Ce este un număr rațional?

Lecția pe scurt · clasa a VI-a · Numere raționale și forme de scriere

Este orice număr care se poate scrie ca raport a două numere întregi, cu numitorul diferit de zero. Mulțimea lor se notează $Q$ și cuprinde fracțiile, zecimalele și toți întregii, fiindcă $- 4$ se scrie $\frac{- 4}{1}$ . Același număr are mai multe înfățișări: $\frac{3}{4}$ și $0, 75$ sunt același lucru. Dintre fracțiile care înseamnă la fel, cea ireductibilă este forma cu numărătorul și numitorul fără divizori comuni.

Un număr rațional este orice număr care se poate scrie sub forma $\frac{a}{b}$ , cu $a, b \in Z$ și $b \neq = 0$ . Mulțimea acestor numere se notează $Q$ . Același număr rațional are trei forme de scriere: fracție ordinară ( $\frac{3}{4}$ ), fracție zecimală ( $0, 75$ ) și, uneori, formă întreagă ( $\frac{12}{6} = 2$ ) — forma se schimbă, dar numărul rămâne același. Deoarece orice întreg se scrie cu numitorul $1$ (de exemplu $- 4 = \frac{- 4}{1}$ ), avem incluziunea $N \subset Z \subset Q$ . Două fracții sunt echivalente dacă reprezintă același număr; verifici rapid cu înmulțirea în cruce: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow a \cdot d = b \cdot c$ . Dintre toate fracțiile echivalente, forma ireductibilă este cea în care c.m.m.d.c. $(a, b) = 1$ .

Exemplu: Adu $\frac{20}{30}$ la forma ireductibilă. c.m.m.d.c. $(20, 30) = 10$ , deci $\frac{20}{30} = \frac{2}{3}$ .

De reținut

$\frac{a}{b}$ cu $a, b$ întregi și $b \neq = 0$ este număr rațional
$N \subset Z \subset Q$
fracțiile echivalente se recunosc prin înmulțire în cruce: $a \cdot d = b \cdot c$

Greșeala tipică

Se cred diferite două numere doar pentru că sunt scrise altfel, de exemplu $\frac{1}{2}$ și $0, 5$ ; forma de scriere se schimbă, dar valoarea rămâne aceeași, iar egalitatea se verifică prin împărțire sau prin înmulțire în cruce.

Exerciții din această mini-lecție

Care dintre următoarele nu este un număr rațional?
- a) $- 9$
- b) $\frac{7}{11}$
- c) $0$
- d) $\frac{8}{0}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $\frac{8}{0}$

Un număr rațional se scrie $\frac{a}{b}$ cu $a, b \in Z$ și $b \neq = 0$ . La $\frac{8}{0}$ numitorul este $0$ , ceea ce nu este permis niciodată, deci această scriere nu reprezintă un număr rațional. În schimb $- 9$ , $\frac{7}{11}$ și $0$ sunt raționale ( $- 9 = \frac{- 9}{1}$ , iar $0 = \frac{0}{1}$ ).
Care dintre fracțiile de mai jos este forma ireductibilă a fracției $\frac{42}{56}$ ?
- a) $\frac{3}{4}$
- b) $\frac{6}{8}$
- c) $\frac{21}{28}$
- d) $\frac{7}{8}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{3}{4}$

Descompunem $42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$ și $56 = 2^{3} \cdot 7$ , deci c.m.m.d.c. $(42, 56) = 2 \cdot 7 = 14$ . Împărțind: $\frac{42 : 14}{56 : 14} = \frac{3}{4}$ . Fracțiile $\frac{6}{8}$ și $\frac{21}{28}$ sunt echivalente cu $\frac{42}{56}$ , dar nu sunt ireductibile (se mai pot simplifica), iar $\frac{7}{8}$ nu reprezintă același număr.
Care dintre următoarele scrieri nu reprezintă un număr rațional?
- a) $\frac{15}{0}$
- b) $- 6$
- c) $\frac{3}{5}$
- d) $0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{15}{0}$

Un număr rațional se scrie $\frac{a}{b}$ cu $a, b \in Z$ și $b \neq = 0$ . La $\frac{15}{0}$ numitorul este $0$ , ceea ce nu este permis niciodată, deci această scriere nu reprezintă un număr rațional. În schimb $- 6$ , $\frac{3}{5}$ și $0$ sunt raționale ( $- 6 = \frac{- 6}{1}$ , iar $0 = \frac{0}{1}$ ).

Întrebări conexe

Cum trec de la o fracție ordinară la una zecimală?

Împarți numărătorul la numitor. Din $\frac{3}{8}$ obții $0, 375$ , fiindcă împărțirea se termină. Alteori rezultatul are o grupă de cifre care se repetă la nesfârșit, ca la $\frac{1}{3} = 0, (3)$ , iar aceasta se scrie cu perioada între paranteze.

Cum aduc o fracție la forma ireductibilă?

Împarți numărătorul și numitorul la cel mai mare divizor comun al lor. Pentru $\frac{20}{30}$ acesta este $10$ , deci rămâne $\frac{2}{3}$ . Simplificarea se poate face și pe rând, cu numere mici, până când singurul divizor comun rămas este $1$ .

Cum stabilesc care dintre două fracții este mai mare?

Le aduci la același numitor și compari numărătorii, sau le transformi pe amândouă în zecimale. Merge și înmulțirea în cruce. Între $\frac{3}{5}$ și $0, 7$ transformi prima în $0, 6$ și vezi imediat că a doua valoare este mai mare.

Ce fracție se ascunde în spatele scrierii zecimale 0,75?

Scrii cifrele de după virgulă la numărător și puterea potrivită a lui zece la numitor: obții $\frac{75}{100}$ , care se simplifică la $\frac{3}{4}$ . Numărul zecimalelor îți spune câte zerouri are numitorul înainte de simplificare.

Cum scriu un număr întreg sub formă de fracție?

Îl treci la numărător și pui $1$ la numitor, deci $- 4$ devine $\frac{- 4}{1}$ . Scrierea arată de ce toți întregii fac parte din mulțimea numerelor raționale. Se pot folosi și alte fracții echivalente, cum ar fi $\frac{- 8}{2}$ .

Ce fracții au scriere zecimală finită?

Cele a căror formă ireductibilă are la numitor doar factorii $2$ și $5$ , fiindcă numai aceștia se completează până la o putere a lui zece. Astfel $\frac{7}{20}$ dă $0, 35$ , în timp ce $\frac{5}{6}$ are o parte care se repetă la nesfârșit.

Oamenii mai întreabă și: ce înseamnă număr rațional · mulțimea numerelor raționale · forme de scriere ale unui număr rațional · fracție ordinară și fracție zecimală