Este numărul $$39$$ prim sau compus?

Compus, pentru că $$39 = 3 \cdot 13$$.

Prim, pentru că are exact doi divizori.

Este numărul $$57$$ prim sau compus?

Compus, pentru că $$57 = 3 \cdot 19$$.

Prim, pentru că are exact doi divizori.

Ce este un număr prim?

Lecția pe scurt · clasa a VI-a · Numere prime și compuse

Este un număr natural mai mare decât $1$ care se împarte exact doar la $1$ și la el însuși, deci are exact doi divizori: $2$ , $3$ , $5$ , $7$ , $11$ și așa mai departe. Un număr cu mai mulți divizori se numește compus, cum este $6$ , care se scrie $2 \cdot 3$ . Numerele $0$ și $1$ nu intră în niciuna dintre categorii, fiindcă $1$ are un singur divizor, iar $0$ se împarte la orice număr nenul.

Un număr prim are exact doi divizori: $1$ și el însuși (de exemplu $2, 3, 5, 7, 11$ ). Un număr compus are mai mult de doi divizori, deci se poate scrie ca produs a două numere mai mari decât $1$ (de exemplu $6 = 2 \cdot 3$ ). Numerele $0$ și $1$ nu sunt nici prime, nici compuse: $1$ are un singur divizor, iar $0$ are o infinitate de divizori, pentru că orice număr nenul îl divide.

Ca să stabilim dacă un număr $n$ este prim, e suficient să căutăm divizori primi până la $n$ ; dacă niciunul nu îl divide, $n$ este prim. Exemplu: pentru $n = 91$ , cum $91 < 10$ , verificăm $2, 3, 5, 7$ . La $7$ găsim $91 = 7 \cdot 13$ , deci $91$ este compus.

Ciurul lui Eratostene găsește toate numerele prime până la $100$ : încercuim $2$ și tăiem multiplii lui, apoi $3$ , $5$ și $7$ (fiindcă $100 = 10$ ); rămân neîncercuite exact 25 de numere prime.

De reținut

număr prim = exact doi divizori: $1$ și el însuși
$0$ și $1$ nu sunt nici prime, nici compuse
verificarea se oprește la numerele prime al căror pătrat depășește numărul

Greșeala tipică

Se declară prim orice număr impar, deși $9$ , $15$ și $21$ sunt compuse; paritatea nu decide nimic, iar singura verificare valabilă rămâne căutarea divizorilor primi mici.

Exerciții din această mini-lecție

Este numărul $39$ prim sau compus?
- a) Prim, pentru că are exact doi divizori.
- b) Compus, pentru că $39 = 3 \cdot 13$ .
- c) Nici prim, nici compus.
- d) Prim, pentru că este impar.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Compus, pentru că $39 = 3 \cdot 13$ .

$39$ este impar, deci nu se împarte la $2$ . Suma cifrelor este $3 + 9 = 12$ , care se împarte la $3$ , deci $39$ se împarte la $3$ : $39 = 3 \cdot 13$ . Numărul $39$ are cel puțin patru divizori ( $1, 3, 13, 39$ ), adică mai mult de doi, deci este compus.
Aplici ciurul lui Eratostene ca să găsești toate numerele prime până la $144$ . Care este cel mai mare număr prim ai cărui multipli trebuie să-i tai?
- a) $7$
- b) $11$
- c) $13$
- d) $12$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $11$

$144 = 12$ (exact). Cel mai mare număr prim mai mic sau egal cu $12$ este $11$ . Deci pentru a cerne numerele până la $144$ este suficient să tăiem multiplii lui $2, 3, 5, 7$ și, ultimul, ai lui $11$ ; ce rămâne netăiat este prim.
Este numărul $57$ prim sau compus?
- a) Prim, pentru că are exact doi divizori.
- b) Compus, pentru că $57 = 3 \cdot 19$ .
- c) Nici prim, nici compus.
- d) Prim, pentru că este impar.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Compus, pentru că $57 = 3 \cdot 19$ .

$57$ este impar, deci nu se împarte la $2$ . Suma cifrelor este $5 + 7 = 12$ , care se împarte la $3$ , deci $57$ se împarte la $3$ : $57 = 3 \cdot 19$ . Numărul $57$ are cel puțin patru divizori ( $1, 3, 19, 57$ ), adică mai mult de doi, deci este compus.

Întrebări conexe

Care sunt numerele prime până la 30?

Sunt $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23$ și $29$ , adică zece la număr. Singurul par dintre ele este $2$ , iar restul sunt impare. Lista se obține tăind, pe rând, multiplii lui $2$ , ai lui $3$ și ai lui $5$ , care sunt primele numere prime.

Este 91 un număr prim?

Nu. Pare prim, fiindcă nu se împarte la $2$ , la $3$ și la $5$ , dar $91 = 7 \cdot 13$ . De aceea încercările trebuie continuate cu toate numerele prime până când pătratul lor depășește numărul verificat, nu oprite după primele câteva.

Ce sunt numerele prime gemene?

Sunt perechi de numere prime care diferă cu $2$ , cum ar fi $3$ și $5$ , $11$ și $13$ sau $17$ și $19$ . Ele apar tot mai rar pe măsură ce numerele cresc, iar întrebarea dacă lista lor se termină vreodată nu are încă răspuns în matematică.

Câți divizori are un număr compus?

Cel puțin trei: pe $1$ , pe el însuși și încă unul aflat între ele. Numărul $6$ are patru divizori, iar $12$ are șase. Cu cât descompunerea are mai multe baze și exponenți mai mari, cu atât lista divizorilor devine mai lungă.

De ce orice număr compus se scrie ca produs de numere prime?

Pentru că, dacă un factor nu este prim, se poate desface mai departe, iar factorii scad de fiecare dată. Procedeul nu poate continua la nesfârșit cu numere naturale, deci se oprește când toți factorii au ajuns primi. Din acest motiv, numerele prime se numesc cărămizile numerelor.

Unde se folosesc numerele prime în afara școlii?

Stau la baza codurilor care protejează plățile pe internet: două numere prime foarte mari se înmulțesc ușor, dar produsul lor este aproape imposibil de descompus la loc. Apar și în informatică, la împărțirea datelor în tabele, și în muzică, la ritmuri care nu se suprapun.

Oamenii mai întreabă și: ce este un număr prim · numere prime și numere compuse · numere prime până la 100 · ciurul lui Eratostene