Partea întreagă și partea fracționară (M2, științe ale naturii)

Un vas de laborator conține $1,85$ litri de soluție, iar pipeta cu care lucrezi ia câte $0,25$ de litri. Câte pipete pline scoți și cât rămâne pe fundul vasului? Un termometru arată $-2,6$ grade Celsius: între ce două grade întregi este temperatura? Amândouă întrebările cer aceeași operație — despicarea unui număr real în doi factori de înțeles diferit: un întreg, care numără porțiile complete, și o bucată subunitară, care spune cât a mai rămas. Lecția aceasta, din programa de clasa a IX-a de la profilul științe ale naturii (M2), îți dă notațiile și regulile acestei despicări. În programa de examen pentru bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029 tema stă la clasa a IX-a, în capitolul „Mulțimi și elemente de logică matematică", iar la proba MAT_P2 din 2030 intră în domeniul Algebră, la capitolul „Mulțimea numerelor reale".

Ai făcut o parte din drum încă din clasa a V-a, când ai despărțit o fracție zecimală în partea întreagă și partea zecimală. Aici lucrul se face pentru orice număr real, inclusiv pentru cele negative și pentru cele iraționale, unde „citește cifrele dinaintea virgulei" nu mai este o regulă, ci o capcană.

Ce vei învăța

• Vei ști să calculezi partea întreagă $[x]$ și partea fracționară $\{x\}$ ale oricărui număr real, folosind încadrarea, nu cifrele scrise.
• Vei ști de ce la numerele negative rezultatul nu este cel pe care ți-l dă intuiția și de ce afișajul unui calculator te poate înșela.
• Vei ști să determini partea întreagă a unui radical, încadrându-l între două pătrate perfecte.
• Vei ști să scrii orice număr real sub forma $x=[x]+\{x\}$ și să folosești această scriere în probleme cu porții, doze și rest.
• Vei ști să rotunjești la întreg sau la un număr dat de zecimale cu ajutorul părții întregi, printr-o formulă.
• Vei ști să rezolvi ecuații simple cu $[x]$ și $\{x\}$, folosind condiția $0\le \{x\}<1$.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este partea întreagă a unui număr real?

Partea întreagă a unui număr real $x$ este singurul număr întreg $k$ care îndeplinește condiția $k\le x<k+1$; se notează $[x]$. Cu alte cuvinte, $[x]$ este cel mai mare întreg care nu îl depășește pe $x$.

Formularea cu încadrare este cea de lucru, fiindcă funcționează la fel de bine și când $x$ este scris cu virgulă, și când este o fracție, și când este un radical. Din definiție rezultă imediat inegalitatea dublă

$$[x]\le x<[x]+1,$$

pe care o folosești de fiecare dată când vrei să justifici un rezultat. Pe axa numerelor, $[x]$ este marcajul întreg aflat la stânga lui $x$ sau chiar $x$, dacă acesta e întreg: $[4,3]=4$, $[9]=9$.

Cuvântul „singurul" din definiție nu e o figură de stil. Marcajele întregi împart axa în intervale de lungime $1$, lipite unul de altul și fără suprapuneri, fiecare conținându-și capătul din stânga și nu și pe cel din dreapta. Orice număr real cade astfel în exact unul dintre ele, iar capătul din stânga al acelui interval este partea lui întreagă. De aceea notația $[x]$ are sens pentru orice număr, fără excepții și fără cazuri de discutat separat.

2. De ce la numere negative rezultatul pare neașteptat?

Pentru că „cel mai mare întreg care nu îl depășește" înseamnă la stânga pe axă, nu „fără zecimale". Pentru $x=-4,3$, întregii vecini sunt $-5$ și $-4$; cum $-5\le -4,3<-4$, avem $[-4,3]=-5$. Tentația de a scrie $-4$ vine din obiceiul de a șterge zecimalele, dar $-4$ este mai mare decât $-4,3$, deci nu are cum să fie partea lui întreagă.

Aceeași grijă se cere când citești un afișaj. O foaie de calcul sau un aparat poate tăia zecimalele spre zero, adică poate întoarce $-4$ acolo unde partea întreagă este $-5$. Când rezultatul contează, verifică prin încadrare, nu prin citire.

Merită să te întrebi de ce matematica a ales tocmai convenția asta, care pare incomodă. Motivul e că partea întreagă răspunde mereu la aceeași întrebare practică: câte unități complete sunt sigur acoperite? Dacă dintr-un stoc scoți porții întregi, numărul lor nu are voie să fie supraevaluat nici măcar o dată, iar „cel mai mare întreg care nu depășește" e singura regulă care garantează asta pentru orice număr, pozitiv sau negativ. Orice altă alegere ar funcționa pe o jumătate din axă și ar minți pe cealaltă.

3. Ce este partea fracționară?

Partea fracționară a unui număr real $x$ este diferența $\{x\}=x-[x]$. Scăzând $[x]$ din toți membrii inegalității $[x]\le x<[x]+1$, obținem

$$0\le \{x\}<1,$$

deci partea fracționară este întotdeauna un număr din intervalul $[0,1)$ — niciodată negativă, niciodată egală cu $1$. Pentru $x=4,3$: $\{4,3\}=4,3-4=0,3$. Pentru $x=-4,3$: $\{-4,3\}=-4,3-(-5)=0,7$. Un număr întreg are partea fracționară nulă: $\{9\}=0$.

Cele două se adună mereu la numărul de plecare: $x=[x]+\{x\}$. Scrierea aceasta este utilă în practică, fiindcă îți dă dintr-o dată răspunsul la două întrebări diferite: câte unități întregi ai și cât a mai rămas peste ele.

Pe axă, partea fracționară măsoară distanța de la marcajul întreg din stânga până la numărul însuși — aceeași citire geometrică pe care o are modulul unei diferențe în lecția despre modulul unui număr real. Cum $x$ stă întotdeauna la dreapta lui $[x]$, diferența nu are cum să fie negativă, așa că nu e nevoie de niciun modul: scăderea singură dă deja o distanță.

4. Cum aflu partea întreagă a unui radical sau a unei fracții?

Prin încadrare, exact cum ai comparat numere în lecția despre ordonarea și aproximarea numerelor reale. Pentru un radical, cauți cele mai apropiate pătrate perfecte care încadrează numărul de sub radical.

Pentru $\sqrt{30}$: din $25\le 30<36$ rezultă $5\le \sqrt{30}<6$, deci $[\sqrt{30}]=5$ și $\{\sqrt{30}\}=\sqrt{30}-5$. Observă că partea fracționară rămâne scrisă cu radical: ea este un număr irațional și nu are o scriere zecimală finită.

Pentru o fracție, faci împărțirea cu rest. Din $22=3\cdot 7+1$ rezultă $\frac{22}{7}=3+\frac{1}{7}$, deci $\left[\frac{22}{7}\right]=3$ și $\left\{\frac{22}{7}\right\}=\frac{1}{7}$. La fracții pozitive, partea întreagă este chiar câtul împărțirii cu rest, iar partea fracționară este restul împărțit la împărțitor.

La fracțiile negative regula „câtul împărțirii" nu se mai transferă de-a gata, fiindcă împărțirea cu rest a numerelor întregi și partea întreagă privesc în direcții diferite. Calea sigură rămâne aceeași: scrii numărul în formă zecimală sau îl încadrezi între doi întregi. Pentru $-\frac{7}{2}=-3,5$, întregii vecini sunt $-4$ și $-3$, iar partea întreagă este $-4$. Reținând acest singur exemplu ai și verificarea: dacă la un număr negativ ți-a ieșit o parte întreagă mai mare decât numărul, ai luat vecinul greșit.

5. Ce se întâmplă dacă adun un număr întreg?

Încearcă pe cifre: $[4,3]=4$ și $[6,3]=6$; $\{4,3\}=0,3$ și $\{6,3\}=0,3$. Adunarea unui număr întreg mută partea întreagă cu exact acel întreg și lasă partea fracționară neschimbată; regula se oprește aici — la un adaos neîntreg nu mai e valabilă. Explicația se vede pe axă: adunând $2$, punctul sare peste două marcaje întregi, dar poziția lui în interiorul unei unități rămâne aceeași.

Atenție însă: la adunarea a două numere oarecare regula nu se mai păstrează. Pentru $2,6$ și $-2,6$ avem $[2,6]=2$ și $[-2,6]=-3$, a căror sumă este $-1$, în timp ce partea întreagă a sumei este $[0]=0$. Tratarea generală a acestor proprietăți, cu demonstrație, ține de traseul de matematică-informatică: versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții le studiază ca proprietăți ale funcțiilor $[x]$ și $\{x\}$.

6. Cum rotunjesc cu ajutorul părții întregi?

A rotunji un număr la cel mai apropiat întreg înseamnă a alege marcajul întreg cel mai apropiat de el. Formula care face asta este

$$\text{rotunjirea la ıˆntreg a lui }x=[x+0,5].$$

Pentru $x=7,96$: $[7,96+0,5]=[8,46]=8$. Pentru $x=9,38$: $[9,38+0,5]=[9,88]=9$. Observă că rotunjirea și partea întreagă sunt operații diferite: $[7,96]=7$, dar rotunjirea lui $7,96$ este $8$. Deosebirea dintre rotunjire și aproximarea prin lipsă, cu care se confundă cel mai des, e discutată în lecția despre ordonarea și aproximarea numerelor reale.

De ce merge adunarea lui $0,5$? Pentru că ea împinge numărul peste marcajul întreg următor exact atunci când numărul trecuse deja de mijlocul intervalului în care se afla, adică atunci când partea lui fracționară era cel puțin $0,5$. Sub această valoare, adunarea nu ajunge la marcajul următor, iar partea întreagă rămâne cea de dinainte. Formula nu e un truc de calcul, ci traducerea exactă a regulii pe care o aplici din clasele mici: „de la jumătate în sus, se urcă".

Pentru rotunjirea la două zecimale, muți virgula, rotunjești la întreg și muți virgula înapoi: rezultatul este $\frac{[100x+0,5]}{100}$. Pentru $x=2,3456$ obținem $\frac{[235,06]}{100}=\frac{235}{100}=2,35$. Formula aceasta este exact ce face în interior orice aparat de măsură care îți afișează un număr fix de zecimale.

7. De ce partea întreagă depinde de unitatea de măsură?

Pentru că ea numără unități întregi, iar unitatea o alegi tu. O bară are lungimea de $3,47$ metri. În metri, $[3,47]=3$: trei metri întregi. Aceeași bară, măsurată în decimetri, are $34,7$ decimetri, deci $[34,7]=34$; în centimetri are $347$, iar $[347]=347$, adică partea fracționară dispare cu totul.

Se vede și cât se pierde: în metri, luând partea întreagă arunci $0,47$ de metri, adică aproape o jumătate de metru; în centimetri nu arunci nimic, fiindcă măsurătoarea era deja un număr întreg de centimetri. Cu cât unitatea aleasă e mai mică, cu atât partea fracționară pe care o pierzi e mai mică — iar asta e regula după care se alege unitatea într-un protocol de laborator.

De aici o regulă de laborator: înainte de a lua partea întreagă a unei mărimi, spune în ce unitate lucrezi. „Partea întreagă a lungimii" nu înseamnă nimic; „numărul de metri întregi" înseamnă. Tot de aici vine și cea mai folositoare aplicație a noțiunii: câte porții complete de o mărime dată încap într-o cantitate. Din $1,85$ litri, cu pipeta de $0,25$ de litri, ies $\left[\frac{1,85}{0,25}\right]=[7,4]=7$ pipete pline, iar în vas rămân $1,85-7\cdot 0,25=0,1$ litri.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Cele două părți ale unui număr scris ca fracție

Calculați partea întreagă și partea fracționară ale numerelor $\frac{17}{4}$ și $-\frac{17}{4}$.

Rezolvare. Numerele sunt scrise ca fracții, deci „cifrele dinaintea virgulei" nici nu există: singura cale e încadrarea. Din $\frac{17}{4}=4,25$ obținem $4\le 4,25<5$, deci $\left[\frac{17}{4}\right]=4$ și $\left\{\frac{17}{4}\right\}=\frac{1}{4}$.

Pentru $-\frac{17}{4}=-4,25$, întregii vecini de pe axă sunt $-5$ și $-4$, iar $-5\le -4,25<-4$, deci $\left[-\frac{17}{4}\right]=-5$ și $\left\{-\frac{17}{4}\right\}=-4,25-(-5)=0,75$. Verificare prin scrierea $x=[x]+\{x\}$: $-5+0,75=-4,25$.

Exemplul 2 — Partea întreagă a unui radical

Determinați $[\sqrt{30}]$ și scrieți $\sqrt{30}$ sub forma $[x]+\{x\}$.

Rezolvare. Căutăm pătratele perfecte vecine: $25\le 30<36$, deci $5\le \sqrt{30}<6$ și $[\sqrt{30}]=5$. Atunci $\{\sqrt{30}\}=\sqrt{30}-5$, iar scrierea cerută este $\sqrt{30}=5+\left(\sqrt{30}-5\right)$.

Nu avem nevoie de nicio valoare aproximativă: încadrarea dintre două pătrate perfecte decide singură rezultatul, iar asta o face să fie metoda cerută la examen.

Exemplul 3 — Ecuații simple cu cele două părți

a) Determinați numerele reale $x$ pentru care $[x]=-2$. b) Determinați numărul real $x$ știind că $[x]=6$ și $\{x\}=0,4$.

Rezolvare. a) Condiția $[x]=-2$ înseamnă, prin definiție, $-2\le x<-1$. Soluția nu este un singur număr, ci toate numerele din acest interval.

b) Din $x=[x]+\{x\}$ obținem direct $x=6+0,4=6,4$. Verificăm că răspunsul e valid: $6\le 6,4<7$, deci $[6,4]=6$, iar $\{6,4\}=0,4$. Verificarea nu e formalitate: orice valoare propusă pentru $\{x\}$ trebuie să fie în intervalul $[0,1)$, altfel ecuația nu are soluție.

Exemplul 4 — Rotunjire prin formulă

Rotunjiți numărul $7,96$ la cel mai apropiat întreg și apoi la o zecimală, folosind partea întreagă.

Rezolvare. La întreg: $[7,96+0,5]=[8,46]=8$.

La o zecimală, mutăm virgula cu o poziție: $\frac{[10\cdot 7,96+0,5]}{10}=\frac{[80,1]}{10}=\frac{80}{10}=8$. Rezultatul se scrie $8,0$, cu zecimala păstrată, fiindcă ea arată precizia cu care s-a lucrat. Compară cu partea întreagă simplă, $[7,96]=7$: cele două operații dau răspunsuri diferite și nu se pot înlocui una pe alta.

Exemplul 5 — Un protocol de laborator, citit în două unități

Protocolul unei analize cere ca proba să fie repartizată în eprubete de câte $0,25$ de litri, iar restul nerepartizat să fie raportat în mililitri. Vasul conține $1,85$ litri de soluție. Câte eprubete complete ies și cât se raportează ca rest?

Rezolvare. Numărul de porții complete este partea întreagă a raportului dintre cantitatea totală și cantitatea unei porții:

$$\left[\frac{1,85}{0,25}\right]=[7,4]=7.$$

Ies $7$ eprubete complete. Soluția repartizată este $7\cdot 0,25=1,75$ de litri, deci rămân $1,85-1,75=0,1$ litri. Aceeași cifră se citește și din partea fracționară: $\{7,4\}=0,4$, iar $0,4$ dintr-o eprubetă înseamnă $0,4\cdot 0,25=0,1$ litri. Protocolul cere restul în mililitri, deci raportăm $100$ de mililitri — aceeași mărime, alt număr, fiindcă unitatea s-a schimbat. Reține ce e de raportat: $7$ eprubete și $100$ de mililitri, fiecare cu unitatea lui.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Arătați că numărul $n=[\sqrt{45}]+\{2,75\}$ este egal cu $6,75$.

Rezolvare. Pentru primul termen încadrăm între pătrate perfecte: $36\le 45<49$, deci $6\le \sqrt{45}<7$ și $[\sqrt{45}]=6$.

Pentru al doilea, $2\le 2,75<3$ dă $[2,75]=2$, deci $\{2,75\}=2,75-2=0,75$. Adunând, $n=6+0,75=6,75$, adică exact valoarea cerută.

Să exersăm

Înainte de fiecare calcul, așază numărul pe axă, fie și în gând: partea întreagă e marcajul din stânga lui, iar partea fracționară e distanța de la marcaj până la el. La numerele negative, întreabă-te de fiecare dată dacă întregul pe care l-ai scris chiar este mai mic decât numărul dat.

1. Calculează $[7,3]$, $[-4,1]$, $[9]$ și $[-6]$.

2. Calculează $\{7,3\}$, $\{-4,1\}$ și $\{9\}$.

3. Determină $[\sqrt{61}]$ și $[\sqrt{99}]$.

4. Determină $\left[\frac{53}{8}\right]$ și $\left\{\frac{53}{8}\right\}$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru orice număr real $x$ are loc egalitatea $\{x\}+\{-x\}=1$."

6. Scrie numerele $5,8$ și $-5,8$ sub forma $[x]+\{x\}$.

7. Determină numerele reale $x$ pentru care $[x]=-3$.

8. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arată că $[\sqrt{75}]=8$.

9. Rotunjește la cel mai apropiat întreg numerele $16,38$ și $-3,4$, folosind formula cu partea întreagă.

10. (Problemă aplicată.) Dintr-un recipient cu $3,4$ litri de reactiv se umplu flacoane de câte $250$ de mililitri. Câte flacoane pline ies și câți mililitri rămân în recipient?

11. Determină numărul real $x$ știind că $[x]=4$ și $\{x\}=0,25$.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determină numerele reale $x$ din intervalul $(2,4)$ pentru care $\{x\}=\frac{1}{4}$.

13. Arată că $[x]\le x$ pentru orice număr real $x$ și precizează pentru ce numere are loc egalitatea.

14. O bară măsoară $3,47$ metri. Calculează partea întreagă a măsurii ei exprimate în metri, în decimetri și în centimetri, apoi explică în ce fel diferă cele trei rezultate.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arată că $[\sqrt{n}]=4$ pentru orice număr natural $n$ cu $16\le n\le 24$.

16. Determină partea întreagă și partea fracționară ale numărului $-\frac{13}{6}$.

17. Rotunjește numărul $2,3456$ la două zecimale, folosind formula cu partea întreagă, și scrie toți pașii.

18. (Provocare.) Determină numerele reale $x$ pentru care $2[x]=3\{x\}+4$.

Răspunsuri și explicații

1. $[7,3]=7$, fiindcă $7\le 7,3<8$. $[-4,1]=-5$, fiindcă $-5\le -4,1<-4$. $[9]=9$ și $[-6]=-6$: un întreg este propria lui parte întreagă.

2. $\{7,3\}=7,3-7=0,3$. $\{-4,1\}=-4,1-(-5)=0,9$. $\{9\}=0$. Toate trei sunt în intervalul $[0,1)$, cum cere definiția.

3. Din $49\le 61<64$ rezultă $7\le \sqrt{61}<8$, deci $[\sqrt{61}]=7$. Din $81\le 99<100$ rezultă $9\le \sqrt{99}<10$, deci $[\sqrt{99}]=9$.

4. Împărțirea cu rest dă $53=6\cdot 8+5$, deci $\frac{53}{8}=6+\frac{5}{8}$. Cum $\frac{5}{8}$ este între $0$ și $1$, avem $\left[\frac{53}{8}\right]=6$ și $\left\{\frac{53}{8}\right\}=\frac{5}{8}$.

5. Fals. Enunțul cade la numerele întregi: pentru $x=3$ avem $\{3\}=0$ și $\{-3\}=0$, deci suma este $0$, nu $1$. Egalitatea este adevărată pentru orice număr care nu este întreg — de pildă $\{2,4\}=0,4$ și $\{-2,4\}=0,6$ — dar enunțul spunea „pentru orice număr real", deci este fals.

6. $5,8=5+0,8$, fiindcă $[5,8]=5$. Pentru numărul negativ, $[-5,8]=-6$ și $\{-5,8\}=-5,8-(-6)=0,2$, deci $-5,8=-6+0,2$.

7. Condiția $[x]=-3$ înseamnă $-3\le x<-2$, deci soluția este intervalul $[-3,-2)$, capătul din stânga fiind inclus.

8. Căutăm pătratele perfecte vecine lui $75$: $64\le 75<81$, deci $8\le \sqrt{75}<9$. Prin definiția părții întregi, $[\sqrt{75}]=8$.

9. $[16,38+0,5]=[16,88]=16$. $[-3,4+0,5]=[-2,9]=-3$. Al doilea rezultat merită atenție: $-2,9$ are partea întreagă $-3$, iar $-3$ chiar este întregul cel mai apropiat de $-3,4$.

10. Aducem totul la mililitri: $3,4$ litri sunt $3400$ de mililitri. Numărul de flacoane pline este $\left[\frac{3400}{250}\right]=[13,6]=13$. Se consumă $13\cdot 250=3250$ de mililitri, deci rămân $3400-3250=150$ de mililitri. Verificare cu partea fracționară: $\{13,6\}=0,6$, iar $0,6\cdot 250=150$.

11. Din $x=[x]+\{x\}$ rezultă $x=4+0,25=4,25$. Verificăm: $4\le 4,25<5$, deci $[4,25]=4$ și $\{4,25\}=0,25$.

12. Numerele din intervalul $(2,4)$ au partea întreagă $2$ sau $3$. Din $x=[x]+\{x\}$ obținem $x=2+\frac{1}{4}=2,25$ sau $x=3+\frac{1}{4}=3,25$. Amândouă sunt în intervalul cerut, deci soluțiile sunt $2,25$ și $3,25$.

13. Inegalitatea este chiar prima jumătate a definiției: $[x]$ este cel mai mare întreg care nu îl depășește pe $x$, deci $[x]\le x$. Egalitatea are loc exact atunci când $x$ este întreg, fiindcă atunci $\{x\}=0$, iar $x-[x]=0$.

14. În metri: $[3,47]=3$. În decimetri, bara are $34,7$, deci $[34,7]=34$. În centimetri, are $347$, deci $[347]=347$. Cele trei numere nu se contrazic: fiecare numără câte unități întregi de tipul ales încap în aceeași lungime. Cu cât unitatea e mai mică, cu atât partea fracționară pierdută e mai mică.

15. Din $16\le n\le 24$ și $24<25$ rezultă $16\le n<25$. Ridicarea la pătrat păstrează ordinea pe numere nenegative, deci $4\le \sqrt{n}<5$. Prin definiția părții întregi, $[\sqrt{n}]=4$ pentru fiecare dintre aceste valori ale lui $n$.

16. Numărul nu are scriere zecimală finită, deci îl încadrăm între doi întregi direct pe fracție: din $-18<-13<-12$, împărțind la $6>0$, rezultă $-3<-\frac{13}{6}<-2$, deci $\left[-\frac{13}{6}\right]=-3$. Atunci $\left\{-\frac{13}{6}\right\}=-\frac{13}{6}+3=\frac{5}{6}$, număr din intervalul $[0,1)$, cum cere definiția.

17. Înmulțim cu $100$: $100\cdot 2,3456=234,56$. Adunăm $0,5$: $234,56+0,5=235,06$. Luăm partea întreagă: $[235,06]=235$. Împărțim înapoi la $100$: $\frac{235}{100}=2,35$. Rotunjirea cerută este $2,35$.

18. Notăm $[x]=k$, număr întreg, și $\{x\}=f$, cu $0\le f<1$. Ecuația devine $2k=3f+4$, de unde $f=\frac{2k-4}{3}$. Punem condiția $0\le \frac{2k-4}{3}<1$, adică $0\le 2k-4<3$, adică $4\le 2k<7$. Cum $k$ este întreg, rămân $k=2$ și $k=3$. Pentru $k=2$ obținem $f=0$ și $x=2$; pentru $k=3$ obținem $f=\frac{2}{3}$ și $x=\frac{11}{3}$. Soluțiile sunt $2$ și $\frac{11}{3}$.

De reținut

• $[x]$ este singurul întreg $k$ cu $k\le x<k+1$ — definiția prin încadrare, nu prin „cifrele dinaintea virgulei"; de aceea $[-4,3]=-5$, nu $-4$.
• $\{x\}=x-[x]$ și, pentru orice număr real, $0\le \{x\}<1$; de aici $x=[x]+\{x\}$, scrierea care separă unitățile întregi de rest.
• Partea întreagă a unui radical se află încadrând între două pătrate perfecte: din $36\le 45<49$ rezultă $[\sqrt{45}]=6$, fără nicio valoare aproximativă.
• Rotunjirea la întreg este $[x+0,5]$, iar rotunjirea la $n$ zecimale se obține mutând virgula: $\frac{[10^{n}x+0,5]}{10^n}$; rotunjirea și partea întreagă nu sunt același lucru.
• Partea întreagă a unei mărimi măsurate depinde de unitatea de măsură aleasă și numără porțiile complete; răspunsul se scrie întotdeauna cu unitatea lui.

Greșeli frecvente

• Rotunjești măsurătoarea și abia apoi iei partea întreagă. Ai cântărit $7,96$ grame, ai trecut în tabel $8,0$ și ai scris $[8,0]=8$, deși $[7,96]=7$. Ordinea operațiilor schimbă rezultatul cu o unitate întreagă. Lucrează cu valoarea brută și rotunjește, dacă trebuie, abia la răspunsul final.
• Iei partea întreagă când ți s-a cerut o rotunjire. Pentru $4,8$, partea întreagă este $4$, iar rotunjirea la întreg este $5$. Când un enunț de fizică sau de chimie cere „aproximativ câte unități", el cere de obicei rotunjirea, iar când cere „câte unități complete", cere partea întreagă. Citește ce se cere înainte de a alege formula.
• Uiți să spui în ce unitate ai luat partea întreagă. Aceeași bară dă $[3,47]=3$ în metri și $[347]=347$ în centimetri. „Partea întreagă a lungimii" nu este un răspuns; „trei metri întregi" este. Scrie unitatea în enunț, nu doar în rezultat.
• Compari două măsurători prin părțile lor întregi. Două probe cu temperaturile de topire de $63,8$ °C și $64,3$ °C au părțile întregi $63$ și $64$, de unde concluzia grăbită că diferă cu un grad; în realitate diferența este de $0,5$ °C. Partea întreagă aruncă tocmai informația care le deosebea, așa că se compară numerele, nu părțile lor întregi.
• Deduci partea întreagă dintr-o valoare afișată de calculator. Ecranul arată pentru $\sqrt{35}$ ceva ca $5,92$, iar dacă rotunjești valoarea la $6$ ajungi să scrii, greșit, că partea întreagă ar fi $6$. Rezultatul corect este $[\sqrt{35}]=5$, fiindcă $25\le 35<36$. Partea întreagă se decide prin încadrare, nu prin citirea unei valori deja aproximate.

Aplică acasă

1. Cântarul și eticheta. Alege cinci produse din bucătărie, citește masa netă scrisă pe etichetă și cântărește-le pe un cântar de bucătărie. Pentru fiecare, scrie masa măsurată în grame, apoi încadrarea $[m]\le m<[m]+1$ și spune câte grame ar mai trebui până la următorul gram întreg, adică $1-\{m\}$. Unde diferența față de etichetă depășește un gram, notează-ți observația.

2. Rotunjirea făcută cu formula. Ia șase rezultate numerice din ultima lucrare de fizică sau de chimie, cu cel puțin trei zecimale fiecare. Rotunjește-le la două zecimale în două feluri: din ochi, cum faci de fiecare dată, și cu formula $\frac{[100x+0,5]}{100}$, scriind toți pașii. Compară și găsește cazurile în care cele două metode dau altceva; ele sunt exact numerele la care a treia zecimală este $5$.

3. Aceeași mărime, trei unități. Măsoară cu rigla patru obiecte și scrie lungimea fiecăruia în centimetri și în milimetri. Calculează partea întreagă în ambele unități și scrie, lângă fiecare pereche, cât s-a pierdut din măsurătoare prin luarea părții întregi. Formulează într-o propoziție ce se întâmplă cu partea aruncată atunci când treci la o unitate mai mică.

Pentru părinți și profesori

Tema pare mică — două notații și o scădere — dar este primul loc din clasa a IX-a unde elevul trebuie să lucreze cu o definiție prin încadrare, nu prin rețetă de calcul. De aceea toată lecția se sprijină pe inegalitatea $[x]\le x<[x]+1$: cine o folosește nu greșește nici la numere negative, nici la radicali, iar cine încearcă să memoreze cazuri particulare se împiedică la primul semn minus. La profilul științe ale naturii miza e și mai practică: partea întreagă este operația care răspunde la „câte porții complete" și care apare, pe tăcute, în orice aparat care afișează un număr fixat de zecimale.

De urmărit în caiet, în ordinea în care apar greșelile: dacă la numerele negative întregul scris este într-adevăr mai mic decât numărul; dacă partea fracționară a ieșit între $0$ și $1$; dacă la un radical s-a folosit încadrarea între pătrate perfecte și nu o valoare de pe calculator; dacă rezultatul unei probleme aplicate poartă unitatea de măsură și dacă s-a spus în ce unitate s-a luat partea întreagă. Întrebări de control, formulate în limbajul lecției: „De ce partea fracționară nu poate fi niciodată egală cu $1$?"; „Cum arăți, fără calculator, că $[\sqrt{45}]=6$?"; „Ce se schimbă dacă iei partea întreagă a aceleiași lungimi exprimate în milimetri?"; „Ce înseamnă, în problema cu pipeta, numărul din partea fracționară?". Semn că elevul a înțeles: începe orice calcul scriind încadrarea și nu confundă cererea „câte complete" cu cererea „aproximativ cât".

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Algebră, la capitolul „Mulțimea numerelor reale", rândul „structura de ordine". Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde partea întreagă și partea fracționară sunt trecute la materia clasei a IX-a, în capitolul „Mulțimi și elemente de logică matematică"; în modelul oficial de subiect publicat pentru sesiunea 2026 nu există o cerință dedicată acestei teme, iar Subiectul I este alcătuit din șase cerințe scurte din materia claselor a IX-a – a XII-a. Programa nouă prevede trei ore de matematică pe săptămână la acest profil (planurile-cadru, OMEC 4350/2025), față de patru ore la clasa a IX-a în programa de examen din 2014.

Întrebări frecvente

Se învață partea întreagă și la mate-info (M1), și la M2? Ce diferă? Se învață la amândouă, în clasa a IX-a, dar cu alt scop. La științe ale naturii $[x]$ și $\{x\}$ sunt operații cu numere reale, așezate în primul capitol, lângă modul și aproximări, și folosite în probleme de măsurare. La mate-info sunt studiate ca funcții, cu grafic în trepte, periodicitate și proprietăți demonstrate. Cerințele de examen diferă la fel de mult ca tratarea.

La ce subiect apare partea întreagă la bacalaureatul M2? În programa de examen pentru sesiunile 2027–2029 tema este trecută la clasa a IX-a, în capitolul „Mulțimi și elemente de logică matematică", deci locul ei firesc este Subiectul I, cel cu șase cerințe scurte din materia claselor a IX-a – a XII-a. În modelul oficial publicat pentru sesiunea 2026 nu apare o cerință dedicată ei.

Care este diferența dintre partea întreagă și rotunjirea la cel mai apropiat întreg? Partea întreagă coboară mereu la marcajul întreg din stânga, iar rotunjirea alege marcajul cel mai apropiat, care poate fi în oricare parte. Pentru $4,8$, partea întreagă este $4$, iar rotunjirea este $5$. Legătura dintre ele este formula $[x+0,5]$, care transformă partea întreagă în rotunjire.

Cum aflu partea întreagă a unui radical fără calculator? Încadrezi numărul de sub radical între două pătrate perfecte consecutive. Din $36\le 45<49$ rezultă $6\le \sqrt{45}<7$, deci partea întreagă este $6$. Metoda dă un rezultat sigur, pe când o valoare citită de pe ecran e deja aproximată și te poate împinge la întregul următor.

De ce partea întreagă a unei măsurători se schimbă când schimb unitatea? Pentru că ea numără unități întregi, iar unitatea o alegi tu. Aceeași bară de $3,47$ metri dă $3$ metri întregi, $34$ de decimetri întregi și $347$ de centimetri întregi. Rezultatele nu se contrazic: fiecare răspunde la altă întrebare. De aceea, într-un referat, partea întreagă se scrie întotdeauna împreună cu unitatea.

Cum verific repede dacă am calculat corect partea fracționară? Faci două verificări scurte. Prima: rezultatul trebuie să fie în intervalul $[0,1)$ — dacă ți-a ieșit negativ sau supraunitar, ai greșit partea întreagă. A doua: aduni la loc, fiindcă $[x]+\{x\}$ trebuie să dea exact numărul de plecare. Pentru $-4,3$: $-5+0,7=-4,3$, deci calculul e bun.

La ce îmi folosește partea întreagă într-o problemă de laborator? Ea răspunde la întrebarea „câte porții complete încap", iar partea fracționară spune cât rămâne. Dacă ai $1,85$ litri și pipeta ia $0,25$ de litri, numărul de pipete pline este $[7,4]=7$, iar restul se află înmulțind partea fracționară cu volumul unei pipete. Aceeași socoteală se face pentru doze, probe sau eșantioane.