Formule de calcul prescurtat cu cuburi (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — matematica de mate-info, clasa a IX-a → ·

Un cub de aluminiu cu latura de $10$ cm se încălzește, iar fiecare latură se lungește cu $0, 1$ cm. Cu cât crește volumul? Poți, firește, să scazi $10, 1^{3} - 1 0^{3}$ cu creionul pe hârtie. Formula pe care o înveți aici face însă altceva: îți desparte creșterea în trei bucăți care se văd pe cub — trei plăci subțiri, trei bare și un colț minuscul — și îți arată dintr-o privire care dintre ele contează și care se poate neglija. Lecția deschide programa de clasa a IX-a de la profilul științe ale naturii (M2), la capitolul despre mulțimea numerelor reale, și este prima unealtă de calcul din liceu. În programa de examen pentru Bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029 formulele acestea nu sunt trecute ca temă separată — acolo clasa a IX-a apare cu „operații algebrice cu numere reale" —, dar ele sunt chiar unealta cu care se fac acele operații la Subiectul I; la proba MAT_P2 din 2030 sunt scrise pe litere, în domeniul Algebră.

Din gimnaziu ai deja formulele de ordinul al doilea: pătratul unei sume, pătratul unei diferențe și diferența de pătrate, cu care ai lucrat la aplicațiile formulelor de calcul prescurtat din clasa a 8-a. Liceul urcă un etaj: aceleași idei, dar la puterea a treia. Vei vedea că nu e vorba de încă trei formule de învățat pe de rost, ci de o singură socoteală făcută o dată și de o regulă de semne care se ține minte singură. Merită efortul chiar de la prima oră, pentru că formulele acestea nu rămân un capitol închis: ele revin la fiecare simplificare de fracție, la fiecare descompunere în factori și în aproape orice problemă în care apare un volum. Un elev care le stăpânește câștigă, la fiecare exercițiu, minutele pe care colegii lui le pierd desfăcând paranteze.

Ce vei învăța

Vei ști să dezvolți cubul unei sume și al unei diferențe, cu coeficienții și cu semnele la locul lor.
Vei ști de unde vin cei doi de $3$ din formulă, obținându-i printr-o înmulțire, nu memorându-i.
Vei ști să descompui o sumă și o diferență de cuburi în produs de doi factori.
Vei ști să recunoști un cub perfect ascuns într-un coeficient, ca $8 x^{3}$ sau $27$ .
Vei ști să simplifici fracții în care numărătorul și numitorul au un factor comun scos cu aceste formule.
Vei ști să folosești descompunerea creșterii de volum ca să estimezi un rezultat din fizică sau din chimie, fără calculator.

Hai să descoperim împreună

1. Ce sunt formulele de calcul prescurtat de ordinul al treilea?

Formulele de calcul prescurtat de ordinul al treilea sunt trei egalități, adevărate pentru orice numere reale, care leagă puterea a treia a unei sume sau a unei diferențe de puterile a treia ale termenilor ei și care, citite invers, descompun o sumă sau o diferență de cuburi într-un produs. Programa clasei a IX-a le cere pe acestea trei:

$(a \pm b)^{3} = a^{3} \pm 3 a^{2} b + 3 a b^{2} \pm b^{3}$

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2}), a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$

„Prescurtat" înseamnă exact ce spune cuvântul: rezultatul unei înmulțiri pe care nu o mai faci. Nimic din ele nu e o regulă nouă de calcul — sunt doar înmulțiri obișnuite, efectuate o dată și ținute minte, ca să nu le mai repeți de fiecare dată.

2. De unde vine cubul unei sume?

Din pătratul unei sume, înmulțit încă o dată. Scriem puterea a treia ca produs dintre un pătrat și un factor:

$(a + b)^{3} = (a + b)^{2} (a + b) = (a^{2} + 2 ab + b^{2}) (a + b)$

Desfacem ultima paranteză, înmulțind fiecare termen din prima cu fiecare din a doua:

$(a^{2} + 2 ab + b^{2}) (a + b) = a^{3} + a^{2} b + 2 a^{2} b + 2 a b^{2} + a b^{2} + b^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$

Cei doi de $3$ nu sunt căzuți din cer: primul adună termenul $a^{2} b$ cu $2 a^{2} b$ , al doilea adună $2 a b^{2}$ cu $a b^{2}$ . De aceea, dacă uiți vreodată formula, o refaci în două rânduri. Observă și cum se plimbă puterile: exponentul lui $a$ scade de la $3$ la $0$ , exponentul lui $b$ crește de la $0$ la $3$ , iar suma lor este mereu $3$ . Este cel mai bun control de care dispui: dacă într-un termen exponenții nu dau împreună $3$ , termenul e greșit.

3. Cum arată cubul unei diferențe?

La fel, cu semne alternate. Nu are rost să refaci înmulțirea: scrii diferența ca sumă, $a - b = a + (- b)$ , și înlocuiești $b$ cu $- b$ în formula deja obținută. Termenii în care $b$ apare la putere impară își schimbă semnul, ceilalți rămân:

$(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$

Regula de semne, spusă pe scurt: semnele se schimbă din unul în altul, începând cu plus. Un control de zece secunde, valabil pentru amândouă formulele: pune $a = 1$ și $b = 1$ . Prima trebuie să dea $2^{3} = 8$ , iar $1 + 3 + 3 + 1 = 8$ ; a doua trebuie să dea $0$ , iar $1 - 3 + 3 - 1 = 0$ . Dacă nu iese, ai greșit un semn sau un coeficient.

Imaginea de mai sus spune tot: un cub cu latura $a + b$ se taie în opt bucăți — cubul de latură $a$ , trei plăci pătrate de grosime $b$ , trei bare lungi de secțiune $b \times b$ și cubul mic din colț. Suma volumelor lor este chiar dezvoltarea formulei. Iar acum poți răspunde la întrebarea din deschidere: la $a = 10$ și $b = 0, 1$ creșterea de volum este $3 \cdot 100 \cdot 0, 1 + 3 \cdot 10 \cdot 0, 01 + 0, 001 = 30 + 0, 3 + 0, 001 = 30, 301$ centimetri cubi. Plăcile aduc aproape tot, barele aduc un procent, colțul e praf — de aceea, în fizică, la deformări mici se păstrează doar primul termen.

4. Ce iese din produsul $(a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$ ?

Un rezultat surprinzător de scurt. Înmulțim termen cu termen și urmărim ce se reduce:

$(a - b) (a^{2} + ab + b^{2}) = a^{3} + a^{2} b + a b^{2} - a^{2} b - a b^{2} - b^{3} = a^{3} - b^{3}$

Cei patru termeni din mijloc se anulează doi câte doi și rămâne diferența de cuburi. Citită de la dreapta la stânga, egalitatea e o descompunere în factori: $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$ .

Aceeași socoteală, cu semnul schimbat în ambele paranteze, dă suma de cuburi:

$(a + b) (a^{2} - ab + b^{2}) = a^{3} - a^{2} b + a b^{2} + a^{2} b - a b^{2} + b^{3} = a^{3} + b^{3}$

Reține perechea de semne, pentru că aici se greșește cel mai des: semnul din paranteza mică este invers față de semnul dintre cuburi. La diferență, primul factor are minus și mijlocul are plus; la sumă, primul factor are plus și mijlocul are minus. Și mai reține un lucru: paranteza a doua nu este un pătrat perfect. În $a^{2} + ab + b^{2}$ mijlocul are coeficientul $1$ , nu $2$ ; $(a + b)^{2}$ ar fi $a^{2} + 2 ab + b^{2}$ , cu totul altceva.

5. Cum recunosc un cub perfect?

Un cub perfect este un număr sau o expresie care se scrie ca putere a treia. Numerele mici merită știute pe de rost, pentru că din ele se construiesc aproape toate exercițiile:

latura	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
cubul	$1$	$8$	$27$	$64$	$125$	$216$	$343$	$512$	$729$	$1000$

Cu litere, regula e că se ridică la cub și coeficientul, și puterea: $8 x^{3} = (2 x)^{3}$ , fiindcă $2^{3} = 8$ ; la fel, $27 x^{3} = (3 x)^{3}$ și $x^{6} = (x^{2})^{3}$ . Aici se nasc două greșeli-surori: unii scriu $8 x^{3} = (8 x)^{3}$ , alții refuză să vadă că $x^{6}$ este un cub. Verificarea e simplă — ridică înapoi la cub ce ai scris și compară.

Un ochi antrenat caută cubul în trei locuri deodată: în numărul liber, în coeficientul din fața literei și în exponentul literei. Dacă toate trei sunt cuburi, expresia intră în formulă; dacă măcar unul nu este, nu intră. Așa se explică de ce $27 x^{6} - 8$ se descompune fără nicio ezitare — $27$ este $3^{3}$ , $x^{6}$ este $(x^{2})^{3}$ , iar $8$ este $2^{3}$ , deci întregul termen $27 x^{6}$ este cubul lui $3 x^{2}$ .

Și o limită, la fel de importantă ca formula: dacă numărul nu e cub perfect, formula nu se aplică. Expresia $x^{3} - 5$ arată a diferență de cuburi, dar $5$ nu este cubul niciunui număr întreg, așa că la clasa a IX-a rămâne așa cum e. Nu e o scăpare a programei, ci o alegere: descompunerile cu radicali cer alte unelte, care vin mai târziu.

6. La ce folosesc formulele în calculul cu numere reale?

La trei lucruri, în ordinea în care le vei întâlni.

Calcul rapid, fără calculator. Ca să afli $9 7^{3}$ , scrii $97 = 100 - 3$ și aplici formula: $1000000 - 90000 + 2700 - 27 = 912673$ . Patru înmulțiri simple în loc de două înmulțiri lungi.

Simplificarea fracțiilor. O fracție cu cuburi se scurtează abia după ce numărătorul se descompune. Din $x^{3} - 1000 = (x - 10) (x^{2} + 10 x + 100)$ rezultă imediat că $\frac{x ^{3} - 1000}{x - 10} = x^{2} + 10 x + 100$ pentru $x \neq = 10$ , fără nicio împărțire lungă.

Legături între sume și produse. Din cubul sumei se obține, mutând termenii, o egalitate pe care o vei folosi des la exerciții de examen:

$a^{3} + b^{3} = (a + b)^{3} - 3 ab (a + b)$

Ea spune că, dacă știi cât fac suma și produsul a două numere, afli suma cuburilor lor fără să afli numerele. Este exact tiparul de la Exemplul 6 și merită înțeles, nu memorat: pornești de la dezvoltarea cubului sumei, observi că termenii din mijloc au factorul comun $3 ab$ și că ce rămâne între paranteze este chiar suma, apoi treci tot ce nu îți trebuie în celălalt membru. Avantajul practic e mare, pentru că într-o problemă de examen suma și produsul pot fi singurele date care ți se dau. Aceleași descompuneri revin, cu alte unelte, la capitolul de polinoame al clasei a IX-a: acolo factorul $X - a$ se scoate cu un tabel, în lecția despre schema lui Horner. Pentru comparație, la mate-info (M1) subiectul e reluat mult mai târziu, în lecția despre descompunerea în factori ireductibili, unde se pune întrebarea până unde se poate merge cu descompunerea.

7. Unde se întâlnesc cuburile în științe?

Peste tot unde apare un volum. Masa unui corp cubic este produsul dintre densitate și volum, adică densitatea înmulțită cu $a^{3}$ , deci o creștere a laturii se resimte la puterea a treia în masă: dacă latura crește cu $10%$ , volumul se înmulțește cu $1, 1^{3} = 1, 331$ , adică materialul crește cu aproape o treime. Un organism care își dublează dimensiunile liniare își face volumul de opt ori mai mare ( $2^{3} = 8$ ), dar suprafața doar de patru ori ( $2^{2} = 4$ ) — de aici regula de biologie după care animalele mari pierd mai greu căldura decât cele mici, fiindcă au mai puțină piele pentru fiecare gram de corp. Iar în chimie, dacă mărunțești un cristal cubic în cuburi mai mici, volumul total rămâne același, dar suprafața de contact crește, și odată cu ea viteza de reacție; tocmai de aceea zahărul pudră se dizolvă mult mai repede decât cubul de zahăr.

Formula cubului unei sume este instrumentul cu care se pun cifre pe toate aceste afirmații. Ea are și un al doilea folos, mai subtil: împărțind creșterea în trei termeni de mărimi foarte diferite, îți spune de unde poți tăia fără să greșești. Într-o măsurătoare de laborator, unde latura se citește cu două zecimale, termenul al treilea, cel cu $b^{3}$ , este de obicei mult sub precizia aparatului, așa că nu are niciun rost să fie calculat. A ști ce se neglijează și de ce este o deprindere de fizician, nu de matematician — dar se învață aici.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Cubul unei sume și al unei diferențe

Dezvoltați $(x + 4)^{3}$ și $(3 x - 1)^{3}$ .

Rezolvare. Pentru primul, în formulă intră $a = x$ și $b = 4$ , deci termenul al doilea este $3 \cdot 4 x^{2}$ , al treilea $3 \cdot 16 x$ , iar ultimul $4^{3}$ :

$(x + 4)^{3} = x^{3} + 3 \cdot 4 x^{2} + 3 \cdot 16 x + 64 = x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 64$

Pentru al doilea folosim formula diferenței, cu $a = 3 x$ și $b = 1$ . Atenție: se ridică la putere tot $3 x$ , nu doar $x$ , deci $a^{3} = 27 x^{3}$ și $a^{2} = 9 x^{2}$ :

$(3 x - 1)^{3} = 27 x^{3} - 3 \cdot 9 x^{2} + 3 \cdot 3 x - 1 = 27 x^{3} - 27 x^{2} + 9 x - 1$

Control cu $x = 1$ : primul trebuie să dea $5^{3} = 125$ , iar $1 + 12 + 48 + 64 = 125$ ; al doilea trebuie să dea $2^{3} = 8$ , iar $27 - 27 + 9 - 1 = 8$ .

Exemplul 2 — Descompunere în factori

Descompuneți în factori $x^{3} - 8$ și $64 x^{3} + 1$ .

Rezolvare. Prima expresie este o diferență de cuburi, cu $a = x$ și $b = 2$ , pentru că $8 = 2^{3}$ . Paranteza a doua primește semnul plus la mijloc:

$x^{3} - 8 = (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$

A doua este o sumă de cuburi: $64 x^{3} = (4 x)^{3}$ și $1 = 1^{3}$ , deci $a = 4 x$ și $b = 1$ . Acum mijlocul are minus, iar $a^{2} = 16 x^{2}$ și $ab = 4 x$ :

$64 x^{3} + 1 = (4 x + 1) (16 x^{2} - 4 x + 1)$

Verificare pentru a doua, la $x = 1$ : membrul stâng dă $65$ , iar produsul dă $5 \cdot 13 = 65$ .

Exemplul 3 — Calcul rapid, fără calculator

Calculați $9 8^{3}$ folosind o formulă de calcul prescurtat.

Rezolvare. Numărul $98$ este aproape de o putere a lui $10$ , așa că îl scriem $98 = 100 - 2$ și aplicăm cubul diferenței, cu $a = 100$ și $b = 2$ :

$9 8^{3} = 10 0^{3} - 3 \cdot 10 0^{2} \cdot 2 + 3 \cdot 100 \cdot 2^{2} - 2^{3} = 1000000 - 60000 + 1200 - 8$

Adunăm și obținem $9 8^{3} = 941192$ . Toate cele patru numere sunt înmulțiri cu puteri ale lui $10$ , deci se fac în minte. Observă și ordinul de mărime: fiecare termen e de zeci de ori mai mic decât cel dinaintea lui, iar raportul crește de la un pas la altul — aproximativ $17$ , apoi $50$ , apoi $150$ .

Exemplul 4 — Simplificarea unei fracții

Simplificați fracția $\frac{x ^{3} - 125}{x ^{2} + 5 x + 25}$ .

Rezolvare. Numărătorul este o diferență de cuburi, cu $b = 5$ , fiindcă $125 = 5^{3}$ :

$x^{3} - 125 = (x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)$

Al doilea factor este exact numitorul, iar el nu se anulează pentru nicio valoare reală a lui $x$ : discriminantul trinomului $x^{2} + 5 x + 25$ este $25 - 100 = - 75$ , adică negativ, iar un trinom cu discriminant negativ păstrează peste tot semnul coeficientului dominant, deci aici e strict pozitiv. Simplificăm și rămâne

$\frac{x ^{3} - 125}{x ^{2} + 5 x + 25} = x - 5$

Verificare la $x = 6$ : numărătorul este $216 - 125 = 91$ , numitorul este $36 + 30 + 25 = 91$ , iar raportul este $1 = 6 - 5$ .

Exemplul 5 — Cât se topește dintr-un cub de gheață

Un cub de gheață cu latura de $4$ cm se topește la suprafață, iar latura scade la $3, 8$ cm. Calculați volumul de gheață pierdut și arătați care parte a pierderii vine din fiecare termen al formulei.

Rezolvare. Pierderea este $4^{3} - 3, 8^{3}$ . Scriem $3, 8 = 4 - 0, 2$ și folosim cubul diferenței, cu $a = 4$ și $b = 0, 2$ . Pierderea, adică $a^{3} - (a - b)^{3}$ , se citește direct din formulă ca $3 a^{2} b - 3 a b^{2} + b^{3}$ :

$3 \cdot 16 \cdot 0, 2 - 3 \cdot 4 \cdot 0, 04 + 0, 008 = 9, 6 - 0, 48 + 0, 008 = 9, 128$

Așadar s-au topit $9, 128$ centimetri cubi de gheață, adică puțin peste $14%$ din el — aproape o șeptime din cub. Primul termen, $9, 6$ cm³, reprezintă stratul subțire luat de pe cele șase fețe; ceilalți doi corectează, în minus și apoi în plus, muchiile și colțurile numărate de mai multe ori. Control direct: $3, 8^{3} = 54, 872$ , iar $64 - 54, 872 = 9, 128$ .

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră numerele reale $x$ și $y$ pentru care $x + y = 5$ și $x y = 3$ . a) Arătați că $x^{2} + y^{2} = 19$ . b) Arătați că $x^{3} + y^{3} = 80$ . c) Calculați $\frac{x ^{3} + y ^{3}}{x ^{2} - x y + y ^{2}}$ .

Rezolvare. Proba MAT_P2 din 2030 nu are încă un model oficial publicat, așa că exemplul este construit în stilul cerințelor scurte de la Subiectul I: date o sumă și un produs, se cer expresii simetrice.

a) Din pătratul sumei, $x^{2} + y^{2} = (x + y)^{2} - 2 x y = 25 - 6 = 19$ .

b) Folosim egalitatea din secțiunea 6: $x^{3} + y^{3} = (x + y)^{3} - 3 x y (x + y) = 125 - 45 = 80$ .

c) Numitorul se obține din punctul a): $x^{2} - x y + y^{2} = 19 - 3 = 16$ . Raportul este $\frac{80}{16} = 5$ . Nu întâmplător: din formula sumei de cuburi, raportul este chiar $x + y$ .

Să exersăm

Înainte de orice exercițiu: notează pe hârtie cine este $a$ și cine este $b$ , cu coeficient cu tot. Jumătate din greșelile de la această lecție se opresc aici. La final, verifică rezultatul dând o valoare simplă literei — de obicei $1$ sau $2$ .

1. Dezvoltă $(x + 2)^{3}$ și $(x - 5)^{3}$ .

2. Dezvoltă $(2 x + 1)^{3}$ și $(3 x - 2)^{3}$ .

3. Calculează, folosind o formulă, $10 1^{3}$ și $9 9^{3}$ .

4. Descompune în factori $x^{3} - 27$ și $x^{3} + 125$ .

5. Descompune în factori $8 x^{3} - 1$ și $27 x^{3} + 64$ .

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru orice număr real $x$ are loc egalitatea $(x + 1)^{3} = x^{3} + 1$ ."

7. Adu la forma cea mai simplă fracția $\frac{x ^{3} + 8}{x ^{2} - 4}$ , pentru $x \neq = - 2$ și $x \neq = 2$ .

8. Simplifică fracția $\frac{x ^{3} - 64}{x - 4}$ , pentru $x \neq = 4$ .

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) a) Arată că $(x + 2)^{3} - (x - 2)^{3} = 12 x^{2} + 16$ , oricare ar fi numărul real $x$ . b) Calculează valoarea expresiei din membrul stâng pentru $x = 1$ .

10. Arată că $(x + 3)^{3} - x^{3} - 27 = 9 x (x + 3)$ , pentru orice număr real $x$ .

11. (Problemă aplicată.) O piesă metalică are forma unui cub cu latura de $6$ cm, din care s-a decupat un cub cu latura de $2$ cm. Scrie volumul rămas ca produs de doi factori, folosind diferența de cuburi, și calculează-l.

12. Calculează $(3 + 2)^{3}$ .

13. Descompune în factori $x^{6} - 729$ .

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Arată că numărul $n = 5^{3} + 3^{3}$ se divide cu $8$ , fără a-l calcula.

15. Determină numărul real $m$ pentru care $x^{3} - 9 x^{2} + 27 x - 27 = (x + m)^{3}$ , oricare ar fi $x$ real.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră $x = 4 - 6$ și $y = 4 + 6$ . a) Arată că $x + y = 8$ și $x y = 10$ . b) Calculează $x^{3} + y^{3}$ .

17. Arată că $\frac{x ^{3} - 1}{x ^{2} + x + 1} + \frac{x ^{3} + 1}{x ^{2} - x + 1} = 2 x$ , pentru orice număr real $x$ .

18. (Provocare.) Descompune în factori $x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 2$ . (Indicație: primii trei termeni și o parte din ultimul formează un cub.)

Răspunsuri și explicații

1. $(x + 2)^{3} = x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8$ și $(x - 5)^{3} = x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125$ . Control la $x = 1$ : $1 + 6 + 12 + 8 = 27 = 3^{3}$ , respectiv $1 - 15 + 75 - 125 = - 64 = (- 4)^{3}$ .

2. Cu $a = 2 x$ : $(2 x + 1)^{3} = 8 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x + 1$ . Cu $a = 3 x$ și $b = 2$ : $(3 x - 2)^{3} = 27 x^{3} - 54 x^{2} + 36 x - 8$ . Control la $x = 1$ : $8 + 12 + 6 + 1 = 27$ și $27 - 54 + 36 - 8 = 1$ .

3. $10 1^{3} = 1000000 + 30000 + 300 + 1 = 1030301$ , cu $a = 100$ , $b = 1$ . Apoi $9 9^{3} = 1000000 - 30000 + 300 - 1 = 970299$ . Cele două rezultate diferă prin semnele termenilor al doilea și al patrulea.

4. $x^{3} - 27 = (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)$ , fiindcă $27 = 3^{3}$ ; și $x^{3} + 125 = (x + 5) (x^{2} - 5 x + 25)$ . Mijlocul are plus la diferență și minus la sumă.

5. $8 x^{3} = (2 x)^{3}$ , deci $8 x^{3} - 1 = (2 x - 1) (4 x^{2} + 2 x + 1)$ . Apoi $27 x^{3} = (3 x)^{3}$ și $64 = 4^{3}$ , deci $27 x^{3} + 64 = (3 x + 4) (9 x^{2} - 12 x + 16)$ . Control la $x = 1$ : $7 = 1 \cdot 7$ și $91 = 7 \cdot 13$ .

6. Fals. Dezvoltarea corectă este $(x + 1)^{3} = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$ , deci egalitatea din enunț ar cere $3 x^{2} + 3 x = 0$ , adică $x = 0$ sau $x = - 1$ . Un singur contraexemplu este de ajuns: la $x = 1$ , membrul stâng este $8$ , iar cel drept $2$ .

7. Numărătorul este o sumă de cuburi, $x^{3} + 8 = (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$ , iar numitorul o diferență de pătrate, $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ . Se simplifică prin $x + 2$ și rămâne $\frac{x ^{2} - 2 x + 4}{x - 2}$ . Control la $x = 3$ : fracția inițială dă $\frac{35}{5} = 7$ , iar forma finală $\frac{7}{1} = 7$ .

8. $x^{3} - 64 = (x - 4) (x^{2} + 4 x + 16)$ , deci fracția se simplifică prin $x - 4$ și rămâne $x^{2} + 4 x + 16$ . Control la $x = 5$ : $\frac{61}{1} = 25 + 20 + 16 = 61$ .

9. a) Dezvoltăm amândouă cuburile: $(x + 2)^{3} = x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8$ și $(x - 2)^{3} = x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ . Scăzându-le, termenii în $x^{3}$ și cei în $x$ se reduc, iar restul se dublează: rămâne $12 x^{2} + 16$ . b) Pentru $x = 1$ obținem $12 + 16 = 28$ ; verificare directă: $3^{3} - (- 1)^{3} = 27 + 1 = 28$ .

10. Dezvoltăm: $(x + 3)^{3} = x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27$ . Scădem $x^{3}$ și $27$ și rămâne $9 x^{2} + 27 x$ , adică $9 x (x + 3)$ . Egalitatea e adevărată pentru orice $x$ , fiind o identitate, nu o ecuație.

11. Volumul rămas este $6^{3} - 2^{3} = (6 - 2) (36 + 12 + 4) = 4 \cdot 52 = 208$ centimetri cubi. Verificare directă: $216 - 8 = 208$ . Descompunerea e utilă când laturile sunt date prin litere, pentru că arată imediat factorul comun.

12. Cu $a = 3$ și $b = 2$ : $(3)^{3} = 33$ , apoi $3 \cdot 3 \cdot 2 = 18$ , apoi $3 \cdot 3 \cdot 4 = 123$ , apoi $8$ . Așadar $(3 + 2)^{3} = 153 + 26$ .

13. Cum $729 = 9^{3}$ , avem $x^{6} - 729 = (x^{2})^{3} - 9^{3} = (x^{2} - 9) (x^{4} + 9 x^{2} + 81)$ , iar primul factor este o diferență de pătrate: $x^{6} - 729 = (x - 3) (x + 3) (x^{4} + 9 x^{2} + 81)$ .

14. $5^{3} + 3^{3} = (5 + 3) (25 - 15 + 9) = 8 \cdot 19$ , deci numărul are pe $8$ ca factor. Regula generală care se vede aici: suma cuburilor a două numere întregi se divide cu suma lor, ori de câte ori această sumă nu este zero.

15. Comparăm cu $(x + m)^{3} = x^{3} + 3 m x^{2} + 3 m^{2} x + m^{3}$ . Din $3 m = - 9$ rezultă $m = - 3$ , iar valoarea se potrivește și în ceilalți termeni: $3 \cdot 9 = 27$ și $(- 3)^{3} = - 27$ . Deci $m = - 3$ .

16. a) $x + y = 8$ , iar $x y = (4 - 6) (4 + 6) = 16 - 6 = 10$ , ca diferență de pătrate. b) $x^{3} + y^{3} = (x + y)^{3} - 3 x y (x + y) = 512 - 240 = 272$ . Radicalii au dispărut, ceea ce era de așteptat: cele două numere sunt conjugate.

17. Prima fracție se simplifică la $x - 1$ , a doua la $x + 1$ , fiindcă numitorii sunt exact al doilea factor din descompunerea numărătorilor. Suma este $(x - 1) + (x + 1) = 2 x$ .

18. Scriem $x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 2 = (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) + 1 = (x + 1)^{3} + 1$ . Acum avem o sumă de cuburi, cu $a = x + 1$ și $b = 1$ , deci egalitatea devine $(x + 2) ((x + 1)^{2} - (x + 1) + 1) = (x + 2) (x^{2} + x + 1)$ . Control la $x = 1$ : $1 + 3 + 3 + 2 = 9$ , iar $3 \cdot 3 = 9$ .

De reținut

Cubul unei sume are patru termeni, nu doi: $(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ , iar în fiecare termen exponenții lui $a$ și $b$ dau împreună $3$ .
La cubul unei diferențe semnele alternează, începând cu plus: $(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$ .
Diferența de cuburi se descompune ca $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$ , iar suma ca $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$ : semnul din paranteza mare este cel dintre cuburi, iar semnul din mijlocul parantezei mici este invers.
Paranteza $a^{2} \pm ab + b^{2}$ nu este un pătrat perfect: mijlocul are coeficientul $1$ , nu $2$ .
Când ridici la cub o expresie cu coeficient, ridici tot: $8 x^{3} = (2 x)^{3}$ , iar $x^{6} = (x^{2})^{3}$ .

Greșeli frecvente

Cubul sumei rupt în două. Scrierea $(x + y)^{3} = x^{3} + y^{3}$ este cea mai des întâlnită greșeală de la această lecție și cea mai ușor de demascat: la $x = y = 1$ membrul stâng dă $8$ , iar cel drept $2$ . Puterea nu se împarte peste o sumă, nici la exponentul $2$ , nici la $3$ .
Coeficienții $3$ puși pe termeni greșiți. Forma $x^{3} + 3 x y + y^{3}$ nu are cum să fie corectă: termenul din mijloc trebuie să conțină tot trei factori, ca $3 x^{2} y$ și $3 x y^{2}$ . Numără exponenții din fiecare termen înainte de a trece mai departe.
Semnul din paranteza mică, luat la fel cu cel dintre cuburi. La $x^{3} + 8$ mulți scriu $(x + 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ . Desfaceți produsul și veți vedea că iese $x^{3} + 4 x^{2} + 8 x + 8$ , nu $x^{3} + 8$ . Semnul de la mijloc se schimbă, întotdeauna.
Coeficientul ridicat greșit la cub. $8 x^{3}$ este $(2 x)^{3}$ , nu $(8 x)^{3}$ ; ultimul ar însemna $512 x^{3}$ . Când scoți un cub în față, verifică ridicând înapoi la putere.
Formula aplicată unde nu are ce căuta. $x^{3} - 5$ și $x^{3} + 12$ nu sunt diferențe sau sume de cuburi, pentru că $5$ și $12$ nu sunt cuburi perfecte. Înainte de a descompune, caută numărul în tabelul cuburilor.

Aplică acasă

Cubul de pe masă. Găsește un obiect cubic (un zar, o cutie mică) și măsoară-i latura în milimetri. Calculează-i volumul, apoi imaginează-ți că latura crește cu $1$ mm și calculează creșterea de volum în două feluri: direct, prin scăderea cuburilor, și cu formula, ca sumă de trei termeni. Scrie ce procent din creștere aduce fiecare termen.
Atelierul cuburilor perfecte. Alege patru cuburi perfecte din tabelul lecției și scrie cu ele patru expresii de forma „cub minus cub" și „cub plus cub", cu literă și cu număr. Descompune-le pe toate, apoi verifică fiecare descompunere înmulțind la loc parantezele. Notează unde ai fost tentat să greșești semnul.
Un procent care se triplează. Dacă latura unui cub crește cu $1%$ , cu cât crește volumul? Calculează $1, 0 1^{3}$ și compară rezultatul cu $1, 03$ . Repetă pentru o creștere de $2%$ și explică, folosind cei trei termeni ai formulei, de ce creșterea volumului este puțin mai mare decât triplul creșterii laturii.

Pentru părinți și profesori

Tema pare o simplă listă de formule, dar ea hotărăște cât de sigur va calcula elevul tot restul anului: raționalizările, ecuațiile și problemele de progresii se sprijină pe calculul algebric făcut fără ezitare. La profilul științe ale naturii formulele acestea au un sprijin în plus, pe care traseul de matematică-informatică nu îl folosește la clasa a IX-a: aici ele intră în programă ca unealtă pentru calculul cu numere reale, iar fiecare dintre cei patru termeni ai cubului unei sume are o semnificație geometrică vizibilă pe un cub decupat. Cine a văzut o dată desenul nu mai scrie niciodată că puterea se împarte peste o sumă.

De urmărit în caiet, în ordinea în care apar greșelile: dacă în fiecare termen exponenții dau împreună $3$ ; dacă la $(3 x - 2)^{3}$ s-a ridicat la putere tot $3 x$ ; dacă semnul din paranteza mică este invers față de cel dintre cuburi; dacă rezultatul a fost controlat cu o valoare simplă a literei. Întrebări bune de control: „Cât fac $(a + b)^{3}$ și $(a - b)^{3}$ , unul după altul?"; „De ce $a^{2} + ab + b^{2}$ nu este $(a + b)^{2}$ ?"; „Care este cubul lui $2 x$ ?"; „De ce $x^{3} - 5$ nu se descompune cu formula?". Semn că elevul a înțeles: verifică singur, dând literei valoarea $1$ , și nu începe o descompunere înainte de a se convinge că ambii termeni sunt cuburi perfecte.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Algebră, la capitolul „Mulțimea numerelor reale". Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde formulele de calcul prescurtat nu sunt trecute ca temă de sine stătătoare: programa de examen listează, la clasa a IX-a, „operațiile algebrice cu numere reale", iar formulele sunt unealta cu care se rezolvă cerințele scurte de la Subiectul I. Programa nouă prevede trei ore de matematică pe săptămână la acest profil (planurile-cadru, OMEC 4350/2025), față de patru ore la clasa a IX-a în programa de examen din 2014.

Întrebări frecvente

Care sunt formulele de calcul prescurtat cu cuburi? Sunt trei: cubul sumei și al diferenței, $(a \pm b)^{3} = a^{3} \pm 3 a^{2} b + 3 a b^{2} \pm b^{3}$ , apoi diferența de cuburi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$ , și suma de cuburi, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$ . Prima se folosește pentru a desface o paranteză ridicată la cub, celelalte două pentru a descompune în factori o sumă sau o diferență de cuburi perfecte. Programa clasei a IX-a de la științe ale naturii le cere exact în această formă, fără altele.

Cum se ridică la cub o sumă de două numere? Scrii patru termeni, în ordinea descrescătoare a puterilor primului număr: cubul primului, de trei ori pătratul primului înmulțit cu al doilea, de trei ori primul înmulțit cu pătratul celui de-al doilea și cubul celui de-al doilea. Controlul rapid: în fiecare termen, exponenții trebuie să dea împreună $3$ .

Ce diferă la tema aceasta între M1 și M2? La științe ale naturii formulele cu cuburi intră în clasa a IX-a, ca unealtă de calcul cu numere reale, și rămân la nivelul acesta. La mate-info nu există o lecție de calcul algebric în clasa a IX-a: formulele de ordinul al doilea rămân de la clasa a VIII-a, iar cuburile revin în clasa a X-a, la polinoame, împreună cu binomul lui Newton, care le generalizează pentru orice exponent.

La ce subiect apare calculul cu cuburi la bacalaureatul M2? La Subiectul I, care are șase cerințe scurte de câte cinci puncte. În sesiunile 2027–2029 tema nu e numită ca atare în programa de examen, dar formulele se folosesc la cerințele de calcul cu numere reale — de exemplu la expresii cu sumă și produs date. Din 2030, la proba MAT_P2, ele apar explicit în domeniul Algebră.

Cum recunosc o diferență de cuburi? Verifici dacă ambii termeni sunt cuburi perfecte: numerele $1$ , $8$ , $27$ , $64$ , $125$ , $216$ , $343$ , $512$ , $729$ , $1000$ , puterile cu exponent multiplu de trei, ca $x^{6}$ , și coeficienții care sunt ei înșiși cuburi, ca $8 x^{3} = (2 x)^{3}$ . Dacă unul dintre cei doi termeni nu e cub perfect, formula nu se aplică.

De ce al doilea factor are $ab$ , și nu $2 ab$ ? Pentru că el nu provine dintr-un pătrat perfect, ci din înmulțirea care lasă doar cuburile. Când desfaci $(a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$ , termenii $a^{2} b$ și $a b^{2}$ apar o dată cu plus și o dată cu minus și se reduc; cu $2 ab$ la mijloc nu s-ar mai reduce nimic, iar rezultatul n-ar mai fi $a^{3} - b^{3}$ .

Cum calculez repede $10 1^{3}$ fără calculator? Scrii $101 = 100 + 1$ și aplici cubul sumei: $1000000 + 3 \cdot 10000 + 3 \cdot 100 + 1 = 1030301$ . Toate înmulțirile sunt cu puteri ale lui $10$ , deci se fac în minte. Același truc merge la orice număr apropiat de o putere a lui $10$ , luând diferența drept al doilea termen. Tehnica o vei folosi și la raționalizarea numitorilor cu expresia conjugată, iar semnele se controlează la fel de atent ca la modulul unui număr real.