Dreapta $$d$$ trece prin mijlocul segmentului $$[EF]$$ și formează cu el un unghi de $$80°$$. Este $$d$$ mediatoarea segmentului $$[EF]$$?

Nu, pentru că nu este perpendiculară pe segment

Da, pentru că trece prin mijloc

Da, orice dreaptă prin mijloc este mediatoare

Nu se poate ști fără să cunoaștem lungimea lui $$EF$$

Dreapta $$t$$ formează cu segmentul $$[MN]$$ un unghi de $$90°$$, dar nu trece prin mijlocul lui. Este $$t$$ mediatoarea segmentului $$[MN]$$?

Nu, pentru că nu trece prin mijlocul segmentului

Da, pentru că este perpendiculară pe segment

Da, orice dreaptă perpendiculară pe un segment este mediatoare

Nu se poate ști fără să cunoaștem lungimea lui $$MN$$

Ce este mediatoarea unui segment?

Lecția pe scurt · clasa a VI-a · Mediatoarea unui segment

Este dreapta care taie segmentul exact la mijloc și face cu el unghi drept. Ambele condiții trebuie îndeplinite deodată: numai perpendicularitatea sau numai trecerea prin mijloc nu ajung. Proprietatea ei cea mai folositoare spune că punctele de pe această dreaptă sunt la fel de depărtate de cele două capete. Dacă $P$ se află pe mediatoarea segmentului $[A B]$ și $P A = 6$ cm, atunci și $P B = 6$ cm, fără nicio măsurătoare.

Mediatoarea unui segment $[A B]$ este dreapta perpendiculară pe segment, care trece prin mijlocul său, notat $M$ . Trebuie îndeplinite simultan două condiții: (1) trece prin mijloc, deci $M A = M B$ ; (2) este perpendiculară pe segment, deci formează unghi de $90°$ cu el.

Proprietatea de aur: un punct $P$ este pe mediatoare dacă și numai dacă este egal depărtat de capete: $P A = P B$ .

Construcția cu compasul: din $A$ și din $B$ se trasează două arce cu aceeași rază $r > \frac{A B}{2}$ ; arcele se taie în două puncte $C$ și $D$ ; dreapta $C D$ este mediatoarea.

Exemplu: dacă $P$ e pe mediatoarea lui $[A B]$ și $P A = 6 cm$ , atunci automat $P B = 6 cm$ , fără nicio măsurătoare.

De reținut

mediatoarea = perpendiculara dusă prin mijlocul segmentului
$P$ este pe mediatoare $\Leftrightarrow$ $P A = P B$
construcția: din fiecare capăt câte un arc cu aceeași deschidere a compasului

Greșeala tipică

Se confundă mediatoarea cu bisectoarea: prima împarte în două un segment, a doua împarte în două un unghi; mediatoarea are în plus condiția unghiului drept, pe care bisectoarea nu o cere.

Exerciții din această mini-lecție

Dreapta $d$ trece prin mijlocul segmentului $[E F]$ și formează cu el un unghi de $80°$ . Este $d$ mediatoarea segmentului $[E F]$ ?
- a) Da, pentru că trece prin mijloc
- b) Nu, pentru că nu este perpendiculară pe segment
- c) Da, orice dreaptă prin mijloc este mediatoare
- d) Nu se poate ști fără să cunoaștem lungimea lui $E F$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Nu, pentru că nu este perpendiculară pe segment

Mediatoarea trebuie să îndeplinească două condiții deodată: să treacă prin mijloc și să fie perpendiculară (unghi de $90°$ ). Aici trece prin mijloc, dar unghiul este $80° \neq = 90°$ , deci lipsește perpendicularitatea. Prin urmare $d$ nu este mediatoarea lui $[E F]$ .
Dreapta $t$ formează cu segmentul $[M N]$ un unghi de $90°$ , dar nu trece prin mijlocul lui. Este $t$ mediatoarea segmentului $[M N]$ ?
- a) Da, pentru că este perpendiculară pe segment
- b) Nu, pentru că nu trece prin mijlocul segmentului
- c) Da, orice dreaptă perpendiculară pe un segment este mediatoare
- d) Nu se poate ști fără să cunoaștem lungimea lui $M N$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Nu, pentru că nu trece prin mijlocul segmentului

Mediatoarea trebuie să îndeplinească simultan două condiții: să treacă prin mijloc și să fie perpendiculară pe segment. Aici dreapta $t$ este perpendiculară, dar nu trece prin mijloc, deci nu este mediatoare.
Mediatoarea segmentului $[C D]$ taie segmentul în punctul $N$ . Știind că $C D = 26$ cm, calculează lungimea segmentului $C N$ .
- a) $13 cm$
- b) $23 cm$
- c) $33 cm$
- d) $26 cm$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $13 cm$

$N$ este mijlocul lui $C D$ (proprietatea mediatoarei), deci $C N = \frac{C D}{2} = 26 : 2 = 13$ cm.

Întrebări conexe

Cum folosesc mediatoarea ca să găsesc un loc egal depărtat de două case?

Unești pe hartă cele două case printr-un segment și construiești mediatoarea lui. Orice punct de pe această dreaptă se află la aceeași distanță de amândouă. Dacă mai apare o condiție, de exemplu apropierea de un drum, alegi punctul în care mediatoarea taie drumul.

Cum verific dacă o dreaptă este mediatoarea unui segment?

Măsori cele două bucăți în care taie segmentul: trebuie să fie egale. Apoi verifici cu echerul unghiul dintre dreaptă și segment, care trebuie să fie de $90°$ . Dacă una dintre cele două condiții lipsește, dreapta nu este mediatoare, ci doar perpendiculară sau doar trecătoare prin mijloc.

Ce legătură are mediatoarea cu simetria față de o dreaptă?

Cele două capete ale segmentului sunt simetrice față de mediatoare: îndoind foaia de-a lungul ei, punctele se suprapun. Mediatoarea joacă rolul oglinzii, iar proprietatea distanțelor egale este exact ceea ce face o reflexie: păstrează depărtarea față de axă.

În câte puncte taie mediatoarea segmentul dat?

Într-un singur punct, chiar mijlocul segmentului. Fiind perpendiculară pe el, nu îl poate întâlni de două ori, iar poziția acestei intersecții este fixată de condiția ca cele două bucăți să fie egale. Restul dreptei se află în afara segmentului.

Unde apare mediatoarea în problemele cu triunghiuri isoscele?

Într-un triunghi isoscel, mediatoarea bazei trece chiar prin vârful dintre laturile egale, fiindcă acel vârf este egal depărtat de capetele bazei. Așa se justifică rapid că înălțimea, mediana și bisectoarea din acel vârf se suprapun toate pe aceeași dreaptă.

De ce arcele trasate din capete trebuie să aibă aceeași deschidere?

Pentru că punctele lor de întâlnire trebuie să fie egal depărtate de $A$ și de $B$ , iar asta se obține doar cu raze egale. Cu deschideri diferite, intersecțiile s-ar muta într-o parte, iar dreapta trasată prin ele nu ar mai trece prin mijlocul segmentului.

Oamenii mai întreabă și: mediatoarea unui segment · perpendiculara prin mijlocul segmentului · proprietatea mediatoarei · construcția mediatoarei cu compasul