Raționalizarea numitorilor cu expresia conjugată (M2, științe ale naturii)

La ora de fizică descompui o forță pe două direcții și rămâi cu un rezultat de forma $\frac{12}{\sqrt{2}}$ newtoni. Colegul de bancă scrie același rezultat $6\sqrt{2}$ și, când vine momentul aproximării, el face o singură înmulțire, iar tu o împărțire cu un număr cu multe zecimale. Amândoi aveți dreptate — cele două scrieri sunt egale —, dar numai una dintre ele se pretează la calcul, la comparare și la adunare cu alte fracții. Lecția aceasta, a doua din programa de clasa a IX-a de la profilul științe ale naturii (M2), te învață cum treci de la prima formă la a doua, pentru orice numitor de forma $a\pm \sqrt{b}$. La Bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029 tehnica intră prin proprietățile radicalilor, pe care programa de examen le trece la clasa a X-a, și se folosește la Subiectul I, în cerințele de tipul „arătați că numărul este natural"; din 2030, la proba MAT_P2, raționalizarea este scrisă explicit în programa clasei a IX-a, în domeniul Algebră.

Ai făcut deja o parte din drum în gimnaziu, la raționalizarea numitorului din clasa a 7-a, unde numitorul era un singur radical. Noutatea de acum este numitorul cu doi termeni, ca $3-\sqrt{5}$, unde amplificarea cu $\sqrt{5}$ nu rezolvă nimic. Soluția vine dintr-o formulă pe care o știi: diferența de pătrate. Ea transformă un produs de două paranteze aproape identice într-un număr fără niciun radical.

Ce vei învăța

• Vei ști ce înseamnă a raționaliza un numitor și de ce operația nu schimbă valoarea fracției.
• Vei ști să scrii expresia conjugată a oricărui numitor de forma $a\pm \sqrt{b}$, cu semnul corect.
• Vei ști să amplifici o fracție cu conjugata numitorului și să duci calculul până la forma finală.
• Vei ști să recunoști când produsul cu conjugata dă un număr întreg mic și când dă unul mare.
• Vei ști să tratezi și cazul în care ambii termeni de la numitor sunt radicali.
• Vei ști să verifici singur rezultatul, cu o aproximare zecimală sau cu o înmulțire inversă.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă raționalizarea unui numitor?

Raționalizarea numitorului este transformarea unei fracții într-o fracție egală cu ea, al cărei numitor nu mai conține radicali; se face amplificând fracția — adică înmulțind și numărătorul, și numitorul cu aceeași expresie nenulă, aleasă astfel încât radicalii de la numitor să dispară.

Cuvântul „rațional" nu se referă la judecată, ci la mulțimea numerelor raționale: după operație, numitorul este un număr rațional. Valoarea fracției rămâne neschimbată, pentru că am înmulțit-o, de fapt, cu $1$, scris sub forma unui raport cu numărătorul egal cu numitorul.

2. De ce merită scos radicalul din numitor?

Din trei motive practice, toate vizibile într-o oră de laborator.

Aproximarea este mai sigură. Ca să aproximezi $\frac{12}{\sqrt{2}}$, trebuie să împarți la un număr cu multe zecimale; la $6\sqrt{2}$ faci o singură înmulțire. Aici câștigul e doar de comoditate, dar există situații în care el devine uriaș. Ia fracția $\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}$ și lucrează cu radicalii rotunjiți la două zecimale, $2,65$ și $2,45$. Numitorul iese $0,20$, iar fracția $5,00$; valoarea adevărată este însă aproape $5,095$. Raționalizată, aceeași fracție devine $\sqrt{7}+\sqrt{6}$, care cu aceleași rotunjiri dă $5,10$ — de aproape douăzeci de ori mai aproape de răspunsul corect. Motivul e că scăderea a două numere apropiate distruge cifrele exacte: din patru cifre bune rămân una sau două, iar împărțirea la rezultat le pierde și pe acelea. Raționalizarea înlocuiește scăderea periculoasă cu o adunare inofensivă.

Compararea devine imediată. Două fracții cu radicali la numitor nu se compară dintr-o privire: nu poți spune, uitându-te, care dintre $\frac{1}{6-\sqrt{35}}$ și $\frac{1}{6+\sqrt{35}}$ este mai mare. După raționalizare, fiecare devine un număr de forma „întreg plus un multiplu de radical", iar ordinea se vede fără niciun calcul suplimentar.

Adunarea devine posibilă. Fracțiile se adună numai după aducerea la același numitor; cu radicali la numitor, numitorul comun este o expresie greoaie, iar calculul se lungește cu fiecare termen. Raționalizate, fracțiile au numitori întregi și se adună ca la clasa a V-a. Vei folosi acest lucru la fiecare exercițiu de tipul „arătați că suma este un număr natural" — și vei observa că, de fiecare dată, radicalii se reduc între ei, ceea ce înainte de raționalizare nici nu se bănuia.

Mai există un motiv, mai puțin practic și mai important: o expresie cu numitor rațional are o formă unică, pe care oricine o recunoaște. Două rezultate scrise diferit, dar egale, nu se pot compara la o corectură rapidă; două rezultate raționalizate, da.

3. Cum scap de un singur radical de la numitor?

Amplificând cu chiar acel radical. Ideea e că $\sqrt{b}\cdot \sqrt{b}=b$, deci radicalul se „stinge" înmulțindu-l cu el însuși:

$$\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$$

Când la numitor apare și un coeficient, el nu se atinge: amplifici tot cu radicalul, iar coeficientul rămâne acolo unde e. De exemplu, la $\frac{14}{3\sqrt{7}}$ amplificarea cu $\sqrt{7}$ dă numitorul $3\cdot 7=21$, iar fracția devine $\frac{14\sqrt{7}}{21}=\frac{2\sqrt{7}}{3}$. Simplificarea finală, prin $7$, se face abia la sfârșit.

O precauție care scurtează mult calculul: dacă numărul de sub radical are un factor pătrat perfect, scoate-l întâi afară și abia apoi amplifică. La $\frac{10}{\sqrt{50}}$, scriind $\sqrt{50}=5\sqrt{2}$, rămâne de amplificat doar cu $\sqrt{2}$, iar numerele cu care lucrezi sunt de cinci ori mai mici. Cine amplifică direct cu $\sqrt{50}$ ajunge la același rezultat, dar prin numere de trei cifre și cu o simplificare urâtă la final.

4. Cum scap de radical când numitorul are doi termeni?

Aici amplificarea cu radicalul nu mai ajută: la $\frac{5}{2+\sqrt{3}}$, înmulțind cu $\sqrt{3}$, numitorul devine $2\sqrt{3}+3$, deci tot cu radical. Ne trebuie altceva, iar acel altceva este o formulă de gimnaziu.

Expresia conjugată a unui număr de forma $a+\sqrt{b}$ este numărul $a-\sqrt{b}$, obținut schimbând semnul dintre cei doi termeni; conjugata lui $a-\sqrt{b}$ este, simetric, $a+\sqrt{b}$. Produsul unei expresii cu conjugata ei este o diferență de pătrate, deci un număr fără radicali — nenul, atâta vreme cât pătratul primului termen nu este egal cu numărul de sub radical, fiindcă altfel numitorul însuși ar fi zero:

$$\left(a-\sqrt{b}\right)\left(a+\sqrt{b}\right)=a^2-b$$

Toată tehnica încape acum într-un rând: amplifici fracția cu expresia conjugată a numitorului. La exemplul de mai sus, conjugata lui $2+\sqrt{3}$ este $2-\sqrt{3}$, iar produsul lor este $4-3=1$:

$$\frac{5}{2+\sqrt{3}}=\frac{5\left(2-\sqrt{3}\right)}{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}=\frac{5\left(2-\sqrt{3}\right)}{1}=10-5\sqrt{3}$$

De ce funcționează? Pentru că, înmulțind cele două paranteze, cei doi termeni care conțin radical ies cu semne opuse și se șterg unul pe altul, exact ca la diferența de pătrate din gimnaziu. Nimic nu „scoate" radicalul; el se anulează singur, pentru că l-am pus de două ori, cu semne opuse. De aceea conjugata este singura expresie care merge: cu orice altceva, la numitor ar rămâne un termen cu radical.

Două observații care economisesc timp. Prima: numitorul nou se calculează înaintea oricărei desfaceri de paranteză la numărător — dacă iese $1$, ca aici, jumătate din muncă dispare, iar dacă iese un număr care se simplifică cu numărătorul, calculul se scurtează și mai mult. A doua: numărătorul se lasă în paranteză până la capăt și se desface abia la final, altfel apar semne pierdute; greșeala clasică este să scrii $6\cdot 4+\sqrt{10}$ în loc de $6\left(4+\sqrt{10}\right)$.

5. Ce fac dacă ambii termeni de la numitor sunt radicali?

Programa clasei a IX-a cere numitorii de forma $a\pm \sqrt{b}$, cu $b$ pozitiv, adică un număr și un radical. Același procedeu merge însă neschimbat și când ambii termeni sunt radicali, pentru că diferența de pătrate nu ține cont de asta:

$$\left(\sqrt{u}-\sqrt{v}\right)\left(\sqrt{u}+\sqrt{v}\right)=u-v$$

De pildă, conjugata lui $\sqrt{11}-\sqrt{5}$ este $\sqrt{11}+\sqrt{5}$, iar produsul lor este $11-5=6$. Merită să reții cazul, pentru că apare des în exercițiile de calcul, dar reține și că regula e aceeași: schimbi semnul dintre cei doi termeni și amplifici. Nimic nou de învățat, doar un numitor care iese mai repede.

Cazul acesta are și o particularitate plăcută: numitorul nou este o diferență de numere întregi, deci de multe ori un număr mic. La $\sqrt{7}-\sqrt{6}$ el iese chiar $1$, iar fracția $\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}$ devine, dintr-un singur pas, $\sqrt{7}+\sqrt{6}$. Ori de câte ori cei doi radicali provin din numere consecutive, numitorul nou este $1$ — un lucru care se folosește des la exercițiile de comparare a două diferențe de radicali.

6. Cum verific dacă am raționalizat corect?

Cu două controale, amândouă scurte.

Controlul zecimal. Aproximează fracția inițială și rezultatul final cu aceeași valoare a radicalului și compară. Pentru $\frac{5}{2+\sqrt{3}}$, cu $\sqrt{3}$ apropiat de $1,732$, fracția inițială dă aproximativ $\frac{5}{3,732}$, adică aproape $1,34$; rezultatul $10-5\sqrt{3}$ dă $10-8,66$, adică tot aproape $1,34$. Dacă cele două nu se potrivesc, undeva e o greșeală de semn.

Controlul prin înmulțire inversă. Înmulțește rezultatul cu numitorul inițial; trebuie să obții numărătorul inițial. Aici, $\left(10-5\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)=20+10\sqrt{3}-10\sqrt{3}-15=5$, exact numărătorul de la care am pornit.

Al doilea control este cel sigur, pentru că nu depinde de nicio aproximare. Fă-l măcar o dată la fiecare temă, până când amplificarea cu conjugata devine un reflex.

Există și un semn de alarmă care se vede fără niciun calcul: dacă în rezultatul final a rămas un radical la numitor, treaba nu e terminată. Iar dacă rezultatul are un numitor mai complicat decât cel de la care ai pornit, aproape sigur ai amplificat cu expresia greșită.

7. Unde apar numitorii cu radicali în științe?

Mult mai des decât ai crede, pentru că radicalii apar de fiecare dată când o mărime se obține dintr-un pătrat. În fizică, orice descompunere a unei forțe sau a unei viteze pe două direcții perpendiculare aduce raportul $\frac{1}{\sqrt{2}}$ atunci când unghiul este de $45^{\circ }$; perioada unui pendul și viteza unui corp care cade se scriu tot cu radical, iar când aceste formule se raportează una la alta, radicalul ajunge la numitor. În chimie, vitezele de difuzie a două gaze sunt invers proporționale cu radicalii maselor lor molare, deci raportul lor este o fracție cu radicali sus și jos. În biologie, relațiile dintre suprafață și volum produc rapoarte cu radicali ori de câte ori se compară două organisme de dimensiuni diferite.

În toate cazurile, prima mișcare a unui elev antrenat este aceeași: scrie rezultatul exact, cu radicali, raționalizează numitorul și abia apoi aproximează. Ordinea aceasta nu e o preferință de stil — este regula după care se lucrează într-un laborator, ca să știi la sfârșit câte zecimale ale răspunsului sunt cu adevărat sigure.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un singur radical la numitor

Raționalizați numitorii fracțiilor $\frac{21}{\sqrt{7}}$ și $\frac{18}{5\sqrt{3}}$.

Rezolvare. Prima se amplifică cu $\sqrt{7}$, iar numitorul devine $7$:

$$\frac{21}{\sqrt{7}}=\frac{21\sqrt{7}}{7}=3\sqrt{7}$$

A doua se amplifică tot cu radicalul, adică cu $\sqrt{3}$; numitorul devine $5\cdot 3=15$, iar fracția se simplifică apoi prin $3$:

$$\frac{18}{5\sqrt{3}}=\frac{18\sqrt{3}}{15}=\frac{6\sqrt{3}}{5}$$

Exemplul 2 — Numitor de forma $a-\sqrt{b}$

Raționalizați numitorul fracției $\frac{6}{4-\sqrt{10}}$.

Rezolvare. Conjugata numitorului este $4+\sqrt{10}$, iar produsul lor este $16-10=6$:

$$\frac{6}{4-\sqrt{10}}=\frac{6\left(4+\sqrt{10}\right)}{16-10}=\frac{6\left(4+\sqrt{10}\right)}{6}=4+\sqrt{10}$$

Numitorul nou a ieșit egal cu numărătorul inițial, așa că fracția s-a simplificat complet. Control prin înmulțire inversă: $\left(4+\sqrt{10}\right)\left(4-\sqrt{10}\right)=6$.

Exemplul 3 — Când numitorul nou este $1$

Raționalizați numitorul fracției $\frac{7}{4+\sqrt{15}}$ și scrieți rezultatul fără paranteze.

Rezolvare. Conjugata este $4-\sqrt{15}$, iar $4^2-15=1$. Numitorul dispare cu totul:

$$\frac{7}{4+\sqrt{15}}=\frac{7\left(4-\sqrt{15}\right)}{1}=28-7\sqrt{15}$$

Cazul acesta apare ori de câte ori pătratul primului termen depășește cu o unitate numărul de sub radical, adică la perechi ca $2$ și $3$, $3$ și $8$, $4$ și $15$, $5$ și $24$. Merită recunoscute din prima, fiindcă scurtează calculul la o singură înmulțire, iar în subiectele de examen apar tocmai pentru că dau numere frumoase.

Exemplul 4 — Găsește greșeala

Un elev raționalizează fracția $\frac{2}{5-\sqrt{3}}$ și scrie: „amplific cu $5-\sqrt{3}$, iar numitorul devine $28-10\sqrt{3}$". Găsiți pasul greșit, explicați de ce este greșit și duceți calculul până la capăt.

Rezolvare. Pasul greșit este chiar alegerea factorului de amplificare: elevul a înmulțit numitorul cu el însuși, nu cu conjugata lui. Calculul pe care l-a făcut este corect — într-adevăr, ${\left(5-\sqrt{3}\right)}^2=25-10\sqrt{3}+3=28-10\sqrt{3}$ —, dar rezultatul tot are radical, deci scopul nu a fost atins. Conjugata schimbă semnul dintre termeni, iar produsul devine o diferență de pătrate:

$$\frac{2}{5-\sqrt{3}}=\frac{2\left(5+\sqrt{3}\right)}{25-3}=\frac{2\left(5+\sqrt{3}\right)}{22}=\frac{5+\sqrt{3}}{11}$$

Reține deosebirea: înmulțirea cu aceeași expresie ridică numitorul la pătrat și lasă radicalul acolo; înmulțirea cu conjugata îl șterge. Un singur semn desparte cele două calcule.

Exemplul 5 — O forță descompusă pe două direcții

O forță de $20$ de newtoni acționează asupra unui corp sub un unghi de $45^{\circ }$ față de orizontală. Componenta ei orizontală se calculează ca $\frac{20}{\sqrt{2}}$ newtoni. Scrieți valoarea cu numitor rațional și aproximați-o cu două zecimale, folosind $\sqrt{2}$ apropiat de $1,41421$.

Rezolvare. Amplificăm cu $\sqrt{2}$; numitorul devine $2$, iar fracția se simplifică:

$$\frac{20}{\sqrt{2}}=\frac{20\sqrt{2}}{2}=10\sqrt{2}$$

Aproximarea cere acum o singură înmulțire: $10\cdot 1,41421=14,1421$, deci componenta orizontală este de aproximativ $14,14$ newtoni. Forma raționalizată nu schimbă rezultatul, dar schimbă felul în care ajungi la el: o înmulțire cu o valoare tabelată, în loc de o împărțire cu un număr cu cinci zecimale. Într-un laborator, unde același calcul se repetă pentru zece măsurători, diferența se simte imediat. Iar dacă numitorul ar fi fost o diferență de doi radicali apropiați, forma raționalizată ar fi fost nu doar mai comodă, ci și mai exactă, din motivul arătat în secțiunea 2.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Arătați că numărul $N=\frac{1}{3-\sqrt{7}}+\frac{1}{3+\sqrt{7}}$ este natural.

Rezolvare. Raționalizăm fiecare fracție. Cei doi numitori sunt conjugați unul altuia, iar produsul lor este $9-7=2$, același pentru amândouă:

$$\frac{1}{3-\sqrt{7}}=\frac{3+\sqrt{7}}{2},\frac{1}{3+\sqrt{7}}=\frac{3-\sqrt{7}}{2}$$

Adunăm fracțiile, care au acum același numitor:

$$N=\frac{3+\sqrt{7}+3-\sqrt{7}}{2}=\frac{6}{2}=3$$

Radicalii s-au redus, iar $N=3$ este număr natural. Reține tiparul: două fracții cu numitori conjugați se adună întotdeauna la un număr fără radicali, pentru că termenii cu radical au semne opuse.

Să exersăm

Rețeta, în trei pași: scrie conjugata numitorului, calculează întâi numitorul nou ca diferență de pătrate, apoi desfă numărătorul. La final, verifică prin înmulțire inversă cel puțin un exercițiu din trei.

1. Raționalizează numitorii: $\frac{3}{\sqrt{5}}$ și $\frac{8}{\sqrt{2}}$.

2. Raționalizează numitorii: $\frac{15}{2\sqrt{5}}$ și $\frac{6}{\sqrt{12}}$.

3. Scrie conjugata fiecărei expresii — $7-\sqrt{2}$, $\sqrt{6}+4$, $2\sqrt{3}-5$ — și calculează produsul fiecăreia cu conjugata ei.

4. Raționalizează numitorul fracției $\frac{2}{6-\sqrt{11}}$.

5. Raționalizează numitorul fracției $\frac{9}{4+\sqrt{7}}$.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Amplificând fracția $\frac{1}{4-\sqrt{7}}$ cu $4-\sqrt{7}$, numitorul devine un număr rațional."

7. Raționalizează numitorul fracției $\frac{6}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$.

8. Arată că $\frac{1}{\sqrt{15}+\sqrt{14}}=\sqrt{15}-\sqrt{14}$.

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arată că numărul $\frac{1}{4-\sqrt{14}}+\frac{1}{4+\sqrt{14}}$ este natural.

10. Arată că $\frac{1}{3-\sqrt{8}}=3+2\sqrt{2}$.

11. (Problemă aplicată.) Într-un calcul de orientare pe hartă, distanța dintre două repere a ieșit $\frac{20}{\sqrt{5}}$ kilometri. Scrie distanța cu numitor rațional și aproximeaz-o cu două zecimale, folosind $\sqrt{5}$ apropiat de $2,236$.

12. Raționalizează numitorul fracției $\frac{\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}$.

13. Arată că $\frac{2}{\sqrt{6}-2}+\frac{2}{\sqrt{6}+2}=2\sqrt{6}$.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră numărul $x=\frac{1}{2-\sqrt{3}}$. a) Arată că $x=2+\sqrt{3}$. b) Arată că $x^2-4x+1=0$.

15. Raționalizează numitorul fracției $\frac{4}{\sqrt{10}+3}$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arată că numărul $\frac{3}{5-\sqrt{22}}-\sqrt{22}$ este natural.

17. Raționalizează și compară numerele $\frac{1}{\sqrt{5}-2}$ și $\frac{1}{\sqrt{5}+2}$.

18. (Provocare.) Arată că $\frac{1}{2+\sqrt{3}}+\frac{1}{2-\sqrt{3}}=4$, apoi calculează $\frac{1}{{\left(2+\sqrt{3}\right)}^2}+\frac{1}{{\left(2-\sqrt{3}\right)}^2}$.

Răspunsuri și explicații

1. $\frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$, aici nu se mai simplifică nimic. Apoi $\frac{8}{\sqrt{2}}=\frac{8\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}$, unde simplificarea prin $2$ se face la final.

2. $\frac{15}{2\sqrt{5}}=\frac{15\sqrt{5}}{10}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$. Apoi, cum $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$, avem $\frac{6}{\sqrt{12}}=\frac{6}{2\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}$. Scoaterea factorului de sub radical, făcută întâi, scurtează calculul.

3. Conjugata lui $7-\sqrt{2}$ este $7+\sqrt{2}$, cu produsul $49-2=47$. Conjugata lui $\sqrt{6}+4$ este $\sqrt{6}-4$, cu produsul $6-16=-10$. (Citită pe forma „număr plus radical", aceeași expresie ar da conjugata $4-\sqrt{6}$; cele două scrieri diferă doar prin semnul global și duc la același numitor rațional, până la semn.) Conjugata lui $2\sqrt{3}-5$ este $2\sqrt{3}+5$, cu produsul $12-25=-13$. Produsul poate fi și negativ: diferența de pătrate nu promite un rezultat pozitiv, ci unul rațional.

4. Conjugata este $6+\sqrt{11}$, iar numitorul nou este $36-11=25$. Deci $\frac{2}{6-\sqrt{11}}=\frac{2\left(6+\sqrt{11}\right)}{25}=\frac{12+2\sqrt{11}}{25}$, fracție care nu se mai simplifică.

5. Conjugata este $4-\sqrt{7}$, iar numitorul nou este $16-7=9$. Deci $\frac{9}{4+\sqrt{7}}=\frac{9\left(4-\sqrt{7}\right)}{9}=4-\sqrt{7}$.

6. Fals. Amplificarea trebuie făcută cu conjugata, adică exact cu expresia care are semnul dintre termeni schimbat. Înmulțind cu aceeași expresie, numitorul devine ${\left(4-\sqrt{7}\right)}^2=23-8\sqrt{7}$, deci radicalul rămâne. Cu conjugata $4+\sqrt{7}$, numitorul ar fi ieșit $16-7=9$.

7. Conjugata este $\sqrt{5}-\sqrt{2}$, iar numitorul nou este $5-2=3$. Deci $\frac{6}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}=\frac{6\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)}{3}=2\sqrt{5}-2\sqrt{2}$.

8. Amplificăm cu conjugata $\sqrt{15}-\sqrt{14}$; numitorul nou este $15-14=1$, deci $\frac{1}{\sqrt{15}+\sqrt{14}}=\sqrt{15}-\sqrt{14}$, fără nicio împărțire. Controlul zecimal: $\sqrt{15}$ este puțin peste $3,872$, $\sqrt{14}$ puțin peste $3,741$, iar diferența lor, aproape $0,131$, este într-adevăr inversul sumei $7,615$.

9. Numitorii sunt conjugați, iar produsul lor este $16-14=2$. Fiecare fracție devine o jumătate: prima $\frac{4+\sqrt{14}}{2}$, a doua $\frac{4-\sqrt{14}}{2}$. Suma lor este $\frac{8}{2}=4$, număr natural.

10. Numitorul nou este $9-8=1$, deci fracția devine $3+\sqrt{8}$. Scoatem factorul de sub radical: $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$, așadar rezultatul este $3+2\sqrt{2}$.

11. $\frac{20}{\sqrt{5}}=\frac{20\sqrt{5}}{5}=4\sqrt{5}$. Aproximarea cere o singură înmulțire: $4\cdot 2,236=8,944$, deci distanța este de aproximativ $8,94$ kilometri. Rezultatul exact se scrie cu radical, iar cel aproximativ se dă abia la sfârșit.

12. Conjugata este $2+\sqrt{3}$, iar numitorul nou este $4-3=1$. Rămâne de desfăcut numărătorul: $\sqrt{3}\left(2+\sqrt{3}\right)=2\sqrt{3}+3$. Deci $\frac{\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=2\sqrt{3}+3$.

13. Cele două numitoare sunt conjugate, cu produsul $6-4=2$. Prima fracție devine $\frac{2\left(\sqrt{6}+2\right)}{2}=\sqrt{6}+2$, a doua $\sqrt{6}-2$. Suma este $2\sqrt{6}$, iar termenii liberi s-au anulat.

14. a) Numitorul nou este $4-3=1$, deci $x=2+\sqrt{3}$. b) Calculăm $x^2={\left(2+\sqrt{3}\right)}^2=4+4\sqrt{3}+3=7+4\sqrt{3}$ și $4x=8+4\sqrt{3}$. Atunci $x^2-4x+1=7+4\sqrt{3}-8-4\sqrt{3}+1=0$.

15. Conjugata este $\sqrt{10}-3$, iar numitorul nou este $10-9=1$, deci fracția devine $4\left(\sqrt{10}-3\right)$. Desfăcând paranteza: $\frac{4}{\sqrt{10}+3}=4\sqrt{10}-12$.

16. Conjugata numitorului este $5+\sqrt{22}$, iar numitorul nou este $25-22=3$. Fracția devine $\frac{3\left(5+\sqrt{22}\right)}{3}=5+\sqrt{22}$. Scăzând $\sqrt{22}$, rămâne $5$, număr natural.

17. Numitorul nou este $5-4=1$ la amândouă, deci prima fracție este $\sqrt{5}+2$, iar a doua $\sqrt{5}-2$. Prima este mai mare, cu exact $4$: numerele sunt aproximativ $4,236$ și $0,236$. Se vedea și fără calcul, fiindcă fracțiile au același numărător, iar numitorul mai mic dă fracția mai mare.

18. Numitorii sunt conjugați, cu produsul $4-3=1$, deci fracțiile devin $2-\sqrt{3}$ și $2+\sqrt{3}$, iar suma lor este $4$. Pentru a doua cerință, fiecare fracție este pătratul celei de dinainte: ${\left(2-\sqrt{3}\right)}^2=7-4\sqrt{3}$ și ${\left(2+\sqrt{3}\right)}^2=7+4\sqrt{3}$. Suma este $14$, iar radicalii se anulează din nou.

De reținut

• A raționaliza numitorul înseamnă a scrie fracția sub o formă egală, cu numitor rațional; valoarea nu se schimbă, pentru că fracția se amplifică, adică se înmulțește cu $1$.
• Când numitorul este un singur radical, amplifici cu acel radical; când are doi termeni, amplifici cu expresia conjugată, obținută schimbând semnul dintre ei.
• Produsul unei expresii cu conjugata ei este o diferență de pătrate: $\left(a-\sqrt{b}\right)\left(a+\sqrt{b}\right)=a^2-b$, un număr fără radicali, care poate fi și negativ.
• Ordinea de lucru care nu greșește: conjugata, apoi numitorul nou, apoi simplificarea, apoi desfacerea numărătorului.
• Două fracții cu numitori conjugați se adună la un număr fără radicali — tiparul cerințelor de tipul „arătați că numărul este natural".

Greșeli frecvente

• Amplificat doar numărătorul. Înmulțirea cu conjugata se face sus și jos. Dacă o faci doar la numărător, nu ai transformat fracția, ci ai înmulțit-o cu conjugata: din $\frac{2}{5-\sqrt{3}}$ ar ieși un număr de $5+\sqrt{3}$ ori mai mare, adică de aproape $7$ ori mai mare. Scrie amândouă înmulțirile pe același rând, ca să nu uiți una.
• Conjugata scrisă cu ambele semne schimbate. Conjugata lui $3-\sqrt{5}$ este $3+\sqrt{5}$, nu $-3+\sqrt{5}$ și nici $-3-\sqrt{5}$. Se schimbă un singur semn, cel dintre termeni.
• Numitorul nou calculat ca sumă. La $\left(4-\sqrt{10}\right)\left(4+\sqrt{10}\right)$ răspunsul este $16-10$, nu $16+10$: formula este diferență de pătrate. O verificare rapidă: dacă ai obținut un număr mai mare decât $a^2$, sigur ai adunat în loc să scazi.
• Paranteza pierdută la numărător. După amplificare, numărătorul este $6\left(4+\sqrt{10}\right)$, nu $6\cdot 4+\sqrt{10}$. Ține numărătorul în paranteză până după simplificare; abia atunci desfă-l.
• Simplificare pe jumătate. Din $\frac{6+2\sqrt{5}}{4}$ nu se simplifică doar $6$ cu $4$: împărțirea la $2$ trebuie făcută la amândoi termenii de sus, deci rezultatul este $\frac{3+\sqrt{5}}{2}$. Și, cu atât mai puțin, nu se „taie" un $5$ de la numitor cu $5$-ul de sub radical.

Aplică acasă

1. Calculatorul contra formulei. Ia fracția $\frac{1}{\sqrt{2}+1}$ și calculeaz-o în două feluri: cu calculatorul, rotunjind radicalul la două zecimale de la început, și prin raționalizare, rotunjind abia la sfârșit. Scrie cele două rezultate unul sub altul și numără câte zecimale coincid. Repetă pentru $\frac{1}{\sqrt{2}-1}$ și compară cât s-a pierdut de fiecare dată.

2. Tabelul conjugatelor. Construiește un tabel cu șase numitori de forma $a\pm \sqrt{b}$, aleși de tine, iar în coloanele următoare trece conjugata și produsul lor. Marchează perechile la care produsul iese $1$ sau $-1$: sunt cazurile în care raționalizarea se face dintr-o singură înmulțire. Găsești o regulă care leagă numerele alese de rezultatul $1$?

3. Radicali în manualul de fizică. Caută în manualul tău de fizică sau de chimie o formulă în care un radical apare la numitor — de exemplu la descompunerea forțelor sub $45^{\circ }$ sau la vitezele de difuzie a gazelor. Rescrie formula cu numitor rațional și calculează valoarea pentru două seturi de date. Notează dacă forma raționalizată a fost mai rapidă de calculat.

Pentru părinți și profesori

Raționalizarea este prima tehnică de calcul din liceu care nu are un rezultat „mai simplu" în sensul obișnuit: $6\sqrt{2}$ nu e cu nimic mai scurt decât $\frac{12}{\sqrt{2}}$. Elevii întreabă, pe bună dreptate, de ce o fac; răspunsul corect nu este „așa se scrie", ci „ca să pot aproxima, compara și aduna". La profilul științe ale naturii argumentul acesta este la îndemână, pentru că elevul lucrează oricum cu valori măsurate și cu tabele: o împărțire la un număr rotunjit strică precizia, o înmulțire cu el nu. Dacă lecția se leagă de o formulă din manualul de fizică, tehnica încetează să pară o convenție și devine igienă de calcul.

De urmărit în caiet, în ordinea în care apar greșelile: dacă amplificarea s-a făcut și sus, și jos; dacă s-a schimbat un singur semn în conjugată; dacă numitorul nou a fost calculat ca diferență, nu ca sumă; dacă numărătorul a stat în paranteză până după simplificare. Întrebări bune de control: „Cu ce amplifici ca să dispară radicalul din $\frac{2}{5-\sqrt{3}}$?"; „De ce produsul cu conjugata nu mai are radicali?"; „Poate produsul cu conjugata să iasă negativ?"; „Cum verifici rezultatul fără calculator?". Semn că elevul a înțeles: calculează numitorul nou înainte de a atinge numărătorul și își verifică singur un exercițiu prin înmulțire inversă.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Algebră, la capitolul „Mulțimea numerelor reale", cu formularea „raționalizarea numitorilor de forma $a\pm \sqrt{b}$". Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde radicalii și proprietățile lor sunt trecuți în programa de examen la clasa a X-a, iar raționalizarea se folosește la Subiectul I, în cerințele scurte de calcul cu numere reale. Programa nouă prevede trei ore de matematică pe săptămână la acest profil (planurile-cadru, OMEC 4350/2025), față de patru ore la clasa a IX-a în programa de examen din 2014.

Întrebări frecvente

Cu ce amplific o fracție care are $3-\sqrt{5}$ la numitor? Cu $3+\sqrt{5}$, adică exact cu aceeași expresie, dar cu semnul dintre termeni schimbat; ea se numește expresia conjugată. Amplificarea se face și la numărător, și la numitor, altfel valoarea fracției s-ar schimba. Numitorul nou este $9-5=4$, deci fracția $\frac{2}{3-\sqrt{5}}$ devine $\frac{3+\sqrt{5}}{2}$, iar radicalul a urcat la numărător.

De ce se cere numitor fără radical, dacă valoarea fracției nu se schimbă? Pentru că forma raționalizată se calculează mai precis și se folosește mai ușor. Aproximarea cere o înmulțire în loc de o împărțire cu un număr rotunjit, compararea a două rezultate se face dintr-o privire, iar adunarea fracțiilor devine posibilă, fiindcă numitorii sunt numere întregi.

Ce diferă la raționalizare între M1 și M2? La științe ale naturii tema apare în clasa a IX-a și se oprește la numitori de forma $a\pm \sqrt{b}$. La mate-info radicalii formează un capitol întreg, cu radicali de ordinul trei și radicali dubli: aceeași temă, tratată pe larg în traseul de mate-info (M1). Radicalii revin în clasa a X-a, la radicalii de ordin 2 și 3 și expresiile conjugate.

La ce subiect apare raționalizarea la bacalaureatul M2? La Subiectul I, care are șase cerințe scurte de câte cinci puncte. În modelul oficial publicat pentru sesiunea 2026 nu apare o cerință dedicată raționalizării; programa de examen pentru sesiunile 2027–2029 trece radicalii și proprietățile lor la materia clasei a X-a, iar amplificarea cu conjugata rămâne tehnica de calcul folosită acolo unde apar radicali la numitor.

Ce fac dacă la numitor este doar $\sqrt{7}$, fără alt termen? Amplifici chiar cu $\sqrt{7}$, pentru că produsul unui radical cu el însuși dă numărul de sub radical. Fracția $\frac{3}{\sqrt{7}}$ devine astfel $\frac{3\sqrt{7}}{7}$, cu numitor întreg. Dacă numitorul are și un coeficient, el rămâne pe loc și se înmulțește cu numărul ieșit de sub radical; simplificarea fracției se face abia la final, dacă se poate.

Poate produsul cu conjugata să fie zero? Da, dacă numitorul este chiar zero, iar atunci fracția nu are sens de la bun început. Se întâmplă când numărul de sub radical este pătratul celuilalt termen, ca la $2-\sqrt{4}$. Verifică deci, înainte de orice amplificare, că numitorul inițial este diferit de zero.

De ce nu înlocuiesc radicalul cu valoarea lui zecimală de la început? Pentru că fiecare rotunjire făcută devreme se plimbă prin toate operațiile următoare și crește. Forma exactă, cu radical, se păstrează până la ultimul pas; abia răspunsul final se aproximează, cu numărul de zecimale cerut, ca la un calcul de laborator. Regula se aplică și la formulele de calcul prescurtat cu cuburi, și la modulul unui număr real.