Ordonarea și aproximarea numerelor reale (M2, științe ale naturii)

La ora de chimie cântărești aceeași probă pe două balanțe și obții $8,26$ grame pe una și $8,3$ pe cealaltă. Sunt rezultate diferite sau același rezultat scris cu altă grijă? La biologie ți se dau densitățile a trei probe de sol și ți se cere să le așezi în ordine, dar ele diferă abia la a patra zecimală. Lecția aceasta, din programa de clasa a IX-a de la profilul științe ale naturii (M2), te învață cele două operații pe care te sprijini de fiecare dată când un număr real trebuie pus la locul lui: să compari două numere fără să le calculezi cu aproximație și să spui, cu o cifră în mână, cât de departe ești de valoarea adevărată. În programa de examen pentru bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029 tema stă la clasa a IX-a, în capitolul „Mulțimi și elemente de logică matematică", iar la proba MAT_P2 din 2030 intră în domeniul Algebră, la capitolul de numere reale pe care îl parcurgi acum.

Ai lucrat deja cu ordonarea numerelor în gimnaziu, la compararea și ordonarea numerelor reale, unde comparațiile se făceau mai ales pe axa numerelor. La liceu se schimbă miza: numerele pe care le compari vin din calcule algebrice și din măsurători, au radicali, fracții și zecimale amestecate, iar răspunsul trebuie justificat, nu citit de pe un ecran. De aceea aici înveți proceduri care dau certitudine — nu impresie.

Ce vei învăța

• Vei ști să compari două numere reale prin diferență, prin produs încrucișat sau prin ridicare la pătrat, alegând de fiecare dată metoda care ține de semnul numerelor.
• Vei ști să ordonezi o listă de numere scrise în forme diferite: fracții, zecimale, radicali, numere negative.
• Vei ști ce înseamnă aproximarea prin lipsă și aproximarea prin adaos cu un număr dat de zecimale și cât de mare poate fi greșeala pe care o faci.
• Vei ști să deosebești aproximarea prin lipsă de rotunjire, două lucruri care se confundă des și care dau răspunsuri diferite.
• Vei ști să încadrezi un radical între doi întregi consecutivi și să folosești încadrarea într-o demonstrație.
• Vei ști de ce ordinea unor măsurători se poate strica atunci când le rotunjești și cum eviți asta în laborator.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă că un număr real este mai mic decât altul?

Relația de ordine pe mulțimea numerelor reale este dată de o singură convenție: numărul real $a$ este mai mic decât numărul real $b$ — și scriem $a<b$ — atunci când diferența $b-a$ este un număr strict pozitiv. Definiția pare o reformulare, dar e cea care face toate demonstrațiile posibile: în loc să te uiți la două numere, te uiți la unul singur și îi cercetezi semnul.

Pe axa numerelor, relația are o citire imediată: $a<b$ înseamnă că punctul lui $a$ stă la stânga punctului lui $b$. Orice două numere reale se pot compara — dintre $a<b$, $a=b$ și $a>b$ se întâmplă exact una. Trei proprietăți fac tot lucrul de mai departe:

• tranzitivitatea: dacă $a<b$ și $b<c$, atunci $a<c$; pe ea se sprijină orice lanț de inegalități;
• compatibilitatea cu adunarea: dacă $a<b$, atunci $a+c<b+c$, oricare ar fi numărul real $c$ — poți muta termeni dintr-o parte în alta fără grijă;
• compatibilitatea cu înmulțirea: dacă $a<b$ și $c>0$, atunci $ac<bc$; dar dacă $c<0$, sensul se schimbă: $ac>bc$.

Ultima e locul cel mai alunecos. Înmulțirea sau împărțirea cu un număr negativ întoarce inegalitatea, iar simplificarea unei inegalități printr-o expresie al cărei semn nu îl cunoști nu are voie să se facă deloc.

2. Cum compar două numere care nu sunt scrise la fel?

Cea mai sigură metodă este diferența: calculezi $a-b$ și îi cercetezi semnul. Pentru $a=\frac{7}{3}$ și $b=2,3$ scrii totul ca fracție și aduci la același numitor: $\frac{7}{3}-\frac{23}{10}=\frac{70-69}{30}=\frac{1}{30}>0$, deci $\frac{7}{3}>2,3$. Observă cât de mică e diferența: dintr-o citire aproximativă cu o singură zecimală nu ai fi putut decide nimic.

La două fracții pozitive merge mai repede produsul încrucișat. Pentru $\frac{5}{7}$ și $\frac{8}{11}$ compari $5\cdot 11=55$ cu $8\cdot 7=56$; cum $55<56$, rezultă $\frac{5}{7}<\frac{8}{11}$. Procedeul e corect fiindcă amplificarea ambelor fracții cu produsul numitorilor, care e pozitiv, nu schimbă ordinea.

La numere negative, ține minte că ordinea se răstoarnă: din $2,3<2,41$ rezultă $-2,3>-2,41$. Un truc practic: compară întâi valorile fără semn, apoi întoarce concluzia.

3. Cum compar numere care conțin radicali?

Pentru numere pozitive, ridicarea la pătrat păstrează ordinea: dacă $0\le a$ și $0\le b$, atunci $a<b$ exact atunci când $a^2<b^2$. De aici vine metoda de bază.

Compară $\sqrt{10}$ cu $3,2$: pătratele sunt $10$ și $10,24$, deci $\sqrt{10}<3,2$. Compară $2\sqrt{3}$ cu $3\sqrt{2}$: introduci factorii sub radical și obții $\sqrt{12}$ și $\sqrt{18}$, deci $2\sqrt{3}<3\sqrt{2}$.

Când în joc sunt sume de radicali, ridici la pătrat o singură dată și compari ce rămâne. Fie $\sqrt{5}+\sqrt{2}$ și $\sqrt{13}$. Ambele sunt pozitive, așa că le ridicăm la pătrat: ${\left(\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)}^2=7+2\sqrt{10}$ și ${\left(\sqrt{13}\right)}^2=13$. Rămâne de comparat $2\sqrt{10}$ cu $6$, adică $\sqrt{10}$ cu $3$, adică $10$ cu $9$. Cum $10>9$, avem $\sqrt{5}+\sqrt{2}>\sqrt{13}$.

Când numărul are radical la numitor, scapă întâi de el prin amplificare cu expresia conjugată, așa cum ai învățat la raționalizarea numitorilor. Pentru $\frac{1}{\sqrt{5}-2}$ amplificarea cu $\sqrt{5}+2$ dă $\sqrt{5}+2$, iar acum comparația cu $\frac{9}{2}$ se face ușor: $\sqrt{5}+2<4,5$ înseamnă $\sqrt{5}<2,5$, adică $5<6,25$ — adevărat.

4. Ce este aproximarea prin lipsă și ce este aproximarea prin adaos?

Un număr irațional nu se poate scrie cu un număr finit de zecimale, așa că în orice calcul practic lucrezi cu un înlocuitor. Ai două feluri de înlocuitori, iar programa îi cere pe amândoi. Le-ai întâlnit în gimnaziu, la aproximările prin lipsă și prin adaos ale rădăcinii pătrate, pe un singur tip de număr; aici definiția se scrie pentru orice număr real și pentru orice număr de zecimale.

Aproximarea prin lipsă cu $n$ zecimale a unui număr real $x$ este cel mai mare număr cu cel mult $n$ zecimale care nu îl depășește pe $x$; aproximarea prin adaos cu $n$ zecimale este cel mai mic număr cu cel mult $n$ zecimale care nu este mai mic decât $x$. Prima stă la stânga lui $x$ pe axă, a doua la dreapta, iar între ele nu mai încape niciun număr cu $n$ zecimale.

Pentru $\sqrt{13}$ și două zecimale: verificăm $3,60^2=12,96$ și $3,61^2=13,0321$. Cum $12,96<13<13,0321$, rezultă $3,60<\sqrt{13}<3,61$: aproximarea prin lipsă este $3,60$, cea prin adaos este $3,61$. Metoda nu are nevoie de calculator, doar de două înmulțiri.

Când $x$ nu se scrie exact cu $n$ zecimale, cele două aproximări sunt vecine la pasul $10^{-n}$, iar $x$ stă strict între ele; când se scrie exact așa — de pildă $x=3,5$ cu $n=2$ —, amândouă coincid cu $x$ însuși. În ambele cazuri concluzia e aceeași: fiecare dintre ele greșește cu mai puțin de $10^{-n}$. Cu două zecimale greșeala e sub o sutime, cu trei zecimale sub o miime. Asta e toată utilitatea lor: îți dau nu doar o valoare, ci și o garanție asupra ei.

5. Ce diferență este între aproximare și rotunjire?

Rotunjirea alege dintre cele două aproximări pe cea mai apropiată de numărul adevărat. Pentru $3,78$ cu o zecimală: aproximarea prin lipsă este $3,7$, cea prin adaos este $3,8$, iar rotunjirea este $3,8$, fiindcă $3,78$ e mai aproape de $3,8$.

Cazul cu zero zecimale are un nume și o notație a lui: aproximarea prin lipsă a unui număr este atunci cel mai mare întreg care nu îl depășește — el însuși, dacă numărul e întreg —, adică partea lui întreagă, cu regulile din lecția următoare, despre partea întreagă și partea fracționară.

Deosebirea contează când ai nevoie de o margine sigură. Dacă vrei să fii sigur că nu depășești o valoare — de exemplu, cantitatea de reactiv pe care o poți turna fără să treci de o limită — folosești aproximarea prin lipsă. Dacă vrei să fii sigur că acoperi o valoare — câți metri de sârmă cumperi ca să-ți ajungă — folosești aproximarea prin adaos. Rotunjirea nu îți garantează niciuna dintre cele două, fiindcă poate merge în orice parte.

6. Cât de mare este greșeala pe care o fac?

Dacă înlocuiești numărul $x$ cu valoarea aproximativă $a$, eroarea absolută este $|x-a|$, adică distanța de la $a$ la $x$ pe axă — exact interpretarea modulului pe care o găsești în lecția despre modulul unui număr real. Ea se măsoară în aceeași unitate ca mărimea: dacă $x$ e o masă în grame, și eroarea e în grame.

Eroarea relativă este raportul $\frac{|x-a|}{|x|}$ și se exprimă de obicei în procente. Ea spune dacă greșeala e mare față de ce măsori: o abatere de trei sutimi de gram e neglijabilă la un pachet de făină și enormă la o probă de laborator de un gram.

Pentru $x=8,26$ grame înlocuit cu $a=8,3$ grame, eroarea absolută este $0,04$ grame, iar cea relativă este $\frac{0,04}{8,26}\approx 0,0048$, adică aproape $0,48\%$. Cele două balanțe din deschiderea lecției nu se contrazic: dau același rezultat, cu grijă diferită.

7. De ce se strică ordinea când rotunjesc?

Pentru că rotunjirea aruncă tocmai informația prin care numerele se deosebeau. Trei probe de sol au densitățile $1,2649$, $1,2652$ și $1,2641$ de grame pe centimetru cub. Ordinea adevărată este $1,2641<1,2649<1,2652$. Rotunjite la trei zecimale, ele devin $1,265$, $1,265$ și $1,264$: primele două par acum egale, deși nu sunt.

Regula de laborator care urmează de aici: compari datele brute și rotunjești abia rezultatul final. Dacă rotunjești la început, greșelile se adună de-a lungul calculului și, la sume și produse, se pot aduna până la o valoare care contează.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Comparare prin diferență

Comparați numerele $a=\frac{11}{6}$ și $b=1,83$.

Rezolvare. Scriem $b$ ca fracție: $b=\frac{183}{100}$. Aducem la numitorul comun $300$: $a=\frac{550}{300}$ și $b=\frac{549}{300}$. Diferența este $a-b=\frac{1}{300}>0$, deci $a>b$. Diferența dintre ele este mai mică decât o sutime, iar o comparație „din ochi", cu două zecimale, ar fi dat egalitate.

Exemplul 2 — Comparare prin ridicare la pătrat

Comparați numerele $\sqrt{7}$ și $\frac{8}{3}$.

Rezolvare. Ambele numere sunt pozitive, deci ordinea lor este ordinea pătratelor. Avem ${\left(\sqrt{7}\right)}^2=7$ și ${\left(\frac{8}{3}\right)}^2=\frac{64}{9}$. Comparăm $7=\frac{63}{9}$ cu $\frac{64}{9}$: cum $63<64$, rezultă $\sqrt{7}<\frac{8}{3}$.

Exemplul 3 — Ordonarea unei liste

Așezați în ordine crescătoare numerele $-\sqrt{5}$, $-2,3$, $\frac{1}{2}$, $\sqrt{6}$, $\frac{12}{5}$ și $2,5$.

Rezolvare. Separăm întâi negativele de pozitive. Pentru cele două negative comparăm valorile fără semn: din $5<5,29=2,3^2$ obținem $\sqrt{5}<2,3$, deci $-2,3<-\sqrt{5}$.

Pentru pozitive, $\frac{1}{2}$ este cel mai mic. Rămân $\sqrt{6}$, $\frac{12}{5}=2,4$ și $2,5$; le comparăm prin pătrate: $2,4^2=5,76$, apoi $6$, apoi $2,5^2=6,25$. Cum $5,76<6<6,25$, avem $\frac{12}{5}<\sqrt{6}<2,5$. Ordinea completă este

$$-2,3<-\sqrt{5}<\frac{1}{2}<\frac{12}{5}<\sqrt{6}<2,5.$$

Exemplul 4 — Aproximări prin lipsă și prin adaos

Determinați aproximările prin lipsă și prin adaos cu două zecimale ale numărului $\sqrt{29}$ și arătați că eroarea fiecăreia este mai mică decât o sutime.

Rezolvare. Căutăm două numere cu două zecimale între care stă $\sqrt{29}$, adică două numere ale căror pătrate încadrează pe $29$. Încercăm $5,38^2=28,9444$ și $5,39^2=29,0521$. Cum $28,9444<29<29,0521$, rezultă $5,38<\sqrt{29}<5,39$.

Aproximarea prin lipsă este $5,38$, cea prin adaos este $5,39$. Numărul $\sqrt{29}$ se află între ele, iar distanța dintre ele este $0,01$, deci fiecare dintre cele două aproximări îl ratează pe $\sqrt{29}$ cu mai puțin de $0,01$.

Exemplul 5 — Găsiți greșeala

Un elev scrie: „$\sqrt{2}\approx 1,41$ și $\sqrt{3}\approx 1,73$, deci $\sqrt{2}+\sqrt{3}\approx 3,14$, adică $\sqrt{2}+\sqrt{3}=\pi$." Arătați unde greșește și stabiliți care dintre cele două numere este mai mare.

Rezolvare. Greșeala nu este la adunare, ci la concluzie: două numere care au aceleași două zecimale nu sunt egale, iar aici nici măcar cele două zecimale nu sunt de încredere, fiindcă erorile celor doi termeni se adună.

Aproximările cu două zecimale dau doar $1,41<\sqrt{2}<1,42$ și $1,73<\sqrt{3}<1,74$, deci $3,14<\sqrt{2}+\sqrt{3}<3,16$ — un interval în care $\pi$ chiar se află, așa că nu putem decide nimic. Luăm trei zecimale: din $1,414^2=1,999396$ și $1,415^2=2,002225$ obținem $1,414<\sqrt{2}<1,415$, iar din $1,732^2=2,999824$ și $1,733^2=3,003289$ obținem $1,732<\sqrt{3}<1,733$. Adunând, $3,146<\sqrt{2}+\sqrt{3}<3,148$. Cum $\pi <3,142$, rezultă $\sqrt{2}+\sqrt{3}>\pi$.

Reține mecanismul: când aduni două aproximări, marginile de eroare se adună și ele. Cu doi termeni aproximați cu două zecimale, rezultatul nu mai are două zecimale sigure.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Arătați că $\sqrt{5}+\sqrt{7}<5$.

Rezolvare. Ambii membri sunt numere pozitive, deci inegalitatea este echivalentă cu inegalitatea pătratelor. Ridicăm la pătrat membrul stâng:

$${\left(\sqrt{5}+\sqrt{7}\right)}^2=5+2\sqrt{35}+7=12+2\sqrt{35}.$$

Rămâne de arătat că $12+2\sqrt{35}<25$, adică $2\sqrt{35}<13$. Ambii membri sunt pozitivi, deci ridicăm din nou la pătrat: $4\cdot 35=140$ și $13^2=169$. Cum $140<169$, inegalitatea este adevărată, iar toți pașii fiind echivalențe între numere pozitive, rezultă $\sqrt{5}+\sqrt{7}<5$.

Să exersăm

Înainte de fiecare comparație, pune-ți două întrebări: numerele sunt pozitive (numai atunci ai voie să ridici la pătrat) și care este forma cea mai simplă în care le pot aduce pe amândouă? La aproximări, scrie de la început câte zecimale ți se cer și verifică-ți răspunsul prin două înmulțiri.

1. Compară numerele $\frac{4}{7}$ și $\frac{7}{12}$.

2. Compară numerele $\sqrt{11}$ și $3,3$.

3. Compară numerele $3\sqrt{5}$ și $5\sqrt{2}$.

4. Așază în ordine crescătoare numerele $\sqrt{2}$, $\frac{3}{2}$, $1,4$ și $\frac{10}{7}$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $a<b$, atunci $a^2<b^2$, oricare ar fi numerele reale $a$ și $b$."

6. Determină aproximările prin lipsă și prin adaos cu două zecimale ale numărului $\sqrt{41}$ și spune care dintre ele este mai apropiată.

7. Determină aproximările prin lipsă și prin adaos cu trei zecimale ale numărului $\frac{15}{7}$.

8. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arată că $\sqrt{3}+\sqrt{5}<4$.

9. Compară numerele $\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$ și $2$.

10. (Problemă aplicată.) Trei soluții au concentrațiile $0,3172$, $0,3168$ și $0,3176$ moli pe litru. a) Așază-le în ordine crescătoare. b) Rotunjește fiecare valoare la trei zecimale și spune care două devin de nedeosebit. c) Câte zecimale trebuie păstrate ca ordinea să rămână citibilă?

11. Între ce doi întregi consecutivi se află $\sqrt{50}$? Dar $-\sqrt{50}$?

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arată că numărul $a=\sqrt{11}-3$ este cuprins între $0$ și $1$.

13. Arată că, înlocuind $\sqrt{2}$ cu $1,41$, eroarea absolută este mai mică decât $0,005$.

14. Compară numerele $\frac{2}{\sqrt{5}}$ și $\frac{\sqrt{5}}{2}$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arată că $\frac{1}{\sqrt{6}+2}>\frac{1}{5}$.

16. Așază în ordine descrescătoare numerele $-\frac{7}{3}$, $-\sqrt{6}$, $-2,4$ și $-\frac{5}{2}$.

17. Un elev scrie: „$\sqrt{3}\approx 1,73$ și $\sqrt{5}\approx 2,24$, deci $\sqrt{15}=\sqrt{3}\cdot \sqrt{5}\approx 3,8752$." Explică de ce ultimele două zecimale ale rezultatului nu au acoperire și dă o încadrare sigură a lui $\sqrt{15}$ cu două zecimale.

18. (Provocare.) Arată că $\sqrt{7}+\sqrt{3}>\sqrt{10}+1$.

Răspunsuri și explicații

1. Produsul încrucișat: $4\cdot 12=48$ și $7\cdot 7=49$. Cum $48<49$, rezultă $\frac{4}{7}<\frac{7}{12}$.

2. Ambele numere sunt pozitive; comparăm pătratele: $11$ și $3,3^2=10,89$. Cum $10,89<11$, avem $\sqrt{11}>3,3$.

3. Introducem factorii sub radical: $3\sqrt{5}=\sqrt{45}$ și $5\sqrt{2}=\sqrt{50}$. Cum $45<50$, rezultă $3\sqrt{5}<5\sqrt{2}$.

4. Toate sunt pozitive, așa că le comparăm prin pătrate: $1,4^2=1,96$, apoi $2$, apoi ${\left(\frac{10}{7}\right)}^2=\frac{100}{49}$, apoi ${\left(\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{9}{4}$. Cum $\frac{100}{49}>2$ (fiindcă $100>98$) și $\frac{9}{4}=2,25>\frac{100}{49}\approx 2,0408$, ordinea este $1,4<\sqrt{2}<\frac{10}{7}<\frac{3}{2}$.

5. Fals. Ridicarea la pătrat păstrează ordinea numai pentru numere nenegative. Contraexemplu: $a=-3$ și $b=2$ dau $a<b$, dar $a^2=9$ și $b^2=4$, deci $a^2>b^2$. Enunțul devine adevărat dacă se adaugă ipoteza $0\le a$.

6. Din $6,40^2=40,96$ și $6,41^2=41,0881$ rezultă $6,40<\sqrt{41}<6,41$. Aproximarea prin lipsă este $6,40$, cea prin adaos $6,41$. Mijlocul intervalului este $6,405$, iar $6,405^2=41,024025>41$, deci $\sqrt{41}$ se află în jumătatea din stânga: mai apropiată este aproximarea prin lipsă, $6,40$.

7. Împărțim: $\frac{15}{7}=2,142857\dots$, iar cifrele se repetă. Aproximarea prin lipsă cu trei zecimale este $2,142$, cea prin adaos este $2,143$. Verificare: $2,142\cdot 7=14,994<15$ și $2,143\cdot 7=15,001>15$.

8. Ambii membri sunt pozitivi, deci ridicăm la pătrat: ${\left(\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)}^2=8+2\sqrt{15}$. Rămâne $8+2\sqrt{15}<16$, adică $\sqrt{15}<4$, adică $15<16$ — adevărat. Toți pașii sunt echivalențe între numere pozitive, deci $\sqrt{3}+\sqrt{5}<4$.

9. Amplificăm cu conjugata: $\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{2}$. Comparația cu $2$ devine $\sqrt{7}+\sqrt{5}>4$. Ridicăm la pătrat: $12+2\sqrt{35}>16$, adică $\sqrt{35}>2$, adică $35>4$ — adevărat. Deci $\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}>2$.

10. a) Comparăm zecimală cu zecimală, pe datele brute: $0,3168<0,3172<0,3176$. b) Rotunjite la trei zecimale, primele două devin amândouă $0,317$, iar a treia $0,318$: primele două soluții par acum de aceeași concentrație, deși nu sunt. c) Valorile diferă abia pe a patra zecimală, deci ordinea rămâne citibilă numai dacă se păstrează patru zecimale — adică datele brute.

11. Din $7^2=49<50<64=8^2$ rezultă $7<\sqrt{50}<8$. Înmulțind cu $-1$, sensul se schimbă: $-8<-\sqrt{50}<-7$.

12. Din $9<11<16$ rezultă $3<\sqrt{11}<4$. Scăzând $3$ din fiecare membru, obținem $0<\sqrt{11}-3<1$, deci $a$ este cuprins între $0$ și $1$.

13. Din $1,41^2=1,9881<2$ rezultă $1,41<\sqrt{2}$, iar din $1,415^2=2,002225>2$ rezultă $\sqrt{2}<1,415$. Așadar $0<\sqrt{2}-1,41<0,005$, deci eroarea absolută este mai mică decât $0,005$.

14. Ambele numere sunt pozitive. Aducem la aceeași formă amplificând primul cu $\sqrt{5}$: $\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$, iar al doilea se scrie $\frac{\sqrt{5}}{2}$. Produsul încrucișat dă $2\sqrt{5}\cdot 2=4\sqrt{5}$ față de $\sqrt{5}\cdot 5=5\sqrt{5}$, deci $\frac{2}{\sqrt{5}}<\frac{\sqrt{5}}{2}$.

15. Amplificăm cu conjugata: $\frac{1}{\sqrt{6}+2}=\frac{\sqrt{6}-2}{2}$. Inegalitatea devine $\frac{\sqrt{6}-2}{2}>\frac{1}{5}$, adică $5\sqrt{6}-10>2$, adică $5\sqrt{6}>12$. Ambii membri sunt pozitivi, deci ridicăm la pătrat: $25\cdot 6=150$ și $12^2=144$. Cum $150>144$, inegalitatea este adevărată.

16. Comparăm întâi valorile fără semn: $\frac{7}{3}\approx 2,3333$, apoi $2,4$, apoi $\sqrt{6}$ cu ${\sqrt{6}}^2=6>5,76=2,4^2$, apoi $\frac{5}{2}=2,5$ cu $6,25>6$. Deci $\frac{7}{3}<2,4<\sqrt{6}<\frac{5}{2}$, iar cu semnul minus ordinea se răstoarnă: $-\frac{7}{3}>-2,4>-\sqrt{6}>-\frac{5}{2}$.

17. Fiecare factor este cunoscut cu o eroare de până la o sutime, iar la înmulțire erorile se transmit în rezultat; ultimele două zecimale ale produsului sunt deci fabricate. Încadrarea sigură se obține direct: din $3,87^2=14,9769<15$ și $3,88^2=15,0544>15$ rezultă $3,87<\sqrt{15}<3,88$. Valoarea propusă, $3,8752$, chiar cade în acest interval, dar asta e o coincidență fericită, nu o justificare.

18. Ambii membri sunt pozitivi; ridicăm la pătrat: ${\left(\sqrt{7}+\sqrt{3}\right)}^2=10+2\sqrt{21}$ și ${\left(\sqrt{10}+1\right)}^2=11+2\sqrt{10}$. Inegalitatea cerută devine $2\sqrt{21}-2\sqrt{10}>1$, adică $\sqrt{21}>\sqrt{10}+\frac{1}{2}$. Ambii membri sunt pozitivi, deci ridicăm din nou la pătrat: $21>10+\sqrt{10}+\frac{1}{4}$, adică $\sqrt{10}<10,75$ — evident adevărat, fiindcă $\sqrt{10}<4$. Refăcând lanțul de echivalențe, $\sqrt{7}+\sqrt{3}>\sqrt{10}+1$.

De reținut

• $a<b$ înseamnă $b-a>0$: orice comparație se poate reduce la cercetarea semnului unei singure expresii.
• Înmulțirea unei inegalități cu un număr pozitiv păstrează sensul, iar cu unul negativ îl schimbă; de aceea ordinea numerelor negative este inversa ordinii valorilor lor fără semn.
• Pentru numere nenegative, $a<b$ este echivalent cu $a^2<b^2$ — regula pe care se sprijină toate comparațiile cu radicali; pentru numere de semne diferite, regula este falsă.
• Aproximarea prin lipsă stă la stânga numărului, cea prin adaos la dreapta, iar cu $n$ zecimale fiecare dintre ele greșește cu mai puțin de $10^{-n}$; rotunjirea o alege pe cea mai apropiată, fără să garanteze partea în care cade.
• La adunări și înmulțiri, erorile se adună: un rezultat obținut din date aproximate nu poate avea mai multe zecimale sigure decât datele din care a venit.

Greșeli frecvente

• Ridici la pătrat o inegalitate fără să te uiți la semne. Din $-5<2$ nu urmează nimic despre pătrate: ele sunt $(-5{)}^2=25$ și $2^2=4$, deci inegalitatea s-a răsturnat. Ridicarea la pătrat păstrează ordinea numai când ambele numere sunt nenegative; când apar numere negative, compari valorile fără semn și întorci concluzia la final.
• Compari două fracții uitându-te doar la numărători sau doar la numitori. $\frac{5}{7}$ și $\frac{8}{11}$ nu se pot despărți nici după $5<8$, nici după $7<11$. Adu-le la același numitor sau folosește produsul încrucișat — o singură înmulțire în plus și răspunsul devine sigur.
• Rotunjești la începutul calculului. Într-un lanț de operații, fiecare valoare rotunjită devine o sursă de eroare pentru toate operațiile care urmează. Păstrează fracțiile și radicalii în formă exactă cât poți de mult și rotunjește o singură dată, la final.
• Confunzi aproximarea prin lipsă cu rotunjirea. Pentru $3,78$ cu o zecimală, aproximarea prin lipsă este $3,7$, iar rotunjirea este $3,8$. Când un enunț cere explicit „prin lipsă", răspunsul e cel mai mare număr cu o zecimală care nu depășește valoarea dată, indiferent de cât de aproape e de vecinul din dreapta.
• Scrii mai multe zecimale decât îți permit datele. Dacă în laborator ai citit două mase cu două zecimale, raportul lor nu are voie să apară în referat cu șase. Zecimalele în plus nu sunt precizie, ci o afirmație pe care măsurătoarea nu o susține.

Aplică acasă

1. Rigla și încadrarea. Măsoară cu rigla, în milimetri, lungimile a cinci obiecte din casă. Pentru fiecare, scrie lungimea în centimetri, apoi aproximarea prin lipsă și cea prin adaos cu o zecimală și spune cu cât greșește fiecare. La final, așază cele cinci obiecte în ordine crescătoare folosind datele brute, apoi refă ordonarea folosind doar aproximările prin lipsă: unde apar egalități care nu există în realitate?

2. Radical fără calculator. Alege trei numere naturale care nu sunt pătrate perfecte, între $10$ și $100$. Pentru fiecare, găsește prin încercări succesive aproximările prin lipsă și prin adaos cu două zecimale ale radicalului, folosind doar înmulțiri scrise pe hârtie. Compară apoi cu ce arată calculatorul și verifică dacă valoarea lui cade între cele două numere găsite de tine.

3. Cât de mult contează o sutime. Ia din manualul de chimie sau de fizică o formulă cu două mărimi măsurate, de pildă densitatea ca raport dintre masă și volum. Calculează rezultatul de două ori: o dată cu valorile exacte din enunț, o dată cu valorile rotunjite la o zecimală. Scrie eroarea absolută și eroarea relativă dintre cele două rezultate și hotărăște, cu o propoziție, dacă rotunjirea era acceptabilă.

Pentru părinți și profesori

Lecția pare ușoară pentru că subiectul e vechi: ordonarea numerelor se face din clasele mici. Ce se schimbă la liceu, la profilul științe ale naturii, este cerința de justificare: nu se acceptă „am calculat cu calculatorul și am văzut", ci se cere un lanț de echivalențe care începe de la numere și se termină la o inegalitate evidentă. A doua schimbare este de context: elevul de științe lucrează cu date măsurate, iar acolo întrebarea „cât de mare este greșeala?" e la fel de importantă ca răspunsul însuși. De aceea a doua jumătate a lecției nu e un adaos, ci partea care se va folosi cel mai des — la fizică, la chimie și la lucrările de laborator.

De urmărit în caiet, în ordinea în care apar greșelile: dacă înainte de ridicarea la pătrat s-a scris că ambele numere sunt pozitive; dacă la numere negative concluzia a fost întoarsă; dacă enunțul cerea „prin lipsă" și nu s-a răspuns cu o rotunjire; dacă rezultatul unei probleme cu date măsurate poartă unitatea de măsură și un număr rezonabil de zecimale. Întrebări de control, formulate în limbajul lecției: „Câte înmulțiri îți trebuie ca să afli aproximarea prin lipsă cu două zecimale a unui radical?"; „De ce nu ai voie să ridici la pătrat inegalitatea $-4<1$?"; „Ce înseamnă că o aproximare cu trei zecimale greșește cu mai puțin de o miime?"; „Dacă două măsurători rotunjite ies egale, putem spune că mărimile sunt egale?". Semn că elevul a înțeles: începe orice comparație cu radicali prin a spune ce semn au numerele și rotunjește o singură dată, la sfârșit.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Algebră, la capitolul „Mulțimea numerelor reale". Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde ordonarea numerelor reale și aproximările prin lipsă sau prin adaos sunt trecute la materia clasei a IX-a, în capitolul „Mulțimi și elemente de logică matematică"; în modelul oficial de subiect publicat pentru sesiunea 2026 nu există o cerință dedicată acestei teme, iar Subiectul I este alcătuit din șase cerințe scurte din materia claselor a IX-a – a XII-a. Programa nouă prevede trei ore de matematică pe săptămână la acest profil (planurile-cadru, OMEC 4350/2025), față de patru ore la clasa a IX-a în programa de examen din 2014.

Întrebări frecvente

Se dau comparările de numere reale și la mate-info (M1), și la M2? Ce diferă? Regulile de ordine sunt aceleași, dar se folosesc altfel. La științe ale naturii tema stă în primul capitol al clasei a IX-a, împreună cu aproximările și cu erorile de măsurare, fiindcă urmează lucrul cu date din laborator. La mate-info (M1) comparările apar mai ales ca tehnică în inecuații și în studiul funcțiilor, iar aproximarea revine în clasa a X-a, la puteri cu exponent irațional.

La ce subiect apare ordonarea numerelor reale la bacalaureatul M2? În programa de examen pentru sesiunile 2027–2029 tema este trecută la clasa a IX-a, în capitolul „Mulțimi și elemente de logică matematică", deci îi este rezervat Subiectul I, cel cu șase cerințe scurte din materia claselor a IX-a – a XII-a. În modelul oficial publicat pentru sesiunea 2026 nu apare o cerință dedicată ei, însă comparările și încadrările se folosesc în rezolvarea altor cerințe.

Cum compar două numere cu radicali fără calculator? Verifici întâi că ambele sunt pozitive, apoi le ridici la pătrat: pentru numere nenegative, ordinea numerelor este ordinea pătratelor. Dacă apar sume de radicali, ridici la pătrat o dată și compari ce rămâne, eventual ridicând încă o dată. Dacă apare un radical la numitor, amplifici mai întâi cu expresia conjugată.

Care este diferența dintre aproximarea prin lipsă și rotunjire? Aproximarea prin lipsă este întotdeauna mai mică sau egală cu numărul, iar cea prin adaos întotdeauna mai mare sau egală. Rotunjirea o alege pe cea mai apropiată dintre ele, deci poate cădea de oricare parte. Când ai nevoie de o margine sigură — o limită pe care nu vrei să o depășești — folosești aproximarea, nu rotunjirea.

Cât de mare este eroarea unei aproximări cu două zecimale? Mai mică decât o sutime. Aproximarea prin lipsă și cea prin adaos cu două zecimale sunt la distanța $0,01$ una de alta, iar numărul se află între ele, deci fiecare îl ratează cu mai puțin de atât. Regula generală: cu $n$ zecimale, eroarea este mai mică decât $10^{-n}$.

Între ce doi întregi se află un radical, de exemplu $\sqrt{50}$? Cauți cele mai apropiate pătrate perfecte care îl încadrează pe numărul de sub radical. Pentru $50$ acestea sunt $49$ și $64$, deci $7<\sqrt{50}<8$. Metoda funcționează pentru orice radical de ordinul al doilea și este primul pas în multe cerințe de examen, fiindcă transformă un număr irațional într-o încadrare cu numere întregi.

De ce nu am voie să rotunjesc de la începutul unui calcul din laborator? Pentru că fiecare rotunjire introduce o eroare care apoi se plimbă prin toate operațiile următoare. La adunări erorile se adună, la înmulțiri se transmit proporțional, iar după trei-patru pași rezultatul poate fi greșit chiar la prima zecimală. Calculezi cu valorile brute și rotunjești o singură dată, la răspunsul final.