Ce este un multiplu comun a două numere?

Lecția pe scurt · clasa a V-a · Multipli comuni și cmmmc prin enumerare

Un multiplu comun este un număr care se împarte exact la fiecare dintre numerele date. Ca să îl găsești, scrii multiplii fiecărui număr, adică rezultatele înmulțirii lui cu 1, 2, 3, și cauți valorile care apar în amândouă listele. Pentru 4 și 6 apar 12, 24, 36, iar cel mai mic dintre ele, 12, poartă numele de cmmmc. Verifici împărțind: $12 : 4 = 3$ și $12 : 6 = 2$ , ambele fără rest.

Multiplii unui număr natural se obțin înmulțindu-l cu $0, 1, 2, 3, \dots$ Un multiplu comun a două (sau mai multe) numere este un număr care apare pe lista multiplilor fiecăruia dintre ele. Cel mai mic multiplu comun (cmmmc) este cel mai mic dintre multiplii comuni nenuli.

Metoda prin enumerare: scrii listele de multipli ale numerelor, cauți valorile comune și alegi cea mai mică, diferită de zero.

Exemplu. Aflăm $cmmmc (6, 9)$ :

multiplii lui 6: $6, 12, 18, 24, \dots$
multiplii lui 9: $9, 18, 27, \dots$

Primul comun nenul este 18, deci $cmmmc (6, 9) = 18$ .

Cazuri rapide: dacă un număr e multiplu al celuilalt, cmmmc este numărul mai mare; dacă numerele sunt prime între ele, cmmmc este produsul lor. Cmmmc este întotdeauna mai mare sau egal cu fiecare dintre numerele date.

De reținut

multiplii lui $n$ : $0, n, 2 n, 3 n, \dots$
cmmmc = cel mai mic multiplu comun diferit de 0
dacă un număr îl cuprinde pe celălalt, cmmmc este numărul mai mare
la numere fără divizori comuni, cmmmc este produsul lor

Greșeala tipică

Mulți înmulțesc direct cele două numere și se opresc acolo: pentru 4 și 6 ar ieși 24, deși valoarea căutată este 12. Produsul chiar dă un multiplu comun, însă cea mai mică valoare se vede doar comparând listele.

Exerciții din această mini-lecție

Care este $cmmmc (9, 15)$ ?
- a) 45
- b) 135
- c) 9
- d) 15
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) 45

Multiplii lui 9: $9, 18, 27, 36, 45, \dots$ Multiplii lui 15: $15, 30, 45, \dots$ Primul multiplu comun nenul este 45. Verificare: $45 : 9 = 5$ și $45 : 15 = 3$ , ambele fără rest. Deci $cmmmc (9, 15) = 45$ .
Care dintre numerele de mai jos nu este multiplu comun al numerelor 10 și 12?
- a) 60
- b) 90
- c) 120
- d) 180
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) 90

$cmmmc (10, 12) = 60$ , iar toți multiplii comuni ai lui 10 și 12 sunt multiplii lui 60: $60, 120, 180, \dots$ Numărul 90 este multiplu al lui 10 ( $90 : 10 = 9$ ), dar nu este multiplu al lui 12, deoarece $90 : 12 = 7$ rest $6$ . Deci 90 nu este multiplu comun.
Care este $cmmmc (6, 10)$ ?
- a) 30
- b) 60
- c) 10
- d) 6
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) 30

Multiplii lui 6: $6, 12, 18, 24, 30, \dots$ Multiplii lui 10: $10, 20, 30, \dots$ Primul multiplu comun nenul este 30. Verificare: $30 : 6 = 5$ și $30 : 10 = 3$ , ambele fără rest. Deci $cmmmc (6, 10) = 30$ . (60 apare dacă înmulțești greșit cele două numere ca și cum ar fi prime între ele; 10 și 6 apar dacă alegi doar unul dintre numerele date.)

Întrebări conexe

Cum scriu lista multiplilor unui număr?

Înmulțești numărul, pe rând, cu 0, 1, 2, 3 și așa mai departe, iar rezultatele le treci în ordine crescătoare. Lista lui 7 începe cu $0, 7, 14, 21, 28$ . Practic sari din 7 în 7, exact cum merge tabla înmulțirii lui 7, doar că nu te oprești la 10.

Care este cel mai mic multiplu comun al lui 15 și 20?

Multiplii lui 20 sunt $20, 40, 60, 80$ , iar dintre ei primul care se împarte exact și la 15 este 60, fiindcă $60 : 15 = 4$ . Așadar $cmmmc (15, 20) = 60$ . Produsul celor două numere, 300, este și el multiplu comun, dar mult mai mare.

Câți multipli comuni au două numere?

O infinitate. După ce ai găsit cel mai mic multiplu comun nenul, toți ceilalți se obțin înmulțindu-l cu 2, 3, 4 și așa mai departe. Pentru 4 și 6 șirul este $12, 24, 36, 48$ , fără sfârșit, așa că întrebarea are sens doar dacă ceri cea mai mică valoare.

Ce legătură există între multiplu și divizor?

Sunt două priviri asupra aceleiași împărțiri exacte. Dacă 18 se împarte fără rest la 6, atunci 18 este multiplu al lui 6, iar 6 este divizor al lui 18. Afară de 0, multiplii unui număr sunt mai mari sau egali cu el, iar divizorii lui sunt mai mici sau egali.

De ce nu există un multiplu comun maxim?

Pentru că oricât de mare ar fi un multiplu comun găsit, îl poți dubla și obții altul, tot comun. Șirul urcă la nesfârșit, deci un cel mai mare nu apare niciodată. La divizori situația se schimbă: aceștia sunt puțini și se opresc, de aceea acolo se caută cel mai mare.

Cum se leagă multiplii de tabla înmulțirii?

Tabla înmulțirii unui număr este chiar începutul listei lui de multipli. Cine știe tabla lui 8 recunoaște imediat $8, 16, 24, 32, 40$ ca multipli. Peste 10 continui adunând mereu numărul: după 80 vine 88, apoi 96.

Oamenii mai întreabă și: multiplu comun · ce este un multiplu · cel mai mic multiplu comun · cmmmc prin enumerare · multipli comuni a două numere