Cum se calculează media ponderată?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Media ponderată și media geometrică

Înmulțești fiecare valoare cu ponderea ei, strângi la un loc rezultatele și le împarți la cât fac ponderile adunate. Numitorul nu este numărul valorilor. Așa se calculează media semestrială, unde nota de peste an intră cu ponderea 3, iar teza cu ponderea 1. Alături de ea se învață media geometrică a două numere pozitive, $ab$ : pentru 2 și 8 iese 4. Media aritmetică nu coboară niciodată sub cea geometrică, cele două fiind egale doar la numere la fel.

Media aritmetică ponderată se folosește atunci când numerele nu contează la fel: fiecare număr $x_{i}$ are o pondere $p_{i}$ , care arată cât de mult „cântărește”. Formula este

$\overset{x}{ˉ} = \frac{p _{1} x _{1} + p _{2} x _{2} + \dots}{p _{1} + p _{2} + \dots}$

— înmulțești fiecare număr cu ponderea lui, aduni produsele, apoi împarți la suma ponderilor (nu la numărul de valori!). Exact așa se calculează media semestrială: media din timpul semestrului are pondere $3$ , iar teza pondere $1$ .

Media geometrică se aplică doar la două numere strict pozitive $a$ și $b$ , prin formula $m_{g} = a \cdot b$ . Ea este latura pătratului cu aceeași arie ca un dreptunghi de laturi $a$ și $b$ .

Exemplu. Media geometrică a lui $2$ și $8$ este $2 \cdot 8 = 16 = 4$ .

Reține regula de aur: pentru orice două numere pozitive, media aritmetică este mereu mai mare sau egală cu cea geometrică, $\frac{a + b}{2} \geq ab$ , cu egalitate doar când $a = b$ .

De reținut

$\overset{x}{ˉ} = \frac{p _{1} x _{1} + p _{2} x _{2} + \dots}{p _{1} + p _{2} + \dots}$
se împarte la suma ponderilor, nu la numărul valorilor
media geometrică a două numere pozitive: $ab$
$\frac{a + b}{2} \geq ab$ , cu egalitate doar la $a = b$

Greșeala tipică

Se împarte la numărul de note, nu la suma ponderilor. La o medie cu ponderile 3 și 1, numitorul este 4, chiar dacă valorile sunt doar două.

Exerciții din această mini-lecție

Calculează media aritmetică ponderată a numerelor $4$ și $9$ cu ponderile $1$ și $3$ .
- a) $6, 5$
- b) $7$
- c) $7, 75$
- d) $8, 25$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $7, 75$

Numărătorul este $1 \cdot 4 + 3 \cdot 9 = 4 + 27 = 31$ , iar numitorul (suma ponderilor) este $1 + 3 = 4$ . Media este $\frac{31}{4} = 7, 75$ . Numărul $9$ a avut pondere mai mare, așa că rezultatul e „tras” spre el.
Pentru numerele $2$ și $8$ (numere diferite, ambele pozitive), care medie este mai mare?
- a) Media aritmetică
- b) Media geometrică
- c) Sunt egale
- d) Nu se pot compara
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) Media aritmetică

Media aritmetică este $\frac{2 + 8}{2} = 5$ , iar media geometrică este $2 \cdot 8 = 16 = 4$ . Cum $5 > 4$ , media aritmetică este mai mare — exact ce spune proprietatea $\frac{a + b}{2} \geq ab$ , cu egalitate doar când numerele sunt egale (aici $2 \neq = 8$ ).
Calculează media aritmetică ponderată a numerelor $12$ și $27$ cu ponderile $2$ și $1$ .
- a) $17$
- b) $7$
- c) $27$
- d) $24$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $17$

Numărătorul este $2 \cdot 12 + 1 \cdot 27 = 24 + 27 = 51$ , iar numitorul (suma ponderilor) este $2 + 1 = 3$ . Media este $\frac{51}{3} = 17$ .

Întrebări conexe

La ce folosește media geometrică în probleme practice?

La mărimi care se înmulțesc între ele, nu se adună. Dacă vrei un pătrat care să acopere exact cât un dreptunghi dat, latura lui iese tocmai media geometrică a celor două laturi. Tot ea apare în triunghiul dreptunghic, unde înălțimea din unghiul drept leagă proiecțiile catetelor.

Cum calculez media unui coș de cumpărături cu cantități diferite?

Prețul mediu iese împărțind suma plătită la cantitatea totală, ceea ce este chiar o medie ponderată, unde ponderile sunt cantitățile. La 2 kg cu 8 lei și 3 kg cu 13 lei, plătești 55 de lei pentru 5 kg, deci 11 lei kilogramul.

De ce media ponderată se apropie de valoarea cu ponderea mare?

Fiindcă acea valoare intră de mai multe ori în sumă, deci trage rezultatul spre ea. La o pondere de trei ori mai mare, valoarea cântărește cât trei valori obișnuite, iar celelalte abia dacă mai mișcă rezultatul.

Cât este media geometrică a unui număr cu el însuși?

Este chiar numărul acela, fiindcă rădăcina din pătratul lui îl dă înapoi. Este singura situație în care media geometrică ajunge la fel cu cea aritmetică, ceea ce arată de ce egalitatea se întâmplă doar la numere identice.

Cum aflu media anuală din mediile a două semestre?

Faci media obișnuită a celor două, adică le aduni și împarți la doi, ambele cântărind la fel. Media aceasta se rotunjește după regulile din regulament, iar dacă vrei să știi ce notă îți trebuie, pornești invers, de la rezultatul dorit.

Ce medie folosesc la creșteri procentuale repetate?

Cea geometrică, fiindcă procentele se înmulțesc între ele, nu se adună. La o creștere de 21 la sută în doi ani, creșterea medie anuală este cea care, înmulțită cu ea însăși, dă totalul, adică 10 la sută, nu $10, 5$ .

Oamenii mai întreabă și: media aritmetică ponderată · medie ponderată · media geometrică · formula medie geometrică · ce înseamnă ponderea unei note