

Cum arăt că un punct este mijlocul unei laturi?

Folosești proprietatea întoarsă: dacă dreapta care trece prin el pornește din mijlocul altei laturi și este paralelă cu a treia, atunci punctul este mijloc. Este metoda obișnuită în demonstrații, când mijlocul nu este dat în enunț.

Ce arie are triunghiul median față de cel de la care am pornit?

Un sfert din ea. Laturile lui sunt pe jumătate, deci și baza, și înălțimea se înjumătățesc, iar produsul lor scade de patru ori. Cele trei triunghiuri rămase pe colțuri au fiecare tot un sfert din arie.

Ce figură obțin unind mijloacele laturilor unui patrulater?

Un paralelogram, oricât de neregulat ar fi patrulaterul de la care pornești. Se explică prin liniile mijlocii ale celor două triunghiuri tăiate de o diagonală: amândouă ies paralele cu ea și egale cu jumătatea ei.

Ce se întâmplă cu linia mijlocie într-un triunghi dreptunghic?

Cea care unește mijloacele catetelor este paralelă cu ipotenuza și jumătate din ea. Segmentul dintre mijlocul unei catete și mijlocul ipotenuzei iese paralel cu cealaltă catetă, deci perpendicular pe prima.

Oamenii mai întreabă și: linia mijlocie · linia mijlocie în triunghi · teorema liniei mijlocii · segmentul care unește mijloacele a două laturi · MN egal BC supra 2