În triunghiul $$DEF$$, punctul $$R$$ este situat pe latura $$DF$$ astfel încât $$DR = RF$$. Segmentul $$ER$$ este mediană? Din ce vârf?

Da, $$ER$$ este mediana din vârful $$E$$, deoarece $$R$$ este mijlocul laturii opuse $$DF$$.

Nu, $$ER$$ nu este mediană, deoarece nu pleacă dintr-un vârf spre mijlocul laturii opuse.

Da, $$ER$$ este mediana din vârful $$D$$, deoarece unește $$D$$ cu un punct de pe $$DF$$.

Nu se poate ști, fiindcă nu cunoaștem lungimile laturilor triunghiului.

În triunghiul $$XYZ$$, punctul $$S$$ este mijlocul laturii $$XY$$. Segmentul $$ZS$$ este mediană? Din ce vârf?

Da, $$ZS$$ este mediana din vârful $$Z$$, deoarece $$S$$ este mijlocul laturii opuse $$XY$$.

Nu, $$ZS$$ nu este mediană, deoarece nu pleacă dintr-un vârf spre mijlocul laturii opuse.

Da, $$ZS$$ este mediana din vârful $$X$$, deoarece unește $$X$$ cu un punct de pe $$XY$$.

Nu se poate ști, fiindcă nu cunoaștem lungimile laturilor triunghiului.

Unde se întâlnesc medianele unui triunghi?

Lecția pe scurt · clasa a VI-a · Medianele și centrul de greutate

Cele trei mediane se taie într-un singur loc, numit centru de greutate și notat $G$ . Punctul se află mereu înăuntrul figurii, indiferent de forma triunghiului. Pe fiecare mediană, $G$ lasă spre vârf două părți și spre latură o parte, deci distanța de la vârf este dublul celeilalte. Dacă mediana măsoară $15$ cm, bucata dinspre vârf are $10$ cm, iar cealaltă are $5$ cm.

Într-un triunghi $A B C$ , mediana corespunzătoare unui vârf este segmentul care unește acel vârf cu mijlocul laturii opuse. De exemplu, mediana din $A$ este $A M$ , unde $M$ este mijlocul laturii $B C$ , adică $B M = M C = \frac{B C}{2}$ . Orice triunghi are exact trei mediane, câte una din fiecare vârf.

Cele trei mediane sunt concurente: se întâlnesc întotdeauna într-un singur punct, numit centrul de greutate, notat $G$ . Acesta este punctul de echilibru al triunghiului și se află întotdeauna în interiorul lui, oricare ar fi forma triunghiului.

Pe fiecare mediană, $G$ împarte segmentul în raportul $2 : 1$ dinspre vârf: $A G = 2 \cdot GM$ , deci $A G = \frac{2}{3} \cdot A M$ și $GM = \frac{1}{3} \cdot A M$ .

Exemplu: dacă $A M = 15$ cm, atunci $A G = \frac{2}{3} \cdot 15 = 10$ cm și $GM = \frac{1}{3} \cdot 15 = 5$ cm.

De reținut

mediana unește un vârf cu mijlocul laturii opuse
cele trei mediane se întâlnesc în centrul de greutate $G$ , mereu în interior
$A G = \frac{2}{3} A M$ și $GM = \frac{1}{3} A M$

Greșeala tipică

Se ia centrul de greutate drept mijlocul medianei și se împarte segmentul în două părți egale; raportul corect este $2 : 1$ măsurat dinspre vârf, deci partea dinspre latură este pe jumătate cât cealaltă.

Exerciții din această mini-lecție

În triunghiul $D E F$ , punctul $R$ este situat pe latura $D F$ astfel încât $D R = R F$ . Segmentul $E R$ este mediană? Din ce vârf?
- a) Nu, $E R$ nu este mediană, deoarece nu pleacă dintr-un vârf spre mijlocul laturii opuse.
- b) Da, $E R$ este mediana din vârful $E$ , deoarece $R$ este mijlocul laturii opuse $D F$ .
- c) Da, $E R$ este mediana din vârful $D$ , deoarece unește $D$ cu un punct de pe $D F$ .
- d) Nu se poate ști, fiindcă nu cunoaștem lungimile laturilor triunghiului.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Da, $E R$ este mediana din vârful $E$ , deoarece $R$ este mijlocul laturii opuse $D F$ .

Condiția $D R = R F$ arată că $R$ este exact mijlocul laturii $D F$ . Segmentul $E R$ unește vârful $E$ cu mijlocul laturii opuse lui, adică $D F$ , deci $E R$ este mediană — anume mediana din vârful $E$ .
În triunghiul $X Y Z$ , punctul $S$ este mijlocul laturii $X Y$ . Segmentul $Z S$ este mediană? Din ce vârf?
- a) Nu, $Z S$ nu este mediană, deoarece nu pleacă dintr-un vârf spre mijlocul laturii opuse.
- b) Da, $Z S$ este mediana din vârful $Z$ , deoarece $S$ este mijlocul laturii opuse $X Y$ .
- c) Da, $Z S$ este mediana din vârful $X$ , deoarece unește $X$ cu un punct de pe $X Y$ .
- d) Nu se poate ști, fiindcă nu cunoaștem lungimile laturilor triunghiului.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Da, $Z S$ este mediana din vârful $Z$ , deoarece $S$ este mijlocul laturii opuse $X Y$ .

$S$ este mijlocul laturii $X Y$ , care este latura opusă vârfului $Z$ . Segmentul care unește vârful $Z$ cu mijlocul laturii opuse este chiar mediana din $Z$ , deci $Z S$ este mediana din vârful $Z$ .
În triunghiul $A B C$ , latura $B C$ are lungimea $34$ cm. Se construiește mediana $A T$ , unde $T$ este mijlocul lui $B C$ . Cât măsoară segmentul $T C$ (în cm)?
- a) $17 cm$
- b) $27 cm$
- c) $7 cm$
- d) $34 cm$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $17 cm$

$T$ este mijlocul lui $B C$ (proprietatea medianei), deci $T C = \frac{B C}{2} = 34 : 2 = 17$ cm.

Întrebări conexe

Cum aflu lungimea segmentului AG dacă mediana AM are 15 cm?

Iei două treimi din mediană, fiindcă centrul de greutate lasă spre vârf partea mai mare. Obții $\frac{2}{3} \cdot 15 = 10$ cm pentru $A G$ și $\frac{1}{3} \cdot 15 = 5$ cm pentru $GM$ . Verificarea este simplă: cele două bucăți adunate trebuie să dea mediana întreagă.

De ce centrul de greutate se numește punct de echilibru?

Pentru că o placă triunghiulară subțire stă în echilibru sprijinită exact în acel punct. Masa se distribuie în jurul lui în așa fel încât forțele se compensează. Din acest motiv termenul vine din fizică, deși proprietatea se demonstrează geometric.

Unde cade centrul de greutate la un triunghi obtuzunghic?

Tot în interior, ca la orice triunghi. Medianele pleacă din vârfuri spre mijloacele laturilor opuse, deci nu au cum să iasă din figură, oricât ar fi de turtit triunghiul. Ortocentrul și centrul cercului circumscris se pot muta în afară, dar centrul de greutate nu.

Cum împarte o mediană aria triunghiului?

În două părți cu arii egale, fiindcă cele două triunghiuri obținute au baze egale, jumătățile laturii, și aceeași înălțime dusă din vârful comun. Proprietatea se folosește la problemele în care se cere împărțirea unei suprafețe în bucăți egale.

Cum se notează mediana dusă din vârful A al triunghiului ABC?

Se scrie $A M$ , unde $M$ este mijlocul laturii $B C$ , sau prescurtat $m_{a}$ , litera mică arătând latura opusă. În figură, egalitatea $B M = M C$ se marchează cu câte o liniuță pe fiecare jumătate, ca să se vadă că $M$ este chiar mijlocul.

Unde se folosește centrul de greutate în afara geometriei?

Apare la echilibrarea pieselor, la proiectarea structurilor și la stabilitatea vehiculelor: cu cât acest punct este mai jos, cu atât obiectul se răstoarnă mai greu. Aceeași idee explică de ce un jucător își lasă greutatea mai jos când vrea să reziste unui împins.

Oamenii mai întreabă și: centrul de greutate al triunghiului · punctul de intersecție al medianelor · mediana unui triunghi · raportul 2 la 1 pe mediană