Cum se calculează lungimea cercului?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Lungimea cercului și a arcului

Se înmulțește raza cu $2 π$ , ori diametrul cu $π$ : $L = 2 π R = π d$ . Pentru o rază de 5 cm iese $10 π$ , aproape $31, 4$ cm. Numărul $π$ arată de câte ori intră diametrul în ocolul cercului și este același la orice cerc. O bucată de cerc de $n$ grade ia din ocol atâta cât reprezintă $n$ din 360, deci lungimea ei este $\frac{π R n}{180}$ .

Gândește-te la o roată de bicicletă: cât înaintează pe sol după o rotație completă? Exact atât cât este lungimea cercului! Ea depinde doar de rază $R$ (sau diametru $d$ ) și de numărul $π \approx 3, 14 \approx \frac{22}{7}$ , care este raportul constant $π = \frac{L}{d}$ pentru orice cerc, oricât de mare sau de mic. Formula de bază este $L = 2 π R = π d .$ Dacă știi lungimea și vrei raza, întorci formula: $R = \frac{L}{2 π}$ .

Uneori nu ne interesează tot cercul, ci doar o „felie" numită arc. Un arc de $n$ grade reprezintă fracția $\frac{n}{360}$ din cerc, deci lungimea lui este $l = \frac{π R n}{180} .$

Exemplu: pentru $R = 5$ cm, $L = 2 π \cdot 5 = 10 π \approx 31, 4$ cm, iar un arc de $90°$ din acest cerc are $l = \frac{10 π}{4} = 2, 5 π \approx 7, 85$ cm.

De reținut

$L = 2 π R = π d$
$R = \frac{L}{2 π}$
arcul de $n$ grade: $l = \frac{π R n}{180} = \frac{n}{360} \cdot L$
$π \approx 3, 14$ , un număr irațional

Greșeala tipică

Se pune diametrul în formula cu $2 π$ și rezultatul iese dublu. Cu raza se folosește $2 π R$ , iar cu diametrul, $π d$ .

Exerciții din această mini-lecție

Un cerc are raza $R = 4$ cm. Cât este lungimea cercului, exact, în funcție de $π$ ?
- a) $4 π$ cm
- b) $8 π$ cm
- c) $16 π$ cm
- d) $2 π$ cm
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $8 π$ cm

Folosim formula $L = 2 π R = 2 \cdot π \cdot 4 = 8 π$ cm.
Un cerc are raza $R = 9$ cm. Cât este lungimea cercului, exact, în funcție de $π$ ?
- a) $18 π$ cm
- b) $8 π$ cm
- c) $28 π$ cm
- d) $9 π$ cm
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $18 π$ cm

Folosim formula $L = 2 π R = 2 \cdot π \cdot 9 = 18 π$ cm.
Într-un cerc de rază $R = 20$ cm se consideră un arc de măsură $n = 45°$ . Află lungimea arcului, exact, în funcție de $π$ .
- a) $5 π$ cm
- b) $15 π$ cm
- c) $25 π$ cm
- d) $10 π$ cm
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $5 π$ cm

$l = \frac{π R n}{180} = \frac{π \cdot 20 \cdot 45}{180} = \frac{900 π}{180} = 5 π$ cm.

Întrebări conexe

Câți metri parcurge o roată de bicicletă la o rotație?

Cam $2, 2$ metri la o roată cu diametrul de aproape 70 cm, fiindcă distanța parcursă este chiar ocolul roții. Înmulțind cu numărul de rotații afli drumul întreg, iar de aici vine și felul în care lucrează un vitezometru.

Ce lungime are un arc de 90 de grade într-un cerc de rază 5?

Are $2, 5 π$ centimetri, adică vreo $7, 85$ . Ocolul întreg măsoară $10 π$ , iar 90 de grade înseamnă un sfert din 360, deci un sfert din lungime. La unghiuri obișnuite, împărțirea este mai rapidă decât formula.

Cum aflu diametrul unui copac măsurându-i circumferința?

Împarți lungimea măsurată cu ruleta la $π$ . La un trunchi de 220 cm jur împrejur, diametrul iese aproape 70 cm. Metoda se folosește în silvicultură tocmai fiindcă trunchiul nu poate fi măsurat direct prin mijloc.

Ce se întâmplă cu lungimea cercului dacă dublez raza?

Se dublează și ea, fiindcă raza intră în formulă la puterea întâi. Aici este deosebirea față de arie, care se face de patru ori mai mare, raza fiind acolo ridicată la pătrat.

Cât este perimetrul unui sfert de disc cu raza 4?

Este $2 π + 8$ , cam $14, 3$ unități. Conturul lui are trei bucăți: două raze drepte, de câte 4, și arcul de 90 de grade, care ține un sfert din $8 π$ . Razele se uită ușor, deși fac parte din contur.

Cum compar lungimea unui cerc cu perimetrul pătratului în care e înscris?

Cercul este mai scurt. Pătratul are latura cât diametrul, deci perimetrul lui este $4 d$ , în timp ce cercul măsoară $π d$ , adică aproape $3, 14 d$ . Raportul dintre ele rămâne același la orice mărime.

Oamenii mai întreabă și: lungimea cercului · circumferința cercului · formula 2 pi r · lungimea arcului de cerc · perimetrul cercului