Ce este o inecuație de gradul întâi?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Ce este o inecuație

Este o inegalitate cu o singură literă necunoscută, adusă la forma $a x + b \geq 0$ sau la una dintre celelalte trei variante de semn, cu $a$ diferit de zero. Spre deosebire de o ecuație, care caută numerele ce fac cele două părți egale, inecuația caută toate numerele care fac inegalitatea adevărată. Pentru $3 x - 5 > 2$ numărul $4$ este soluție, fiindcă $3 \cdot 4 - 5 = 7$ , iar $7$ chiar depășește $2$ .

O inecuație de gradul I este o inegalitate cu o necunoscută $x$ , care se aduce la forma $a x + b \geq 0$ (sau $\leq, <, >$ ), cu $a \neq = 0$ . Spre deosebire de ecuație (care caută UN singur număr ce face cele două părți egale), inecuația caută o mulțime întreagă de numere care fac inegalitatea adevărată.

Semnele $<, >$ sunt stricte (nu admit egalitatea), iar $\leq, \geq$ sunt nestricte (o admit). Un număr $x_{0}$ este soluție dacă, înlocuit în inecuație, obții o propoziție adevărată.

Exemplu: este $x_{0} = 4$ soluție a lui $3 x - 5 > 2$ ? Calculăm $3 \cdot 4 - 5 = 7$ , iar $7 > 2$ e adevărat, deci da, este soluție. La valoarea de graniță (unde cele două părți devin egale), soluția depinde de strict/nestrict: la nestrict este soluție, la strict nu.

De reținut

forma generală: $a x + b \geq 0$ (sau $\leq$ , $<$ , $>$ ), cu $a \neq = 0$
semnele stricte nu acceptă egalitatea, cele nestricte o acceptă
o inecuație are de obicei o infinitate de soluții

Greșeala tipică

Se rezolvă inecuația și se dă un singur număr drept răspuns, ca la o ecuație. Rezultatul unei inecuații este o mulțime întreagă de numere, scrisă ca interval.

Exerciții din această mini-lecție

Care dintre următoarele este o inecuație de gradul I?
- a) $x^{2} + 4 < 0$
- b) $6 x - 1 = 5$
- c) $- 2 x + 7 \geq 0$
- d) $\frac{4}{x} \leq 3$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $- 2 x + 7 \geq 0$

La a) apare $x^{2}$ (grad 2), la b) este semnul $=$ (ecuație), la d) necunoscuta e la numitor. Doar c) are forma $a x + b \geq 0$ cu $a = - 2 \neq = 0$ și $b = 7$ , deci este singura inecuație de gradul I.
Se dă inecuația $- 5 x + 9 < 0$ . Care sunt corect coeficientul $a$ și termenul liber $b$ ?
- a) $a = - 5, b = 9$
- b) $a = 5, b = 9$
- c) $a = - 5, b = - 9$
- d) $a = 9, b = - 5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $a = - 5, b = 9$

În forma $a x + b$ , $a$ este coeficientul lui $x$ (numărul din fața lui $x$ , cu semn cu tot), iar $b$ este termenul liber. Aici $x$ este înmulțit cu $- 5$ , iar termenul liber este $9$ , deci $a = - 5$ și $b = 9$ .
Care dintre următoarele scrieri matematice este o inecuație de gradul I?
- a) $x^{2} - 9 \leq 0$
- b) $7 x + 2 > 0$
- c) $3 x - 4 = 10$
- d) $\frac{5}{x} \geq 1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $7 x + 2 > 0$

La a) apare $x^{2}$ (grad 2), la c) este semnul $=$ (ecuație), la d) necunoscuta e la numitor. Doar b) are forma $a x + b > 0$ cu $a = 7 \neq = 0$ și $b = 2$ , deci este singura inecuație de gradul I.

Întrebări conexe

Ce semne de inegalitate se folosesc și cum se citesc?

Patru: mai mic, mai mare, mai mic sau egal și mai mare sau egal. Primele două se numesc stricte, fiindcă nu acceptă egalitatea, iar ultimele două nestricte. Vârful semnului arată mereu spre numărul mai mic.

Ce înseamnă valoarea de graniță a unei inecuații?

Este numărul pentru care cele două părți devin egale, adică soluția ecuației corespunzătoare. La un semn nestrict ea intră în mulțimea soluțiilor, iar la unul strict rămâne pe dinafară. Graniță se numește tocmai pentru că desparte soluțiile de nesoluții.

Cum arată o inegalitate care nu este de gradul întâi?

Una în care necunoscuta apare la pătrat, sub radical sau la numitor, ca în $x^{2} > 4$ . Astfel de inegalități se studiază mai târziu. Gradul se citește după cea mai mare putere a literei, la fel ca la ecuații.

De unde vine numele de gradul întâi?

Din faptul că necunoscuta apare doar la puterea întâi, adică simplă, fără exponent scris. Aceeași denumire se folosește și la ecuații. Puterea cea mai mare a literei dă gradul întregii inegalități.

Ce se întâmplă dacă înmulțesc o inecuație cu zero?

Ambele părți devin zero și obții o egalitate lipsită de informație, deci pasul este interzis. Se înmulțește doar cu numere diferite de zero, iar semnul lor decide dacă sensul se păstrează sau se întoarce.

Cum scriu că un număr se află între două valori?

Cu o dublă inegalitate, punând numărul la mijloc, ca în $2 \leq x < 7$ . Ea înseamnă de fapt două condiții deodată, care trebuie respectate amândouă. Rezultatul se scrie ca un singur interval mărginit.

Oamenii mai întreabă și: inecuație de gradul întâi · ce este o inecuație · forma ax plus b mai mare sau egal cu zero · inecuație cu o necunoscută · diferența dintre ecuație și inecuație